人工智能經典電子書-2- 線性代數2-線性相關和子空間

線性代數2

線性相關

一.向量的線性組合、線性表示；

二.向量組的線性相關與線性無關；

三.判別向量相關性的例子。

對于兩個n維向量、，若存在一常數k,使得則稱向量、成比例。例如一、向量的線性組合、線性表示

現將這個概念推廣到多個n維向量。如果存在一組數，使得是向量組的一個線性則稱向量組合，或稱向量可以由向量組，對于n維行（列）向量定義1線性表示。其中例如，設則3就是向量1、

2的線性組合，又稱3可由向量1、

2線性表示。不難驗證顯然：任一n維向量

=(a1,a2,…,an)T都是向量組稱為單位向量組則稱向量組線性相關

否則，已知n維行（列）向量組，定義2使得稱該向量組線性無關。（linearlyde-pendent）二、向量組的線性相關與線性無關如果存在不全為零的一組數，不難驗證

所以它們是線性相關的。

對向量組

例題

設有一組數k1,k2,k3,使得例1

試討論下列向量組的線性相關性：

解k1

1+k2

2+k3

3=0

即所以上述方程組，可見向量組的相關性等價于這個齊次方程組有否非零解。而它的系數行列式即k1=k2=k3=0。于是向量組

1、2、3是線性無關的。只有唯一零解，由克萊姆法則，

設有一組數k1,k2,k3,使得例2

設向量

1、2、3線性無關，試證明向量組1、1+

2、1+

2+3也線性無關。

證k1

1+k2(1+

2)

+k3(1+

2+3)=0

即(k1+k2+k3)1+(k2+k3)

2+k3

3=0

因為向量

1、2、3線性無關，所以所以證畢由克萊姆法則

這是關于k1,k2,k3的齊次方程組，它的系數行k1+k2+k3=0

k2+k3=0

k3=0

列式方程組只有零解，即k1=k2=k3=0。

線性空間及其子空間一線性空間定義二線性空間例子三線性空間的子空間設V是一個非空集合，在V上任意兩元素元運算+滿足如下性質：交換律有結合律有使得對任意對任意存在使得1）2）3）存在4）一線性空間定義定義1對任意的對任意的有定義運算并記為且設R為實數域，對V中的任意元素及R中的任意元素k定義運算并記為且運算

滿足如下性質：”

“1律”5）結合律6）都有7）分配律都有8）分配律都有則稱V為R上的一個線性空間，簡稱為實線性空間，線性空間中的元素稱為向量。對任意的對任意的對任意的運算+稱為加法運算，稱為數乘運算，它們統(tǒng)稱為線性運算。稱為零向量，若則稱為的負向量，并把的負向量記為。二線性空間例子例1表示全體n維實向量形成的集合，即關于n維實向量加法和數乘是線性空間。即對顯然在零向量向量的負向量注是最重要的實線性空間。類似有復線性空間

例2階實矩陣全體關于矩陣線性運算是一個線性空間(實矩陣空間）。特別的階實方陣全體關于矩陣線性運算是一個線性空間。中的零向量為零矩陣。向量的負向量注是實矩陣空間例3矩陣A的三個子空間

設,以

表示A的第i個列向量，稱集合為矩陣A的值域（列空間）矩陣A的零空間矩陣A的行空間二、子空間的分解

定理如果V1,V2是數域K上線性空間V的兩個子空間，那么它們的交V1

∩V2也是V的子空間；它們的和V1+V2也是V的子空間。維數定理

如果V1,V2是數域K上的線性空間V