李亞普諾夫穩(wěn)定性分析和二次型最佳控制

5.6.3二次型最優(yōu)控制問題現(xiàn)在我們來研究最優(yōu)控制問題。已知系統(tǒng)方程為 (5.20)確定最優(yōu)控制向量 (5.21)的矩陣K，使得性能指標(biāo)(5.22)達(dá)到極小。式中Q是正定（或正半定）Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，R是正定Hermite或?qū)嵒驅(qū)崒ΨQ矩陣。注意，式(5.22）右邊的第二項(xiàng)是考慮到控制信號的能量損耗而引進(jìn)的。矩陣Q和R確定了誤差和能量損耗的相對重要性。在此，假設(shè)控制向量是不受約束的。正如下面講到的，由式(5.21）給出的線性控制律是最優(yōu)控制律。所以，若能確定矩陣K中的未知元素，使得性能指標(biāo)達(dá)極小，則對任意初始狀態(tài)x(0)而言均是最優(yōu)的。圖5.6所示為該最優(yōu)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)方塊圖。圖5.6最優(yōu)控制系統(tǒng)現(xiàn)求解最優(yōu)控制問題。將式(5.21）代入式(5.20），可得在以下推導(dǎo)過程中，假設(shè)是穩(wěn)定矩陣，的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。將式(5.21）代入（5.22），可得依照解參數(shù)最優(yōu)化問題時的討論，取式中的P是正定的Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣。于是比較上式兩端，并注意到方程對任意x均應(yīng)成立，這就要求 (5.23)根據(jù)Lyapunov第二法可知，如果是穩(wěn)定矩陣，則必存在一個滿足式(5.23）的正定矩陣P。因此，該方法由式(5.23）確定P的各元素，并檢驗(yàn)其是否為正定的（注意，這里可能不止一個矩陣P滿足該方程。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則總存在一個正定的矩陣P滿足該方程。這就意味著，如果我們解此方程并能找到一個正定矩陣P，該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。滿足該方程的其他矩陣P不是正定的，必須丟棄）。性能指標(biāo)可計算為由于假設(shè)A-BK的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，所以。因此 (5.24)于是，性能指標(biāo)J可根據(jù)初始條件x(0)和P求得。為求二次型最優(yōu)控制問題的解，可按下列步驟操作：由于所設(shè)的A是正定Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣，可將其寫為式中T是非奇異矩陣。于是，式(5.23）可寫為上式也可寫為求J對K的極小值，即求下式對K的極小值(見例5.21)。由于上面的表達(dá)式不為負(fù)值，所以只有當(dāng)其為零，即當(dāng)時，才存在極小值。因此 (5.25)式(5.25）給出了最優(yōu)矩陣K。所以，當(dāng)二次型最優(yōu)控制問題的性能指標(biāo)由式(5.22）定義時，其最優(yōu)控制律是線性的，并由給出。式(5.25）中的矩陣P必須滿足式(5.23），即滿足下列退化方程 (5.26)式(5.26）稱為退化矩陣?yán)杩ㄌ岱匠蹋湓O(shè)計步驟如下：1、求解退化矩陣?yán)杩ㄌ崾?5.26），以求出矩陣P。如果存在正定矩陣P（某些系統(tǒng)可能沒有正定矩陣P），那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即矩陣是穩(wěn)定矩陣。2、將矩陣P代入式(5.25），求得的矩陣K就是最優(yōu)矩陣。例5.9是建立在這種方法基礎(chǔ)上的設(shè)計例子。注意。如果矩陣是穩(wěn)定的，則此方法總能給出正確的結(jié)果。 確定最優(yōu)反饋增益矩陣K還有另一種方法，其設(shè)計步驟如下：1、由作為K的函數(shù)的式(5.23）中確定矩陣P。2、將矩陣P代入式(5.24）,于是性能指標(biāo)成為K的一個函數(shù)。3、確定K的各元素，使得性能指標(biāo)為極小。這可通過令等于零，并解出的最優(yōu)值來實(shí)現(xiàn)J對K各元素為極小。這種設(shè)計方法的詳細(xì)說明見例5.11和5.12。當(dāng)元素的數(shù)目較多時，該方法很不便。如果性能指標(biāo)由輸出向量的形式給出，而不是由狀態(tài)向量的形式給出，即則可用輸出方程來修正性能指標(biāo)，使得J為(5.29)且仍可用本節(jié)介紹的設(shè)計步驟來求最優(yōu)矩陣K。[例5.9]研究如圖5.7所示的系統(tǒng)。假設(shè)控制信號為試確定最優(yōu)反饋增益矩陣K，使得下列性能指標(biāo)達(dá)到極小式中由圖5.7可看出，被控對象的狀態(tài)方程為式中圖5.7控制系統(tǒng)以下說明退化矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程如何應(yīng)用于最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計。求解(5.26），將其重寫為注意到A為實(shí)矩陣，Q為實(shí)對稱矩陣，P為實(shí)對稱矩陣。因此，上式可寫為該方程可簡化為由上式可得到下面3個方程將這3個方程聯(lián)立，解出、、，且要求P為正定的，可得參照式(5.25）,最優(yōu)反饋增益矩陣K為因此，最優(yōu)控制信號為 (5.28)注意，由式(5.28）給出的控制律對任意初始狀態(tài)在給定的性能指標(biāo)下都能得出最優(yōu)結(jié)果。圖5.8是該系統(tǒng)的方塊圖。圖5.8圖5.7所示對象的最優(yōu)控制5.7二次型最優(yōu)控制問題的MATLAB解法在MATLAB中，命令可解連續(xù)時間的線性二次型調(diào)節(jié)器問題，并可解與其有關(guān)的黎卡提方程。該命令可計算最優(yōu)反饋增益矩陣K，并且產(chǎn)生使性能指標(biāo)。在約束方程條件下達(dá)到極小的反饋控制律另一個命令也可計算相關(guān)的矩陣?yán)杩ㄌ岱匠痰奈ㄒ徽ń釶。如果為穩(wěn)定矩陣，則總存在這樣的正定矩陣。利用這個命令能求閉環(huán)極點(diǎn)或的特征值。對于某些系統(tǒng)，無論選擇什么樣的K，都不能使為穩(wěn)定矩陣。在此情況下。這個矩陣?yán)杩ㄌ岱匠滩淮嬖谡ň仃嚒Υ饲闆r，命令不能求解，詳見MATLABPrgram5.1。MATLABProgram5.1%——Designofquadraticoptimalregulatorsystem——%*****DeterminationoffeedbackgainmatrixKforquadratic%optimalcontrol*****%*****EnterstatematrixAandcontrolmatrixB*****A=[-11;02]B=[1;0];%*****EntermatricesQandRofthequadraticperformance%index*****Q=[10;01];R=[1];%*****Toobtainoptimalfeedbackgainmatrix,K,enterthe%followingcommand*****K=lqr(A,B,Q,R)Warning:Matrixissingulartoworkingprecision.K=NaNNaN%*****lfweenterthecommand[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R).then*****[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)Warning;Matrixissingulartoworkingprecision.K=NaNNaNP=-lnf-lnf-lnf-lnfE=-2.0000-1.4142[例5.10]考慮由下式確定的系統(tǒng)證明：無論選擇什么樣矩陣K，該系統(tǒng)都不可能通過狀態(tài)反饋控制來穩(wěn)定（注意，該系統(tǒng)是狀態(tài)不可控的）。定義則因此特征方程為閉環(huán)極點(diǎn)為由于極點(diǎn)在s的右半平面，所以無論選擇什么樣的矩陣K，該系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的。因此，二次型最優(yōu)控制方法不能用于該系統(tǒng)。假設(shè)在二次型性能指標(biāo)中的Q和R為并且寫出MATLABProgam5.1。所得的MATLAB解為其中NaN表示“不是一個數(shù)”。每當(dāng)二次型最優(yōu)控制問題問題的解不存在時，MATLAB將顯示矩陣K由NaN組成。[例5.11]考慮下式定義的系統(tǒng)式中性能指標(biāo)J為 這里假設(shè)采用下列控制u確定最優(yōu)反饋增益矩陣K。最優(yōu)反饋增益矩陣K可通過求解下列關(guān)于正定矩陣P的黎卡提方程得到其結(jié)果為將該矩陣P代人下列方程，即可求得最可求得最優(yōu)矩陣K為因此，最優(yōu)控制信號為利用MATLABProgram5.2也能求解該問題。MATLABProgram5.2%——Designofquadraticoptimalregulatorsystem%*****DeterminationoffeedbackgainmatrixKforquadratic%optimalcontrol*****%*****EnterstatematrixAandcontrolmatrixB*****A=[01;0-1];B=[0;1];%*****EntermatricesQandRofthequadraticperformance%index*****Q=[10;01];R=[1];%TheoptimnalfeedbckgainmatrixK(ifsuchmatrixK%exists)canbeobtainedbyenteringthefollowingcommand*****K=lqr(A,B,Q,R)K=1.00001.0000[例5.12]考慮下列系統(tǒng)式中性能指標(biāo)J為式中求黎卡提方程的正定矩陣R、最優(yōu)反饋增益矩陣K和矩陣A-BK的特征值。 利用MATLABProgram5.3，可求解該問題。MATLABProgram5.3%Designofquadraticoptimalregulatorsystem%*****DeterminationoffeedbackgainmatrixKforquadratic*****EnterstatematrixAandcontrolmatrixB*****A=[00;001;-35-27-9];B-[0;0;1]%******EntermatricesQandRofthequadraticperformance%index*****Q=[100;010;001];R=[1];%******TheoptimalfeedbackgainmatrixK,solutionPofRiccati%equation,andclosed-looppoles(thatis,theeigenvalues%ofA-BK)canbeobtainedbyenteringthefollowing%command*****[K,P,E]=[qr(A,B,Q,R)]K=0.01430.11070.0676P=4.26252.49570.01432.49572.81500.11070.01430.11070.0676E=-5.0958-0.9859+1.7110I-1.9859-1.7110i[例5.13]考慮與例12.7中討論的相同的系統(tǒng)。該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為式中假設(shè)控制信號u為如圖3.9所示。在確定最優(yōu)控制律時，假設(shè)輸入為零，即r=0。確定狀態(tài)反饋增益矩陣K（），使得性能指標(biāo)達(dá)到極小。這里為了得到快速響應(yīng)，與、和R相比必須充分大。在該例中，選取為了利用MATLAB求解，可使用命令由MATLABProgram5.14，可得到該例題的解。MATLABProgram5.4%Designofquadraticoptimalcontrolsystem——%*****WeshalldeterminetheoptimalfeedbackgainmatrixKthat%minimizestheperformanceindexJ*****A=[010;001;0-2-3];B=[0;0;1]%*****EntermatricesQandRofthequadraticperformance%indexJ*****Q=[10000;010;001];R=[0,01];%*****ToobtaintheoptimalstatefeedbackgainmatrixK,%enterthefollowingcommand*****K=lqr(A,B,Q,R)k=100.000053.120011.6711k1=K(1),k2=K(2),k3=k(3)k1=100.0000k2=53.1200k3=11.6711采用確定的矩陣K來研究所設(shè)計的系統(tǒng)對階躍輸入的響應(yīng)特性。所設(shè)計的系統(tǒng)的狀態(tài)方程為輸出方程為為求對單位階躍輸入的響應(yīng)，使用下列命令式中MATLABProgram5.5可求出該系統(tǒng)對單位階躍的響應(yīng)。圖5.10畫出了輸出y對時間t的響應(yīng)曲線，圖5.11在同一張圖上畫出了,和對t的響應(yīng)曲線。 MATLABProgram5.5%Unit-stepresponseofdesignedsystem——%*****Usingtheoptimalfeedbackgainmatrixkdeterminedin%MATLABProgram5.4,weshallobtaintheunit-stepresponse%ofthedesignedsystem*****%*****NotethatmatricesA,B,andKaregivenastollows*****A=[010;001;0-2-3];B=[0;0;1]K=[100.000053.120011.6711];K1=K(1);k2=K(2);k3=K(3);%*****Thestateequationforthedesignedsystemis%xdot=(A-BK)x+Bk1randtheoutputequationis%y=Cx+Du,wherematricesCandDaregivenby******C=[100];D=[0];%*****Definethestatematrix,controlmatrix,outputmatrix,%anddirecttransmissionmatrixofthedesignedsystemsasAA,%BB,CC,andDD*****AA=A-B*K;BB=B*k1;CC=C;DD=D;%*****Toobtaintheunit-stepresponsecurvesforthefirsteight%seconds,enterthefollowingcommand*****t=0:0.01:8;[y,x,t]=step[AA,BB,CC,DD,l,t);%*****Toplottheunit-stepresponsecurvey(=xl)versust,%enterthefollowingcommand*****plot(t,y)gridtitle(‘Unit-StepResponseofQuadraticOptimalControlSystem’)ylabel(‘Outputy=xl’)%*****Toplotcurvesx1,x2,x3versustononediagram,enter%thefollowingcommand*****plot(t,x)gridtitle(‘ResponseCurvesx1,x2,x3,versust’)xlabel(‘tSec’)ylabel(‘x1,x2,x3’)text(2.6,1.35,’x1’)text(1.2,1.5,’x2’)text(0.6,3.5,’x3’)圖5.10二次型最優(yōu)控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖5.11,和對t的響應(yīng)曲線下面總結(jié)線性二次型最優(yōu)控制問題的MATLAB解法。 (1)給定任意初始條件x(t0)，最優(yōu)控制問題就是找到一個容許的控制向量u(t)，使?fàn)顟B(tài)轉(zhuǎn)移到所期望的狀態(tài)空間區(qū)域上，使性能指標(biāo)達(dá)到極小。為了使最優(yōu)控制向量u(t)存在，系統(tǒng)必須是狀態(tài)完全可控的。 (2)