2019年全國(guó)中考數(shù)學(xué)分類匯編：壓軸題(一)(含答案解析)

2019年全國(guó)中考數(shù)學(xué)分類匯編:

壓軸題（一）

1.（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/-2尤-3與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)、

A在點(diǎn)8的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與彳軸交于點(diǎn)E.

（1）連結(jié)點(diǎn)M是線段8。上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與端點(diǎn)8,。重合），過(guò)點(diǎn)M作MN

VBD,交拋物線于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)），過(guò)點(diǎn)N作NHLx軸，垂足為交BD

于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，求//尸+儀+工尸。的最小值；

3

（2）在（1）中，當(dāng)取得最大值，即+FP+UC取得最小值時(shí)，把點(diǎn)尸向上平移返

32

個(gè)單位得到點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,把△A。。繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a（0°<a<360°）,

得到△&'OQ',其中邊A'Q,交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)G,使

得N2=/Q0G?若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

2.（2019?德州）如圖，拋物線旦〃x-4與x軸交于A（xi,0）,B（必0）兩點(diǎn)，

2

與y軸交于點(diǎn)C,且尤2-無(wú)1

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P（xi,yi）,Q（%2,J2）是拋物線上的兩點(diǎn)，當(dāng)a4i4+2,X2N微■時(shí)，均有

yiWy2,求a的取值范圍；

（3）拋物線上一點(diǎn)。（1,-5）,直線BO與y軸交于點(diǎn)E,動(dòng)點(diǎn)M在線段8。上，當(dāng)

/BZ）C=NMCE時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

3.（2019?天津）已知拋物線y=/-Zzr+c（b,c為常數(shù)，b>0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）,點(diǎn)M

Cm,0）是無(wú)軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).

（I）當(dāng)6=2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（II）點(diǎn)。（"”））在拋物線上，當(dāng)AM=AD,m=5時(shí)，求b的值；

（III）點(diǎn)。（6+工，y0）在拋物線上，當(dāng)揚(yáng)M+2QM的最小值為33M時(shí),求6的值.

2-4

4.（2019?濟(jì)寧）如圖1,在矩形ABCD中，AB=8,AD=10,E是CD邊上一點(diǎn)，連接AE,

將矩形A8CZ）沿AE折疊，頂點(diǎn)。恰好落在BC邊上點(diǎn)尸處，延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)G.

（1）求線段CE的長(zhǎng)；

（2）如圖2,M,N分別是線段AG,OG上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且/。MN=/D4M,

設(shè)AM—x,DN—y.

①寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值；

②是否存在這樣的點(diǎn)M,使△OMN是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出尤的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

5.（2019?自貢）（1）如圖1,E是正方形A8CD邊AB上的一點(diǎn)，連接3D、DE,將/SDE

繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC交于點(diǎn)F和點(diǎn)G.

①線段DB和DG的數(shù)量關(guān)系是；

②寫出線段BE,BF和。8之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）當(dāng)四邊形ABC。為菱形，NADC=60°,點(diǎn)E是菱形A8C。邊AB所在直線上的一

點(diǎn)，連接B。、DE,將繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線BC

交于點(diǎn)廠和點(diǎn)G.

①如圖2,點(diǎn)E在線段上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BE、和2。之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論

并給出證明；

②如圖3,點(diǎn)E在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，OE交射線于點(diǎn)M,若BE=1,46=2,

直接寫出線段GM的長(zhǎng)度.

6.（2019?自貢）如圖，已知直線與拋物線C：y=a?+2x+c相交于點(diǎn)A（-1,0）和點(diǎn)

B（2,3）兩點(diǎn).

（1）求拋物線C函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)M是位于直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以MA,MB為相鄰的兩邊作平行

四邊形MANB,當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，求此時(shí)平行四邊形MANB的面積S

及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）在拋物線C的對(duì)稱軸上是否存在定點(diǎn)凡使拋物線C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離

等于到直線y=紅的距離？若存在，求出定點(diǎn)廠的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4

7.（2019?金華）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形0ABe的邊長(zhǎng)為4,邊04,0c分別

在x軸，y軸的正半軸上，把正方形。48c的內(nèi)部及邊上，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為

好點(diǎn).點(diǎn)P為拋物線y=-（尤-%）2+機(jī)+2的頂點(diǎn).

（1）當(dāng)機(jī)=0時(shí)，求該拋物線下方（包括邊界）的好點(diǎn)個(gè)數(shù).

（2）當(dāng)相=3時(shí)，求該拋物線上的好點(diǎn)坐標(biāo).

（3）若點(diǎn)P在正方形043c內(nèi)部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個(gè)好點(diǎn)，求相

的取值范圍.

8.（2019?金華）如圖，在等腰Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=14加,點(diǎn)。，E分別在

邊AB,8c上，將線段ED繞點(diǎn)￡按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到EF.

（1）如圖1,若AO=8D,點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，與。C相交于點(diǎn)。求證：BD=2DO.

（2）已知點(diǎn)G為A尸的中點(diǎn).

①如圖2,若CE=2,求￡>G的長(zhǎng).

②若AO=68D,是否存在點(diǎn)E,使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的長(zhǎng)；若不

存在，試說(shuō)明理由.

9.（2019?棗莊）已知拋物線>=依2+口+4的對(duì)稱軸是直線彳=3,與x軸相交于A,B兩點(diǎn)

2

（點(diǎn)8在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式和A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1,若點(diǎn)尸是拋物線上8、C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與8、C重合），是否存

在點(diǎn)P,使四邊形P80C的面積最大？若存在，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)及四邊形P80C面積的最

大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2,若點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)N,

當(dāng)MN=3時(shí)，求點(diǎn)M■的坐標(biāo).

10.（2019?達(dá)州）箭頭四角形

模型規(guī)律

如圖1,延長(zhǎng)C。交于點(diǎn)。，則+

因?yàn)榘妓倪呅蜛8OC形似箭頭，其四角具有“NBOCM/A+/B+/C”這個(gè)規(guī)律，所以

我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”.

模型應(yīng)用

(1)直接應(yīng)用：①如圖2,ZA+ZB+ZC+ZZ)+Z￡+ZF=.

②如圖3,/ABE、/ACE的2等分線(即角平分線)BF、CF交于點(diǎn)尸，已知

120°,ZBAC=50°,則N2FC=.

③如圖4,BOi、C。分別為NAB。、NAC。的2019等分線(i=l,2,3,…，2017,

2018).它們的交點(diǎn)從上到下依次為。1、。2、03、…、(92018.已知N80C=m°,ZBAC

—n,則N_BOioooC=度.

(2)拓展應(yīng)用：如圖5,在四邊形ABC。中，BC=CD,/BCD=2/BAD.。是四邊形

A8CD內(nèi)一點(diǎn)，MOA=OB=OD.求證：四邊形O8CZ)是菱形.

11.(2019?達(dá)州)如圖2已知拋物線y=-7+bx+c過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(-3,0).

u)求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)。是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)tan(ZCAO+ZCDO)=4時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2.拋物線與y軸交于點(diǎn)E,點(diǎn)P是該拋物線上位于第二象限的點(diǎn)，線段PA

交BE于點(diǎn)交y軸于點(diǎn)N,ABMP和△EMN的面積分別為優(yōu)、n,求m-n的最大值.

12.(2019?濱州)如圖，在△ABC中，AB=AC,以A8為直徑的。。分別與8C,AC交于

點(diǎn)D,E,過(guò)點(diǎn)。作。FLAG垂足為點(diǎn)尸.

(1)求證：直線。尸是OO的切線；

(2)求證：BC2=4CF'AC；

(3)若。。的半徑為4,NCDF=15°,求陰影部分的面積.

13.(2019?濱州)如圖①，拋物線y=-L2+L+4與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)8,C,

82

將直線A8繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，所得直線與x軸交于點(diǎn)D

(1)求直線AO的函數(shù)解析式；

(2)如圖②，若點(diǎn)尸是直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

①當(dāng)點(diǎn)P到直線AD的距離最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最大距離；

②當(dāng)點(diǎn)P到直線AD的距離為？返時(shí)，求sinZPAD的值.

圖①圖②

14.（2019?青島）已知：如圖，在四邊形ABCZ）中，AB//CD,ZACB=90°,AB=10cm,

BC=8cm,0。垂直平分AC.點(diǎn)尸從點(diǎn)2出發(fā)，沿胡方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為Icwi/s；

同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)。出發(fā)，沿。C方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另

一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)P作交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)。作。p〃AC,分別交AD,

。。于點(diǎn)凡G.連接OP,EG.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f（s）（0<?<5）,解答下列問(wèn)題：

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)E在/BAC的平分線上？

（2）設(shè)四邊形PEGO的面積為S（C77?）,求S與/的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻f,使四邊形PEG。的面積最大？若存在，求出

/的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）連接OE,OQ,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻K使。ELOQ?若存在，求出

f的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.（2019?重慶）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-叵：2+叵與無(wú)軸交于A,臺(tái)兩

42

點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為。，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)。.

(1)如圖1,連接AC,BC.若點(diǎn)尸為直線BC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PE〃y

軸交8C于點(diǎn)E,作P凡LBC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)8作BG〃AC交y軸于點(diǎn)G.點(diǎn)”，K分別在

對(duì)稱軸和y軸上運(yùn)動(dòng)，連接尸〃，HK.當(dāng)APE廠的周長(zhǎng)最大時(shí)，求PH+HK+1KG的最

2

小值及點(diǎn)H的坐標(biāo).

(2)如圖2,將拋物線沿射線AC方向平移，當(dāng)拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。時(shí)停止平移，此時(shí)拋

物線頂點(diǎn)記為。'，N為直線。。上一點(diǎn)，連接點(diǎn)。'，C,N,△/)'CN能否構(gòu)成等腰

三角形？若能，直接寫出滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.(2019?安徽)一次函數(shù)〉=履+4與二次函數(shù)y=ad+c的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),

另一個(gè)交點(diǎn)是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)

(1)求左，a,c的值；

(2)過(guò)點(diǎn)A(0,m)(0<m<4)且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y=a/+c的圖象相交

于B,C兩點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，記卬=。42+8。2,求卬關(guān)于小的函數(shù)解析式，并求卬

的最小值.

17.(2019?安徽)如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

NAPB=/BPC=135°.

(1)求證：△必BsAPBC；

(2)求證：B4=2PC；

（3）若點(diǎn)尸到三角形的邊AB,BC,CA的距離分別為刀1,hi,hi,求證/?12=歷13.

18.（2019?揚(yáng)州）如圖，四邊形ABC。是矩形，AB=20,BC=10,以CD為一邊向矩形外

部作等腰直角△GOC,NG=90°.點(diǎn)M在線段A8上，且點(diǎn)尸沿折線-

OG運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。沿折線8C-CG運(yùn)動(dòng)（與點(diǎn)G不重合），在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持線段尸。

//AB.設(shè)尸。與AB之間的距離為尤.

（1）若a—12.

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，若四邊形尸的面積為48,則x的值為；

②在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求四邊形尸的最大面積；

（2）如圖2,若點(diǎn)尸在線段。G上時(shí)，要使四邊形AMQP的面積始終不小于50,求。

的取值范圍.

19.（2019?揚(yáng)州）如圖，已知等邊AABC的邊長(zhǎng)為8,點(diǎn)尸是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、

8不重合）.直線1是經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的一條直線，把△ABC沿直線1折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)

B'.

（1）如圖1,當(dāng)尸8=4時(shí)，若點(diǎn)3'恰好在AC邊上，則A4的長(zhǎng)度為；

(2)如圖2,當(dāng)PB=5時(shí)，若直線1〃AC,則23'的長(zhǎng)度為；

(3)如圖3,點(diǎn)P在A8邊上運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若直線1始終垂直于AC,△AC8'的面積是

否變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變化，求出面積；

(4)當(dāng)PB=6時(shí)，在直線1變化過(guò)程中，求△AC8'面積的最大值.

20.(2019?南京)如圖①，在RtaABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.求作菱形。EfG,

使點(diǎn)。在邊AC上，點(diǎn)區(qū)F在邊4B上，點(diǎn)G在邊8c上.

小明的作法

1.如圖②，在邊AC上取一點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作。G〃AB交BC于點(diǎn)G.

2.以點(diǎn)。為圓心，0G長(zhǎng)為半徑畫弧，交A8于點(diǎn)E.

3.在E8上截取連接FG,則四邊形。EFG為所求作的菱形.

(1)證明小明所作的四邊形。EEG是菱形.

(2)小明進(jìn)一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個(gè)數(shù)隨著點(diǎn)D的位置變化而變化……請(qǐng)你繼

續(xù)探索，直接寫出菱形的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的CD的長(zhǎng)的取值范圍.

21.(2019?南京)【概念認(rèn)識(shí)】

城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按

直角拐彎的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系尤Oy,對(duì)兩

點(diǎn)A(xi,yi)和B(彳2,”)，用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：d(A,B)—\xi-xi\+\yi-

【數(shù)學(xué)理解】

(1)①已知點(diǎn)A(-2,1),則1(。，A)=.

②函數(shù)y=-2r+4(0WxW2)的圖象如圖①所示，B是圖象上一點(diǎn)，d(O,B)=3,則

點(diǎn)B的坐標(biāo)是.

(2)函數(shù)>=23>0)的圖象如圖②所示.求證：該函數(shù)的圖象上不存在點(diǎn)C,使d

x

(O,C)=3.

(3)函數(shù)y=/-5x+7(x20)的圖象如圖③所示，。是圖象上一點(diǎn)，求d(。，D)的

最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)D的坐標(biāo).

【問(wèn)題解決】

(4)某市要修建一條通往景觀湖的道路，如圖④，道路以〃為起點(diǎn)，先沿方向到

某處，再在該處拐一次直角彎沿直線到湖邊，如何修建能使道路最短？(要求：建立適

當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，畫出示意圖并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由)

22.(2019?寧波)定義：有兩個(gè)相鄰內(nèi)角互余的四邊形稱為鄰余四邊形，這兩個(gè)角的夾邊稱

為鄰余線.

(1)如圖1,在△ABC中，AB^AC,是△ABC的角平分線，E,尸分別是AD

上的點(diǎn).

求證：四邊形A2EF是鄰余四邊形.

(2)如圖2,在5X4的方格紙中，A,8在格點(diǎn)上，請(qǐng)畫出一個(gè)符合條件的鄰余四邊形

ABEF,使A2是鄰余線，E,尸在格點(diǎn)上.

(3)如圖3,在(1)的條件下，取EF中點(diǎn)連結(jié)QM并延長(zhǎng)交于點(diǎn)。延長(zhǎng)EF

交AC于點(diǎn)N.若N為AC的中點(diǎn)，DE=2BE,QB=3,求鄰余線AB的長(zhǎng).

c

23.(2019?寧波)如圖1,。。經(jīng)過(guò)等邊△ABC的頂點(diǎn)A,C(圓心。在△ABC內(nèi))，分別

與AB,CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)。，E,連結(jié)。E,8FLEC交AE于點(diǎn)況

(1)求證：BD=BE.

(2)當(dāng)AREF=3：2,AC=6時(shí)，求AE的長(zhǎng).

(3)設(shè)tan/ZME=y.

EF

①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；

②如圖2,連結(jié)。尸，OB,若△AEC的面積是△OEB面積的10倍，求y的值.

24.(2019?泰安)若二次函數(shù)y=a/+fov+c的圖象與無(wú)軸、y軸分別交于點(diǎn)A(3,0)、B(0,

-2),且過(guò)點(diǎn)C(2,-2).

(1)求二次函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)尸為拋物線上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，且SAPBA=4,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

（3）在拋物線上（AB下方）是否存在點(diǎn)使若存在，求出點(diǎn)M到

y軸的距離；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

25.（2019?泰安）如圖，四邊形48C。是正方形，是等腰直角三角形，點(diǎn)E在A8

上，且NCEP=90°,FG±AD,垂足為點(diǎn)C.

（1）試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；

（2）若點(diǎn)X為CP的中點(diǎn)，GH與。X垂直嗎？若垂直，給出證明；若不垂直，說(shuō)明理

26.（2019?杭州）設(shè)二次函數(shù)y=（x-xi）（x-X2）Cxi,%2是實(shí)數(shù)）.

（1）甲求得當(dāng)無(wú)=0時(shí)，y=0；當(dāng)x=l時(shí)，y=0；乙求得當(dāng)尤時(shí)，y=-若甲求

22

得的結(jié)果都正確，你認(rèn)為乙求得的結(jié)果正確嗎？說(shuō)明理由.

（2）寫出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，并求該函數(shù)的最小值（用含XI,X2的代數(shù)式表示）.

（3）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)（0,機(jī)）和（1,n）兩點(diǎn)（相，”是實(shí)數(shù)），當(dāng)0<xi<x2

<1時(shí)，求證：0<加〃<_1—.

16

27.(2019?杭州)如圖，已知銳角三角形ABC內(nèi)接于圓。，OOLBC于點(diǎn)。，連接04.

(1)若NA4C=60°,

①求證：0￡)=104.

2

②當(dāng)OA=l時(shí)，求△ABC面積的最大值.

(2)點(diǎn)E在線段。4上，OE=OD,連接QE,設(shè)ZACB=nZOED

(m,"是正數(shù))，若/ABC<NACB,求證：-n+2=0.

28.(2019?鹽城)如圖所示，二次函數(shù)y=A(x-1)2+2的圖象與一次函數(shù)-Z+2的

圖象交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)8在點(diǎn)A的右側(cè)，直線A8分別與x、y軸交于C、。兩點(diǎn)，其

中左<0.

(1)求A、8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)若△048是以。4為腰的等腰三角形，求左的值；

(3)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E,是否存在實(shí)數(shù)左，使得/OOC=2NBEC,

若存在，求出左的值；若不存在，說(shuō)明理由.

x

29.(2019?泰州)如圖，線段42=8,射線8GLA3,尸為射線BG上一點(diǎn)，以AP為邊作

正方形APCD,且點(diǎn)C、。與點(diǎn)8在AP兩側(cè)，在線段。P上取一點(diǎn)E,使NEAP=/BAP,

直線CE與線段AB相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)尸與點(diǎn)A、8不重合).

(1)求證：MAEP空△CEP；

(2)判斷C尸與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由;

(3)求△AEP的周長(zhǎng).

30.(2019?泰州)已知一次函數(shù)yi=fcr+w("＜0)和反比例函數(shù)＞2=2(相＞0,x＞0).

x

(1)如圖1,若〃=-2,且函數(shù)以、”的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,4).

①求7”,左的值；

②直接寫出當(dāng)yi時(shí)x的范圍；

(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)尸(1,0)作y軸的平行線/與函數(shù)"的圖象相交于點(diǎn)8,與反比例

函數(shù)丫3=且(尤＞0)的圖象相交于點(diǎn)C.

x

①若左=2,直線/與函數(shù)yi的圖象相交點(diǎn)。.當(dāng)點(diǎn)2、C、。中的一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距

離相等時(shí)，求相的值；

②過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線與函數(shù)yi的圖象相交與點(diǎn)E.當(dāng)m-n的值取不大于1的任意

實(shí)數(shù)時(shí)，點(diǎn)、B、C間的距離與點(diǎn)3、E間的距離之和d始終是一個(gè)定值.求此時(shí)上的值及

定值d.

31.(2019?成都)如圖1,在△ABC中，AB=AC=20,tanB=2,,點(diǎn)。為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)

4

(點(diǎn)。不與點(diǎn)3,C重合).以。為頂點(diǎn)作射線。E交AC邊于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)

A作交射線DE于點(diǎn)F,連接CE

(1)求證：AABDsADCE；

(2)當(dāng)。E〃AB時(shí)(如圖2),求AE的長(zhǎng);

(3)點(diǎn)。在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)位置，使得。尸=C尸？若存在，求出

此時(shí)8。的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

32.(2019?成都)如圖，拋物線》=0?+法+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,5),與x軸相交于3(-1,0),

C(3,0)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)D在拋物線的對(duì)稱軸上，且位于x軸的上方，將△88沿直線BD翻折得到4

BCD,若點(diǎn)。恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上，求點(diǎn)。和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)設(shè)尸是拋物線上位于對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，當(dāng)△CP0為

等邊三角形時(shí)，求直線的函數(shù)表達(dá)式.

33.(2019?溫州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-L+4分別交x軸、y軸于點(diǎn)3,

2

C,正方形AOCQ的頂點(diǎn)。在第二象限內(nèi)，E是BC中點(diǎn)，OFLOE于點(diǎn)R連結(jié)OE.動(dòng)

點(diǎn)P在4。上從點(diǎn)A向終點(diǎn)。勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q在直線2C上從某一點(diǎn)。1向終

點(diǎn)02勻速運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn).

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和OE的長(zhǎng).

(2)設(shè)點(diǎn)。2為(m,71),當(dāng)工■=Ltan/EQF時(shí)，求點(diǎn)02的坐標(biāo).

ITI7

(3)根據(jù)(2)的條件，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到49中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。恰好與點(diǎn)。重合.

①延長(zhǎng)交直線BC于點(diǎn)。3,當(dāng)點(diǎn)。在線段。2。3上時(shí)，設(shè)。3。=5,AP=t,求S關(guān)

于才的函數(shù)表達(dá)式.

②當(dāng)PQ與AOEF的一邊平行時(shí)，求所有滿足條件的AP的長(zhǎng).

34.（2019?樂(lè)山）在△ABC中，已知。是BC邊的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，過(guò)G點(diǎn)的直

線分別交AB、AC于點(diǎn)￡、F.

（1）如圖1,當(dāng)E尸〃時(shí)，求證：巫+d=1；

AEAF

（2）如圖2,當(dāng)EP和8C不平行，且點(diǎn)E、尸分別在線段A3、AC上時(shí)，（1）中的結(jié)論

是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上或點(diǎn)尸在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否

成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

35.（2019?樂(lè)山）如圖，已知拋物線y=a（x+2）（x-6）與尤軸相交于A、8兩點(diǎn)，與〉軸

交于C點(diǎn)，且tan/CA8=上.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為對(duì)稱軸交無(wú)軸于點(diǎn)N.

2

（1）求拋物線的解析式；

（2）P為拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q（〃，0）為x軸上一點(diǎn)，且

①當(dāng)點(diǎn)P在線段MN（含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求”的變化范圍；

②當(dāng)n取最大值時(shí)，求點(diǎn)P到線段CQ的距離；

③當(dāng)“取最大值時(shí)，將線段C0向上平移/個(gè)單位長(zhǎng)度，使得線段C。與拋物線有兩個(gè)

交點(diǎn)，求f的取值范圍.

（1）如圖1,若〃=1,N是42延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CN與AM垂直，求證：BM=BN.

（2）過(guò)點(diǎn)8作尸為垂足，連接CP并延長(zhǎng)交42于點(diǎn)。.

①如圖2,若〃=1,求證：空=型.

PQBQ

②如圖3,若/是BC的中點(diǎn)，直接寫出tan/BPQ的值.（用含”的式子表示）

37.（2019?武漢）已知拋物線Ci：y=（x-1）2-4和C2：j=x2

（1）如何將拋物線C1平移得到拋物線C2?

（2）如圖1,拋物線Q與x軸正半軸交于點(diǎn)A,直線y=-￡+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,交拋物線

3

。于另一點(diǎn)8.請(qǐng)你在線段AB上取點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)尸作直線尸。〃y軸交拋物線C1于點(diǎn)。，

連接AQ.

①若AP=A。，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②若依=2。直接寫出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

（3）如圖2,ZXMNE的頂點(diǎn)M、N在拋物線C2上，點(diǎn)〃在點(diǎn)N右邊，兩條直線ME、

NE與拋物線C2均有唯一公共點(diǎn)，ME、NE均與y軸不平行.若AMNE的面積為2,設(shè)

M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為機(jī)、n,求機(jī)與w的數(shù)量關(guān)系.

38.(2019?蘇州)已知矩形A8C。中，AB=5aw,點(diǎn)尸為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且AP=

2舟n.如圖①，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上沿著A-BfC的方向勻速運(yùn)動(dòng)(不

包含點(diǎn)C).設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(5),AAPM的面積為S(cm2),S與t的函數(shù)關(guān)

系如圖②所示.

(1)直接寫出動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s,BC的長(zhǎng)度為cm；

(2)如圖③，動(dòng)點(diǎn)M重新從點(diǎn)A出發(fā)，在矩形邊上按原來(lái)的速度和方向勻速運(yùn)動(dòng)，同

時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，在矩形邊上沿著ACfB的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)N

的運(yùn)動(dòng)速度為v(cmls).已知兩動(dòng)點(diǎn)N經(jīng)過(guò)時(shí)間x(s)在線段8C上相遇(不包含

點(diǎn)C),動(dòng)點(diǎn)M,N相遇后立即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，記此時(shí)與△。尸N的面積分別為Si

(CITT),&(cm2)

①求動(dòng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)速度v(cm/s)的取值范圍；

②試探究S「S2是否存在最大值，若存在，求出SLS2的最大值并確定運(yùn)動(dòng)時(shí)間x的值；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

39.(2019?蘇州)如圖①，拋物線y=-7+(a+1)x-。與x軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于

點(diǎn)8的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C.已知△A8C的面積是6.

(1)求a的值；

(2)求△ABC外接圓圓心的坐標(biāo)；

(3)如圖②，尸是拋物線上一點(diǎn)，0為射線CA上一點(diǎn)，且尸、。兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi)，

。、A是位于直線8尸同側(cè)的不同兩點(diǎn)，若點(diǎn)尸到x軸的距離為d,△QP8的面積為2d,

40.(2019?荷澤)如圖，拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,-2),點(diǎn)A

的坐標(biāo)是(2,0),P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PCx軸于點(diǎn)。，交直線8c于

點(diǎn)E,拋物線的對(duì)稱軸是直線x=-1.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)尸在第二象限內(nèi)，且PE=L?￡）,求APBE的面積.

4

（3）在（2）的條件下，若M為直線8c上一點(diǎn)，在x軸的上方，是否存在點(diǎn)使4

8QM是以89為腰的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2019年全國(guó)中考數(shù)學(xué)分類匯編：

壓軸題（一）

參考答案與試題解析

1.（2019?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/-2尤-3與x軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)、

A在點(diǎn)8的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E.

（1）連結(jié)8。，點(diǎn)/是線段8。上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)/不與端點(diǎn)8,。重合），過(guò)點(diǎn)M作MN

-LBD,交拋物線于點(diǎn)N（點(diǎn)N在對(duì)稱軸的右側(cè)），過(guò)點(diǎn)N作NHLx軸，垂足為H,交BD

于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MN取得最大值時(shí)，求"F+EP+工PC的最小值；

3

（2）在（1）中，當(dāng)MN取得最大值，族+尸尸+Uc取得最小值時(shí)，把點(diǎn)尸向上平移返

32

個(gè)單位得到點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,把△A。。繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a（0°<a<360°）,

得到OQ1,其中邊A'Q'交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，是否存在一點(diǎn)G,使

得N2=/Q，0G?若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

【分析】（1）先確定點(diǎn)F的位置，可設(shè)點(diǎn)N（%，川-2m-3）,則點(diǎn)F（m,2m-6）,

可得|NF|=（2m-6）--2/77-3）=-m2+4m-3,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得m=一L

2a

=2時(shí)，NF取到最大值，此時(shí)取到最大值，此時(shí)族=2,此時(shí)下（2,-2）,在x

軸上找一點(diǎn)K（耳五，0）,連接CK,過(guò)點(diǎn)B作CK的垂線交CK于點(diǎn)/點(diǎn)，交y軸于

點(diǎn)P,sin/OCK=L直線KC的解析式為：尸-2&x-3,從而得到直線R7的解析

3

式為：聯(lián)立解出點(diǎn)八2一2二,-19-4滅）得FP+LPC的最小值即為

■42993

FJ的長(zhǎng)，且|印=L+也最后得出|小斗萬(wàn)+工PC|加"=7+4近；

3333

（2）由題意可得出點(diǎn)。（0,-2）,4。=遍，應(yīng)用"直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

上的一半”取A。的中點(diǎn)G,連接OG,貝!]OG=GQ=LQ=Y1,此時(shí)，ZAQO=Z

22

GOQ,把△49。繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a（0。<a<360°）,得到OQ',

其中邊A'Q'交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G,則用OG=GQ）分四種情況求解.

【解答】解：（1）如圖1

:拋物線y=7-2x-3與x軸交于點(diǎn)A,8(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C

...令y=0解得：xi--1,%2=3,令X=0,解得：y=-3,

AA(-1,0),B(3,0),C(0,-3)

2

???點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，且一旦=二2=1,4ac-b=4X1X(-3)-4=-4

2a24a4X1

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為。(1,-4)

直線BD的解析式為：y=2x-6,

由題意，可設(shè)點(diǎn)N(加，租2-2機(jī)-3),則點(diǎn)尸(機(jī)，2m-6)

\NF\—(2MJ-6)-(m2-2m-3)=-m2+4m-3

.?.當(dāng)〃z=一k_=2時(shí)，NE取到最大值，此時(shí)MN取到最大值，此時(shí)液=2,

2a

此時(shí)，N(2,-3),F(2,-2),H(2,0)

在x軸上找一點(diǎn)K(國(guó)2,0),連接CK,過(guò)點(diǎn)尸作CK的垂線交CK于點(diǎn)/點(diǎn)，交y

4

軸于點(diǎn)P,

：.sinZOCK=L,直線KC的解析式為：y=-242x-3,且點(diǎn)尸(2,-2),

3

：.PJ=Lpc,直線E/的解析式為：丫=亞乂_4+&

3,42

.?.點(diǎn)j(2-2&,T9-4、氏

99_

，F(xiàn)P+Uc的最小值即為E7的長(zhǎng)，且|E7]=L+_生巨

333

/.|HF+FP+」-PC|""R='+4企;

33

(2)由(1)知，點(diǎn)尸(0,產(chǎn)料),

_2

:把點(diǎn)P向上平移返個(gè)單位得到點(diǎn)。

2

...點(diǎn)Q(0,-2)

.?.在Rt^A。。中，ZAOG=90°，4。=遍，取A。的中點(diǎn)G,連接OG,貝UOG=G。

此時(shí)

=LQ=Y5,,ZAQO^ZGOQ

22

把△AOQ繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度a(0°<a<360°),得到OQ',其中邊

A'Q'交坐標(biāo)軸于點(diǎn)G

軸于點(diǎn)/,S.ZGOQ'

則ZIOQ'^ZOA'Q'^ZOAQ,

\"sinZOAQ=四=-L=

AQ旄5__

sinZIOQ'=l^—=1^_=解得：\io\=^H-

0Qy255

...在Rt^O/Q中根據(jù)勾股定理可得071=當(dāng)區(qū)

5

...點(diǎn)。'的坐標(biāo)為。‘（空5,一生區(qū)）；

55

②如圖3,

當(dāng)G點(diǎn)落在y軸的正半軸上時(shí)，同理可得2（-至￡士后）

55

④如圖5

綜上所述，所有滿足條件的點(diǎn)0的坐標(biāo)為：(空名，-士后)，(2匹,空5),(-巫,

__55555

4旄f.W5一2炳、

555

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能

力的培養(yǎng)及直角三角形的中線性質(zhì).要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起

來(lái)，利用通過(guò)求點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系.

2.(2019?德州)如圖，拋物線與x軸交于A(xi,0),B(00)兩點(diǎn)，

2

與y軸交于點(diǎn)C,且%2-%l=2L.

2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若P(xi,yi),Q(必＞2)是拋物線上的兩點(diǎn)，當(dāng)%2三旦時(shí)，均有

2

yiW”，求〃的取值范圍；

(3)拋物線上一點(diǎn)。(1,-5),直線瓦)與y軸交于點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)〃在線段瓦)上，當(dāng)

NBOC=NMCE時(shí)，求點(diǎn)”的坐標(biāo).

【分析】(1)函數(shù)的對(duì)稱軸為：尤=-上-="=2~,而且X2-=將上述兩

2a422

式聯(lián)立并解得：龍1=-上，X2=4,即可求解；

2

(2)由(1)知，函數(shù)的對(duì)稱軸為：％=旦則尤=旦和尤=-2關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，故其函

42

數(shù)值相等，即可求解;

(3)確定△20C、△CDG均為等腰直角三角形，即可求解.

【解答】解：(1)函數(shù)的對(duì)稱軸為：X=-*-=反=±_—,而且X2-X1=2L,

2a422

將上述兩式聯(lián)立并解得：X1=-反，X2=4,

2

則函數(shù)的表達(dá)式為：y—m(x+2)(x-4)—m(/-4x+2r-6),

22

即：-6〃z=-4,解得：m——,

3

故拋物線的表達(dá)式為：y=Z7-&r-4；

-33

(2)由(1)知，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x=2,

4

則和％=-2關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，故其函數(shù)值相等，

2

又aWxiWa+2,無(wú)2?旦時(shí)，均有yiW”，

2''

'a》-2

結(jié)合函數(shù)圖象可得：/9,解得：-反；

a+2<y2

(3)如圖，連接8C、CM,過(guò)點(diǎn)。作。G_LOE1于點(diǎn)G,

而點(diǎn)8、C、。的坐標(biāo)分別為：(4,0)、(0,-4)、(1,-5),

則OB=OC=4,CG=GC=1,BC=4?CD=?,

故△BOC、△CDG均為等腰直角三角形，

.?.ZBC￡>=180°-NOCB-/GCD=90°,

在Rtz\BC。中，tanN8￡)C==4,

CD一版

NBDC=/MCE,

貝ijtan/MCE=4,

將點(diǎn)3、。坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：并解得：

直線8。的表達(dá)式為：>=且「型，故點(diǎn)E(0,-型)，

333

設(shè)點(diǎn)與L型)，過(guò)點(diǎn)M作MFUCE于點(diǎn)R

33

則MF=n,CF=OF-OC=3-顯，

33

33

解得：n=—,

23

故點(diǎn)M(絲，-也0).

2323

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)、等腰直角三角形性質(zhì)等，

其中(3),確定△BOC、△CQG均為等腰直角三角形，是本題解題的關(guān)鍵.

3.(2019?天津)已知拋物線y=/-bx+c(b,c為常數(shù)，b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)M

(m,0)是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn).

(I)當(dāng)6