計(jì)數(shù)原理全章教案1 人教課標(biāo)版

《計(jì)數(shù)原理》全章教案

一、教學(xué)目標(biāo)

.通過實(shí)例，總結(jié)出分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理；

.了解分類、分步的特征，合理分類、分布；

.體會(huì)計(jì)數(shù)原理的基本原則：不重復(fù)，不遺漏.

二、教學(xué)重點(diǎn)：

.分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系；

.如何選用分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理.

三、教學(xué)難點(diǎn)

.準(zhǔn)確理解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理；

.初步運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理解決簡單的實(shí)際問題.

四、教學(xué)過程

.問題情境一：五一期間，某家庭自助旅游，欲從姜堰去千島湖（浙江淳安縣），一天中有

火車班，有汽車班，那么一天中乘坐這些交通工具從姜堰到千島湖有多少種不同的走法？

思考：假使一天前邇有航班次，輪船

次，那么從姜堰到千島湖有多

少種不同的方法？

.由情境一，你能歸納猜想出一般結(jié)論嗎？

分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有類方式，在第類方式中有種不同的方法，在第類

方式中有中不同的方法，…，在第類方式中有中不同的方法，那么完成這件事共有

種不同的方法.

要點(diǎn)分析：

（）分類；

（）相互獨(dú)立；

（）…（各類方法之和）.

問題情境二：后來聽說衢州（浙江省西部）是中國著名影視明星周迅的故鄉(xiāng)，有被譽(yù)為'‘世

界第九大奇跡”的龍游石窟，于是改變行程，先乘火車從姜堰到衢州，再乘汽車從衢州

到千島湖，一天中火車有班，汽車有班，那么從姜堰到千島湖有多少種不同的走法？（不

考慮時(shí)間因素）

.由情境二，你能歸納猜想出一般結(jié)論嗎？火車1

汽車1

分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)：完成一姜火車2

堰

件事，需要分成個(gè)步驟，做第步有衢州汽車2

種不同的方法，做第步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事

共有

XX…X

種不同的方法.

要點(diǎn)分析:

()分步;

()每步缺一不可，依次完成;

()XX…X(各步方法之積).

.數(shù)學(xué)運(yùn)用

(課本頁例)()在圖I的電路中，只合上一只開關(guān)以接通電路，有多少種不同的方法?

()在圖II的電路中，合上兩只開關(guān)以接通電路，有多少種不同的方法?

||||

III

總結(jié)，提升:

分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理

聯(lián)系都是研究完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題

完成一件事，共有〃類完成一件事，共分〃個(gè)

區(qū)別1辦法，關(guān)鍵詞“分類”步驟，關(guān)鍵詞“分步”

每類辦法相互獨(dú)立，各步驟中的方法相互依

區(qū)別2每類方法都能獨(dú)立地頓，只有各個(gè)步驟都完

完成這件事情成才算完成這件事情

變式訓(xùn)練：如下圖，從到共有多少條不同的線路可通電？(每條線路僅含一條通道)

■(補(bǔ)充)現(xiàn)有高一年級(jí)的學(xué)生名，高二年級(jí)的學(xué)生名，高三年級(jí)的學(xué)生名.

()從中任選一人參加夏令營，有種不同的選法？

()從每個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選一人參加夏令營，有種不同的選法？

變式訓(xùn)練：從不同年級(jí)中選兩名學(xué)生參加夏令營，一共有多少種不同的選法?

■(課本頁例)為了確保電子信箱的安全，在注冊(cè)時(shí)，通常要設(shè)置電子信箱密碼.在某

網(wǎng)站設(shè)置的信箱中，

()密碼為位，每位均為到這個(gè)數(shù)字中的一個(gè)數(shù)字，這樣的密碼共有多少個(gè)？

()密碼為位，每位是到這個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，或是從到這個(gè)英文字母中的一個(gè).這

樣的密碼共有多少個(gè)？

()密碼為?位，每位均為到這個(gè)數(shù)字中的一個(gè).這樣的密碼共有多少個(gè)？

變式訓(xùn)練：若在登陸某網(wǎng)站時(shí)彈出一個(gè)位的驗(yàn)證碼：(如)，第一位和第三位為到中的數(shù)

字，第二位和第四位為到這個(gè)英文字母中的一個(gè)，則這樣的驗(yàn)證碼最多有個(gè)？

.隨堂練習(xí)

()書架的上層放有本不同的英語書，中層放有本不同的語文書，下層放有本不同的數(shù)學(xué)

書，從中任取本書的不同取法的種數(shù)是.

()在上題中，如果從中任取本，英語、語文、數(shù)學(xué)各本，則不同的取法的種數(shù)是.

()(課本頁例)用種不同顏色給下圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，共

有多少種不同的涂法？

①③

②④

.課堂小結(jié)

弄清兩個(gè)原理的區(qū)別與聯(lián)系，是正確使用這兩個(gè)原理的前提與條件.

這兩個(gè)原理都是指完成一件事，區(qū)別在于：

（）分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）是“分類”，每類辦法中的每一種方法都能獨(dú)立完成一件

事；

（）分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）是“分步”，每種方法都只能做這件事的一步，不能獨(dú)立

完成這件事，只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事！

.布置作業(yè)

.兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（二）

一、教學(xué)目標(biāo)

.能根據(jù)具體問題的特征，選擇運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理；

.能綜合運(yùn)用兩個(gè)原理解決一些簡單的實(shí)際問題；

.會(huì)用列舉法解一些簡單問題，并體會(huì)兩個(gè)原理的作用.

二、教學(xué)重點(diǎn)

綜合運(yùn)用兩個(gè)基本原理解決一些簡單的實(shí)際問題.

三、教學(xué)難點(diǎn)

準(zhǔn)確選用兩種基本原理.

四、教學(xué)過程

.復(fù)習(xí)回顧

⑴分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有類方式，在第類方式中有種不同的方法，在第

類方式中有中不同的方法，…，在第類方式中有中不同的方法，那么完成這件事共有…

種不同的方法.

要點(diǎn)分析：（）分類；（）相互獨(dú)立；（）…（各類方法之和）.

⑵分步技術(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成個(gè)步驟，做第步有種不同的方法，做第

步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有XX…X種不同的方

法.

要點(diǎn)分析：（）分步；（）每步缺一不可，依次完成；（）XX-X（各步方法之積）.

⑶兩種基本計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系：（見下表）

分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理

聯(lián)系都是研究完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題

完成一件事，共有〃類完成一件事，共分”個(gè)

區(qū)別1辦法，關(guān)鍵詞“分類”步驟，關(guān)鍵詞“分步”

每類辦法相互獨(dú)立，各步驟中的方法相互依

區(qū)別2每類方法都能獨(dú)立地賴，只有各個(gè)步驟都完

完成這件事情成才算完成這件事情

數(shù)學(xué)運(yùn)用

0列舉法計(jì)數(shù)

例某電腦用戶計(jì)劃使用不超過元的資金購買單價(jià)分別為元、元的單片軟件和盒裝磁盤,

根據(jù)需要，軟件至少買盒，磁盤至少買盒，則不同的選購方式有種.

注明：本題可以列樹狀圖.

0合理分類，運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)

例等腰三角形的三邊均為正整數(shù)，且其周長不大于，這樣的不同形狀的三角形的種數(shù)

為種.

注明：注意到邊長為正整數(shù)，周長不大于，且任意兩邊之和大于第三邊.按腰長分類，

再分類計(jì)數(shù)，防止重復(fù)或遺漏.

()巧妙分步，運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)

例將種作物種植在如圖所示的塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種

植同一種作物，不同的種植方法共有多少種？(三種作物必須都種植)

注明：因有種作物種植，需去掉只種兩種作物的情況，這種情況易被忽略.

答案：種

0綜合運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理

例現(xiàn)有高一年級(jí)某班三個(gè)組學(xué)生人，其中第一、二、三組各人、人、人，他們自愿組

成數(shù)學(xué)興趣小組.

()選其中人為負(fù)責(zé)人，有多少種不同的選法？

()每組選名組長，有多少種不同的選法？

()推選人作代表發(fā)言，這人需來自不同的組，有多少中不同的選法？

注明：計(jì)數(shù)關(guān)鍵在于不重復(fù)不遺漏，我們常用分類或分步的方法將較復(fù)雜的問題分解成

若干較簡單的問題.

答案：0種：()種；0種.

例在至之間有多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？

注明：解決本題，容易得到以下錯(cuò)解：“分三步完成，先排首位有種方法，再排個(gè)位有種

方法，最后排中間兩位有X種方法，所以共有XXX(個(gè)).”產(chǎn)生以上錯(cuò)解的

原因是：由題意，、、這三個(gè)數(shù)既可以排在首位，也可以排在個(gè)位，因而首位與個(gè)

位有可能重復(fù).實(shí)際上，當(dāng)首位為、、時(shí)，末位只有種方法.因此，首位是用、、，

還是用、，影響到第二步，即填個(gè)位的方法數(shù)，遇到此類情形，則要分類處理.

答案：(個(gè)).

.隨堂訓(xùn)練

()課本頁練習(xí)?；

()課本頁習(xí)題

.課堂總結(jié)

解決計(jì)數(shù)問題必須審清：做什么“事”？怎樣才算“完成”？采用何種“方式”完

成？若采用“分類”的方式完成，則需遵循同一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn)，以防重漏現(xiàn)象的發(fā)生；若

采用“分步”的方式，則需按這件事發(fā)展的連續(xù)過程分層次進(jìn)行，若某一步中的每一種

方法對(duì)其下一步中的方法數(shù)產(chǎn)生了不同的影響，則需采取先分類后分步的方式來協(xié)調(diào).

.布置作業(yè)

.排列(一)

一、教學(xué)目標(biāo)

.正確理解排列的概念，了解樹形圖及字典排序法；

.理解排列數(shù)及簡單的排列數(shù)的計(jì)算；

二、教學(xué)重點(diǎn)

排列的概念及寫排列問題.

三、教學(xué)難點(diǎn)

.利用樹形圖或字典排序法寫一些簡單排列問題的所有排列；

.排列與排列數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.

四、教學(xué)過程

.問題情境

前面我們認(rèn)識(shí)了計(jì)數(shù)的兩個(gè)基本原理，下面來研究關(guān)于計(jì)數(shù)的一類常見問題：

問題一：從人的數(shù)學(xué)興趣小組中選人分別擔(dān)任正、副組長，有多少種不同的選法？()

問題二：用，，，，這個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，共有多少個(gè)？()

問題三：從,，，，這個(gè)字母中，任取兩個(gè)按順序排成一列，共有多少種不同的排法？()

這三個(gè)問題有什么共同特點(diǎn)？能否對(duì)上面的計(jì)數(shù)問題給出一種簡便的計(jì)數(shù)方法呢？

共同特點(diǎn)：問題三中把字母，，，，分別代表人，就是問題一；分別代表數(shù)，就是問題二.把

上面問題中所取的對(duì)象叫做元素，于是問題一、二、三都變成問題：從五個(gè)

不同的元素中任取兩個(gè)，然后按順序排成一列，共有多少種不同的排列方法？

.問題探究(學(xué)生活動(dòng))

排列問題：從個(gè)不同的元素，，，，中任取個(gè)，然后按順序排成一列，

共有多少種不同的排列方法？

方法一：運(yùn)用分步計(jì)數(shù)原理：可知共有義種不同排列.

方法二：因?yàn)樗胁煌呐帕?可以一一列舉出來)是.....

,,,.......所以共有種.

說明：如果排列問題搞清楚了，那么以后這類問題的解決就可以直接說出結(jié)果，這

無疑是今后計(jì)數(shù)問題的一種非常簡便的方法.(一勞永逸的方法哦！)

再比如課本的兩個(gè)問題，閱讀課本第頁到第頁.

學(xué)生自我分析問題：從,，，這個(gè)數(shù)字中，每次取出個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，

cdbdbecdadacbdadabbcacab

字典排序法樹形圖

.數(shù)學(xué)理論(排列概念及排列數(shù)概念)

一般地，從個(gè)不同的元素中取出(W)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從

個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列().

概念說明：()元素不能重復(fù)；()“按一定順序”就是與位置有關(guān)，這是判斷一個(gè)問

題是否是排列問題的關(guān)鍵；()兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相同，

而且元素的排列順序也完全相同；()〈時(shí)的排列叫做選排列，W時(shí)的排列叫做全排列；

()為了使寫出的所有排列情況既不重復(fù)也不遺漏，最好采用“數(shù)形圖”或“字典排序

法

為了研究問題的方便，我們給出下面概念及符號(hào)：

一般地，我們把從個(gè)不同元素中取出(W)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不

同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)A：；表示.

思考：()“排列”與“排列數(shù)”有何區(qū)別與聯(lián)系？()運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理或枚

舉法(字典排序或數(shù)形圖)，我們可以求出排列數(shù).試求及A：.

.數(shù)學(xué)運(yùn)用

例分析下列問題，那些是求排列數(shù)問題？

()有本不同的書，從中選本送給名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？

()有種不同的書，要買本送給名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？

()用，，，，這個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

()用，，，，這個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

()從，，，四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做加法，其不同結(jié)果有多少種？

()從，，，四個(gè)數(shù)字中，任選兩個(gè)做除法，其不同結(jié)果有多少種？

答案：()是；()不是：()不是；()是；()不是：()不是.

拓展：求出上面問題的答案.

答案:0；0；()；()；。；().

.課堂總結(jié)

()排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”，二是“按照一定順序排列”，

這里的“一定順序”就是指與位置有關(guān)，這也是判斷一個(gè)問題是不是排列問題的重

要標(biāo)志.

()當(dāng)元素較少時(shí)，可以根據(jù)排列的意義列出所有的排列(枚舉法中的字典排序法與樹形

圖).

()思考：那么怎樣更快的寫出排列數(shù)呢？

.布置作業(yè)

.排列(二)

一、教學(xué)目標(biāo)

.掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會(huì)“化歸”的數(shù)學(xué)思想；

.初步掌握應(yīng)用排列數(shù)公式進(jìn)行一些簡單的排列數(shù)的計(jì)算、證明與化簡.

二、教學(xué)重點(diǎn)

排列數(shù)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.

三、教學(xué)難點(diǎn)

排列數(shù)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.

四、教學(xué)過程

.復(fù)習(xí)回顧與問題引入

在上一節(jié)課，我們認(rèn)識(shí)了排列、排列數(shù)的概念，…

下面，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算如下排列數(shù)：AtAj,A；,A；,A；,…，

并由此歸納猜想：一般地A；?

.學(xué)生活動(dòng)

A；,A；,A：,A；,.

另外，排列可以看作是分步完成的，以為例.

第1位第2位

故A；X

一般地，有

第1位第2位

nw-1

故A；=〃x(〃-1)

更一般地，有

第1位第2位第3位,第加位

—t~~t~L-4—I—

nn-in~2n~m+i

故A：=〃x(〃-1)x(〃-2)x…x(〃一〃?+1).

.數(shù)學(xué)理論

O根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，我們得到排列數(shù)公式

A：=nx(n-1)x(n-2)x■■■x(n-m+1)

其中，e*,且W.

()個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列.在排列數(shù)公式中，

當(dāng)時(shí)，即有

A"=〃x("一1)x(〃-2)x…x3x2*1

A：稱為的階乘()，通常用!表示，即

A：=nl

()概念剖析

①排列數(shù)公式的特點(diǎn)：第一個(gè)因數(shù)是，后面每一個(gè)因數(shù)比它前面一個(gè)因數(shù)少，最后一個(gè)因數(shù)

是-，共有個(gè)因數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，即個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列.全排列數(shù)為：

A"=〃x(〃-1)x(〃-2)x…x3x2x1=”!(叫做的階乘)；

③公式的變形：

=〃*(〃-1)x(〃-2)x…x(〃一根+1)

_nx(n-l)x---x2xl_”！

(/?-/n)x(H-/n-1)x???x2x1(/?-m)!

規(guī)定：！，其中W.

.數(shù)學(xué)運(yùn)用

例計(jì)算：（）A：0；（）一?答案：（）；（）?

人2

例若A：=17xl6xl5x-.x5x4,則，.答案:，.

例若右*,且＜＜，則（55—〃）（56—〃）…（68—”）（69-〃）用排列數(shù)符號(hào)表示為？答

案：.

例人站在一排照相，共有多少種不同的站法？答案：A；=5040.

例某年全國足球甲級(jí)聯(lián)賽共有隊(duì)參加，每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場分別比賽一次，

共進(jìn)行多少場比賽？答案：.

例四支足球隊(duì)爭奪冠、亞軍，不同的結(jié)果有多少種？答案：種.

例從參加乒乓球團(tuán)體比賽的名運(yùn)動(dòng)員中選出名進(jìn)行某場比賽，并排定他們的出場順序,

有多少種不同的方法？答案：種.

例從種蔬菜品種中選出種，分別種植在不同土質(zhì)的塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，有多少種不同

的種植方法？答案：種.

例解方程：3A：=28+1+6A＞答案：x=5.

例解不等式：崗〉6崗一2.答案：{,,,,}.

例求證：（）A；=A；1A鬻；=…（2〃一1）.

2"?n!

例化簡：（）-+~+-+---+^；（）Ixl!+2x2!+3x3!+---+nxn!.

2!3!4!〃！

答案：（）1一工；0（n+l）!-l.

〃！

.課堂小結(jié)

（）解含排列數(shù)的方程或不等式時(shí)要注意排列數(shù)4：中，，e*,且w這些限制條件，要注

意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍；

（）公式=〃乂（〃-1）乂（“一2）乂一乂（〃一〃2+1）常用來求值，特別是，均為已知時(shí)，

公式A：=-J,常用來證明和化簡.

（n-m）!

.布置作業(yè)

排列（三）

一、教學(xué)目標(biāo)

,熟練掌握排列數(shù)公式;

.能運(yùn)用排列數(shù)公式解決一些簡單的應(yīng)用問題，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)分析問題的方法，提高解決

問題的能力.

二、教學(xué)重點(diǎn)

常見的排列數(shù)公式應(yīng)用問題的解題策略.

三、教學(xué)難點(diǎn)

排列數(shù)公式應(yīng)用的切入點(diǎn)分析.

四、教學(xué)過程

.復(fù)習(xí)回顧與問題引入

前面我們認(rèn)識(shí)了分類加法原理與分步乘法原理以及從個(gè)不同元素取出（W）個(gè)不同

元素的排列數(shù)，運(yùn)用這些知識(shí)方法可以較好的解決一些計(jì)數(shù)問題.

這節(jié)課，主要通過一些計(jì)數(shù)問題的思考來體會(huì)其中的方法及訓(xùn)練思維.

.數(shù)學(xué)運(yùn)用

思考一：（課本頁例）用到這個(gè)數(shù)字能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解法：直接法（優(yōu)先考慮特殊位置）

由于百位上的數(shù)字不能是，因此，為了得到這個(gè)三位數(shù)，

第一步：先排百位上的數(shù)字，它可從到這個(gè)數(shù)字中任選個(gè)，有4種選法.

第二步：再排十位和個(gè)位上的數(shù)字，是從余下的個(gè)數(shù)字中任選個(gè)的一個(gè)排列，

有A；種選法.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是

4?/XX.

解法：直接法（優(yōu)先考慮特殊元素）

由于是一個(gè)特殊元素，因此可先排這個(gè)特殊元素.符合條件的三位數(shù)可以

分為類：

第一類：每一位數(shù)字都不是的三位數(shù)有個(gè)；

第二類：十位數(shù)字是的三位數(shù)有蜀個(gè)：

第三類：個(gè)位數(shù)字是的三位數(shù)有A；個(gè).

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A；.

解法：間接法（先求排列總數(shù)，然后去掉不符合條件的，間接求得答案）

從到這個(gè)數(shù)字中任取個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為Af0,其中在首位的排列數(shù)為,

這些排列不能構(gòu)成三位數(shù)，因此，所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是:

—A；.

答可以組成個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).

同步練習(xí)一：

（）位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

答案：種.

（）位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

答案:種.

說明：對(duì)于“在”與“不在”的問題，常常使用“直接法”或“排除法”，“直接法”中

對(duì)某些特殊元素可以優(yōu)先考慮.

思考二：位同學(xué)站成一排.（）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種？。甲、乙不

能相鄰的排法共有多少種？（）甲、乙兩同學(xué)必須相鄰，而且丙不能站在排頭

和排尾的排法有多少種？

解：（）相鄰問題可以采用“捆綁法”，但要注意捆綁在一起的元素也要排序！

答案:種；

（）不相鄰問題可以采用“排除法”或“插空隙法”，前者是一種間接法，后者是一

種直接法；

答案：種；

O可以按“位置的特殊性”或“元素的特殊性”進(jìn)行特殊考慮.

答案：種.

同步練習(xí)二：

（）張同排連號(hào)的電影票，分給名教師與名學(xué)生，若要求師生相間而坐，則不同

的分法有多少種？（答案：2A；用）

（）某商場中有個(gè)展架排成一排，展示臺(tái)不同的電視機(jī)，其中甲廠臺(tái)，乙廠臺(tái)，丙廠臺(tái)，

若要求同廠的產(chǎn)品分別集中，且甲廠產(chǎn)品不放兩端，則不同的陳列方式有多少種？

（答案：）

思考三：（）七個(gè)人站成一排，其中甲在乙前（不一定相鄰），乙在丙前，則共有多少種

不同的站法？。個(gè)人坐在圓桌上吃飯，共有多少種不同的坐法？（圓排列問

題）

解：（）這類部分元素有先后順序的問題可以用如下的兩種方法處理：

①整體除法原理.答案用+A；種；②逐步插空法.答案種.

（）這是圓排列問題，我們可以以某個(gè)元素為參照物把它轉(zhuǎn)化為排列問題，即規(guī)定在

這個(gè)元素左邊相鄰的一個(gè)元素為排頭，在該元素右邊相鄰的一個(gè)元素為排尾，

也就是讓該元素定下位置（無論在哪個(gè)位置都一樣），再讓其余個(gè)元素站成排成

一排，排頭的在該元素左邊，其余元素依次確定.這樣，把個(gè)元素放在圓周上

無編號(hào)的個(gè)位置上的問題，我們稱之為個(gè)元素的圓排列問題，其圓排列種數(shù)為

A"”

4一1,

.課堂小結(jié)

基本的解題方法：()有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常通常是先排特殊元素

或特殊位置，稱為優(yōu)先法；()某些元素要求必須相鄰時(shí).，可以先將這些元素看作一個(gè)元

素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱為“捆綁法”；()某

些元素不相鄰排列時(shí)，可以先排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空擋，這種方法稱

為“插空隙”法.

排列問題解法相當(dāng)靈活，一般可采用直接和間接兩種思維形式，用多種方法思考不

僅可以提升思維能力，還可以檢驗(yàn)答案.

.布置作業(yè)

.組合(一)

一、教學(xué)目標(biāo)

.正確理解組合與組合數(shù)的概念；

.弄清組合與排列之間的關(guān)系；

.會(huì)做組合數(shù)的簡單運(yùn)算.

二、教學(xué)重點(diǎn)

.組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系；

.組合數(shù)公式的推導(dǎo).

三、教學(xué)難點(diǎn)

組合數(shù)公式的推導(dǎo).

四、教學(xué)過程

.設(shè)置情境

前面我們研究的排列問題，許多計(jì)數(shù)問題可歸結(jié)為排列問題來處理.

思考下面兩個(gè)問題：

問題一：有本不同的書，

()取出本，分給甲、乙、丙三人，每人一本，有幾種不同的分法？()

()取出本給甲，有幾種不同的取法？()

問題二：從甲、乙、丙名同學(xué)中選出名，

()分別去參加某天的上、下午活動(dòng)，有多少種不同的選法？

()去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？

分析：兩個(gè)問題的第()問都涉及順序，而第()問都沒有順序.前者是排列問題，后

者就是今天要研究的組合問題.

.數(shù)學(xué)理論

組合：一般地，從個(gè)不同元素中取出(W)個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素

的一個(gè)組合.

思考：排列和組合有什么區(qū)別與聯(lián)系？

區(qū)別：對(duì)于從個(gè)不同元素中所取出個(gè)元素，排列還要“把所取元素按照一定的順序

排成一列”，而組合卻是“把所取元素并成一組無順序要求”.

聯(lián)系：排列可以看成由兩步來完成的事情：第一步：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的

一個(gè)組合；第二步：把所取的個(gè)元素排成一列（個(gè)元素的全排列）.

.學(xué)生活動(dòng)一一概念對(duì)比研究，加深印象

排列：一般地，從個(gè)不同的元素中取出（W）個(gè)元素（注意：所取元素必須不相同）,

按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列（）.

組合：-一般地，從個(gè)不同元素中取出（W）個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取

出個(gè)元素的一個(gè)組合.

共同點(diǎn)：都是與“從個(gè)不同元素中任取個(gè)元素”有關(guān)的.

不同點(diǎn)：對(duì)于從個(gè)不同元素中所取出個(gè)元素，排列還要“把所取元素按照一定的順

序排成一列”，而組合卻是“把所取元素并成一組無順序要求”.

聯(lián)系：排列可以看成由兩步來完成的事情：第一步：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的

一個(gè)組合；第二步：把所取的個(gè)元素排成一列（個(gè)元素的全排列）.

.數(shù)學(xué)理論

組合數(shù)：從個(gè)不同元素中取出（W）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元

素的組合數(shù).記作：C；.

注意：c：是一個(gè)數(shù)，應(yīng)該與組合區(qū)分清楚.

.數(shù)學(xué)理論：如何求組合數(shù)C："?

簡單的，可以用列舉法，如：

范例：（）寫出從，，三個(gè)元素中取出兩個(gè)元素的所有組合.（C；=3）

（）寫出從，，，四個(gè)元素中取出兩個(gè)元素的所有組合.（C：=6）

（）寫出從，，，四個(gè)元素中取出三個(gè)元素的所有組合.（C：=4）

一般地，如何求呢？（嘗試用組合與排列的聯(lián)系來思考）

一般地，求從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù)，可以分為以下步：

第步，先求出從這個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)C：.

第步，求每一個(gè)組合中個(gè)元素的全排列數(shù)A；：；.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到：A：=C：?.

.,n_A：_n（n-l）（n-2）---（n-m+l）

..cr”——?

勺；ml

這里，e*,W,這個(gè)公式就叫做組合數(shù)公式.

又因?yàn)?；二——，所以，上面的組合數(shù)公式還可以寫成=----------,

（n-m）!/n!（n-m）!

IJ!

特別地，當(dāng)時(shí)，=——=1,即=1,同理：C：=1.

.數(shù)學(xué)運(yùn)用

例求（）G；（）（答案：（）；（）?）

117

例已知1—一-=-求（答案：）

c：eg10C；

例求證（答案：略）

n-m

例解不等式〉3C『.（答案：或）

例下列問題是排列問題還是組合問題，請(qǐng)用排列數(shù)或組合數(shù)表示其結(jié)果.

（）某鐵路線上有個(gè)車站，則這條鐵路線上共需多少種不同的車票？

排列問題，A；；

（）某鐵路線上有個(gè)車站，則這條鐵路線上共有多少種不同的票價(jià)（相連兩站來去

票價(jià)一樣）？

組合問題，C；.

（）集合則集合含有個(gè)元素的子集有多少個(gè)？

組合問題，C：.

（）從,，，中任取兩個(gè)數(shù)相加，可得多少個(gè)不同的和？

組合問題：C]

（）從,，，中任取兩個(gè)數(shù)相除，可得多少個(gè)不同的商？

既不是排列數(shù)問題也不是組合數(shù)問題，可用分步計(jì)數(shù)原理解決（需刪除部分

相同的商值）.

.課堂小結(jié)

組合只取元素，排列既取元素又排順序：排列問題可看成先取元素，后排順序.

組合數(shù)公式的推導(dǎo)過程.

.布置作業(yè)

組合（二）

一、教學(xué)目標(biāo)

.理解排列數(shù)與組合數(shù)的異同；

.熟練進(jìn)行組合數(shù)的運(yùn)算、化簡；

.能利用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)簡化計(jì)算.

二、教學(xué)重點(diǎn)

.組合數(shù)公式與排列數(shù)公式的區(qū)別與聯(lián)系；

.組合數(shù)公式的兩個(gè)性質(zhì).

三、教學(xué)難點(diǎn)

組合數(shù)公式的兩個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用.

四、教學(xué)過程

.復(fù)習(xí)與引入

上節(jié)課，我們認(rèn)識(shí)了組合的意義，并注意到排列與組合的聯(lián)系：對(duì)于從個(gè)不同元素

中取出個(gè)不同元素的排列可分兩步來做：第一步：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組

合；第二步：把所取的個(gè)元素按一定順序排成一列（個(gè)元素的全排列）.

正是運(yùn)用該聯(lián)系，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理我們得到組合數(shù)的計(jì)算公式：

r,nA：n（n-l）（n-2）---（n-m+l）

.學(xué)生活動(dòng)

練習(xí)：（）計(jì)算G3G3（）比較c腎與c；oo的大小.

答案：o%,c；；o大小相等.

思考一：為何上面兩個(gè)不同的組合數(shù)其結(jié)果相同？這一結(jié)果的組合的意義是什么？

.數(shù)學(xué)理論

一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素后，剩下一個(gè)元素，因?yàn)閺膫€(gè)不同元素中

取出個(gè)不同元素的每一個(gè)組合，與剩下的-個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從個(gè)不

同元素中取出個(gè)不同元素的組合數(shù)，等于從這個(gè)元素中取出

-個(gè)元素的組合數(shù).即

mcn-m

Cn=C“

這就是我們今天學(xué)習(xí)的組合數(shù)的第一個(gè)性質(zhì).

性質(zhì)的證明：C；；=---=------------------=C；"'.

/”!（〃―/”）?。ā耙唬保?[〃_（〃_/"）]!

.學(xué)生活動(dòng)

練習(xí)：（）計(jì)算：或.（答案：）

（）已知：c；；=C祟,求.（答案：或）

o已知：c：=c：,求Go.（答案：）

.學(xué)生活動(dòng)

思考：一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的個(gè)白球和個(gè)黑球.

（）從口袋內(nèi)取出個(gè)球，共有多少種取法？（C：）

（）從口袋內(nèi)取出個(gè)球，使其中含有個(gè)黑球，有多少種取法？（C；C；=C；）

（）從口袋內(nèi)取出個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？（C?

.數(shù)學(xué)理論

組合數(shù)的第二個(gè)性質(zhì)：c：;=C；：+.（證明略）

.學(xué)生活動(dòng)

練習(xí)：（）計(jì)算+C篇；（原式=C器=G%=166650）

（）若C"一C；=C；,則；（）

（）+Cg+…+=；（）

（）計(jì)算c：+c；+c；+…+c]=.o

.數(shù)學(xué)運(yùn)用

例在件產(chǎn)品中，有件合格品，件不合格品.從這件產(chǎn)品中任意抽出件.

（）一共有多少種不同的抽法？

（）抽出的件中恰好有件是不合格品的抽法有多少種？

（）抽出的件中至少有件是不合格品的抽法有多少種？

（）抽出的件中至多有件是不合格品的抽法有多少種？

.課堂小結(jié)

（）組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)；

。解組合應(yīng)用題的一般思路.

.組合（三）

一、教學(xué)目標(biāo)

.進(jìn)一步理解組合的意義，區(qū)分排列與組合；

.熟練進(jìn)行組合數(shù)的運(yùn)算與排列數(shù)的運(yùn)算；

.熟練運(yùn)用排列與組合，解決一些簡單的應(yīng)用題.

二、教學(xué)重點(diǎn)

對(duì)計(jì)數(shù)問題進(jìn)行清晰分類，合理分步.

三、教學(xué)難點(diǎn)

對(duì)計(jì)數(shù)問題進(jìn)行清晰分類，合理分步.

四、教學(xué)過程

.引入

在計(jì)數(shù)問題中，重點(diǎn)要做到“分類清晰，分步合理”，那么問題將“迎刃而解”.

.思考一

有個(gè)工人，按下列條件，各有多少種分法？

（）分配到個(gè)不同的車間，每車間人；

（）分為組，每組人；

（）分為組，一組人，一組人，一組人；

（）分配到個(gè)不同的車間，一車間人，一車間人，一車間人；

（）分配到個(gè)不同的車間，每車間至少人.

答案：（）；（）;（）;（）;（）.

.思考二

現(xiàn)有個(gè)不同的白球和個(gè)不同的黑球，從中取個(gè)，至少有個(gè)黑球的概率是多少？

選取至少兩個(gè)黑球?yàn)閏；G：，這樣做對(duì)嗎？如果不對(duì)，錯(cuò)在那里？

.思考三

你會(huì)求方程項(xiàng)+/+…+匕=1。有多少組正整數(shù)解嗎？

這個(gè)問題等價(jià)于：（）要從個(gè)班中選出個(gè)人參加數(shù)學(xué)競賽，每個(gè)班至少一個(gè)

人，這個(gè)名額有多少種分配方案？（）當(dāng)然，這個(gè)問題還可以等價(jià)于：把個(gè)球放入個(gè)不

同的盒子，每個(gè)盒子中至少放一個(gè)球，至少有多少種放法？

答案：種.

.隨堂練習(xí)

o今欲從,，，，，，這七個(gè)數(shù)中選取兩數(shù)，使其和為偶數(shù)，問共有幾種選法？（答案：）

o（江西）將個(gè)（含甲、乙）人平均分成組，甲、乙分在同一組，則不同分組方法的種

數(shù)為多少種？（答案：）

o某段馬路上有盞路燈，為了節(jié)約用電，現(xiàn)關(guān)掉其中的盞，但要求關(guān)掉的盞不能相鄰，

且不在馬路的兩段，那么關(guān)燈的不同方案共有多少種？（答案：種）

（）學(xué)校準(zhǔn)備把個(gè)三好學(xué)生的名額分給高二個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，則有多少種不同的

分配方案？（答案：種）

.課堂小結(jié)

解決一個(gè)排列組合題首先必須分清它是排列問題還是組合問題；其次，分析求解過

程要注意掌握處理排列與組合的基本思想：即按元素的性質(zhì)分類或按事件發(fā)生過程分

步.另外，對(duì)于同一個(gè)問題應(yīng)從多個(gè)角度去思考，一題多解，這樣既可以防止重復(fù)與遺

漏問題，又可提高分析問題、解決問題的能力.

?計(jì)數(shù)應(yīng)用題（一）

一、教學(xué)目標(biāo)

.體會(huì)分類、分步在計(jì)數(shù)中的重要作用；

.會(huì)解相鄰、不相鄰、定序問題；

.學(xué)會(huì)解含限制條件的計(jì)數(shù)問題，正面分類、分步較困難時(shí)會(huì)用排它法.

二、教學(xué)重點(diǎn)

應(yīng)用計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用題時(shí)，明確是排列問題還是組合問題.

三、教學(xué)難點(diǎn)

正確對(duì)排列組合問題進(jìn)行恰當(dāng)分類，合理分步.

四、教學(xué)過程

.正確進(jìn)行合理分步、分類，區(qū)分排列、組合

■在直角坐標(biāo)系平面上，平行直線（，，，…，）與平行直線

（）組成的圖形中，矩形共有多少個(gè)？

解：每個(gè)矩形對(duì)應(yīng)于兩條水平直線與兩條豎直直線，故共有個(gè).

解題回顧：每個(gè)矩形對(duì)應(yīng)于兩條橫線與兩條豎線，分兩步分別確定橫線與豎線，從條橫

（豎）線上選條，兩橫（豎）線無需排序，是組合問題.

.相鄰、不相鄰、定序問題

■某車隊(duì)有輛車，現(xiàn)要調(diào)出輛按一定順序去執(zhí)行任務(wù)，要求甲、乙必須參加，且甲車要在

乙車前開出，那么有多少種不同的調(diào)度方法？

思路分析：本題要選排分開，先選再排.甲在乙之前（未必相鄰）是固定次序問題，只

要定下位置不需排序，或者考慮到甲與乙換位后每兩種排法中有一種滿足條

件.

解法一：先選定車輛有種，在個(gè)位置中排定其余兩輛車，剩下兩位置按甲前乙后

安排，有種，故共有種.

解法二：不考慮甲、乙的次序有種，考慮各種方法中按甲、乙交換次序配對(duì),

每對(duì)恰有一種符合要求，故共有+種.

■有名男生、名女生排成一排，問下列情形各有多少種不同的排法？

()甲不在正中間也不在兩端；

()甲、乙兩人必須排在兩端；

()男、女生分別排在一起；

()男、女生相間；

()甲、乙、丙三人按從左到右順序排(不一定相鄰).

解：()先排甲，再排其余人，有種；

()先將甲乙捆綁，再排序，有A；.A；種；

()將男、女生分別看成整體有種；

()男生排，，，位，女生排,，位，有"?用種；

O假設(shè)有個(gè)位置，讓其余人排好，剩三個(gè)位置甲、乙、丙依次從左向右順序排入，

有種.

.直接、間接法解含限制條件的計(jì)數(shù)問題

■從名男生和名女生中選出人參加某個(gè)座談會(huì)，若這人中必須既有男生又

有女生，則不同的選法共有多少種？

解法一：分類：

O男女，有種；

()男女,有c—c；種；

()男女，有種；

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有種.

解法二：先不考慮''既有男生又有女生”的限制，共有種，再去掉其中只有男生的

種數(shù)種(本題中不可能只有女生).共有-種.

解題回顧：若從人任選人，列一張表，看看選出的學(xué)生中男女生分配情況：共有類，滿

足條件的有類，而不滿足條件的只有類，可見用排除法較簡潔.

男生人

女生人

.隨堂練習(xí)

()有名男司機(jī)、名女司機(jī)，現(xiàn)派名男司機(jī)、名女司機(jī)出發(fā)到五個(gè)不同的地區(qū)去，不同的

分配方案種數(shù)有多少種？（C；?）

O名教師分配到所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少名教師，則不同的分配方案共有多少種？（）

（）在由數(shù)字，，，，組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的位數(shù)中，大于且小于的數(shù)共有多少個(gè)？（個(gè)）

（）讓名男生和名女生站成一排，其中任何兩名女生不能相鄰，則共有多少種不同的排法？

（種）

（）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸跳動(dòng)，每次向正方向或負(fù)方向跳個(gè)單位，經(jīng)

過次跳動(dòng)質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)（，）（允許重復(fù)過此點(diǎn)）處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動(dòng)方法共有多少

種？