專題07全等與相似三角形中的基本模型之十字架模型（原卷版）

專題07全等與相似三角形中的基本模型之十字架模型幾何學是數(shù)學的一個重要分支，研究的是形狀、大小和相對位置等幾何對象的性質(zhì)和變換。在初中幾何學中，十字模型就是綜合了上述知識的一個重要模型。本專題就十字模型相關(guān)的考點作梳理，幫助學生更好地理解和掌握。模型1.矩形中的十字架模型（相似模型）矩形的十字架模型：矩形相對兩邊上的任意兩點聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。如圖1，在矩形ABCD中，若E是AB上的點，且DE⊥AC，則.如圖2，在矩形ABCD中，若E、F分別是AB、CD上的點，且EF⊥AC，則.如圖3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD、BC上的點，且EF⊥MN，則.例1．（22·23下·湖南·九年級期中）如圖，把邊長為，的矩形對折，使點和重合，求折痕的長．例2．（22·23下·山東·九年級期中）如圖，在矩形中，，，在上有一點，若，則和之間有什么數(shù)量關(guān)系？然后請證明．例3．（江蘇20232024學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題）【探究證明】（1）某班數(shù)學課題學習小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究，提出下列問題，請你給出證明：如圖①，在矩形中，，分別交于點E、F，分別交于點G、H，求證：；【結(jié)論應(yīng)用】（2）如圖②，將矩形沿折疊，使得點B和點D重合，若，求折痕的長；【拓展運用】（3）如圖③，將矩形沿折疊．使得點D落在邊上的點G處，點C落在點P處，得到四邊形，若，求的長．

例4．（江蘇20222023學年九年級10月診斷性抽測數(shù)學試題）【探究證明】：（1）某班數(shù)學課題學習小組對矩形內(nèi)兩條互相垂直的線段與矩形兩鄰邊的數(shù)量關(guān)系進行探究，提出下列問題，請你給出證明．如圖1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分別交AB，CD于點E，F(xiàn)，GH分別交AD，BC于點G，H．求證：；【結(jié)論應(yīng)用】：（2）如圖2，在滿足（1）的條件下，又AM⊥BN，點M，N分別在邊BC，CD上，若，則的值為____________；【聯(lián)系拓展】：（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=8，BC=CD=4，AM⊥DN，點M，N分別在邊BC，AB上，則=____________．模型2.三角形的十字架模型（全等+相似模型）1）等邊三角形中的斜十字模型（全等+相似）：如圖1，已知等邊△ABC，BD=EC（或CD=AE），則①AD=BE，②AD和BE夾角為60°，③。2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：如圖2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D為BC中點，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個結(jié)論中，可“知二得五”。3）直角三角形中的十字模型：如圖3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D為BC中點，BF⊥AD，則AF：FC=2：k2，（相似）例1.（2223.廣東九年級期中）如圖，在等邊△ABC中，D、E分別是BC、AC上的點，且BD＝CE，AD與BE相交于點P．下列結(jié)論：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PAE＝∠ABE；④∠APB＝120°，其中正確的結(jié)論共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例2．（22·23上·莆田·階段練習）如圖，等邊的邊長是6，點E，F(xiàn)分別在邊上，，連接，相交于點P．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的值．例3．（22·23·南通·模擬預(yù)測）如圖，已知是等邊內(nèi)的一點，且，延長，，分別交，于點D，E．若，，則的周長等于．

例4．（22·23上·衢州·期末）如圖，在等邊ABC的AC，BC邊上各取一點E，D，使AE＝CD，AD，BE相交于點O．（1）求證：AD＝BE；（2）若BO＝6OE，求CD的長．（3）在（2）的條件下，動點P在CE上從點C向終點E勻速運動，點Q在BC上，連結(jié)OP，PQ，滿足∠OPQ＝60°，記PC為x，DQ的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式．例5．（22·23上·合肥·階段練習）如圖，在RtABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，AE是BC邊上的中線，過點B作BD⊥AE于點H，交AC于點D，則AD的長為（

）A．2 B． C． D．例6．（22·23·內(nèi)江·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點D是線段AB上的一點，連接CD．過點B作BG⊥CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF，給出以下三個結(jié)論：①；②若點D是AB的中點，則AF=AB；③若，則S△ABC=6S△BDF；其中正確的結(jié)論的序號是（）A．①②③ B．①③ C．①② D．②③例7．（2223下·武漢·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分別是邊BC，AB上的點，∠ADC＝∠EDB，過點E作EF⊥AD，垂足為F，交AC于點G．(1)如圖（1），求證：△AGE∽△BDE；(2)如圖（2），若點G恰好與頂點C重合，求證：BD＝CD；(3)如圖（1），若＝，直接寫出的值．例8．（22·23下·鷹潭·一模）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段做了如下探究：【觀察與猜想】(1)如圖①，在正方形中，點，分別是、上的兩點，連接，，，求證．【類比探究】(2)如圖②，在矩形中，，，點是邊上一點，連接，，且，求的值．【拓展延伸】(3)如圖③，在中，，點在邊上，連接，過點作于點，的延長線交邊于點若，，，求的值．課后專項訓(xùn)練1．（22·23上·宜賓·期中）如圖，在中，，點D是的中點，連結(jié)，過點B作分別交于點E、F．與過點A且垂直于的直線相交于點G，連接，現(xiàn)給出以下幾個結(jié)論：①；②；③點F是的中點；④；⑤．其中所有正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①④⑤2．（22·23下·重慶·階段練習）如圖，在正方形中，﹐E，F(xiàn)分別為，的中點，連接、，交于點G，將沿翻折得到，延長交延長線于點Q，連接，則的面積是（

）A． B．25 C．20 D．153．（22·23·德州·二模）如圖，正方形ABCD中，點E為BC邊上的一點，連接AE，過點D作DM⊥AE，垂足為點M，交AB于點F．將△AMF沿AB翻折得到△ANF．延長DM，AN交于點P．給出以下結(jié)論①；②；③；④若，則；．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④4．（2023.江蘇九年級期中）如圖，在正方形中，為對角線，E為上一點，過點E作，與，分別交于點H、F，G為的中點，連接，，，．下列結(jié)論：①；②為等腰直角三角形；③：④若，則．其中正確的結(jié)論有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（江蘇20222023學年九年級月考數(shù)學試題）如圖，在中，，，，垂足為，為的中點，與交于點，則的長為（

）A． B． C． D．6．（22·23下·貴港·一模）如圖，在等邊的，邊上各任取一點，，且，，相交于點，下列三個結(jié)論：①若PC=2AP，則BO=6PO；②若，，則，③，其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③7．（2023.江蘇九年級期中）如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點G，若，則的長為．8．（22·23·山西·模擬預(yù)測）如圖，中，，，點是邊的中點，過點作，垂足為，延長交于點，則的長為．9．（22·23上·深圳·期中）如圖，在邊長為7的等邊中，D、E分別在邊上，，，連接交于點P，則的長為．10．（22·23下·重慶·九年級期中）（1）如圖1，在矩形中，點，分別在邊，上，，垂足為點．求證：．【問題解決】（2）如圖2，在正方形中，點，分別在邊，上，，延長到點，使，連接．求證：．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形中，點，分別在邊，上，，，，求的長．

11．（福建20222023學年九年級上學期期中考試數(shù)學試題）（1）如圖①，在正方形中，為邊上一點（點不與點重合），連接，過點作，交于點，則與的數(shù)量關(guān)系是：；問題探究：（2）如圖②，在矩形中，，，點，分別在邊、上，點為線段上一動點，過點作的垂線分別交邊、于點、點．若線段恰好平分矩形的面積，且，求的長；問題解決：（3）如圖③，在正方形中，為上一點，且，、分別為、上的動點，且，若，求的最小值．12．（22·23下·武漢·階段練習）如圖1，在中，，為邊上一點，．(1)求證：；(2)如圖2，過點作于，交于點，若，求的值；(3)如圖，為延長線上一點，連接，且，若直接寫出的值（用含的代數(shù)式表示）．13．（21·22下·蕪湖·一模）如圖，在等邊的邊上各取一點E，D，使相交于點O．(1)求證：；(2)若，求的長．(3)在（2）的條件下，動點P在從點C向終點E勻速運動，點Q在上，連結(jié)，滿足，記為x，的長為y，求y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出x的取值范圍．14．（22·23下·合肥·三模）已知：如圖，等邊中，點、分別在、邊上，且，、相交于點，連接．(1)當時，的度數(shù)為______；(2)當時，①求的值；②求證：．

15．（22·23上·咸陽·期末）【問題探究】(1)如圖①，在矩形中，點E為邊上一點，于點F，點G為邊上一點，連接，過點E作于點P，交于點H，求證：；(2)【問題解決】如圖②，矩形為某開發(fā)區(qū)的一片空地，點E、F分別為邊、上的點，經(jīng)測量，米，米，開發(fā)商現(xiàn)欲在邊上找一點，使得四邊形的面積為67600平方米，設(shè)計人員的設(shè)計過程如下：①以點F為圓心，任意長為半徑畫弧，交于M、N兩點；②分別以點M、N為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點P；③連接并延長，分別交、于點H、G．請問：若按上述作法，得到的點G是否符合要求？請證明你的結(jié)論．16．（廣西2023年中考模擬數(shù)學試題）如圖1，在正方形中，點是邊上的一個動點（點與點不重合），連接，過點作于點，交于點．（1）求證：；（2）如圖2，當點運動到中點時，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點作于點，分別交于點，求的值．17．（22·23下·成都市·九年級期中）已知四邊形中，、分別是、邊上的點，與交于點．（1）如圖①，若四邊形是矩形，且，求證：；（2）如圖②，若四邊形是平行四邊形，試探究：當與滿足什么關(guān)系時，成立？并證明你的結(jié)論；（3）如圖③，若，，，，請直接寫出的值．

18．（22·23上·莆田·期中）已知正方形，點為邊的中點．（1）如圖1，點為線段上的一點，且，延長、分別與邊、交于點、．①求證：；②求證：．（2）如圖2，在邊上取一點，滿足，連接交于點，連接并延長交于點，求的值．19．（2223·赤峰·模擬預(yù)測）問題情境：如圖1，在正方形中，為邊上一點（不與點、重合），垂直于的一條直線分別交、、于點、、．則、、之間的數(shù)量關(guān)系為．問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上．如圖2，若垂足恰好為的中點，連接，交于點，連接，并延長交邊于點求的度數(shù)；如圖3，當垂足在正方形的對角線上時，連接，將沿著翻折，點落在點處，若正方形的邊長為，的中點為，求的最小值．問題拓展：如圖4，在邊長為的正方形中，點、分別為邊、上的點，將正方形沿著翻折，使得的對應(yīng)邊恰好經(jīng)過點，交于點分別過點、作，，垂足分別為、,若，請直接寫出的長．20．（22·23下·山東·一模）某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對矩形內(nèi)兩條