福建省漳州市十校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含答案

福建省漳州市十校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．直線的傾斜角為（

）A．0° B．45° C．90° D．不存在2．等比數(shù)列中，，，則（

）A．4 B．8 C．16 D．323．?dāng)?shù)列an滿足，則（

）A．1 B．2 C．4 D．84．若方程表示圓，則（

）A．1 B． C． D．或15．若圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程是()A． B． C． D．6．已知一小球從地面豎直向上射出到10m高度后落下，每次著地后又彈回到前一次高度的處，則該小球第6次落地時(shí)，經(jīng)過的路程為（

）A． B． C． D．7．已知曲線，是曲線上一動點(diǎn)，則（

）A．曲線圍成的圖形有4條對稱軸 B．曲線圍成的圖形的周長為C．的最大值為5 D．曲線上任意兩點(diǎn)間的距離不大于48．曲線上存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，則以下不可能成為公比的數(shù)是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知兩直線與，則（

）A．直線過定點(diǎn) B．直線在軸上的截距為1C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，與之間的距離為10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為11．已知，圓，點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，且點(diǎn)為線段AP的中點(diǎn)，則（

）A．的取值范圍為 B．點(diǎn)的軌跡方程為C．直線AP的斜率的最大值為 D．當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為三、填空題12．等差數(shù)列中，，，則．13．已知點(diǎn)P，Q在直線上，且P，Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均小于或等于2，則的最大值為．14．對于任意給定的一個正整數(shù)，將分母小于或等于的既約（最簡）真分?jǐn)?shù)按照自左至右遞增排列，并在第一個分?jǐn)?shù)之前加上，在最后一個分?jǐn)?shù)之后加上，該數(shù)列稱為階Farey數(shù)列，記為，其項(xiàng)數(shù)記為，各項(xiàng)的和記為．如下，給出，，…，，在中，有，．

，

，，

，，，，

，，，，，，

，，，，，，，，，，已知，則，．四、解答題15．已知的頂點(diǎn)為，，．(1)求邊上的高所在直線的方程；(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)A，且B，C兩點(diǎn)到直線l的距離相等，求直線l的方程．16．已知圓C經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心C在直線上．(1)求過點(diǎn)A，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線m的方程；(2)求圓C的方程．17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且，．(1)求與；(2)記集合，，若將中所有元素從小到大依次排列成一個新的數(shù)列，為前n項(xiàng)和．（i）求；（ii）求滿足的最小正整數(shù)的值．18．過原點(diǎn)O的直線l與圓交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)．(1)過點(diǎn)P作圓C的切線m，求切線m的方程；(2)求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；(3)設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．19．已知半圓，圓，作圓與半圓，圓，軸均相切，點(diǎn)，且．(1)求的周長；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)證明：對任意正整數(shù)．參考答案：題號12345678910答案CDCADDBDACACD題號11答案ABD1．C【分析】由直線傾斜角的定義即可得解.【詳解】直線與軸垂直，所以直線的傾斜角為90°.故選：C.2．D【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由，可得：即，又，所以，由，可得：，故選：D3．C【分析】按照數(shù)列的遞推定義即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列an滿足，所以.故選：C.4．A【分析】根據(jù)圓的一般式方程，建立方程，分別檢驗(yàn)方程的解，可得答案.【詳解】由題意可得，化簡可得，則，解得或，當(dāng)時(shí)，可得方程，整理可得，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，可得，整理可得，符合題意.故選：A.5．D【分析】由題意化圓C為標(biāo)準(zhǔn)方程，由兩圓位置關(guān)系得兩圓相交，直線l是兩圓的公共弦所在的直線，故把兩圓的方程相減可得直線l的方程．【詳解】由題圓C：,則兩圓心距為，故兩圓相交由于圓O：與圓C：關(guān)于直線l對稱，則直線l是兩圓的公共弦所在的直線，故把兩圓的方程相減可得直線l的方程為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，判斷直線l是兩圓的公共弦所在的直線，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．6．D【分析】求出通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列求和公式得解.【詳解】設(shè)小球第一次落地時(shí)經(jīng)過的路程為，第次落地到第次落地經(jīng)過的路程為，由題意，，數(shù)列an從第二項(xiàng)起構(gòu)成以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則第6次著地后經(jīng)過的路程為（），故選：D7．B【分析】分類討論去掉絕對值可得曲線的兩端關(guān)系式，從而作出曲線的圖象，由曲線圖象判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，代表以為圓心，為半徑的圓，在軸右側(cè)部分，當(dāng)時(shí)，曲線的方程可化為，代表以?1,1為圓心，為半徑的圓，在軸左側(cè)部分，所以曲線的圖象如圖所示，對于A，由圖可知曲線圍成的圖形有2條對稱軸，故A錯誤；對于B，曲線由2個圓組成，其周長為，故B正確；對于C，到直線的距離，所以，點(diǎn)?1,1到直線的距離為，則曲線上的點(diǎn)到直線的距離最大值為所以最大值為，故C錯誤；對于D，由圖可知曲線上任意兩點(diǎn)間的最大距離為兩圓圓心距離加上兩個半徑，故D錯誤；故選：B8．D【分析】化簡得到曲線的形狀，求出半圓上的動點(diǎn)與原點(diǎn)距離的最值后可得正確的選項(xiàng).【詳解】由可得，故曲線為如圖所示的半圓，其圓心為2,1，半徑為1，，因?yàn)椋?，結(jié)合曲線為半圓可得，而半圓上存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，故，即，其中為公比，因?yàn)椋?，故ABC中的選項(xiàng)均存在不同的三點(diǎn)到原點(diǎn)的距離構(gòu)成等比數(shù)列，又，故不可能成立公比，故D錯誤，故選：D.9．AC【分析】對于A，運(yùn)用消去參數(shù)，對于B，運(yùn)用截距概念；對于C，運(yùn)用兩直線垂直時(shí)，斜率之積為；對于D，兩直線平行時(shí)，斜率相等，結(jié)合平行線距離公式計(jì)算.我們將根據(jù)這些性質(zhì)來逐一分析每個選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)A，對于直線，當(dāng)時(shí)，，解得.所以直線過定點(diǎn)，選項(xiàng)A正確.對于選項(xiàng)B，對于直線，令，則，解得.所以直線在軸上的截距為，選項(xiàng)B錯誤.對于選項(xiàng)C，直線，其斜率；直線，其斜率.當(dāng)時(shí)，，即，，解得，選項(xiàng)C正確.對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，解得.此時(shí)，即.兩平行直線與之間的距離公式為.對于與，距離，選項(xiàng)D錯誤.故選；AC.10．ACD【分析】根據(jù)即可求解A，根據(jù)，故的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，求得對任意的，，故為等差數(shù)列即可判斷BC，利用裂項(xiàng)相消法求和即可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即，則，A正確，對于BC，由可得，相減可得，即，由于則，故的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，又，，故，因此對任意的，，故為等差數(shù)列，且公差為2，故B錯誤，C正確，對于D，由于，故的前項(xiàng)和為，D正確，故選：ACD.11．ABD【分析】利用中位線的性質(zhì)結(jié)合圓的定義可判定B，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可判定A，利用直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算可判定C，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系可判定D.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，易知當(dāng)不在橫軸上時(shí)，，當(dāng)P在橫軸上時(shí)，若時(shí)，仍有；若時(shí)，仍有，所以Q軌跡為以B為圓心，1為半徑的圓上，其軌跡方程為，故B正確；所以，即A正確；顯然當(dāng)與圓O相切時(shí)斜率取得最值，不妨設(shè)切線方程為，則圓心O到切線的距離為，所以直線AP的斜率的最大值為，故C錯誤；兩圓方程作差得其公共弦方程為，所以Q在圓O上時(shí)，即在兩圓的公共弦上，所以其橫坐標(biāo)為，故D正確.故選：ABD12．0【分析】先求公差，然后根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可得解.【詳解】由題意設(shè)公差為，則，所以.故答案為：0.13．【分析】只需求出直線截圓所得的弦長即可.【詳解】設(shè)圓，設(shè)直線截圓所得的弦為，所以弦長為，所以的最大值為.故答案為：.14．23【分析】結(jié)合題意根據(jù)階Farey數(shù)列的定義及性質(zhì)分析即可求解.【詳解】分母為6的既約真分?jǐn)?shù)有，共2個；分母為7的既約真分?jǐn)?shù)有，共6個；分母為8的既約真分?jǐn)?shù)有，共4個，由題意得，所以，與100互質(zhì)的數(shù)是不含有2和5的數(shù)，即個位是1,3,7,9的數(shù)都與100互質(zhì)，所以與100互質(zhì)的數(shù)共有40個，即分母為100的既約真分?jǐn)?shù)有個，又，所以，由題意可知階Farey數(shù)列，每一階最中間的數(shù)都為，且關(guān)于對稱的兩數(shù)之和為1，所以利用倒序相加法可得，所以.故答案為：23；.【點(diǎn)睛】解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：（1）通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運(yùn)算，或給出的由幾個新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.（2）遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點(diǎn)，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問題得以順利解決.（3）類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏.15．(1)；(2)或【分析】（1）法一、利用兩點(diǎn)斜率公式及直線垂直的充要條件，結(jié)合點(diǎn)斜式可得，法二、利用兩點(diǎn)斜率公式及直線的點(diǎn)法式計(jì)算即可；（2）法一、分類討論直線斜率是否存在結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可；法二、確定直線過中點(diǎn)或與平行，根據(jù)平行的充要條件及兩點(diǎn)式計(jì)算即可.【詳解】（1）法一：依題意，有，所以AD的斜率為2，所以AD所在直線的方程為，即．法二：依題意，有，即直線AD的一個法向量為．由直線的點(diǎn)法式，可得直線AD所在的直線的方程為：，即．（2）法一：（i）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線．B，C兩點(diǎn)到直線l的距離分別為2和6，不符合題意．（ii）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為，即．依題意，有，即，所以或，解得或．所以直線的方程為或．法二：因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)A，且B，C兩點(diǎn)到直線l的距離相等，所以直線l與直線BC平行，或過線段BC的中點(diǎn)．（i）當(dāng)直線l與直線BC平行時(shí)，直線BC的斜率為，所以直線的方程為，即．（ii）當(dāng)直線l過線段BC的中點(diǎn)時(shí)，線段BC的中點(diǎn)為，所以直線的方程為，即．綜上所述，直線的方程為或．16．(1)或(2)【分析】（1）分截距是否為0進(jìn)行討論即可；（2）思路一：設(shè)出圓心坐標(biāo)、半徑，由題意列出方程即可求解；思路二：先求得線段AB的垂直平分線的方程，進(jìn)一步可得圓心坐標(biāo)、半徑，從而得解；思路三：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，結(jié)合求得參數(shù)即可.【詳解】（1）（i）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為2，此時(shí)直線的方程為．（ii）當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線的方程為．因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，解得．此時(shí)直線的方程為，即．綜上所述，直線的方程為或．（2）法一：設(shè)圓C的方程為，依題意，有解得所以圓的方程為．法二：直線AB的斜率為，所以線段AB的垂直平分線的斜率為1．又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段AB的垂直平分線的方程為．由解得即圓心．又圓C的半徑為，所以圓的方程為．法三：因?yàn)閳A心C在直線上，所以可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為．依題意，有，所以，解得．所以圓C的圓心，半徑，所以圓C的方程為．17．(1)，(2)（i）；（ii）23【分析】（1）由等差數(shù)列及其前項(xiàng)和基本量的計(jì)算可得，進(jìn)一步即可求解；（2）（i）直接根據(jù)的定義來求解即可；（ii）考慮到的單調(diào)性以及，即可得解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得解得所以，．（2）與集合相比，元素間隔大，所以在集合中加入幾個中的元素來考慮．（i）．（ii）考慮到，，．易知為遞增數(shù)列，則滿足的最小正整數(shù)的值為23．18．(1)或(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用分類討論思想，分切線斜率不存在與斜率存在兩種情況，結(jié)合切線的性質(zhì)，建立方程組，可得答案；（2）法一：根據(jù)垂徑定理，結(jié)合圓的性質(zhì)，可得答案，法二：設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)求得斜率以及直線垂直的斜率公式，建立方程，可得答案；（3）利用分類討論思想，分直線斜率存在與不存在兩種情況，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，整理化簡，可得答案.【詳解】（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與圓相離，不符合題意．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線，即．因?yàn)橹本€與圓相切，圓的圓心，半徑，所以，即，解得或．所以直線的方程為，或．（2）法一：因?yàn)辄c(diǎn)A，B為過原點(diǎn)O的直線與圓的交點(diǎn)，且點(diǎn)弦AB的中點(diǎn)，所以，則點(diǎn)的軌跡是以O(shè)C為直徑的圓，圓心為12,0，半徑為，所以點(diǎn)的軌跡方程為．法二：設(shè)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)不與點(diǎn)，點(diǎn)重合時(shí)，由圓的性質(zhì)可知，，所以，所以，即．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O或點(diǎn)C重合時(shí)，和均滿足方程．綜上所述，點(diǎn)的軌跡方程為．（3）i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，此時(shí)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為，．所以．ii）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)其方程為．設(shè)Ax1,由聯(lián)立，得．由，得，，所以．綜上所述，為定值．法二：所以．所以．綜上所述，為定值．19．(1)2(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)的定義以及相切的性質(zhì)即可求解；（2）由題意得遞推表達(dá)式，進(jìn)一步根據(jù)等比數(shù)列的定義驗(yàn)算即可證明；（3