2018年-2022年浙江高中數(shù)學(xué)高考真題五年合集

2018年一2022年浙江高中數(shù)學(xué)高考真題五年合集

2022年浙江高中數(shù)學(xué)高考試卷與答案

2021年浙江高中數(shù)學(xué)高考試卷與答案

2020年浙江高中數(shù)學(xué)局考試卷與答案

2019年浙江高中數(shù)學(xué)段考試卷與答案

2018年浙江高中數(shù)學(xué)段考試卷與答案

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(浙江卷)

數(shù)學(xué)

姓名準(zhǔn)考證號(hào)

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁(yè)，選擇題部分1至3頁(yè)；非選

擇題部分3至4頁(yè).滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

考生注意：

1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別

填寫(xiě)在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.

2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范

作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效.

參考公式：

如果事件A,B互斥，則柱體的體積公式

P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh

如果事件A,B相互獨(dú)立，則其中S表示柱體的底面積，/7表示柱體的

高

P(AB)=尸(A)?P(B)錐體的體積公式

若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，則”次V=-Sh

3

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生左次的概率其中S表示錐體的底面積，/7表示錐

體的高

kk

Pn(k)=C^p(l-py~(k=0,l,2,,n)球的表面積公式

臺(tái)體的體積公式S=4;收

V=J啊+$2,球的體積公式

4Q

其中S”S2表示臺(tái)體的上、下底面積，V=

6表示臺(tái)體的高其中R表示球的半徑

選擇題部分（共40分）

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合/={1,2},3={2,4,6},則AD5=（）

A.{2}B.{1,2}C.[2,4,6}D.

[1,2,4,6）

2.已知a1eR,a+3i=（0+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.a=l,b=-3B,Q=-1,Z?=3C.a=—l,b=-3D.

a=l,b=3

x-2>0,

3.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件2x+y-7K0,則z=3x+4y的最大值是（）

x-y-2<0,

A20B.18C.13D.6

4.設(shè)xwR,則“sinx=l”是"cosx=0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充

分也不必要條件

5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是

俯視圖

2216

A.22兀B.8九C.----71D.—71

33

6.為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin3x+g圖象上所有的點(diǎn)

()

ITTT

A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

TT7T

C.向左平移百個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移百個(gè)單位長(zhǎng)度

a3b

7.已知2"=5,log83=6,則4~=（）

255

A.25B.5C.—D.一

93

8.如圖，已知正三棱柱ABC—AB]G，AC=A4,E,尸分別是棱3cAG上的點(diǎn).記

石尸與A4所成的角為a,石產(chǎn)與平面ABC所成的角為￡,二面角E——A的平面

角為/,則（）

A.a</3<yB./3<a<yC.(3<y<aD.

a<y</3

9.已知a力eR,若對(duì)任意xeR,a|龍一b|+1x—41-12尤一50,則()

A.a<l,b>3B.a<l,b<3C.a>l,b>3D.

a>l,b<3

10.已知數(shù)列｛a“｝滿足/=l,a“+i=a〃—ga；(neN*),則()

557

A.2<IO。％。。<—B.—<loo4。。<3C.3<100〃]QQ<—D.

7

-<100tzI00<4

非選擇題部分（共UO分）

二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，共36分.

11.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為

三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是

%2+以2/丫

其中a,b,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)

、2)

某三角形的三邊a=s/2,b=y/3,c=2,則該三角形的面積S=.

12已知多項(xiàng)式(X+2)(x—1)4=a。+qx+，則％=

,q+a?+/+&+%=

13.若3sin。一sin尸=A/10,a+B=%,則sino=,cos2/3=

-%?+2,%V1,

14.已知函數(shù)/(%)=<1、、若當(dāng)xe[a,b]時(shí),

XH----1,X>1,

X

1</(%)<3,則a的最大值是.

15.現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張,

記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為則P(J=2)=,E?)=.

22人

16.已知雙曲線二-馬=1(。>0/>0)的左焦點(diǎn)為R過(guò)尸且斜率為.的直線交雙曲線于

a-b-4。

點(diǎn)A(X],y),交雙曲線的漸近線于點(diǎn)3(%,%)且西<。<々-若|"|=3|/%|,則雙曲

線的離心率是.

17.設(shè)點(diǎn)尸在單位圓的內(nèi)接正八邊形AAA的邊A4上，則？A；+P42+.+P茂的

取值范圍是_______.

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

3

18.在一ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=6c,cosC=《.

(1)求sin求的值;

(2)若=求一ABC面積.

19.如圖，已知ABCD和CD￡尸都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,

DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角F—OC—3的平面角為60°.設(shè)

M,N分別為AE,3c的中點(diǎn).

E

(1)證明：FNLAD；

(2)求直線與平面ADE所成角的正弦值.

20.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)q=-1,公差d>l.記｛4｝的前〃項(xiàng)和為S"("wN*).

(1)若S4—2a2a3+6=0,求S“；

(2)若對(duì)于每個(gè)〃eN*，存在實(shí)數(shù)c“，使4+c〃,a“+i+4c〃,a〃+2+15g成等比數(shù)列，求

d的取值范圍.

21.如圖，已知橢圓.+y2=i.設(shè)A,B是橢圓上異于尸(0,1)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在

線段AB上，直線尸APB分別交直線y=—gx+3于C,。兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)尸到橢圓上點(diǎn)距離的最大值;

(2)求|。。|的最小值.

A

22.設(shè)函數(shù)/(%)=--l-lnx(x>0).

2x

(1)求〃x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知a/eR,曲線y=/(x)上不同三點(diǎn)(%,(尤2，/(九2))，(九3，/(尤3))處

的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,方).證明:

(i)若a〉e,則0<b—f(a)<g

2e—〃112e-a

(ii)若0<a<e,再</<￡，則%+F十一<,一~

（注：e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(浙江卷)

數(shù)學(xué)

姓名準(zhǔn)考證號(hào)

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁(yè)，選擇題部分1至3頁(yè)；非選

擇題部分3至4頁(yè).滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

考生注意：

1.答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別

填寫(xiě)在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.

2.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范

作答，在本試題卷上的作答一律無(wú)效.

參考公式：

如果事件A,B互斥，則柱體的體積公式

P(A+B)=P(A)+P(B)V=Sh

如果事件A,8相互獨(dú)立，則其中S表示柱體的底面積，〃表示柱體的

高

P(AB)=尸(A)?P(B)錐體的體積公式

若事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，則〃次V=-Sh

3

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生上次的概率其中S表示錐體的底面積，丸表示錐

體的高

P"(k)=C：pkQ—pyT(k=0,l,2,,“)球的表面積公式

臺(tái)體的體積公式5=4萬(wàn)尺2

球的體積公式

43

其中S],S2表示臺(tái)體的上、下底面積，V=-TTR)

3

/?表示臺(tái)體的高其中R表示球的半徑

選擇題部分(共40分)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={1,2},3={2,4,6},則AD5=()

A.{2}B.{1,2}C.[2,4,6}D.

[1,2,4,6)

【答案】D

【解析】

【分析】利用并集的定義可得正確的選項(xiàng).

【詳解】A_B={1,2,4,6},

故選：D.

2.已知a,beR,a+3i=（0+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.a—l,b——3B.a——l,b—3C.a=—l,b=—3D.

a=l,b—3

【答案】B

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)相等的條件可求。力.

【詳解】a+3i=-l+bi,而。力為實(shí)數(shù)，故a=-1力=3,

故選：B.

x-2>0,

3.若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件2x+y-7W0,則z=3尤+4y的最大值是（）

x-y-2<Q,

A.20B.18C.13D.6

【答案】B

【解析】

【分析】在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域，平移動(dòng)直線z=3x+4y后可求最大值.

【詳解】不等式組對(duì)應(yīng)的可行域如圖所示：

x=2,、

可得.，故4(2,3),

U=3

故Zmax=3x2+4x3=18,

故選：B.

4.設(shè)xeR,則“sinx=l”是"cos尤=0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C,充分必要條件D.既不充

分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解.

【詳解】因?yàn)閟in2x+cos2%=l可得：

當(dāng)sinx=l時(shí)，cosx=0,充分性成立；

當(dāng)cosx=0時(shí)，sinx=±l,必要性不成立；

所以當(dāng)xeR,sinx=l是cosx=0的充分不必要條件.

故選：A.

5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）是

他視圖

16

D.——71

3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體可知，原幾何體是一個(gè)半球，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓臺(tái)組合成

的幾何體，即可根據(jù)球，圓柱，圓臺(tái)的體積公式求出.

【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)半球，一個(gè)圓柱，一個(gè)圓臺(tái)組合成的幾何體，球

的半徑，圓柱的底面半徑，圓臺(tái)的上底面半徑都為1cm,圓臺(tái)的下底面半徑為2cm,所

以該幾何體的體積

14Q91/99/-----;-------r\22?！?/p>

V=—X—71X1+71X1X2H---x2x［兀x2+71X1+-y71X2X71X1I------CHI'.

233\/3

故選：c.

6.為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin[3x+g]圖象上所有的點(diǎn)

()

A.向左平移1IT■個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移1J■T個(gè)單位長(zhǎng)度

TT7T

C.向左平移卷個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移告?zhèn)€單位長(zhǎng)度

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出.

【詳解】因?yàn)閥=2sin3x=2sin,所以把函數(shù)y=2sin[3x+g1圖象

TT

上的所有點(diǎn)向右平移百個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到函數(shù)V=2sin3尤的圖象.

故選：D.

7.已知2"=5,log83=6,則()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，幕的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)?“=5，^=log83=1log23,即23A=3,所以

半_(2"1_5?_25

2-

~43b一心3葉"39,

故選：c.

8.如圖，已知正三棱柱ABC—4301,40=44,E,尸分別是棱3cAG上的點(diǎn).記

所與AA］所成的角為a,ER與平面ABC所成的角為￡,二面角尸―6C—A的平面

角為/，貝I（）

A.a</3<yB./3<a<yC./3<y<aD.

a<y<13

【答案】A

【解析】

【分析】先用幾何法表示出a，B，Y，再根據(jù)邊長(zhǎng)關(guān)系即可比較大小.

【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)p作EPLAC于P,過(guò)P作PM,3c于連接PE,

則tz=N￡FP,/3=4FEP,y=FMP,

PFPFFPABFPFP

tan?=—=—<1,tan/?=—=—>1,tan/=-^->—=tan/7,

FPABPEPEPMPE

所以

故選：A.

9.已知a,beR,若對(duì)任意無(wú)eR,a|%—6+1%—41一124—5120,則()

Aa<l,b>3B.a<l,b<3C.a>l,b>3D.

a>l,b<3

【答案】D

【解析】

【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為“l(fā)x-b以2x—5|—|x—4],再結(jié)合畫(huà)圖求解.

【詳解】由題意有：對(duì)任意的xeR,有-b因2x—5|—|x—4甘亙成立.

1-%,%<—

2

^f(x)=a\x-b\,g(x)=|2x-5|-|x-4|=<3x—9,一<l<4,

2

x-l,x>4

即/（X）的圖象恒在g（x）的上方（可重合），如下圖所示:

10.已知數(shù)列｛%｝滿足，則()

557

A.2<100〃］go<5B.—<IOC)。］。。<3C.3<lOO。］。?！狣.

7

—<lOOaloo<4

【答案】B

【解析】

【分析】先通過(guò)遞推關(guān)系式確定｛4｝除去外,其他項(xiàng)都在(0,1)范圍內(nèi)，再利用遞推公式

111111,C、

變形得到---------->7,累加可求出一>工("+2),得出100%00<3,再利用

aa3a3

n+ln-n43

1111If.1}

累加可求出

an+ian3-an?33(n+lj

〃+2

111/八If11O5

-----1<鼻(1一1)+&K+鼻++一>再次放縮可得出]0Oq()o

2

【詳解】易得出=§依次類推可得

???4=1,e(0,1),anG(0,1)

(_]_]1_3111

由題意，%[1鏟〃)即%?！?3-。〃)。:3-《

1111

—二------〉一，

4+1an3/3

1111111------>](〃22)

即---------------------->-，

?4?3>3,

Cl?^2^13^^3^^2an-l3

累加可得‘一1〉:("-1),即'>:(〃+2),(〃22),

a?3a?3

.3

??〈,(n>2),即％oo〈1，100a<<3,

〃〃+2100

1___1_11_1

；1+^—,(n>2)

又%+i43-%33-§n+1

n+2

11]_1+|>

3ci^a23^^4^^33

J___1_j_

<1+-,(〃23),

anan-l3n

1.1/八111

累加可得----1<-(/7-1)+-—+-+i

a“3323+n

1-c”111111

.?.------1<33+--+—++—<33+--x4+-x94<39,

〃10032399J31326J

即<40,/.Go。>—,即100q00>—；

q。。0040

綜上：—<100<2100<3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

非選擇題部分(共U0分)

二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，共36分.

11.我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為

“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就是

其中a,b,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)

某三角形的三邊a=y/2,b=j3,c=2,則該三角形的面積S=

【答案】叵.

4

【解析】

【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出.

1(22_A2V

【詳解】因?yàn)镾=,-c2a2—￡__,所以

VL12〃

故答案為：叵

4

12.已知多項(xiàng)式(％+2)(%-1)4=旬++,則%=

,a1+a?+%+%+%=?

【答案】①.8②.-2

【解析】

【分析】第一空利用二項(xiàng)式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令x=0求出。0,再令

x=l即可得出答案.

【詳解】含妙項(xiàng)為：x?C，x?(-l)3+2-C1x2.(_1)2=^^2+]2%2=8%2,故

。2=8;

令X=0,即2=%,

令X=19即0=%+%+%+〃3+%+'5'

a[+4+%+%+%=—2，

故答案為：8；-2.

13.若351口。一5畝，=^/1^,。+，=5,則sin°=,cos2/3-.

【答案】①.當(dāng)何②.-

105

【解析】

【分析】先通過(guò)誘導(dǎo)公式變形，得到a的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)成正弦型

函數(shù)方程，可求出e,接下來(lái)再求少.

【詳解】cr+/?=^,/.sin[3=cosa,即3sincr—cosa=JI3，

即可嚕sina—吟cosj3,令sin。嚕,cos"嚕,

JT

則A/IUsin(。一。)=:.a-9=%+兀,keZ,即a=8H-----F2kji,

2

；.sina=sin/e+271+2br)=cose=^^，

210

則cos2/3=2cos之萬(wàn)一1=2sin2a-14

故答案為：呼；I

2

-x+2,x<1,/、

則//II

14.已知函數(shù)/(%)=<1??；若當(dāng)不￡[〃,句時(shí),

XH-----1,X>1,7

X

l</(x)<3,則6—a的最大值是

【答案】①.—②.3+6##G+3

28

【解析】

【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出。的最小值，。的最大值即可.

【詳解】由已知/(g)=—[g]+2=：心Th啜，

37

所以

小(；)]28

當(dāng)xWl時(shí)，由l</(x)<3可得1<—爐+2<3,所以—IWXWI,

當(dāng)x>l時(shí)，由l</(x)W3可得lVx+工—1V3,所以1<X<2+G，

X

l</(x)<3等價(jià)于—1<%<2+若，所以［見(jiàn)句=［—1,2+百］,

所以6—a的最大值為3+&.

37

故答案為：—,3+6

15.現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，

記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為2則P（&=2）=,石（/=.

【答案】?.—,②.—##1-

3577

【解析】

【分析】利用古典概型概率公式求產(chǎn)但=2）,由條件求J分布列，再由期望公式求其期望.

【詳解】從寫(xiě)有數(shù)字122,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有C；種取法，其中所抽取的卡

片上的數(shù)字的最小值為2的取法有C；+種，所以PC=2）=C.；C=!|

由已知可得J的取值有1,2,3,4,

PC=1)=4="，P(^=2)=—,

C；3535

,上=3)=!|=2，上=4)=/=1

,15c16c3“112

所以EC）lx—+2x—+3x——+4x—

353535357

“收山二1612

故答案為：—，一■

357

22〃

16.已知雙曲線二-1=1（。>0,6>0）的左焦點(diǎn)為尸，過(guò)尸且斜率為——的直線交雙曲線于

a2b~4。

點(diǎn)A（X，X）,交雙曲線的漸近線于點(diǎn)3（無(wú)2，%）且看<0<々-若I尸3|=3|E4|,則雙曲

線的離心率是

【答案］巫

4

【解析】

b

【分析】聯(lián)立直線A3和漸近線，2：y=—X方程，可求出點(diǎn)B,再根據(jù)|尸3|=3|況4|可求

a

得點(diǎn)A,最后根據(jù)點(diǎn)A在雙曲線上，即可解出離心率.

bbb

【詳解】過(guò)尸且斜率為一的直線A3:y=—(%+c),漸近線小丁二一x，

4〃4〃a

b

y=—(x+c)

4a得小岑］，由I陽(yáng)=3|E4|,得/千事］

聯(lián)立

bV33a)99aJ

y=-x

a

而點(diǎn)A在雙曲線上，于是坐—上三=1,解得：4=—;所以離心率e=￡5.

81a281a2//244

故答案為：巫.

.7.?,7

17.設(shè)點(diǎn)p在單位圓的內(nèi)接正八邊形444的邊44上，則24；+?4+.+?質(zhì)的

取值范圍是.

【答案】［12+20,16］

【解析】

【分析】根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征，分別以圓心為原點(diǎn)，4A所在直線為了軸，A4所

在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，即可求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y),再根據(jù)平面向量

模的坐標(biāo)計(jì)算公式即可得到++PA8=8(%2+/)+8,然后利用

cos22.5W|OP|V1即可解出.

【詳解】以圓心為原點(diǎn)，44所在直線為x軸，AA所在直線為，軸建立平面直角坐標(biāo)

系，如圖所示:

q1,A（o,一i）,A

A（0,1）,A,A（1,0）,4T廠爭(zhēng)AT。），

[ZZ）

,（V2y/2},-2.2

4——,設(shè)P（x,y）,于是PA+PA2++PA&=8（x?+y?）+8,

因?yàn)閏os22.5<|OP|<1,所以;Wj+Vwi,故p4；+p4；++正式的取

值范圍是口2+20J6].

故答案為：[12+272,16].

三、解答題：本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟.

3

18.在_ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=行c,cosC=《.

（1）求sin求的值;

（2）若》=11,求一ABC的面積.

【答案】（1）—；

5

（2）22.

【解析】

【分析】（1）先由平方關(guān)系求出sinC,再根據(jù)正弦定理即可解出；

2,72_2

（2）根據(jù)余弦定理的推論cosC="'以及4a=J5c可解出。,即可由三角形面

2ab

積公式S=labsinC求出面積.

2

【小問(wèn)1詳解】

34r-

由于cosC=g,O<C<71,則sinC二因?yàn)?〃=,c

由正弦定理知4sinA=、/5sinC,則sinA=sinC=

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?〃=由余弦定理，得

tz2+121-16a211-—2

5=____L2'

cosC==

lab22a2a5

4

即。2+6。一55=0，解得a=5，而sinC=1，Z?=ll,

114

所以ABC的面積S=—absinC=—x5xllx—=22.

225

19.如圖，已知ABCD和CD所都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,

DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,二面角尸—OC—3的平面角為60°.設(shè)

M,N分別為AE,5c的中點(diǎn).

(1)證明：FNLAD；

(2)求直線與平面ADE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)

14

【解析】

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)E、。分別做直線DC、的垂線EG、并分別交于點(diǎn)G、

H,由平面知識(shí)易得/C=3。，再根據(jù)二面角的定義可知，ZBCF=60，由此可知,

FNA.BC,FN1CD,從而可證得F7VL平面A3CD,即得FNLAD；

(2)由(1)可知F7V，平面A3CD,過(guò)點(diǎn)N做A3平行線NK,所以可以以點(diǎn)N為原

點(diǎn)，NK,NB、Nb所在直線分別為*軸、,軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-孫z,求

出平面ADE的一個(gè)法向量，以及BM，即可利用線面角的向量公式解出.

【小問(wèn)1詳解】

過(guò)點(diǎn)E、D分別做直線。C、A3的垂線EG、并分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)G、H.

?.?四邊形ABCD和EFCD都是直角梯形，

AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60°,由平面幾何知

識(shí)易知，DG=AH=2,NEFC=NDCF=NDCB=XABC=90。,則四邊形石尸CG和

四邊形。CB8是矩形，，在Rt.EGD和RJQH4，EG=DH=2^3,

VDC±CF,DC±CB,且BcCB=C,

...QCL平面BCRNBC尸是二面角尸—DC—3的平面角，則/8。尸=60，

△BCF是正三角形，由。Cu平面ABC。，得平面A3CD，平面BCT,

：N是的中點(diǎn)，,又OCJL平面5。尸，F(xiàn)Nu平面3C尸，可得

FN1CD,而5CcCD=C,；.FNL平面ABCD,而ADu平面

ABCD:.FN±AD.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)镕N_L平面A3cD,過(guò)點(diǎn)N做A3平行線NK,所以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,NB、

NF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-孫z,

(Gg、

設(shè)4(5,73,0),B(0,y/3,0),D(3,-A/3,0),E(l,0,3),則M3,^-

27

BM=3,--,-,AD=(—2,—2君,0),DE=(—2,點(diǎn)3)

I22)

設(shè)平面ADE的法向量為n=(x,y,z)

n-AD=0\-2x-2^3y=0

由，得「取〃=(后T揚(yáng)，

n-DE=0[-2x+y/3y+3z=0

設(shè)直線BM與平面ADE所成角為0,

573_5A/7

sine=gs〈〃,5M〉|=扁疝

行.2百—14

20.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)1=-1,公差d>l.記｛4｝的前"項(xiàng)和為S”(〃eN*).

(1)若S4—2a2%+6=0,求S”；

(2)若對(duì)于每個(gè)“eN*，存在實(shí)數(shù)c?,使4+%,4+1+4c?,an+2+15c?成等比數(shù)列，求

d取值范圍.

3"？一5n

【答案】(1)Sn=2(neN*)

(2)l<d<2

【解析】

【分析】(1)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前〃項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)條件，求出d,再求S"；

(2)由等比數(shù)列定義列方程，結(jié)合一元二次方程有解的條件求d的范圍.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)開(kāi)2“2%+6=0,4Z1=—1,

所以T+6d—2(—l+d)(—l+2d)+6=0,

所以if—3d=0,又d>l,

所以d=3,

所以%=3〃—4,

所以S必力=3

"22

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)?+%，%+1+4?！?，4+2+15。,成等比數(shù)列，

所以(4+i+4cJ?=(4+%)(4+2+15g),

(nd—1+4c“=(—1+nd—d+c“)(—1+nd+d+15c”)，

2

c：+(14J-Snd+8)cn+d=0,

由已知方程C；+(14J-8nd+8)c?+/=0的判別式大于等于0,

所以A=(14d-8m7+8)2-4筋20,

所以(16d—8/以+8)(122—8加+8)?0對(duì)于任意的〃eN*恒成立，

所以[(〃—2)d—1][(2〃—3)d—2]之0對(duì)于任意的〃eN*恒成立，

當(dāng)〃=1時(shí)，[("2)d—l][(2〃—3)d—2]=(d+l)(d+2”0,

當(dāng)九=2時(shí),由(2d—2d—1)(42—3d—2)20,可得dW2

當(dāng)〃23時(shí)，[(“—2)d—1][(2〃一3)d—2]>5—3)(2〃-5)>0,

又d>l

所以l<dW2

21.如圖，已知橢圓.+/=1.設(shè)A,8是橢圓上異于尸(0,1)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在

線段A3上，直線尸AP6分別交直線y=—gx+3于C,。兩點(diǎn).

(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

(2)求ICDI的最小值.

【答案】(1)坦叵；

11

⑵

5

【解析】

【分析】(1)設(shè)Q(2百cose,sin。)是橢圓上任意一點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出

\PQ\2,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出；

(2)設(shè)直線46:y=Ax+；與橢圓方程聯(lián)立可得為々,％+々，再將直線

y=-」x+3方程與PA、的方程分別聯(lián)立，可解得點(diǎn)C。的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的

2

距離公式求出|CD|,最后代入化簡(jiǎn)可得|CD|=哼.，瞿；1,由柯西不等式即可求出

最小值.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)2(273cos0,sin6?)是橢圓上任意一點(diǎn)，尸(。,D,則

(1y144144

|PQp=12cos2+(1-sin6>)2=13-11sin2-2sin6?=-11sin+—+—<—

,當(dāng)且僅當(dāng)sin。=-工時(shí)取等號(hào)，故|PQ|的最大值是兇I.

1111

【小問(wèn)2詳解】

ir2

設(shè)直線4?:y=Ax+-，直線A3方程與橢圓二+V=1聯(lián)立，可得

Vi—1]

因?yàn)橹本€「4：丁=」一x+l與直線y=——x+3交于C,

七2

4x4x4x,4X7

貝同王里口XJJ——.貝

U~=D

人」cX1+2%—2(2左+1)X]—]，|J」同，x2+2y2-2(2^+l)x2-l

4玉4X2

(2k+l)x,-l(2k+l)x2-l

=2J5______________________=2J5___________-一々______________

2

[(2左+l)%i-1][(2左+1)々一1](2^+1)X1X2-(2A;+1)(X1+x2)+1

3小J16/+16A/5,16k2+1，話+16君jH'+lxl16后,

-----.----------=-----.----------*------〉-----x------------=---

2|3左+1|5|34+1—5|3左+1|5

當(dāng)且僅當(dāng)左=得時(shí)取等號(hào)，故|CD|的最小值為半.

【點(diǎn)睛】本題主要考查最值計(jì)算，第一間利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質(zhì)較好

解決，第二問(wèn)思路簡(jiǎn)單，運(yùn)算量較大，求最值的過(guò)程中還使用到柯西不等式求最值，對(duì)學(xué)

生的綜合能力要求較高，屬于較難題.

e

22.設(shè)函數(shù)/(尤)=---l-lnx(x>0).

2x

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知wR,曲線>=/(%)上不同三點(diǎn)(％1，/(%1)),(%2，/(%2))，(％3，/(%3))處

的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(心切.證明：

(1)若〃〉《,則(a)<——1]；

2e—〃112e—〃

(ii)若0<a<e,玉<%3，則[+$.2<丁+一<]--,

(注：e=2.71828,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【答案】⑴"X)的減區(qū)間為,,增區(qū)間為+8)

(2)(i)見(jiàn)解析；(ii)見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.

(2)(i)由題設(shè)構(gòu)造關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，根據(jù)方程有3個(gè)不同的解可證明不等式成

立，(ii)k=±，m=q<l,則題設(shè)不等式可轉(zhuǎn)化為

占e

2-m+12)

tl+t.-2--<-----3——r一2,結(jié)合零點(diǎn)滿足的方程進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

m36〃z(%+4)

(m-l)(m-13}(m~-m+12)

lnm+-——-——----------L<o,利用導(dǎo)數(shù)可證該不等式成立.

72(m+l)

【小問(wèn)1詳解】

12x-e

+—=

X~2^

當(dāng)Occ],7,x)<0；當(dāng)x>*1,

故/(X)的減區(qū)間為,5,7(%)的增區(qū)間為

【小問(wèn)2詳解】

(i)因?yàn)檫^(guò)(。3)有三條不同