2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)南洋模范中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.填空題（共54分，1～6題每題4分，7～12題每題5分）1．（4分）已知函數(shù)，若，則．2．（4分）已知集合，，，則．3．（4分）函數(shù)的值域是．4．（4分）下列函數(shù)中，偶函數(shù)的序號為．①②③④5．（4分）若關(guān)于的方程有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則的取值范圍是．6．（4分）設(shè)，關(guān)于的方程的解集為，若只有1個元素，則實數(shù)的取值范圍是．7．（5分）對任意實數(shù)，都有，則實數(shù)的最大值為．8．（5分）若函數(shù)的值域為，，則實數(shù)的取值范圍為．9．（5分）設(shè)不等式的解集為，設(shè)函數(shù)且與軸有兩個交點時實數(shù)的取值集合為，則．10．（5分）已知函數(shù)，若對于任意的，都有，則的最小值是．11．（5分）函數(shù)，，若在定義域上滿足：①沒有奇偶性；②不單調(diào)；③有最大值，則的取值范圍是．12．（5分）已知實數(shù)，，，則的取值范圍為．二.選擇題（4題共18分，13～14每題4分，15～16每題5分）13．（4分）已知，則“成立”是“成立”的條件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不充分也非必要14．（4分）對于非空集合和，把所有屬于但不屬于的元素組成的集合稱為和的差集，記為，那么總等于A． B． C． D．15．（5分）已知，點在曲線上，若線段與曲線相交且交點恰為線段的中點，則稱為曲線關(guān)于曲線的一個關(guān)聯(lián)點．那么曲線關(guān)于曲線的關(guān)聯(lián)點的個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．416．（5分）①德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（高斯的學(xué)生）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，著名的狄利克雷函數(shù)定義域在上的解析式可表示為：，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的序號為①狄利克雷為偶函數(shù)②狄利克雷為奇函數(shù)③狄利克雷函數(shù)值域為，④對于任意，均有⑤狄利克雷函數(shù)的圖像可以通過列表描點法畫出⑥在狄利克雷函數(shù)上不存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點A．①③④⑥ B．②③⑤ C．①④ D．②④⑥三.解答題（共78分，17～19每題14分，20～21每題18分）17．（14分）命題甲：集合，，且．命題乙：集合，，且．問題：若命題甲和乙中有且只有一個真命題，求：實數(shù)的取值范圍．18．（14分）除了直接作差以外，利用函數(shù)，基本不等式，反證法比大小也是解決不等關(guān)系的主要方法．（1）已知實數(shù)，，，，，滿足．求證：，，，，中至少有一個實數(shù)不小于1．（2）已知，，，試比較：、、三者的大小關(guān)系．（3）若實數(shù)，，，滿足，試比較：和的大小，并指明等號成立的條件．19．（14分）由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿．1個單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度與時間的關(guān)系，可近似地表示為．只有當河流中堿的濃度不低于1時，才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用．（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時間有多長？（2）當河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，此后，每一時刻河中的堿濃度認為是各次投放的堿在該時刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．20．（18分）利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑．（1）已知函數(shù)，，若對任意，恒成立，求：實數(shù)的取值范圍．（2）設(shè)，若存在定義域為的函數(shù)同時滿足①，②兩個條件，求：的取值范圍．①對于任意，的值為或；②關(guān)于的方程無實數(shù)解．（3）已知函數(shù)，若方程有實根，求：集合的元素的可能個數(shù)．21．（18分）對于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在非零實數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內(nèi)存在非零實數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”．（1）已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”并說明理由；（2）若冪函數(shù)使得在，上是“偽奇函數(shù)”，是“偽偶函數(shù)”，求：實數(shù)的取值范圍；（3）若整數(shù)使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，求：的取值集合．

參考答案一.填空題（12題共54分，1～6題每題4分，7～12題每題5分）1．（4分）已知函數(shù)，若，則2．解：函數(shù)，，．故答案為：2．2．（4分）已知集合，，，則．解：，，，把代入方程，方程不成立，故，再把代入方程，方程不成立，故，．故答案為：．3．（4分）函數(shù)的值域是．解：當時，，當，．若時，，當且僅當，即時等號成立，此時，即，若時，，當且僅當，即時等號成立，此時，即，綜上所述，函數(shù)的值域為．故答案為：．4．（4分）下列函數(shù)中，偶函數(shù)的序號為①②④．①②③④解：①由，解得，則原函數(shù)為，函數(shù)為偶函數(shù)；②由，解得．此時，函數(shù)為偶函數(shù)；③，當時，，此時，當時，，此時，綜上可知，函數(shù)為奇函數(shù)；④，當時，，此時，當時，，此時，綜上可知，函數(shù)為偶函數(shù)．故答案為：①②④．5．（4分）若關(guān)于的方程有三個根，且這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，則的取值范圍是，．解：有三個根（允許相等），設(shè)這三根為：，，，不妨設(shè)，即，為方程的兩正根，所以，且△，解得，這三個根恰好可以作為一個三角形的三條邊的長，兩邊之和：，則，兩邊之差：，即，所以，，解得，因此，，故實數(shù)的取值范圍是，．6．（4分）設(shè)，關(guān)于的方程的解集為，若只有1個元素，則實數(shù)的取值范圍是或．解：因為，關(guān)于的方程的解集為，若只有1個元素，則關(guān)于的方程只有一個負根，①只有一個根且為負根，，解得，②有兩個根且一個負根，，此時，故的取值范圍為或．故答案為：或．7．（5分）對任意實數(shù)，都有，則實數(shù)的最大值為2．解：依題意，，，所以，則，即，當，或，時等號成立．則的最大值為2．故答案為：2．8．（5分）若函數(shù)的值域為，，則實數(shù)的取值范圍為，．解：因為函數(shù)的值域為，，所以能夠取到大于等于0的所有數(shù)，當時，不合題意；當時，則，解得；綜上可得，．故答案為：，．9．（5分）設(shè)不等式的解集為，設(shè)函數(shù)且與軸有兩個交點時實數(shù)的取值集合為，則．解：由，得，解得，從而，．設(shè)函數(shù)和函數(shù)，則函數(shù)且與軸有兩個交點，就是函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點．當時，如圖，由圖可知，兩函數(shù)圖象只有一個交點，不符合題意；當時，如圖，因為函數(shù)的圖象過點，而直線與軸的交點一定在點的上方，所以兩圖象一定有兩個交點．綜上，實數(shù)的取值范圍是，從而．則．故答案為：．10．（5分）已知函數(shù)，若對于任意的，都有，則的最小值是．解：對任意的，都有，因為（1），則（3）（5），則，令，則，則當時，有最小值，則有最小值．故答案為：．11．（5分）函數(shù)，，若在定義域上滿足：①沒有奇偶性；②不單調(diào)；③有最大值，則的取值范圍是．解：由①可知，，即；由③可知，；由②可知，，即，又，則，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．12．（5分）已知實數(shù)，，，則的取值范圍為．解：因為，，所以，即，故，又，，將，看成方程的兩根，則△，即，故，解得．故答案為：．二.選擇題（4題共18分，13～14每題4分，15～16每題5分）13．（4分）已知，則“成立”是“成立”的條件．A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既不充分也非必要解：若，則，若時，，若時，，若時，，則當時，，則“成立”是“成立”的充要條件．故選：．14．（4分）對于非空集合和，把所有屬于但不屬于的元素組成的集合稱為和的差集，記為，那么總等于A． B． C． D．解：由題意可知，指圖（1）中陰影部分構(gòu)成的集合，所以指圖（2）中陰影部分構(gòu)成的集合，由圖可知，．故選：．15．（5分）已知，點在曲線上，若線段與曲線相交且交點恰為線段的中點，則稱為曲線關(guān)于曲線的一個關(guān)聯(lián)點．那么曲線關(guān)于曲線的關(guān)聯(lián)點的個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．4解：如圖所示：設(shè)線段與曲線的交點為，如圖所示，令點，則點，．由于點在函數(shù)的圖象上，故有，即．故曲線關(guān)于曲線的關(guān)聯(lián)點的個數(shù)，即為函數(shù)和曲線的交點的個數(shù)．在同一個坐標系中，畫出函數(shù)和曲線的圖象，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)和曲線的交點的個數(shù)為1，故選：．16．（5分）①德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷（高斯的學(xué)生）在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，著名的狄利克雷函數(shù)定義域在上的解析式可表示為：，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的序號為①狄利克雷為偶函數(shù)②狄利克雷為奇函數(shù)③狄利克雷函數(shù)值域為，④對于任意，均有⑤狄利克雷函數(shù)的圖像可以通過列表描點法畫出⑥在狄利克雷函數(shù)上不存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點A．①③④⑥ B．②③⑤ C．①④ D．②④⑥解：狄利克雷函數(shù)，若為有理數(shù)，則也是有理數(shù)，，，即，若為無理數(shù)，則也是無理數(shù)，，，即，又函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)是上的偶函數(shù)，故①正確，②錯誤；狄利克雷函數(shù)值域為，，故③錯誤；對于任意，有，或1，都是有理數(shù)，，有，故④正確；狄利克雷函數(shù)的圖象不可以通過列表描點法畫出，故⑤錯誤；取，，，，得到△為等邊三角形，即在狄利克雷函數(shù)上存在可以構(gòu)成等邊三角形的三點，故⑥錯誤．故選：．三.解答題（共78分，17～19每題14分，20～21每題18分）17．（14分）命題甲：集合，，且．命題乙：集合，，且．問題：若命題甲和乙中有且只有一個真命題，求：實數(shù)的取值范圍．解：命題甲：集合，，且，，解得，當命題甲是真命題，實數(shù)的取值范圍為．命題乙：集合，，且，或集合中元素是非正數(shù)，又，中元素是方程的解，當時，△，解得，當集合中元素是非正數(shù)時，設(shè)，是方程的根，，則△且，解得，當命題乙是真命題時，實數(shù)的取值范圍為．命題甲和乙中有且只有一個真命題，命題甲是真命題，命題乙是假命題或命題甲是假命題，命題乙是真命題，當命題甲是真命題，命題乙是假命題時，，得到，當命題甲是假命題，命題乙是真命題時，或，得到，命題甲和乙中有且只有一個真命題，實數(shù)的取值范圍為或．18．（14分）除了直接作差以外，利用函數(shù)，基本不等式，反證法比大小也是解決不等關(guān)系的主要方法．（1）已知實數(shù)，，，，，滿足．求證：，，，，中至少有一個實數(shù)不小于1．（2）已知，，，試比較：、、三者的大小關(guān)系．（3）若實數(shù)，，，滿足，試比較：和的大小，并指明等號成立的條件．解：（1）證明：（反證法）假設(shè)，，，，全小于1，即，，，，，所以，這與矛盾，故假設(shè)不成立，所以，，，，中至少有一個實數(shù)不小于1．（2）因為函數(shù)在上為減函數(shù)，又，所以，即，又函數(shù)在上為增函數(shù)，又，所以，所以；（3），，當且僅當，即取等號，所以，當且僅當且，同號時取等號．19．（14分）由于濃酸泄漏對河流形成了污染，現(xiàn)決定向河中投入固體堿．1個單位的固體堿在水中逐步溶化，水中的堿濃度與時間的關(guān)系，可近似地表示為．只有當河流中堿的濃度不低于1時，才能對污染產(chǎn)生有效的抑制作用．（1）如果只投放1個單位的固體堿，則能夠維持有效抑制作用的時間有多長？（2）當河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，此后，每一時刻河中的堿濃度認為是各次投放的堿在該時刻相應(yīng)的堿濃度的和，求河中堿濃度可能取得的最大值．解：（1）由題意，當時，，，，，當時，，，，綜上，得，即若1個單位的固體堿只投放一次，則能夠維持有效抑制作用的時間為；（2）當時，，，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當河中的堿濃度開始下降時，即刻第二次投放1個單位的固體堿，即時，，故當且僅當，即時，有最大值．20．（18分）利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑．（1）已知函數(shù)，，若對任意，恒成立，求：實數(shù)的取值范圍．（2）設(shè)，若存在定義域為的函數(shù)同時滿足①，②兩個條件，求：的取值范圍．①對于任意，的值為或；②關(guān)于的方程無實數(shù)解．（3）已知函數(shù)，若方程有實根，求：集合的元素的可能個數(shù)．解：（1）①當時，，則，，此時恒成立，故；②當時，，則，，若，即，令為對勾函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，故；③當時，若，則，，同②，符合題意；若，則，，同①，符合題意；綜上所述，的取值范圍為；（2）由條件①得，，解得或，所以當時，；當時，（1），又因為關(guān)于的方程無實數(shù)解，所以且，所以，，，；（3）①若函數(shù)有兩個相等的實數(shù)根，則△，得，實數(shù)根，令，則，當時，，此時，有2個解；②若函數(shù)有兩個不相等的實數(shù)根，則△，得，此時兩個實數(shù)根分別是，，而．即在時成立，此時，有4個解；綜上所述，集合有2個或4個元素．21．（18分）對于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在非零實數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．若其定義域內(nèi)存在非零實數(shù)滿足，則稱為“偽偶函數(shù)”．（1）已知函數(shù)，判斷是否為“偽奇函數(shù)”；是否為“偽偶函數(shù)”并說明理由；（2）若冪函