專題07全等與相似三角形中的基本模型之十字架模型（原卷版）

專題07全等與相似三角形中的基本模型之十字架模型幾何學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，研究的是形狀、大小和相對(duì)位置等幾何對(duì)象的性質(zhì)和變換。在初中幾何學(xué)中，十字模型就是綜合了上述知識(shí)的一個(gè)重要模型。本專題就十字模型相關(guān)的考點(diǎn)作梳理，幫助學(xué)生更好地理解和掌握。模型1.矩形中的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相對(duì)兩邊上的任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時(shí)這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。如圖1，在矩形ABCD中，若E是AB上的點(diǎn)，且DE⊥AC，則.如圖2，在矩形ABCD中，若E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且EF⊥AC，則.如圖3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD、BC上的點(diǎn)，且EF⊥MN，則.例1．（22·23下·湖南·九年級(jí)期中）如圖，把邊長(zhǎng)為，的矩形對(duì)折，使點(diǎn)和重合，求折痕的長(zhǎng)．例2．（22·23下·山東·九年級(jí)期中）如圖，在矩形中，，，在上有一點(diǎn)，若，則和之間有什么數(shù)量關(guān)系？然后請(qǐng)證明．例3．（江蘇20232024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題）【探究證明】（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請(qǐng)你給出證明：如圖①，在矩形中，，分別交于點(diǎn)E、F，分別交于點(diǎn)G、H，求證：；【結(jié)論應(yīng)用】（2）如圖②，將矩形沿折疊，使得點(diǎn)B和點(diǎn)D重合，若，求折痕的長(zhǎng)；【拓展運(yùn)用】（3）如圖③，將矩形沿折疊．使得點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)G處，點(diǎn)C落在點(diǎn)P處，得到四邊形，若，求的長(zhǎng)．

例4．（江蘇20222023學(xué)年九年級(jí)10月診斷性抽測(cè)數(shù)學(xué)試題）【探究證明】：（1）某班數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組對(duì)矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行探究，提出下列問題，請(qǐng)你給出證明．如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點(diǎn)G，H．求證：；【結(jié)論應(yīng)用】：（2）如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，CD上，若，則的值為____________；【聯(lián)系拓展】：（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AB上，則=____________．模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）1）等邊三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如圖1，已知等邊△ABC，BD=EC（或CD=AE），則①AD=BE，②AD和BE夾角為60°，③。2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：如圖2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D為BC中點(diǎn)，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個(gè)結(jié)論中，可“知二得五”。3）直角三角形中的十字模型：如圖3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D為BC中點(diǎn)，BF⊥AD，則AF：FC=2：k2，（相似）例1.（2223.廣東九年級(jí)期中）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)，且BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P．下列結(jié)論：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正確的結(jié)論共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例2．（22·23上·莆田·階段練習(xí)）如圖，等邊的邊長(zhǎng)是6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，連接，相交于點(diǎn)P．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的值．例3．（22·23·南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)，，分別交，于點(diǎn)D，E．若，，則的周長(zhǎng)等于．

例4．（22·23上·衢州·期末）如圖，在等邊ABC的AC，BC邊上各取一點(diǎn)E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于點(diǎn)O．（1）求證：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的長(zhǎng)．（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P在CE上從點(diǎn)C向終點(diǎn)E勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在BC上，連結(jié)OP，PQ，滿足∠OPQ＝60°，記PC為x，DQ的長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．例5．（22·23上·合肥·階段練習(xí)）如圖，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC邊上的中線，過點(diǎn)B作BD⊥AE于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．例6．（22·23·內(nèi)江·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)D是線段AB上的一點(diǎn)，連接CD．過點(diǎn)B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF，給出以下三個(gè)結(jié)論：①；②若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則AF=AB；③若，則S△ABC=6S△BDF；其中正確的結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③ B．①③ C．①② D．②③例7．（2223下·武漢·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分別是邊BC，AB上的點(diǎn)，∠ADC＝∠EDB，過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為F，交AC于點(diǎn)G．(1)如圖（1），求證：△AGE∽△BDE；(2)如圖（2），若點(diǎn)G恰好與頂點(diǎn)C重合，求證：BD＝CD；(3)如圖（1），若＝，直接寫出的值．例8．（22·23下·鷹潭·一模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】(1)如圖①，在正方形中，點(diǎn)，分別是、上的兩點(diǎn)，連接，，，求證．【類比探究】(2)如圖②，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如圖③，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)若，，，求的值．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（22·23上·宜賓·期中）如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)B作分別交于點(diǎn)E、F．與過點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，現(xiàn)給出以下幾個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)F是的中點(diǎn)；④；⑤．其中所有正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤2．（22·23下·重慶·階段練習(xí)）如圖，在正方形中，﹐E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)G，將沿翻折得到，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接，則的面積是（

）A． B．25 C．20 D．153．（22·23·德州·二模）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上的一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)D作DM⊥AE，垂足為點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F．將△AMF沿AB翻折得到△ANF．延長(zhǎng)DM，AN交于點(diǎn)P．給出以下結(jié)論①；②；③；④若，則；．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④4．（2023.江蘇九年級(jí)期中）如圖，在正方形中，為對(duì)角線，E為上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作，與，分別交于點(diǎn)H、F，G為的中點(diǎn)，連接，，，．下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形；③：④若，則．其中正確的結(jié)論有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（江蘇20222023學(xué)年九年級(jí)月考數(shù)學(xué)試題）如圖，在中，，，，垂足為，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．（22·23下·貴港·一模）如圖，在等邊的，邊上各任取一點(diǎn)，，且，，相交于點(diǎn)，下列三個(gè)結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6PO；②若，，則，③，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．（2023.江蘇九年級(jí)期中）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點(diǎn)G，若，則的長(zhǎng)為．8．（22·23·山西·模擬預(yù)測(cè)）如圖，中，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為．9．（22·23上·深圳·期中）如圖，在邊長(zhǎng)為7的等邊中，D、E分別在邊上，，，連接交于點(diǎn)P，則的長(zhǎng)為．10．（22·23下·重慶·九年級(jí)期中）（1）如圖1，在矩形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，垂足為點(diǎn)．求證：．【問題解決】（2）如圖2，在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接．求證：．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形中，點(diǎn)，分別在邊，上，，，，求的長(zhǎng)．

11．（福建20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）（1）如圖①，在正方形中，為邊上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是：；問題探究：（2）如圖②，在矩形中，，，點(diǎn)，分別在邊、上，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線分別交邊、于點(diǎn)、點(diǎn)．若線段恰好平分矩形的面積，且，求的長(zhǎng)；問題解決：（3）如圖③，在正方形中，為上一點(diǎn)，且，、分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，且，若，求的最小值．12．（22·23下·武漢·階段練習(xí)）如圖1，在中，，為邊上一點(diǎn)，．(1)求證：；(2)如圖2，過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，若，求的值；(3)如圖，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，若直接寫出的值（用含的代數(shù)式表示）．13．（21·22下·蕪湖·一模）如圖，在等邊的邊上各取一點(diǎn)E，D，使相交于點(diǎn)O．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．(3)在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P在從點(diǎn)C向終點(diǎn)E勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在上，連結(jié)，滿足，記為x，的長(zhǎng)為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍．14．（22·23下·合肥·三模）已知：如圖，等邊中，點(diǎn)、分別在、邊上，且，、相交于點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為______；(2)當(dāng)時(shí)，①求的值；②求證：．

15．（22·23上·咸陽(yáng)·期末）【問題探究】(1)如圖①，在矩形中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，于點(diǎn)F，點(diǎn)G為邊上一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)E作于點(diǎn)P，交于點(diǎn)H，求證：；(2)【問題解決】如圖②，矩形為某開發(fā)區(qū)的一片空地，點(diǎn)E、F分別為邊、上的點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量，米，米，開發(fā)商現(xiàn)欲在邊上找一點(diǎn)，使得四邊形的面積為67600平方米，設(shè)計(jì)人員的設(shè)計(jì)過程如下：①以點(diǎn)F為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交于M、N兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；③連接并延長(zhǎng)，分別交、于點(diǎn)H、G．請(qǐng)問：若按上述作法，得到的點(diǎn)G是否符合要求？請(qǐng)證明你的結(jié)論．16．（廣西2023年中考模擬數(shù)學(xué)試題）如圖1，在正方形中，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)時(shí)，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點(diǎn)作于點(diǎn)，分別交于點(diǎn)，求的值．17．（22·23下·成都市·九年級(jí)期中）已知四邊形中，、分別是、邊上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）如圖①，若四邊形是矩形，且，求證：；（2）如圖②，若四邊形是平行四邊形，試探究：當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，成立？并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若，，，，請(qǐng)直接寫出的值．

18．（22·23上·莆田·期中）已知正方形，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)、分別與邊、交于點(diǎn)、．①求證：；②求證：．（2）如圖2，在邊上取一點(diǎn)，滿足，連接交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的值．19．（2223·赤峰·模擬預(yù)測(cè)）問題情境：如圖1，在正方形中，為邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），垂直于的一條直線分別交、、于點(diǎn)、、．則、、之間的數(shù)量關(guān)系為．問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上．如圖2，若垂足恰好為的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)求的度數(shù)；如圖3，當(dāng)垂足在正方形的對(duì)角線上時(shí)，連接，將沿著翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若正方形的邊長(zhǎng)為，的中點(diǎn)為，求的最小值．問題拓展：如圖4，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)、分別為邊、上的點(diǎn)，將正方形沿著翻折，使得的對(duì)應(yīng)邊恰好經(jīng)過點(diǎn)，交于點(diǎn)分別過點(diǎn)、作，，垂足分別為、,若，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．20．（22·23下·山東·一模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)矩形內(nèi)兩條