2024年新高一數(shù)學(xué)初升高銜接《函數(shù)的應(yīng)用（一）》含答案解析

數(shù)學(xué)PAGE1數(shù)學(xué)第13講函數(shù)的應(yīng)用模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解函數(shù)模型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用；2．能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題.知識點(diǎn)1一次函數(shù)模型1、一次函數(shù)為：2、求最值的方法：常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時(shí)，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．3、解決實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．以上過程用框圖表示如圖：知識點(diǎn)2二次函數(shù)模型1、二次函數(shù)：形如2、求最值的方法：在根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的最值問題.二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解答.3、解決實(shí)際應(yīng)用問題的注意事項(xiàng)（1）函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見的解題錯(cuò)誤．所以，要理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型．（2）要特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．（3）注意問題反饋，在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對實(shí)際問題的合理性．知識點(diǎn)3三、冪函數(shù)模型1、冪函數(shù)模型為y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)，2、在計(jì)算冪函數(shù)解析式、求冪函數(shù)最值的時(shí)候，通常利用冪函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性等解題.知識點(diǎn)4對勾函數(shù)模型解決“對勾”函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，需關(guān)注該函數(shù)的定義域、單調(diào)性、值域和圖象等，一般通過變形，構(gòu)造利用基本不等式的條件求最值。知識點(diǎn)5應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏；2、分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集；3、分段函數(shù)的值域求法為逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論。知識點(diǎn)6圖像信息應(yīng)用題的解答策略1、明確橫軸、縱軸的意義，分析題中的具體含義；2、由圖象判定函數(shù)模型；3、抓住特殊點(diǎn)的實(shí)際意義，特殊點(diǎn)一般包括最高點(diǎn)（最大值點(diǎn)）、最低點(diǎn)（最小值點(diǎn)）及折線的拐角點(diǎn)等；4、通過方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型化實(shí)際問題。考點(diǎn)一：一次函數(shù)模型的應(yīng)用例1．（22-23高一上·北京·期中）果蔬批發(fā)市場批發(fā)某種水果，不少于千克時(shí)，批發(fā)價(jià)為每千克元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場采購這種水果，并以此批發(fā)價(jià)買進(jìn)，如果購買的水果為千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為元，則與之間的函數(shù)關(guān)系為（

）A．B．C．D．【變式1-1】（22-23高一上·浙江·期中）某商場在國慶期間舉辦促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過400元，不享受折扣；若顧客的購物總金額超過400元，則超過400元部分分兩檔享受折扣優(yōu)惠，折扣率如下表所示：可享受折扣優(yōu)惠的金額折扣率不超過400元部分超過400元部分若某顧客獲得65元折扣優(yōu)惠，則此顧客實(shí)際所付金額為（

）A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元【變式1-2】（23-24高一·全國·單元測試）（多選）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后關(guān)于的函數(shù)圖像．給出下列四種說法，其中正確的說法是（

）A．圖（2）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高固定成本B．圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低固定成本C．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持固定成本不變D．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低固定成本【變式1-3】（23-24高一上·云南保山·開學(xué)考試）為落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標(biāo)一工程隊(duì)負(fù)責(zé)在山腳下修建一座水庫的土方施工任務(wù).該工程隊(duì)有兩種型號的挖掘機(jī)，已知3臺型和5臺型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土165立方米；4臺型和7臺型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土225立方米.每臺型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為300元，每臺型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為180元.(1)分別求每臺型，型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土多少立方米？(2)若不同數(shù)量的型和型挖掘機(jī)共12臺同時(shí)施工4小時(shí)，至少完成1080立方米的挖土量，且總費(fèi)用不超過12960元.問施工時(shí)有哪幾種調(diào)配方案，并指出哪種調(diào)配方案的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？考點(diǎn)二：二次函數(shù)模型的應(yīng)用例2.（23-24高一上·北京東城·期末）把長為的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正方形，那么這兩個(gè)正方形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高一下·廣東梅州·期中）如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形的周長的取值范圍是．【變式2-2】（23-24高一上·湖南衡陽·月考）某工廠2022年年初用100萬元購進(jìn)一臺新的設(shè)備，并立即投入使用，該設(shè)備使用后，每年的總收入預(yù)計(jì)為50萬元.設(shè)使用x年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費(fèi)用為萬元，盈利總額為y萬元.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)從第幾年開始，使用該設(shè)備開始盈利?【變式2-3】（23-24高一上·廣東佛山·月考）某商場銷售型商品，已知該商品的進(jìn)價(jià)是每件3元，且銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價(jià)（元）45678910日均銷售量（件）400360320280240200160請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，此商品如何定價(jià)（單位：元/件），該商品的日均銷售利潤最大？并求日均銷售利潤的最大值.考點(diǎn)三：冪函數(shù)模型的應(yīng)用例3.（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┠称髽I(yè)欲實(shí)現(xiàn)在今后10年內(nèi)產(chǎn)值翻兩翻的目標(biāo)，則該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率為(結(jié)果精確到0.001)【變式3-1】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個(gè)體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高一上·全國·練習(xí)）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【變式3-3】（23-24高一下·上海閔行·期末）銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時(shí)間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利．現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性向銀行貸款10萬元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30%的利潤；乙方案：每年向銀行貸款1萬元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元．(1)設(shè)技術(shù)改造后，甲方案第n年的利潤為（萬元），乙方案第n年的利潤為（萬元），請寫出、的表達(dá)式；(2)假設(shè)兩種方案的貸款期限都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10%的復(fù)利計(jì)算，試問該企業(yè)采用哪種方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多？（精確到0.1）（凈獲利=總利潤-本息和）（參考數(shù)據(jù)，考點(diǎn)四：對勾函數(shù)模型的應(yīng)用例4.（22-23高一上·安徽馬鞍山·期中）如圖，安工大附中欲利用原有的墻（墻足夠長）為背面，建造一間長方體形狀的房屋作為體育器材室.房屋地面面積為，高度為3m.若房屋側(cè)面和正面每平方米的造價(jià)均為1000元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為6000元，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，則該房屋的最低總造價(jià)為元.【變式4-1】（23-24高一上·湖北孝感·月考）一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲存貨物,經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：）成反比,每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站處建倉庫,則和分別為4萬元和9萬元,為了能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站千米處.【變式4-2】（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）如圖，某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形和構(gòu)成的面積為的十字形地域．計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為1000元；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為400元；在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為200元．設(shè)長為（單位：）．(1)用表示的長度，并求的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)拈L為何值時(shí)，總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？【變式4-3】（23-24高一下·湖北·開學(xué)考試）某甜品店今年年初花費(fèi)21萬元購得一臺新設(shè)備，經(jīng)估算該設(shè)備每年可為甜品店提供12萬元的總收入，已知使用年所需的總維護(hù)費(fèi)用為萬元．(1)該甜品店第幾年開始盈利？(2)若干年后，該甜品店計(jì)劃以2萬的價(jià)格賣出設(shè)備，有以下兩種方案：①當(dāng)年平均盈利最大時(shí)賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大時(shí)賣出；試問哪一方案較為劃算？說明理由．考點(diǎn)五：分段函數(shù)模型的應(yīng)用例5.（23-24高一下·江西贛州·期中）春天，時(shí)令水果草莓上市了，某水果店統(tǒng)計(jì)了草莓上市以來前兩周的銷售價(jià)格（元/盒）與時(shí)間t（天）的關(guān)系：一位顧客在這兩周里在該水果店購買了若干盒草莓，總共消費(fèi)212元，其中在后6天買了4盒，則前8天一共買了（

）A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒【變式5-1】（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）新能源汽車是低碳生活的必然選擇和汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展趨勢.某汽車企業(yè)為了響應(yīng)國家號召，2020年積極引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過分析，全年需要投入固定成本萬元.每生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每輛車售價(jià)萬元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤銷售量售價(jià)成本）(2)年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【變式5-2】（23-24高一上·江西宜春·期末）某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺．每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完．(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤銷售收入成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【變式5-3】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打造“網(wǎng)紅”城鎮(zhèn)發(fā)展經(jīng)濟(jì)，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）20x元.已知這種水果的市場售價(jià)大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為（單位：元）(1)寫單株利潤（元）關(guān)于施用肥料x（千克）的關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤最大?最大利潤是多少?考點(diǎn)六：圖象信息綜合應(yīng)用題例6.（23-24高一上·全國·期末）某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個(gè)印刷廠可供選擇，甲廠費(fèi)用分為制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分，先收取固定的制版費(fèi)，再按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)；乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)，甲、乙兩廠的總費(fèi)用（千元）與印制證書數(shù)量（千個(gè)）的函數(shù)圖像分別如圖中甲、乙所示，則下列說法正確的是（

）

A．選擇甲廠比較劃算B．選擇乙廠比較劃算C．若該單位需印制證書數(shù)量為8千個(gè)，則選擇乙廠比較劃算D．當(dāng)該單位需印制證書數(shù)量小于2千個(gè)時(shí)，不管選擇哪個(gè)廠，總費(fèi)用都一樣【變式6-1】（22-23高一下·湖北武漢·期末）2023年4月18日，我國自行研制具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的噴氣式支線客機(jī)ARJ21完成了在印尼首航，這是ARJ21在海外市場商業(yè)運(yùn)行的首秀，標(biāo)志著國產(chǎn)新支線客機(jī)ARJ21在海外商業(yè)運(yùn)營邁開第一步．中國商飛公司為了進(jìn)一步打開海外市場，需要加大在開創(chuàng)性、創(chuàng)新性探索和實(shí)踐方面的投入．中國商飛公司旗下甲乙兩家子公司，各子公司投入與利潤的關(guān)系如下．甲公司：利潤（億元）與投入（億元）成一次函數(shù)關(guān)系，乙公司：利潤（億元）與投入（億元）成冪函數(shù)型關(guān)系，如圖所示．目前，中國商飛總公司準(zhǔn)備拿出資金10億元投入到甲、乙兩公司，如何分配才能使總利潤最大呢？（

）

A．投入甲公司億元，投入乙公司億元B．投入甲公司億元，投入乙公司億元C．投入甲公司0億元，投入乙公司10億元D．投入甲公司10億元，投入乙公司0億元【變式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比，其關(guān)系如圖1；投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2．(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有10萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？【變式6-3】（23-24高一上·北京·期中）為進(jìn)一步改善空氣質(zhì)量，增強(qiáng)人民的藍(lán)天幸福感，年月日，國務(wù)院公開發(fā)布打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動計(jì)劃，其中京津冀地區(qū)被列為重點(diǎn)治理區(qū)域．某課外活動小組根據(jù)北京市預(yù)報(bào)的某天時(shí)空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖，并選擇連續(xù)函數(shù)來近似刻畫空氣質(zhì)量指數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖．(1)求，的值；(2)當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)大于時(shí)，有關(guān)部門建議市民外出活動應(yīng)戴防霧霾口罩，并禁止某行業(yè)施工作業(yè)．請你結(jié)合該課外活動小組選擇的函數(shù)模型，回答以下問題：（i）某同學(xué)該天：出發(fā)上學(xué)，是否應(yīng)該戴防霧霾口罩？請說明理由；（ii）試問該天：之后，該行業(yè)可以施工作業(yè)的時(shí)間最長為多少小時(shí)？一、單選題1．（23-24高一上·遼寧大連·月考）某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價(jià)x(單位：元)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·江西·月考）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時(shí)間（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時(shí)刻是（

）A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒3．（23-24高一上·湖北黃岡·期中）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)費(fèi)方法如表格所示：若某戶居民本月交納的水費(fèi)為48元，則此戶居民本月用水量是（

）每戶每月用水量水價(jià)不超過的部分3元超過但不超過的部分6元超過的部分9元A． B． C． D．4．（23-24高一上·廣東梅州·月考）如圖，點(diǎn)P在邊長為1的正方形邊上運(yùn)動，M是CD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與的面積y的函數(shù)的圖象的形狀大致是（

）

A．

B．

C．

D．

5．（23-24高一上·江蘇南京·期中）學(xué)校宿舍與辦公室相距.某同學(xué)有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個(gè)過程中，這位同學(xué)行進(jìn)的速度和行走的路程都是時(shí)間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個(gè)圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③6．（23-24高一·全國·專題練習(xí)）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費(fèi)用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價(jià)格，減少支出費(fèi)用；建議（Ⅱ）不改變支出費(fèi)用，提高車票價(jià)格．下面給出的四個(gè)圖形中，實(shí)線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）二、填空題7．（23-24高一下·云南·月考）某商店銷售兩款商品，利潤（單位：元）分別為和，其中為銷量（單位：袋），若本周銷售兩款商品一共20袋，則能獲得的最大利潤為.8．（22-23高一上·浙江寧波·期中）某地方政府為鼓勵(lì)全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地年產(chǎn)值（單位：萬元）的小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案為：獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨企業(yè)年產(chǎn)值x的增加而增加，且獎(jiǎng)金不低于8萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過企業(yè)年產(chǎn)值的12%.若函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.三、解答題9．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)業(yè)，提升特色農(nóng)產(chǎn)品的知名度，邀請了一家廣告牌制作公司設(shè)計(jì)一個(gè)寬為米、長為米的長方形展牌，其中，其面積為平方米.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；(2)如何設(shè)計(jì)展牌的長和寬，才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.10．（23-24高一上·四川成都·自主招生）甲?乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出.如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車.另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元.乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元.說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤差月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤.在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：(1)當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤是__________元；當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為__________輛時(shí)，兩公司的月利潤相等；(2)求兩公司月利潤差的最大值；(3)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出元給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求的取值范圍.11．（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·月考）黨的十九大報(bào)告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機(jī)遇推進(jìn)生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額，單位為萬元）.

(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？12．（23-24高一上·湖北武漢·期末）年月日，雅萬高鐵正式開通運(yùn)營，標(biāo)志著印度尼西亞邁入高鐵時(shí)代，中國印度尼西亞共建“一帶一路”取得重大標(biāo)志性成果.中國高鐵正在成為共建“一帶一路”和國際產(chǎn)能合作的重要項(xiàng)目.國內(nèi)某車輛廠決定從傳統(tǒng)型、智能型兩種型號的高鐵列車車廂中選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種型號車廂的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表（單位：百萬元）年固定成本每節(jié)車廂成本每節(jié)車廂價(jià)格每年最多生產(chǎn)的節(jié)數(shù)傳統(tǒng)型節(jié)智能型節(jié)已知，每銷售節(jié)智能型車廂時(shí)，需上交百萬元用于當(dāng)?shù)鼗A(chǔ)建設(shè).假設(shè)生產(chǎn)的車廂當(dāng)年都能銷售完.(1)設(shè)、分別為該廠投資傳統(tǒng)型和智能型兩種型號車廂的年利潤，分別求出、與年產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)①分別求出生產(chǎn)兩種型號車廂的平均利潤的最大值；②要使生產(chǎn)兩種型號車廂的平均利潤最大，該廠應(yīng)該選擇生產(chǎn)哪種型號車廂？第13講函數(shù)的應(yīng)用模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解函數(shù)模型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用；2．能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實(shí)際問題.知識點(diǎn)1一次函數(shù)模型1、一次函數(shù)為：2、求最值的方法：常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時(shí)，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．3、解決實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．以上過程用框圖表示如圖：知識點(diǎn)2二次函數(shù)模型1、二次函數(shù)：形如2、求最值的方法：在根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的最值問題.二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解答.3、解決實(shí)際應(yīng)用問題的注意事項(xiàng)（1）函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見的解題錯(cuò)誤．所以，要理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型．（2）要特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．（3）注意問題反饋，在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對實(shí)際問題的合理性．知識點(diǎn)3三、冪函數(shù)模型1、冪函數(shù)模型為y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)，2、在計(jì)算冪函數(shù)解析式、求冪函數(shù)最值的時(shí)候，通常利用冪函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性等解題.知識點(diǎn)4對勾函數(shù)模型解決“對勾”函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，需關(guān)注該函數(shù)的定義域、單調(diào)性、值域和圖象等，一般通過變形，構(gòu)造利用基本不等式的條件求最值。知識點(diǎn)5應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn)1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏；2、分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集；3、分段函數(shù)的值域求法為逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論。知識點(diǎn)6圖像信息應(yīng)用題的解答策略1、明確橫軸、縱軸的意義，分析題中的具體含義；2、由圖象判定函數(shù)模型；3、抓住特殊點(diǎn)的實(shí)際意義，特殊點(diǎn)一般包括最高點(diǎn)（最大值點(diǎn)）、最低點(diǎn)（最小值點(diǎn)）及折線的拐角點(diǎn)等；4、通過方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型化實(shí)際問題?？键c(diǎn)一：一次函數(shù)模型的應(yīng)用例1．（22-23高一上·北京·期中）果蔬批發(fā)市場批發(fā)某種水果，不少于千克時(shí)，批發(fā)價(jià)為每千克元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場采購這種水果，并以此批發(fā)價(jià)買進(jìn)，如果購買的水果為千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為元，則與之間的函數(shù)關(guān)系為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可知函數(shù)關(guān)系式是，由題意可知最少買千克，最多買千克，所以函數(shù)的定義域是.故；故選:C.【變式1-1】（22-23高一上·浙江·期中）某商場在國慶期間舉辦促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過400元，不享受折扣；若顧客的購物總金額超過400元，則超過400元部分分兩檔享受折扣優(yōu)惠，折扣率如下表所示：可享受折扣優(yōu)惠的金額折扣率不超過400元部分超過400元部分若某顧客獲得65元折扣優(yōu)惠，則此顧客實(shí)際所付金額為（

）A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元【答案】C【解析】當(dāng)顧客的購物總金額超過400元不超過800元時(shí)，享受折扣優(yōu)惠的金額做多為元，故該顧客購物總金額一定超過了800元，設(shè)為x元，則，解得（元），則此顧客實(shí)際所付金額為元，故選：C.【變式1-2】（23-24高一·全國·單元測試）（多選）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達(dá)到預(yù)期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實(shí)線分別為調(diào)整后關(guān)于的函數(shù)圖像．給出下列四種說法，其中正確的說法是（

）A．圖（2）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并提高固定成本B．圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價(jià)不變，并降低固定成本C．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并保持固定成本不變D．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價(jià)，并降低固定成本【答案】BC【解析】由圖（1）可設(shè)關(guān)于的函數(shù)為，，，為票價(jià)，當(dāng)時(shí)，，則為固定成本；由圖（2）知，直線向上平移，不變，即票價(jià)不變，變大，則變小，固定成本減小，故A錯(cuò)誤，B正確；由圖（3）知，直線與軸的交點(diǎn)不變，直線斜率變大，即變大，票價(jià)提高，不變，即不變，固定成本不變，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：BC．【變式1-3】（23-24高一上·云南保山·開學(xué)考試）為落實(shí)“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標(biāo)一工程隊(duì)負(fù)責(zé)在山腳下修建一座水庫的土方施工任務(wù).該工程隊(duì)有兩種型號的挖掘機(jī)，已知3臺型和5臺型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土165立方米；4臺型和7臺型挖掘機(jī)同時(shí)施工一小時(shí)挖土225立方米.每臺型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為300元，每臺型挖掘機(jī)一小時(shí)的施工費(fèi)用為180元.(1)分別求每臺型，型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土多少立方米？(2)若不同數(shù)量的型和型挖掘機(jī)共12臺同時(shí)施工4小時(shí)，至少完成1080立方米的挖土量，且總費(fèi)用不超過12960元.問施工時(shí)有哪幾種調(diào)配方案，并指出哪種調(diào)配方案的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？【答案】(1)每臺型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土30立方米，每臺型挖據(jù)機(jī)一小時(shí)挖土15立方米(2)型挖掘機(jī)7臺，型挖掘機(jī)5臺的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為12000元【解析】（1）設(shè)每臺型，型挖掘機(jī)一小時(shí)分別挖土立方米和立方米，根據(jù)題意，得，解得.所以，每臺型挖掘機(jī)一小時(shí)挖土30立方米，每臺型挖據(jù)機(jī)一小時(shí)挖土15立方米.（2）設(shè)型挖掘機(jī)有臺，總費(fèi)用為元，則型挖據(jù)機(jī)有臺.根據(jù)題意，，因?yàn)?，解得，又因?yàn)?，解得，所?所以，共有三種調(diào)配方案.方案一：當(dāng)時(shí)，，即型挖據(jù)機(jī)7臺，型挖掘機(jī)5臺；案二：當(dāng)時(shí)，，即型挖掘機(jī)8臺，型挖掘機(jī)4臺；方案三：當(dāng)時(shí)，，即型挖掘機(jī)9臺，型挖掘機(jī)3臺.，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，隨的減小而減小，當(dāng)時(shí)，此時(shí)型挖掘機(jī)7臺，型挖掘機(jī)5臺的施工費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為12000元.考點(diǎn)二：二次函數(shù)模型的應(yīng)用例2.（23-24高一上·北京東城·期末）把長為的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正方形，那么這兩個(gè)正方形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)鐵絲的一段長度為，（其中），則另一段鐵絲長為，兩個(gè)正方形的面積之和為，根據(jù)題意，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：D.【變式2-1】（23-24高一下·廣東梅州·期中）如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則平行四邊形的周長的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，則，由，得，顯然，連接，由，，得，，因此的周長顯然，當(dāng)，即時(shí)，，而時(shí)，，所以的周長的取值范圍是.故答案為：【變式2-2】（23-24高一上·湖南衡陽·月考）某工廠2022年年初用100萬元購進(jìn)一臺新的設(shè)備，并立即投入使用，該設(shè)備使用后，每年的總收入預(yù)計(jì)為50萬元.設(shè)使用x年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費(fèi)用為萬元，盈利總額為y萬元.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)從第幾年開始，使用該設(shè)備開始盈利?【答案】(1)；(2)第三年【解析】（1）由已知可得，.（2）當(dāng)時(shí)，開始盈利，即，整理可得，解得.又，所以，即從第三年開始盈利.【變式2-3】（23-24高一上·廣東佛山·月考）某商場銷售型商品，已知該商品的進(jìn)價(jià)是每件3元，且銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價(jià)（元）45678910日均銷售量（件）400360320280240200160請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，此商品如何定價(jià)（單位：元/件），該商品的日均銷售利潤最大？并求日均銷售利潤的最大值.【答案】當(dāng)定價(jià)為8.5元時(shí)，該商品的日均銷售利潤最大，且最大值為1210元.【解析】由題意表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)售價(jià)為4元時(shí)，日銷售量為400件，售價(jià)每增加1元，日銷售量就減少40件.設(shè)定價(jià)為元，日均銷售利潤為元，則，故當(dāng)時(shí)，有最大值.所以定價(jià)為8.5元時(shí)，日均銷售利潤最大，且最大值為1210元.考點(diǎn)三：冪函數(shù)模型的應(yīng)用例3.（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┠称髽I(yè)欲實(shí)現(xiàn)在今后10年內(nèi)產(chǎn)值翻兩翻的目標(biāo)，則該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率為(結(jié)果精確到0.001)【答案】/【解析】設(shè)該企業(yè)的年平均增長率為，則依題意得：，則，即，所以，即，故答案為：.【變式3-1】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個(gè)體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時(shí)，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，又，，即，，，，，．故選：D．【變式3-2】（23-24高一上·全國·練習(xí)）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅(jiān)取得重大勝利！為進(jìn)一步鞏固脫貧攻堅(jiān)成果，持續(xù)實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補(bǔ)貼10萬元．若要實(shí)現(xiàn)2024年初的資金達(dá)到270萬元的目標(biāo)，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【答案】B【解析】由題意，設(shè)年平均增長率為，則，所以，故年平均增長率為20%.故選：B【變式3-3】（23-24高一下·上海閔行·期末）銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時(shí)間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利．現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性向銀行貸款10萬元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30%的利潤；乙方案：每年向銀行貸款1萬元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元．(1)設(shè)技術(shù)改造后，甲方案第n年的利潤為（萬元），乙方案第n年的利潤為（萬元），請寫出、的表達(dá)式；(2)假設(shè)兩種方案的貸款期限都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10%的復(fù)利計(jì)算，試問該企業(yè)采用哪種方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多？（精確到0.1）（凈獲利=總利潤-本息和）（參考數(shù)據(jù)，【答案】(1)，,；(2)采用甲方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多【解析】（1）對于甲方案，1年后，利潤為1（萬元）．2年后，利潤為，3年后，利潤為（萬元），……故年后，利潤為（萬元），因此，對于乙方案，1年后，利潤為1（萬元）．2年后，利潤為，3年后，利潤為（萬元），……故年后，利潤為（萬元），因此，（2）甲方案十年共獲利（萬元），10年后，到期時(shí)銀行貸款本息為（萬元），故甲方案的凈收益為（萬元），乙方案十年共獲利（萬元），貸款本息為（萬元），故乙方案的凈收益為（萬元），由，故采用甲方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多考點(diǎn)四：對勾函數(shù)模型的應(yīng)用例4.（22-23高一上·安徽馬鞍山·期中）如圖，安工大附中欲利用原有的墻（墻足夠長）為背面，建造一間長方體形狀的房屋作為體育器材室.房屋地面面積為，高度為3m.若房屋側(cè)面和正面每平方米的造價(jià)均為1000元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為6000元，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，則該房屋的最低總造價(jià)為元.【答案】【解析】設(shè)房屋的長為，則寬為，則總造價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，故當(dāng)長等于，寬等于時(shí)，房屋的最低總造價(jià)為元.故答案為：.【變式4-1】（23-24高一上·湖北孝感·月考）一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲存貨物,經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：）成反比,每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站處建倉庫,則和分別為4萬元和9萬元,為了能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站千米處.【答案】【解析】由題知,設(shè),,由已知得,即,即兩項(xiàng)費(fèi)用之和為,即,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號,所以這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站千米處,才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小.故答案為:【變式4-2】（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）如圖，某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形和構(gòu)成的面積為的十字形地域．計(jì)劃在正方形上建一座花壇，造價(jià)為1000元；在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為400元；在四個(gè)空角（圖中四個(gè)三角形）上鋪草坪，造價(jià)為200元．設(shè)長為（單位：）．(1)用表示的長度，并求的取值范圍；(2)當(dāng)?shù)拈L為何值時(shí)，總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？【答案】(1)，；(2)當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最小為240000元.【解析】（1）由題意可得：矩形的面積為，因此，因?yàn)?，所以．?）由題意可得：，（）由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以當(dāng)時(shí)，總造價(jià)最小，最小值為240000元．【變式4-3】（23-24高一下·湖北·開學(xué)考試）某甜品店今年年初花費(fèi)21萬元購得一臺新設(shè)備，經(jīng)估算該設(shè)備每年可為甜品店提供12萬元的總收入，已知使用年所需的總維護(hù)費(fèi)用為萬元．(1)該甜品店第幾年開始盈利？(2)若干年后，該甜品店計(jì)劃以2萬的價(jià)格賣出設(shè)備，有以下兩種方案：①當(dāng)年平均盈利最大時(shí)賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大時(shí)賣出；試問哪一方案較為劃算？說明理由．【答案】(1)第四年，理由見解析；(2)兩個(gè)方案一樣，理由見解析【解析】（1）設(shè)該甜品店年后所得總利潤為萬元，則，若開始盈利即，∴，解得，∴第四年開始盈利．（2）方案①：設(shè)年平均利潤為，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，上為單調(diào)遞減．又，，時(shí)，，4年總利潤為3萬元，時(shí)，，5年總利潤為4萬元，故選擇第5年賣出，方案②：，，即時(shí)總利潤最大為4萬元，故選擇方案一或方案二是一樣的，最終都是在即第5年總利潤達(dá)到最大值4萬元，加上賣設(shè)備的2萬元，一共6萬元利潤．考點(diǎn)五：分段函數(shù)模型的應(yīng)用例5.（23-24高一下·江西贛州·期中）春天，時(shí)令水果草莓上市了，某水果店統(tǒng)計(jì)了草莓上市以來前兩周的銷售價(jià)格（元/盒）與時(shí)間t（天）的關(guān)系：一位顧客在這兩周里在該水果店購買了若干盒草莓，總共消費(fèi)212元，其中在后6天買了4盒，則前8天一共買了（

）A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒【答案】B【解析】設(shè)前3天共買了m盒，第4天到第8天共買了n盒，則，整理得，因?yàn)閙，n均為非負(fù)整數(shù)，所以是11的整數(shù)倍，當(dāng)時(shí)，，得．故選：B．【變式5-1】（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）新能源汽車是低碳生活的必然選擇和汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展趨勢.某汽車企業(yè)為了響應(yīng)國家號召，2020年積極引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過分析，全年需要投入固定成本萬元.每生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每輛車售價(jià)萬元，且生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.(1)求出年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤銷售量售價(jià)成本）(2)年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1)；(2)年產(chǎn)量為90百輛時(shí)利潤最大，最大利潤為2820萬元.【解析】（1）每輛車售價(jià)5萬元，年產(chǎn)量（百輛）時(shí)銷售收入為萬元，總成本為，所以.所以年利潤.（2）由（1）當(dāng)時(shí)，（百輛）時(shí)（萬元），當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)（百輛）時(shí)，等號成立，因?yàn)?820萬元萬元,所以年產(chǎn)量90百輛時(shí)利潤最大，最大利潤為2820萬元.【變式5-2】（23-24高一上·江西宜春·期末）某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場競爭力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺．每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完．(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤銷售收入成本）；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)；(2)70臺，最大利潤是1760萬元.【解析】（1）由題意可得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．（2）當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)（萬元）；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，此時(shí)萬元.綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為臺時(shí)，公司所獲利潤最大，最大利潤是萬元.【變式5-3】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打造“網(wǎng)紅”城鎮(zhèn)發(fā)展經(jīng)濟(jì)，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費(fèi)）20x元.已知這種水果的市場售價(jià)大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為（單位：元）(1)寫單株利潤（元）關(guān)于施用肥料x（千克）的關(guān)系式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果單株利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1)；(2)當(dāng)施用肥料為4千克時(shí)，單株利潤最大，最大利潤是480元.【解析】（1）依題意，，又，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，其圖象開口向上，對稱軸為，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的最大值為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立，而，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)施用肥料為4千克時(shí)，單株利潤最大，最大利潤是480元.考點(diǎn)六：圖象信息綜合應(yīng)用題例6.（23-24高一上·全國·期末）某單位準(zhǔn)備印制一批證書，現(xiàn)有兩個(gè)印刷廠可供選擇，甲廠費(fèi)用分為制版費(fèi)和印刷費(fèi)兩部分，先收取固定的制版費(fèi)，再按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)；乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費(fèi)，甲、乙兩廠的總費(fèi)用（千元）與印制證書數(shù)量（千個(gè)）的函數(shù)圖像分別如圖中甲、乙所示，則下列說法正確的是（

）

A．選擇甲廠比較劃算B．選擇乙廠比較劃算C．若該單位需印制證書數(shù)量為8千個(gè)，則選擇乙廠比較劃算D．當(dāng)該單位需印制證書數(shù)量小于2千個(gè)時(shí)，不管選擇哪個(gè)廠，總費(fèi)用都一樣【答案】C【解析】由圖知：甲廠費(fèi)用函數(shù)為，乙廠費(fèi)用函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，可得；結(jié)合圖象知：當(dāng)或時(shí)乙廠劃算；當(dāng)時(shí)甲廠劃算；當(dāng)或時(shí)甲乙費(fèi)用相同；所以A、B、D錯(cuò)，C對.故選：C【變式6-1】（22-23高一下·湖北武漢·期末）2023年4月18日，我國自行研制具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的噴氣式支線客機(jī)ARJ21完成了在印尼首航，這是ARJ21在海外市場商業(yè)運(yùn)行的首秀，標(biāo)志著國產(chǎn)新支線客機(jī)ARJ21在海外商業(yè)運(yùn)營邁開第一步．中國商飛公司為了進(jìn)一步打開海外市場，需要加大在開創(chuàng)性、創(chuàng)新性探索和實(shí)踐方面的投入．中國商飛公司旗下甲乙兩家子公司，各子公司投入與利潤的關(guān)系如下．甲公司：利潤（億元）與投入（億元）成一次函數(shù)關(guān)系，乙公司：利潤（億元）與投入（億元）成冪函數(shù)型關(guān)系，如圖所示．目前，中國商飛總公司準(zhǔn)備拿出資金10億元投入到甲、乙兩公司，如何分配才能使總利潤最大呢？（

）

A．投入甲公司億元，投入乙公司億元B．投入甲公司億元，投入乙公司億元C．投入甲公司0億元，投入乙公司10億元D．投入甲公司10億元，投入乙公司0億元【答案】B【解析】由題意可得：，解得，即甲公司利潤與投入函數(shù)關(guān)系式；，解得，乙公司利潤與投入函數(shù)關(guān)系式．設(shè)投入到乙公司億元，則投入到甲公司億元，總利潤，令，則總利潤為，因此當(dāng)，即投入到乙公司億元，投入到甲公司億元，總利潤最大．故選：B.【變式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比，其關(guān)系如圖1；投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2．(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有10萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？【答案】(1)，(2)當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為6萬元，風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的資金為4萬元時(shí)年收益最大，最大值為萬元【解析】（1）由題意可設(shè)，，由圖知，函數(shù)和的圖象分別過點(diǎn)和，代入解析式可得，，所以，.（2）設(shè)用于投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為萬元，用于投資風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的資金為萬元，年收益為萬元，則，，有，則當(dāng)，即萬元時(shí)，的最大值為，所以當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為6萬元，風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的資金為4萬元時(shí)年收益最大，最大值為萬元．【變式6-3】（23-24高一上·北京·期中）為進(jìn)一步改善空氣質(zhì)量，增強(qiáng)人民的藍(lán)天幸福感，年月日，國務(wù)院公開發(fā)布打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動計(jì)劃，其中京津冀地區(qū)被列為重點(diǎn)治理區(qū)域．某課外活動小組根據(jù)北京市預(yù)報(bào)的某天時(shí)空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)繪制成散點(diǎn)圖，并選擇連續(xù)函數(shù)來近似刻畫空氣質(zhì)量指數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖．(1)求，的值；(2)當(dāng)空氣質(zhì)量指數(shù)大于時(shí)，有關(guān)部門建議市民外出活動應(yīng)戴防霧霾口罩，并禁止某行業(yè)施工作業(yè)．請你結(jié)合該課外活動小組選擇的函數(shù)模型，回答以下問題：（i）某同學(xué)該天：出發(fā)上學(xué)，是否應(yīng)該戴防霧霾口罩？請說明理由；（ii）試問該天：之后，該行業(yè)可以施工作業(yè)的時(shí)間最長為多少小時(shí)？【答案】(1)，；(2)（i）應(yīng)該戴防霧霾口罩，理由見解析（ii）12小時(shí)【解析】（1）由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，，，又函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，，；（2）由1可知，，（i）當(dāng)時(shí)，，所以該同學(xué)應(yīng)該戴防霧霾口罩，(ⅱ)當(dāng)時(shí)，，令得，，解得：，所以該天：之后，該行業(yè)可以施工作業(yè)的時(shí)間最長為個(gè)小時(shí)．一、單選題1．（23-24高一上·遼寧大連·月考）某文具店購進(jìn)一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價(jià)格銷售，每天能賣出30盞；若售價(jià)每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價(jià)銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價(jià)x(單位：元)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)這批臺燈的銷售單價(jià)為x元，由題意得，，即，解得，又因?yàn)椋?，這批臺燈的銷售單價(jià)的取值范圍是.故選：C2．（23-24高一上·江西·月考）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時(shí)間（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時(shí)刻是（

）A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【解析】由題意，，則當(dāng)時(shí)，即煙花達(dá)到最高點(diǎn)，爆裂的時(shí)刻是第秒.故選：A.3．（23-24高一上·湖北黃岡·期中）為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實(shí)行“階梯水價(jià)”.計(jì)費(fèi)方法如表格所示：若某戶居民本月交納的水費(fèi)為48元，則此戶居民本月用水量是（

）每戶每月用水量水價(jià)不超過的部分3元超過但不超過的部分6元超過的部分9元A． B． C． D．【答案】B【解析】先計(jì)算本月用水量為，則需要繳納水費(fèi)36元，少于48元；如果本月用水量為，則前需要繳納水費(fèi)36元，超過但不超過的部分，需要繳納水費(fèi)36元，所以本月用水量為，需要繳納水費(fèi)72元，多于48元，則這該居民本月用水量超過但不超過，所以前需要繳納水費(fèi)36元，而超過但不超過的部分的水費(fèi)為12元，因?yàn)槠鋯蝺r(jià)為6元，所以為，故本月用水量為.故選：B4．（23-24高一上·廣東梅州·月考）如圖，點(diǎn)P在邊長為1的正方形邊上運(yùn)動，M是CD的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路程x與的面積y的函數(shù)的圖象的形狀大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】點(diǎn)P在AB上時(shí),；點(diǎn)P在BC上時(shí)，；點(diǎn)P在CD上時(shí)，；所以畫出分段函數(shù)的大致圖象，如圖所示．故選：A．5．（23-24高一上·江蘇南京·期中）學(xué)校宿舍與辦公室相距.某同學(xué)有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個(gè)過程中，這位同學(xué)行進(jìn)的速度和行走的路程都是時(shí)間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個(gè)圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【解析】設(shè)行進(jìn)的速度為m/min，行走的路程為Sm，則，且，由速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式可知，其圖象分別為①②.故選：A6．（23-24高一·全國·專題練習(xí)）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費(fèi)用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價(jià)格，減少支出費(fèi)用；建議（Ⅱ）不改變支出費(fèi)用，提高車票價(jià)格．下面給出的四個(gè)圖形中，實(shí)線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【答案】C【解析】設(shè)目前車票價(jià)格為，支出費(fèi)用為，則，對于建議（I），設(shè)建議后的支出費(fèi)用為（＜），則，顯然建議后，直線斜率不變，在y軸上的截距變大，故圖象①反映了建議（I）；對于建議（II），設(shè)建議后的車票價(jià)格為（＞），則，顯然建議后，直線斜率變大，在y軸上的截距不變，故圖象③反映了建議（II）．故選：C．二、填空題7．（23-24高一下·云南·月考）某商店銷售兩款商品，利潤（單位：元）分別為和，其中為銷量（單位：袋），若本周銷售兩款商品一共20袋，則能獲得的最大利潤為.【答案】170【解析】設(shè)該商店銷售商品袋，則商品袋，所以可獲得的利潤，，當(dāng)或10時(shí)，利潤最大，最大利潤為170元.故答案為：170.8．（22-23高一上·浙江寧波·期中）某地方政府為鼓勵(lì)全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地年產(chǎn)值（單位：萬元）的小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案為：獎(jiǎng)金y（單位：萬元）隨企業(yè)年產(chǎn)值x的增加而增加，且獎(jiǎng)金不低于8萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過企業(yè)年產(chǎn)值的12%.若函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由題意為增函數(shù)，故，解得.又根據(jù)題意可得對恒成立，故在恒成立.由對勾函數(shù)性質(zhì)可知：函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故，由可得在區(qū)間上恒成立，所以，綜上有，即m的取值范圍為.故答案為：.三、解答題9．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實(shí)施鄉(xiāng)村