數(shù)學(xué)素材：平面直角坐標(biāo)系中的基本公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥思考與討論設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為x0，則AM＝x0－x1，MB＝x2－x0.又AM＝MB，所以x0－x1＝x2－x0,所以2x0＝x1＋x2。即x0＝eq\f（x1＋x2，2)。應(yīng)當(dāng)指出，數(shù)軸上兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式x0＝eq\f（x1＋x2，2),這個(gè)公式應(yīng)用也相當(dāng)廣泛,這個(gè)公式在今后的學(xué)習(xí)中,會(huì)逐步地加以拓展，望同學(xué)們加以重視，系統(tǒng)掌握．練習(xí)A1．解：（1）如圖所示．(2）如圖所示，與M(2)的距離是3的兩點(diǎn)為A(－1)、B(5）．2．解：（1）a＞b。（2)A（－3)位于B(－4）的右側(cè);B(4)位于A（3)的右側(cè)；B(4）位于A(－3)的右側(cè)；A（3)位于B（－4）的右側(cè)．3．解：當(dāng)a＞0時(shí)，－a＜a，A（a)位于B(－a)的右側(cè);當(dāng)a＝0時(shí),A(0)與B(0）重合；當(dāng)a＜0時(shí)，－a＞a,A(a）位于B(－a）的左側(cè)．所以不能說點(diǎn)A（a)一定位于點(diǎn)B(－a）的右側(cè)．評(píng)注:對(duì)于題目中的字母，要注意其范圍．需要時(shí)要分類討論．4．略．5．解：（1)AB＝5－2＝3,｜AB｜＝3；(2)AB＝3－（－2)＝5，｜AB|＝5;（3)AB＝－5－(－2)＝－3，|AB｜＝3；(4)AB＝－2－3＝－5，｜AB｜＝5.練習(xí)B1．解:當(dāng)x＞0時(shí)，eq\f（|x｜，x)＝eq\f(x，x)＝1；當(dāng)x＜0時(shí),eq\f(｜x｜,x）＝eq\f（－x，x)＝－1。因此,eq\f(|x|,x）表示的點(diǎn)如圖所示．2．解：（1）由|x｜＝2，得x＝±2，∴P(－2)或P(2），如圖．(2)由｜x|＞3知，x＞3或x＜－3，如圖所示．3．解：設(shè)所求的一點(diǎn)為M（x)，則｜MA|＝2｜MB|，即｜－9－x｜＝2|－3－x|，解得x＝3或x＝－5.∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為M（3)或M(－5）．4．解:（1）如圖，P(x)區(qū)間為（4，10）．（2)如圖，P(x）區(qū)間為（－∞，1）或（3,＋∞)．(3)如圖，P(－6)或P(0）．練習(xí)A1．解：（1)∵x1＝6,y1＝2，x2＝－2，y2＝5，∴Δx＝x2－x1＝－2－6＝－8，Δy＝y(tǒng)2－y1＝5－2＝3.∴d（A，B）＝eq\r（Δx2＋Δy2)＝eq\r((－8）2＋32)＝eq\r(73)。（2)仿(1),d（C,D）＝eq\r(61）。(3)仿（1)，d(E，F(xiàn))＝3。(4)仿（1），d(G,H)＝eq\r(13).評(píng)注：初學(xué)兩點(diǎn)間的距離公式，可以按照課本介紹的四個(gè)步驟進(jìn)行，當(dāng)對(duì)兩點(diǎn)間距離公式比較熟悉以后，可以直接計(jì)算d（A，B)＝eq\r(（x2－x1)2＋(y2－y1)2）.2．證明：∵d（A，B)＝eq\r（（－11－3)2＋（3－8)2）＝eq\r(221)，d(B，C)＝eq\r(（－8＋11）2＋（－2－3）2）＝eq\r（34),d（A,C）＝eq\r(（－8－3)2＋（－2－8)2)＝eq\r（221)，∴|AB|＝|AC|。又∵A、B、C三點(diǎn)不共線,∴△ABC是等腰三角形．3．解：設(shè)線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)．(1）x＝eq\f（3－3，2)＝0，y＝eq\f(4＋2，2）＝3，∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0，3)．（2）x＝eq\f（－8＋5,2）＝－eq\f（3，2)，y＝eq\f(－3－3，2）＝－3，∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3,2)，－3)）.4．解:設(shè)M(x1，y1）關(guān)于原點(diǎn)（0，0)的對(duì)稱點(diǎn)為N(x2，y2）,由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得0＝eq\f(x1＋x2,2)，0＝eq\f（y1＋y2,2）.∴x2＝－x1，y2＝－y1?！郃(2，3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A′(－2，－3），B（－3,5)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B′(3，－5），C（－2,－4）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C′(2，4)，D（3，－5）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D′（－3,5)，P(a，b）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－a,－b）．練習(xí)B1．解：d(A，B)＝eq\r（（0－a）2＋（10－0)2)＝eq\r（a2＋100)＝17，解得a＝±3eq\r(21)。2．解：設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y）．∵對(duì)角線AC和BD互相平分,∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f(－1＋0，2）＝\f（3＋x,2），,\f(－2＋2，2）＝\f(1＋y，2)。）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－4，，y＝－1。）)∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－4，－1)．3．解：設(shè)A關(guān)于M的中心對(duì)稱點(diǎn)為A′(x,y），則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(x＋2,2）＝－2,,\f(y－3,2）＝1，））∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－6，，y＝5.))∴A′(－6,5)．同理可得B′（－5，－1)，C′（－3，5)，D′(－1，－3）．作圖略．4．略．習(xí)題21A1．解：AB＝2，BC＝1，CD＝－4，EA＝－4。評(píng)注：注意AB是向量eq\x\to（AB)的數(shù)量，有正負(fù)．2．解:（1）d（A，B）＝|x2－x1|＝｜3－8｜＝5；（2）d(A,B）＝｜－5－(－3）｜＝2；(3）d（A,B)＝｜－23－15｜＝38；(4)d（A，B)＝｜－7－（－13）｜＝6。3．解：d（A，B）＝eq\r（（－2＋1）2＋（3－3）2）＝1,d（B,C）＝eq\r（（0＋2）2＋(1－3）2）＝2eq\r(2），d（A,C）＝eq\r（（0＋1）2＋（1－3）2）＝eq\r（5）.4．解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,0），由d(P，A）＝13，得eq\r（(x－4）2＋122）＝13，解得x＝－1或x＝9，∴P（－1，0）或P(9，0)．5．解：設(shè)M(x,0）,由d(M，A)＝d（M，B)，得eq\r(（x－1)2＋(0－5）2)＝eq\r（(x－5）2＋（0＋2）2)，解得x＝eq\f(3,8），∴Meq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3,8），0）).6．解:由d(P，Q)＝10,得eq\r((－1－7)2＋(5－y）2）＝10，解得y＝－1或y＝11.7．解：(1)d(A,B)＝eq\r((3－7)2＋(2－4）2）＝2eq\r(5），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\f(7＋3，2）＝5，eq\f（4＋2,2）＝3，∴A、B的對(duì)稱中心為(5,3）．（2)d(C，D）＝eq\r((－2－6）2＋（－2＋4）2）＝2eq\r（17)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\f（6－2,2）＝2，eq\f(－4－2,2)＝－3，即C、D的對(duì)稱中心為(2,－3）．（3）d（E，F(xiàn)）＝eq\r(（2＋3）2＋(1－1)2）＝5，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\f(－3＋2，2)＝－eq\f（1，2)，eq\f（1＋1，2)＝1，即E、F的對(duì)稱中心為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（1,2)，1））.評(píng)注：對(duì)稱中心是兩點(diǎn)連線的中點(diǎn)．8．解：AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,2），因此，中線CD的長(zhǎng)度為d（C,D）＝eq\r（（0－0)2＋(2＋1)2)＝3；BC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－1,1），因此,中線AE的長(zhǎng)度為d(A,E)＝eq\r(（－1－2）2＋(1－1)2)＝3；AC的中點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),因此，中線BF的長(zhǎng)度為d(B，F(xiàn))＝eq\r((1＋2）2＋(0－3)2)＝3eq\r(2)。習(xí)題21B1．解：①在x軸上取點(diǎn)C(x,0）,使d(C,A)＝d（C，B），則eq\r(（x－1)2＋（0－2)2）＝eq\r(（x－5）2＋(0＋2)2），解得x＝3，即所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0)．②在y軸上取一點(diǎn)D(0,y），使d（D，A）＝d（D，B),則eq\r（（0－1)2＋（y－2）2)＝eq\r((0－5）2＋(y＋2)2)，解得y＝－3，即所求點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,－3）．2．解:設(shè)經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b。由于A(4,1)，B（－3,2）在該函數(shù)的圖象上，∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(4k＋b＝1，，－3k＋b＝2））?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（k＝－\f（1,7），，b＝\f（11，7）.））∴函數(shù)的表達(dá)式為y＝－eq\f(1，7)x＋eq\f（11,7)。令x＝0，則y＝eq\f(11，7），即直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f(11,7)）).設(shè)該點(diǎn)為D，又設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,y），如圖所示．則S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝eq\f(1，2)×4×|CD｜＋eq\f(1,2）×|－3|×|CD｜＝eq\f(7,2）｜CD｜＝12,∴|CD|＝eq\f（24，7)。又∵|CD|＝｜y－eq\f（11，7)｜＝eq\f（24,7），解得y＝5或y＝－eq\f（13，7）?！帱c(diǎn)C坐標(biāo)為(0,5)或eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，－\f(13，7））)。3．解：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1＝\f（x＋3,2),,1＝\f(3＋y,2)。)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,,y＝－1。）)4．解：∵d（A，B)＝eq\r((3－1）2＋(3＋1)2）＝2eq\r（5），d(B，C）＝eq\r（（4－3)2＋（5－3）2)＝eq\r(5），d（A，C)＝eq\r(（4－1)2＋(5＋1)2)＝3eq\r（5)，∴d(A，B）＋d(B，C）＝d（A，C)，∴A、B、C三點(diǎn)在一條直線上．評(píng)注:本題給出了證明三點(diǎn)共線的一種途徑——利用距離公式去證，還有其他證明方法,今后會(huì)陸續(xù)學(xué)到．5．解：d(A，B)＝eq\r((5－1）2＋(3－1）2）＝2eq\r(5)，d(B，C）＝eq\r（(0－5）2＋（3－3）2)＝5，d(A，C)＝eq\r((0－1)2＋(3－1）2）＝e