2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.4.1直線的方向向量與平面的法向量課后素養(yǎng)落實(shí)含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(二十五)直線的方向向量與平面的法向量(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．已知非零向量a，b，c分別為平面α，β，γ的法向量，且a∥b，b⊥c，則α與γ的位置關(guān)系是()A．垂直B．平行C．相交D．重合A[由已知得a⊥c，故選A．]2．若eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，2，3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－1，3，4)，則以下向量中，能成為平面OAB的法向量的是()A．(1，7，5) B．(1，－7，5)C．(－1，－7，5) D．(1，－7，－5)C[經(jīng)檢驗(yàn)，只有向量(－1，－7，5)分別與eq\o(OA,\s\up7(→))、eq\o(OB,\s\up7(→))垂直，故選C．]3．已知平面α內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)M(1，－1，2)，平面α的一個(gè)法向量是n＝(2，－1，2)，則下列點(diǎn)P中，在平面α內(nèi)的是()A．P(2，3，3) B．P(－2，0，1)C．P(－4，4，0) D．P(3，－3，4)A[由題意知：點(diǎn)P在平面α內(nèi)?eq\o(MP,\s\up7(→))⊥n?eq\o(MP,\s\up7(→))·n＝0，經(jīng)檢驗(yàn)選項(xiàng)A符合題意．]4．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，則下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1，1，1) B．(1，－1，1)C．(1，1，1) D．(1，1，－1)C[設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，))化簡(jiǎn)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,－x＋z＝0，))∴x＝y(tǒng)＝z．]5．已知直線l的一個(gè)方向向量m＝(2，－1，3)，且直線l過A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點(diǎn)，則y－z等于()A．0B．1C．eq\f(3,2)D．3A[∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－1，2－y，z－3)，∵直線l的一個(gè)方向向量為m＝(2，－1，3)，故設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝km．∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k．解得k＝－eq\f(1,2)，y＝z＝eq\f(3,2)．∴y－z＝0．]二、填空題6．若n是坐標(biāo)平面xOy的一個(gè)法向量，則n的坐標(biāo)可以表示為________．[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，z))，其中z≠07．如圖所示，正四棱錐S-ABCD中，O為底面中心，則平面SBD的法向量與eq\o(AD,\s\up7(→))的夾角等于________．45°[∵正四棱錐底面為正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC，又∵BD∩SO＝O，∴AC⊥平面SBD．∴eq\o(AC,\s\up7(→))為平面SBD的一個(gè)法向量．∴〈eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))〉＝45°．]8．下列命題：①直線l的方向向量為a＝(1，－1，2)，直線m的方向向量b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－\f(1,2)))，則l與m垂直；②直線l的方向向量a＝(0，1，－1)，平面α的法向量n＝(1，－1，－1)，則l⊥α；③平面α，β的法向量分別為n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，則α∥β；④平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，則u＋t＝1．其中為真命題的是________(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)．①④[對(duì)于①，∵a＝(1，－1，2)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，1，－\f(1,2)))，∴a·b＝1×2－1×1＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，∴a⊥b，∴直線l與m垂直，①正確；對(duì)于②，a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，∴a⊥n，∴l(xiāng)∥α或l?α，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1與n2不共線，∴α∥β不成立，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，∵點(diǎn)A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－1，1，1)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝(－1，1，0)．∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(BC,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋u＋t＝0，,－1＋u＝0，))則u＋t＝1，④正確．綜上，真命題的序號(hào)是①④．]三、解答題9．如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形且PD＝AD，E、F分別是PC、PB的中點(diǎn)．(1)試以F為起點(diǎn)作直線DE的一個(gè)方向向量；(2)試以F為起點(diǎn)作平面PBC的一個(gè)法向量．[解](1)取AD的中點(diǎn)M，連接MF，連接EF，∵E、F分別是PC、PB的中點(diǎn)，∴EF＝eq\f(1,2)BC，又BC＝AD，∴EF＝eq\f(1,2)AD，則由EF＝DM知四邊形DEFM是平行四邊形，∴MF∥DE，∴eq\o(FM,\s\up7(→))就是直線DE的一個(gè)方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，∵DE?平面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E為PC中點(diǎn)，∴DE⊥PC，從而DE⊥平面PBC，∴eq\o(DE,\s\up7(→))是平面PBC的一個(gè)法向量，由(1)可知eq\o(FM,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))，∴eq\o(FM,\s\up7(→))就是平面PBC的一個(gè)法向量．10．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB＝AP＝1，AD＝eq\r(3)，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面ACE的一個(gè)法向量．[解]因?yàn)镻A⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直．如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(AB,\s\up7(→))的方向?yàn)閤軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，eq\r(3)，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，B(1，0，0)，C(1，eq\r(3)，0)，于是eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1，eq\r(3)，0)．設(shè)n＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AC,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AE,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)y＝0，,\f(\r(3),2)y＋\f(1,2)z＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)y，,z＝－\r(3)y，))令y＝－1，則x＝z＝eq\r(3)．所以平面ACE的一個(gè)法向量為n＝(eq\r(3)，－1，eq\r(3))．11．若直線l的方向向量為a＝(1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，0，－4)，則()A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交B[∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，∴n＝－2a，即a∥n，∴l(xiāng)⊥α．]12．直線l的方向向量為a，eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))是平行于平面α內(nèi)兩個(gè)不共線向量，下列關(guān)系中能推出l∥α的是()A．a(chǎn)＝eq\o(OA,\s\up7(→)) B．a(chǎn)＝keq\o(OB,\s\up7(→))C．a(chǎn)＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→)) D．以上均不能D[A、B、C均表示l∥α或l?α．]13．(多選題)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，以下向量可以作為平面ABC法向量的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))B．eq\o(AA1,\s\up7(→))C．eq\o(B1B,\s\up7(→))D．eq\o(A1C1,\s\up7(→))BC[∵AA1⊥平面ABC，B1B⊥平面ABC，∴eq\o(AA1,\s\up7(→))與eq\o(B1B,\s\up7(→))可以作為平面ABC的法向量．]14．(一題兩空)如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M為SO中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓錐底面內(nèi)(包括圓周)．若AM⊥MP，則點(diǎn)P形成的軌跡長度為________，點(diǎn)S與P距離的最小值是________．eq\f(\r(7),2)eq\f(\r(57),4)[由題意可知，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則A(0，－1，0)，B(0，1，0)，S(0，0，eq\r(3))，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(\r(3),2)))，設(shè)P(x，y，0)，則eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(\r(3),2)))，eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y，－\f(\r(3),2)))，由eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(MP,\s\up7(→))＝0得y＝eq\f(3,4)，∴點(diǎn)P的軌跡方程為y＝eq\f(3,4)．依據(jù)圓的弦長公式，可得點(diǎn)P形成的軌跡長度為2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(7),2)．由SP＝eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))\s\up12(2)＋(－\r(3)))2知，當(dāng)x＝0時(shí)，點(diǎn)S與P距離的最小，其最小值為eq\f(\r(57),4)．]15．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(4，2，0)，eq\o(AP,\s\up7(→))＝(－1，2，－1)．(1)求證：PA⊥底面ABCD；(2)求四棱錐P-ABCD的體積；(3)對(duì)于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定義一種運(yùn)算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1，試計(jì)算(eq\o(AB,\s\up7(→))×eq\o(AD,\s\up7(→)))·eq\o(AP,\s\up7(→))的肯定值的值；說明其與四棱錐P-ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算(eq\o(AB,\s\up7(→))×eq\o(AD,\s\up7(→)))·eq\o(AP,\s\up7(→))的肯定值的幾何意義．[解](1)證明：∵eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB．又∵eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝－4＋4＋0＝0，∴AP⊥AD．∵AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，∴AP⊥底面ABCD．(2)設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AD,\s\up7(→))的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AD,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|·|\o(AD,\s\up7(→))|)＝eq\f(8－2,\r(4＋1＋16)·\r(16＋4))＝eq\f(3,\r(105))，V＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up7(→))|·|eq\o(AD,\s\up7(→))