四川省廣元市川師大萬達(dá)中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷含答案

四川省廣元市川師大萬達(dá)中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，則等于（

）A． B． C．2 D．2．從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率是（

）A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.63．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，25．已知向量，，，若，，共面，則（

）A．4 B．2 C．3 D．16．在所有棱長(zhǎng)均為2的平行六面體中，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．67．下列命題：①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，則P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B滿足P(A)＋P(B)＝1，則A與B是對(duì)立事件．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．48．在棱長(zhǎng)為的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度是（）．A． B．C． D．4a二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法不正確的是（

）A．甲、乙二人比賽，甲勝的概率為，則比賽場(chǎng)，甲勝場(chǎng)B．某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為，前個(gè)病人沒有治愈，則第個(gè)病人一定治愈C．隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等D．用某種藥物對(duì)患有胃潰瘍的名病人治療，結(jié)果有人有明顯療效，現(xiàn)有胃潰瘍的病人服用此藥，則估計(jì)其會(huì)有明顯療效的可能性為10．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為 D．的最大值為411．已知四面體滿足，，則（

）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，到距離的最小值為D．二面角平面角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．從1，2，3，4，5中隨機(jī)取三個(gè)不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)這一事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為.13．在正方體中，點(diǎn)E是上底面的中心，若，則實(shí)數(shù)．14．在棱長(zhǎng)為的正四面體中，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在正四棱柱中，，，分別為，的中點(diǎn).

(1)證明：平面.(2)求與平面所成角的正弦值.16．如圖，從參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽的學(xué)生中抽出名，將其成績(jī)（均為整數(shù)）整理后畫出的頻率分布直方圖如下：觀察圖形，回答下列問題：

(1)這一組的頻數(shù)?頻率分別是多少？(2)估計(jì)這次環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)?眾數(shù)?中位數(shù).(3)從成績(jī)是分以上（包括分）的學(xué)生中選兩人，求他們?cè)谕环謹(jǐn)?shù)段的概率.17．甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為·在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，求（1）“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)2個(gè)成語的概率;（2）“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語的概率;（3）“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)至少中猜對(duì)1個(gè)成語的概率;18．如圖，已知四棱錐的底面是平行四邊形，，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，是線段的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若，是否存在，使得平面和平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.19．如圖，在三棱臺(tái)中，，，為的中點(diǎn)，二面角的大小為．(1)求證：；(2)若，求三棱臺(tái)的體積；(3)若到平面的距離為，求的值．

參考答案1．【答案】A【詳解】點(diǎn)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，所以.故選：A.2．【答案】C【解析】根據(jù)題中條件，列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件的個(gè)數(shù)比即為所求概率.【詳解】從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，包含的基本事件有：，，，，，，，，，，共個(gè)；則這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)包含的基本事件有：，，，共個(gè)；所以這兩個(gè)數(shù)都是奇數(shù)的概率是.故選：C.3．【答案】C【詳解】在空間四邊形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，則，所以.故選：C4．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D5．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，共面，所以存在兩個(gè)實(shí)數(shù)、，使得，即，即，解得.故選：D6．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，從而，即的長(zhǎng)為．故選：C.7．【答案】A【詳解】由題意①中，根據(jù)對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系，可得是正確；②中，當(dāng)A與B是互斥事件時(shí)，才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，對(duì)于任意兩個(gè)事件A，B滿足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正確的；③也不正確．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，還可能小于1；④也不正確．例如：袋中有大小相同的紅、黃、黑、綠4個(gè)球，從袋中任摸一個(gè)球，設(shè)事件A＝{摸到紅球或黃球}，事件B＝{摸到黃球或黑球}，顯然事件A與B不互斥，但P(A)＋P(B)＝＝1.8．【答案】A【詳解】在正方體中，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，設(shè)，則，

∵，∴，可得；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，取，，，，連結(jié)，，，，則，，∴四邊形為矩形，則，，即，，又和為平面中的兩條相交直線，∴平面，又，，∴為的中點(diǎn)，則平面，為使，必有點(diǎn)平面，又點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)的軌跡為四邊形，又，，∴，則點(diǎn)的軌跡不是正方形，則矩形的周長(zhǎng)為．故選：A9．【答案】ABC【詳解】概率只是說明事件發(fā)生的可能性大小，其發(fā)生具有隨機(jī)性，則A，B是錯(cuò)的.頻率受試驗(yàn)次數(shù)的影響，不穩(wěn)定，但當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較多時(shí)頻率會(huì)穩(wěn)定在概率附近，則C錯(cuò)誤，D正確.故選：ABC.10．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，若，且，則存在唯一實(shí)數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對(duì)于B，若，則，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以無實(shí)數(shù)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于CD，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值為，無最大值，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.11．【答案】BCD【詳解】將四面體放入長(zhǎng)方體中，（如圖），設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則，所以解得，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,故故，所以直線與所成的角為，A錯(cuò)誤，由于，故，直線與所成的角為，B正確，對(duì)于C，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)位于的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)到距離的最小，且最小值為長(zhǎng)方體的高，即為，C正確，對(duì)于D，取中點(diǎn)，連接,由于，，所以,故為所求角，,故，故D正確.故選：BCD12．【答案】4【詳解】從1，2，3，4，5中隨機(jī)取三個(gè)不同的數(shù)有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10種情況，其中（1，2，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，4，5）中三個(gè)數(shù)字之和為奇數(shù)，共有4種.故答案為：4.13．【答案】2【詳解】因?yàn)?，又，所以，，，?/p>

故答案為：.14．【答案】【詳解】記在底面內(nèi)的投影為，則底面，又、平面，故、，則，，又，則，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，，所以，所以，設(shè)直線與直線的所成角為，所以.故答案為：.15．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在正四棱柱中，，，兩兩垂直，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，A10,0,4.

因?yàn)?，分別為的中點(diǎn)，所以，，則，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，即，令，則有，，即，因?yàn)?，所以，又平面，所以平面；?）由（1）可知，，，所以與平面所成角的正弦值為.16．【答案】(1)，(2)，，(3)【詳解】（1）根據(jù)題意，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，的這一組的頻率為，則這一組的頻率為，其頻數(shù)為；（2）這次競(jìng)賽的平均數(shù)為，一組的頻率最大，人數(shù)最多，則眾數(shù)為，分左右兩側(cè)的頻率均為，則中位數(shù)為；（3）記“取出的人在同一分?jǐn)?shù)段”為事件，因?yàn)橹g的人數(shù)為，設(shè)為???，之間有人，設(shè)為?，從這人中選出人，有、、、?、、、、、、?、、、，共個(gè)基本事件，其中事件E包括、、、、、、，共個(gè)基本事件，則.17．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】設(shè)A，B分別表示甲乙每輪猜對(duì)成語的事件，M0，M1，M2表示第一輪甲乙猜對(duì)0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)成語的事件，N0，N1，N2表示第二輪甲乙猜對(duì)0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)成語的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示兩輪猜對(duì)0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)成語的事件.∵P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P)=1-=，∴根據(jù)獨(dú)立性的假定得：P(M0)=P(N0)=P()=P()P()==，P(M1)=P(N1)=P()=P()+P()=+=，P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)==，（1）P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)=P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=.+.+.=.（2）P(D3)=P(M1N2+M2N1)=P(M1N2)+P(M2N1)=.+.=.（3）P(D1+D2+D3+D4)=1-P(D0)=1-=.18．【答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）證明：在中，由余弦定理知，，所以，即，因?yàn)?，且，、平面，所以平面，又平面，所以平面平面．?）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，作平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，，，，0，，，，，所以，0，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，則，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，則，，所以，，，因?yàn)槠矫婧推矫鎶A角的余弦值為，所以，整理得，，即，解得或，因?yàn)?，所以，故存在，使得平面和平面夾角的余弦值為，此時(shí)．19．【答案】(1)證明見解析；(2)(3)【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接；如下圖所示：易知平面平面，且平面平面，平面平面；所以，又因?yàn)?，可得四邊形為等腰梯形，且分別為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，易知?/p>