遼寧省普通高中2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（1）含答案

遼寧省普通高中2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（1）一、單選題（本大題共8小題）1．已知a，b為兩條直線，，為兩個(gè)平面，且滿足，，，，則“與異面”是“直線與l相交”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或3．兩平行直線與之間的距離為（）A． B． C． D．4．設(shè)AB是橢圓（）的長(zhǎng)軸，若把AB一百等分，過每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線，交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P99，F(xiàn)1為橢圓的左焦點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．5．已知為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．在四棱錐中，平面，二面角的大小為，若點(diǎn)均在球的表面上，則球的表面積最小值為（）A． B． C． D．7．已知曲線：是雙紐線，則下列結(jié)論正確的是（）A．曲線的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．曲線經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）C．若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離都不超過38．已知平面上兩定點(diǎn)、，則所有滿足（且）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在上，半徑為的圓.這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長(zhǎng)為3的正方體表面上動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法命題正確的是（

）A．已知，，則在上的投影向量為B．若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C．已知三棱錐，點(diǎn)P為平面ABC上的一點(diǎn)，且，則D．若向量，（都是不共線的非零向量）則稱在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為10．已知，是雙曲線E：的左、右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線分別交y軸、雙曲線右支于點(diǎn)、點(diǎn)，且，下列判斷正確的是（

）A． B．的離心率等于C．雙曲線漸近線的方程為 D．的內(nèi)切圓半徑是11．在直三棱柱中，，，M是的中點(diǎn)，N是的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)Q是線段上靠近M的三等分點(diǎn)，R是線段的中點(diǎn)，若面，則（

）．A． B．P為的中點(diǎn)C．三棱錐的體積為 D．三棱錐的外接球表面積為三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓：與圓：交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，的最小值為，則．13．如圖，已知四邊形ABCD是菱形，，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，把沿DE折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面BCDE，則異面直線PD與BC所成角的余弦值為．

14．傾斜角為銳角的直線經(jīng)過雙曲線的左焦點(diǎn)，分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，則直線的斜率為.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖所示，三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離16．已知圓.(1)直線截圓的弦長(zhǎng)為，求的值.(2)記圓與、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問：動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓是否有兩個(gè)公共點(diǎn)？若有，求出公共弦長(zhǎng)；若沒有，說明理由.17．如圖，四棱錐中，，，，，平面平面，且平面，平面平面.

(1)求四棱錐的體積；(2)設(shè)Q為上一點(diǎn)，若，求二面角的大小.18．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸，過點(diǎn)且與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)是橢圓C上異于的一點(diǎn)，且三角形的面積為，求直線的方程；(3)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），若為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求線段的最大值．19．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn)，若直線以為方向向量且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為；若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程表示為.(1)已知直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，平面的點(diǎn)法式方程可表示為，求直線與平面所成角的正弦值；(2)已知平面的點(diǎn)法式方程可表示為，平面外一點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離;(3)（i）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體的體積；（ii）若集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為，求幾何體相鄰兩個(gè)面（有公共棱）所成二面角的大小.

參考答案1．【答案】C【詳解】當(dāng)“與異面”，若直線與l不相交，由于，則，又，則，這與和異面相矛盾，故直線與l相交，故“與異面”是“直線與l相交”的充分條件；當(dāng)“直線與l相交”，若與不異面，則與平行或相交，若與平行，又，則，這與直線和l相交相矛盾；若與相交，設(shè)，則且，得，即A為直線的公共點(diǎn)，這與相矛盾；綜上所述：與異面，即“與異面”是“直線與l相交”的必要條件；所以“與異面”是“直線與l相交”的充分必要條件.故選：C.2．【答案】B【詳解】若方程表示雙曲線，則，得.故選：B3．【答案】C【詳解】由題意知，所以，則化為，所以兩平行直線與之間的距離為．故選：C．4．【答案】D【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F2，由橢圓的定義知，2，，，．由題意知，，，關(guān)于軸成對(duì)稱分布，．又，故所求的值為．故選：D．5．【答案】C【分析】設(shè)，不妨令，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則要使最小，即最小，求出的最小值即可得解.【詳解】設(shè)，不妨令，則，整理得，又，所以，則，解得，所以存在定點(diǎn)，使得，要使最小，即最小，則，B，D三點(diǎn)共線，且DA垂直于直線時(shí)取得最小值，如圖所示，所以的最小值為．故選C.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】設(shè)，令，將所求轉(zhuǎn)化為求的最小值，是解決本題的關(guān)鍵.6．【答案】C【詳解】由題設(shè)，，，，在一個(gè)圓上，故，又，所以，即，故是四邊形外接圓的直徑，由平面，，，平面，則，，，由，，平面，則平面，平面，則，由，，平面，則平面，平面，則，故，，都是以為斜邊的直角三角形，故中點(diǎn)為外接球球心，且為二面角的平面角，故，因?yàn)?，，令且，則，，故，所以外接球半徑，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)球的表面積的最小值為．故選：C7．【答案】D【詳解】對(duì)于A，結(jié)合曲線：，將代入，方程不變，即曲線的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，則，解得，令，則，解得，令，則，解得，故曲線經(jīng)過的整點(diǎn)只能是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線與曲線：必有公共點(diǎn)，因此若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則只有一個(gè)解，即只有一個(gè)解為，即時(shí)，無解，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由，可得，時(shí)取等號(hào)，則曲線上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，即都不超過3，D正確，故選：D8．【答案】C【分析】根據(jù)阿氏圓性質(zhì)求出阿氏圓圓心O位置及半徑，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心的球，球與面，，交線為圓弧，求出截面圓的半徑及圓心角，求出在截面內(nèi)的圓弧的長(zhǎng)度即可.【詳解】在平面中，圖①中以B為原點(diǎn)以AB為x軸建系如圖，設(shè)阿氏圓圓心,半徑為，，設(shè)圓O與AB交于M,由阿氏圓性質(zhì)知，，，P在空間內(nèi)軌跡為以O(shè)為球心半徑為2的球，若P在四邊形內(nèi)部時(shí)如圖②,截面圓與分別交于M，R，所以P在四邊形內(nèi)的軌跡為，在中，，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為，同理，當(dāng)P在面內(nèi)部的軌跡長(zhǎng)為，當(dāng)P在面時(shí),如圖③所示，面，平面截球所得小圓是以B為圓心，以BP為半徑的圓，截面圓與分別交于，且，P在正方形內(nèi)的軌跡為，，綜上：P的軌跡長(zhǎng)度為.故選C.9．【答案】CD【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算判斷A，應(yīng)用向量共線判斷B，判斷四點(diǎn)共面判斷C，根據(jù)基底運(yùn)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，由于，，則在的投影向量為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)橹本€l的方向向量為，平面的法向量為，所以，所以或，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)镻為平面ABC上的一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，則由空間向量共面定理以及可得，，所以，C正確；對(duì)于D，在單位正交基底下的坐標(biāo)為，即，所以在基底下滿足：，故，，，可得，，，則在基底下的坐標(biāo)為，故D正確.故選CD.10．【答案】ACD【詳解】如圖所示，因?yàn)榉謩e是，的中點(diǎn)，所以中，，所以軸，A選項(xiàng)中，因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以，故A正確；B選項(xiàng)中，直角中，，，，所以，得：，故B不正確；C選項(xiàng)中，由，即，即，即，所以雙曲線的漸近線方程為：，故C正確；D選項(xiàng)中，的周長(zhǎng)為，設(shè)內(nèi)切圓為r，根據(jù)三角形的等面積法，有，得：，故D正確故選：ACD.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)AB，連接并延長(zhǎng)交于S，連接，由平面幾何知識(shí)可得：S是的中點(diǎn)，且N，R，S三點(diǎn)共線，是重心，因?yàn)槊?，平面，平面平面，所以，作交于，由直棱柱性質(zhì)有，因此是平行四邊形，，又由平面幾何知識(shí)知是中點(diǎn)，因此是中點(diǎn)，從而，即P為上靠近N的三等分點(diǎn)，所以A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，因此是平行四邊形，所以與互相平分，從而與點(diǎn)到平面的距離相等，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，而，所以C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，∵的外心是S，由得平面，∴三棱錐的外接球球心一定在直線上，設(shè)三棱錐的外接球球心為O，半徑為R，，則，，∴，解得：，，球表面積為，所以D正確．故選：ACD．12．【答案】【詳解】與相減，可得兩圓的公共弦所在線的方程為：，由圓：可得，圓的半徑為4，圓心到AB直線的距離為，，因?yàn)?，所以，時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)锳B的最小值為，所以，解得.故答案為：.13．【答案】/【詳解】因?yàn)椋驶蚱溲a(bǔ)角就是異面直線PD與BC所成的角，連接PA，易知，，因?yàn)槠矫嫫矫?，菱形中，，即是正三角形，為AB中點(diǎn)，則，所以，又，所以即為平面與平面所成的二面角的平面角，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以異面直線PD與BC所成角的余弦值為．故答案為：.

14．【答案】/【詳解】

設(shè)中點(diǎn)為，兩漸近線可寫成，設(shè)，則，且①-②可得，整理得，，即(*)，如圖，在中，，則,故，即，將此式代入（*）得，解得依題意，，則.故答案為：.15．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）由，得，則，即，由平面，平面，則，而，平面，于是平面，連接，又平面，則，由點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，得，所以.（2）連接，交于點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)C作，F(xiàn)為垂足，由，側(cè)棱垂直于底面，得且，又，，平面CBE，則平面CBE，又平面CBE，則，又，，平面，因此平面，即CF為點(diǎn)C到平面的距離，由平面，平面，得，，所以點(diǎn)C到平面的距離．16．【答案】(1)(2)有，公共弦長(zhǎng)為【詳解】（1）圓心到直線距離為，故，解得；（2），設(shè)，由得，化簡(jiǎn)得：，即，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，圓心距，，兩圓相交，所以兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，由兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為，圓心到公共弦的距離為，則公共弦長(zhǎng)為.17．【答案】(1)6；(2).【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，所以，同理得，所以，因?yàn)?，，，所以，所以且，所以且，底面梯形的高為，所以底面梯形的面積，在中，，，，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面，所以四棱錐的體積.（2）因?yàn)?，，，所以即，所以，，兩兩垂直，可以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，A2,0,0，，C-1,3,0，所以，，，設(shè)，所以，，因?yàn)?，所以，解得，因此，，設(shè)m=x,y,z為平面的法向量，則，則，取，則，，即，因?yàn)槠矫?，所以平面的法向量為，設(shè)二面角為，則，所以由圖二面角的大小為.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意知點(diǎn)在上，且軸，設(shè)橢圓焦距為，則，將代入中，得，則，結(jié)合，從而，，橢圓C方程為；（2）由題意知過點(diǎn)且與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率不為，故設(shè)，與橢圓聯(lián)立，得，由橢圓與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，令，即①，又過，則②，聯(lián)立①②可得，則，即得點(diǎn)為．設(shè)原點(diǎn)O0,0，由，，故，從而到的距離為到距離的倍，即在關(guān)于對(duì)稱的直線上，又在橢圓上，從而，關(guān)于對(duì)稱，故直線方程為（3）設(shè)，，，則，則①，又由，可得②，結(jié)合①②可得，，又，F(xiàn)1,0，，，則直線的方程為，軸，直線與交于，則，故，故軸，從而，當(dāng)位于橢圓左頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào),故線段的最大值為.19．【答案】(1)(2)(3)（i）16；（ii）【詳解】（1）因?yàn)橹本€的標(biāo)準(zhǔn)式方程為，所以直線的方向向量為，又平面的點(diǎn)法式方程可表示為，所以平面的法向量為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；（2）因?yàn)槠矫娴?/p>