數(shù)學(xué)素材：第二講二圓錐曲線的參數(shù)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥思考:類比圓的參數(shù)方程中參數(shù)的意義，橢圓的參數(shù)方程①中參數(shù)φ的意義是什么？答：參數(shù)φ是點(diǎn)M所對應(yīng)的圓的半徑OA（或OB)的旋轉(zhuǎn)角(稱為點(diǎn)M的離心角）．探究：橢圓規(guī)是用來畫橢圓的一種器械,它的構(gòu)造如圖所示．在一個(gè)十字形的金屬板上有兩條互相垂直的導(dǎo)槽，在直尺上有兩個(gè)固定滑塊A，B,它們可分別在縱槽和橫槽中滑動(dòng)，在直尺上的點(diǎn)M處用套管裝上鉛筆，使直尺轉(zhuǎn)動(dòng)一周就畫出一個(gè)橢圓．你能說明它的構(gòu)造原理嗎？(提示：可以用直尺AB和橫槽所成的角為參數(shù)，求出點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程．）答案：如圖，以直尺AB的橫槽所在直線為x軸,以縱槽為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)M(x,y),可以用直尺AB和橫槽所成的角為φ,則x＝AMcosφ＝acosφ,y＝BMsinφ＝bsinφ，所以點(diǎn)M的軌跡參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),化為普通方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2,b2）＝1.表示長半軸長、短半軸長分別為a，b的橢圓．思考：與簡單的線性規(guī)劃問題進(jìn)行類比，你能在實(shí)數(shù)x，y滿足eq\f（x2，25)＋eq\f（y2,16)＝1的前提下，求出z＝x－2y的最大值和最小值嗎？由此可以提出哪些類似的問題？答：根據(jù)線性規(guī)劃知識，可以將橢圓eq\f（x2，25）＋eq\f(y2,16）＝1看成可行域，將z＝x－2y視為目標(biāo)函數(shù)，將其變形為y＝eq\f（x,2)－eq\f（z，2),如圖所示．當(dāng)直線y＝eq\f(x,2)－eq\f（z，2）與橢圓相切于點(diǎn)A時(shí)，截距最大，此時(shí)z取得最小值；當(dāng)直線y＝eq\f（x,2)－eq\f(z，2）與橢圓相切于點(diǎn)B時(shí)，截距最小，此時(shí)z取得最大值．聯(lián)立方程組消去x，得25y2＋16(2y＋z)2＝25×16，即89y2＋64yz＋16z2－25×16＝0，令Δ≥0，即可解得－eq\r(89)≤z≤eq\r(89)。與例1類似，本題也可以利用橢圓的參數(shù)方程求解：設(shè)橢圓上任一點(diǎn)M(5cosφ，4sinφ)，φ∈[0，2π)，則z＝5cosφ－8sinφ＝eq\r(89）sin（θ－φ)，其中tanθ＝eq\f(5,8)，由于－1≤sin(θ－φ)≤1,所以－eq\r(89）≤z≤eq\r(89)。所以，類似已知實(shí)數(shù)x，y滿足eq\f（x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的前提下，求出z＝Ax＋By＋C的最大值和最小值問題，都可以利用這兩種方法求解．思考：怎樣根據(jù)拋物線的定義選取參數(shù)，建立拋物線x2＝2py(p＞0）的參數(shù)方程？答:根據(jù)拋物線的定義得出拋物線的參數(shù)方程的過程如下:如圖,設(shè)點(diǎn)M（x，y)是拋物線x2＝2py（p＞0)上的任一點(diǎn)，點(diǎn)M到準(zhǔn)線y＝－eq\f（p,2）的距離為t，則有y＝t－eq\f(p,2）。由于|MF｜＝t（t－p)2＋x2＝t2x＝±eq\r（2pt－p2）。所以，拋物線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）或(t為參數(shù)）．探究：在例3中,點(diǎn)A，B在什么位置時(shí)，△AOB的面積最小,最小值是多少？答：本題是例3的變式由例3可得｜OA｜＝＝2p｜t1|，｜OB｜＝＝2p|t2｜。所以，△AOB的面積為S△AOB＝2p2|t1t2｜＝2p2＝2p2eq\r（(t1＋t2)2＋4）≥4p2。當(dāng)且僅當(dāng)t1＝－t2，即當(dāng)點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱時(shí)，△AOB的面積最小，最小值為4p2。習(xí)題2。21．一顆人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是一個(gè)橢圓,長軸長為15565km，短軸長為15443km.取橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn),求衛(wèi)星軌道的參數(shù)方程．解：a＝eq\f(15565,2）＝7782.5,b＝eq\f(15443,2）＝7721.5?！鄥?shù)方程為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝7782.5cosθ，,y＝7721。5sinθ)）（θ為參數(shù)）．2．已知橢圓eq\f（x2，a2）＋eq\f（y2，b2）＝1上任意一點(diǎn)M(除短軸端點(diǎn)外）與短軸兩端點(diǎn)B1，B2的連線分別與x軸交于P,Q兩點(diǎn)，O為橢圓的中心．求證：｜OP|·｜OQ|為定值．證明：如圖所示,設(shè)M（acosθ，bsinθ)，B1（0,－b)、B2(0，b)．直線MB1方程：y＋b＝eq\f(bsinθ＋b,acosθ)·x，令y＝0,則x＝eq\f(acosθ,sinθ＋1)，∴|OP｜＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（acosθ,sinθ＋1）））.直線MB2方程：y－b＝eq\f（bsinθ－b，acosθ）·x,令y＝0，則x＝eq\f（acosθ,1－sinθ），∴｜OQ|＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\f(acosθ，1－sinθ）)）?！鄚OP｜·｜OQ｜＝eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（\f（a2cos2θ，1－sin2θ)）)＝a2。即|OP｜·|OQ|為定值．3．求證：等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到兩漸近線的距離之積是常數(shù)．證明：設(shè)x2－y2＝a2是等軸雙曲線，P（asecφ,atanφ)是雙曲線上任一點(diǎn)，它到兩漸近線y＝±x的距離分別為d1＝eq\f（｜asecφ－atanφ｜,\r（2）)，d2＝eq\f（|asecφ＋atanφ｜,\r(2)），∴d1·d2＝eq\f（｜a2sec2φ－a2tan2φ｜，2）＝eq\f(a2，2）是常數(shù)．4．已知A，B，C是拋物線y2＝2px上的三個(gè)點(diǎn)，且BC與x軸垂直，直線AB，AC分別與拋物線的軸交于D，E兩點(diǎn)．求證：拋物線的頂點(diǎn)平分線段DE.證明：如圖所示，設(shè)y2＝2px上三點(diǎn)分別如下：A（2pt12，2pt1），B(2pt22，2pt2)，C(2pt22,－2pt2)．直線AB方程:y－2pt1＝(x－2pt12），令y＝0，求得x1＝－2pt1t2。直線AC方程：y－2pt1＝（x－2pt12），令y＝0，求得x2＝2pt1t2?！鄕1＋x2＝0，∴頂點(diǎn)O平分DE。5．經(jīng)過拋物線y2＝2px（p＞0)的頂點(diǎn)O任作兩條互相垂直的線段OA和OB，以直線OA的斜率k為參數(shù),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程．解:設(shè)OA方程：y＝kx，則OB方程：y＝－eq\f(1,k)x。由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝2px)）求得Aeq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(\f(2p,k2)，\f(2p，k））)，同理得B(2pk2，－2pk)．∴AB中點(diǎn)M（x，y）的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a