高等數(shù)學課件 D8-5多元函數(shù)的極值

第五節(jié)一、二元函數(shù)的極值二、最值應用問題多元函數(shù)的極值一、多元函數(shù)的極值

定義:

若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如:在點(0,0)有極小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明:

使偏導數(shù)都為0的點稱為駐點

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值

但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在故機動目錄上頁下頁返回結(jié)束時,具有極值定理2

(充分條件)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),且令則:1)當A<0時取極大值;A>0時取極小值.2)當3)當證明略.

時,沒有極值.時,不能確定,需另行討論.若函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.討論函數(shù)及是否取得極值.解:

顯然(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為極小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束二、最值應用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達到最值

最值可疑點駐點邊界上的最值點特別,當區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.解:設水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應存在,的有蓋長方體水問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:

設折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達到,而在域D內(nèi)只有一個駐點,故此點即為所求.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步利用充分條件判別駐點是否為極值點.如對二元函數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二步判別?比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實際意義確定最值第