24.5 三角形的內(nèi)切圓 同步練習(xí)

第24章圓24.5三角形的內(nèi)切圓基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1三角形的內(nèi)切圓及作法1.下圖是某鋼材公司在加工成品過程中產(chǎn)生的一種三角形余料，為了節(jié)約成本，現(xiàn)欲把這批三角形余料加工成圓形工件，怎樣才能從這樣的三角形余料上剪下面積最大的圓形工件?知識點(diǎn)2三角形內(nèi)心的性質(zhì)2.(2021天津期末)三角形的內(nèi)心是()A.三角形三條中線的交點(diǎn) B.三角形三條高線的交點(diǎn)C.三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn) D.三角形三條角平分線的交點(diǎn)3.如圖，在△ABC中，∠A=70°，☉O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，則∠BOC=()A.140° B.135° C.130° D.125°4.(2019湖北荊門中考)如圖，△ABC的內(nèi)心為I，連接AI并延長交△ABC的外接圓于D，則線段DI與DB的關(guān)系是()A.DI=DB B.DI>DB C.DI<DB D.不確定5.已知三角形的面積為24，周長為24，則這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑為.

6.如圖，△ABC中，∠ACB=90°，☉O是△ABC的內(nèi)切圓，AB=8，☉O的半徑為2，則△ABC的周長是.

7.(2022湖北黃石模擬)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾八步，股十五步，問勾中容圓徑幾何?”其意思是：今有直角三角形，勾(短直角邊)長為8步，股(長直角邊)長為15步，問該直角三角形能容納的圓形(內(nèi)切圓)直徑是多少?則所求直徑是步.

8.如圖，E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AE的延長線交△ABC的外接圓(☉O)于點(diǎn)D，且DB=DC=DE.求證：E為△ABC的內(nèi)心.9.如圖，△ABE內(nèi)接于☉O，AB是直徑，點(diǎn)M是△ABE的內(nèi)心，連接BM并延長交☉O于點(diǎn)C，連接AC，EM.(1)求證：AC=CM，AC=CE；(2)若☉O的半徑為5，AE=8，求S△BEM.能力提升全練10.(2022貴州黔西南州興義期末)已知△ABC的內(nèi)心為P，則下列說法錯(cuò)誤的是()A.PA=PB=PC B.P在△ABC的內(nèi)部C.P為△ABC三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn) D.P到三角形三邊距離相等11.(2020山東濟(jì)寧中考)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，∠A=60°，CD=2，BD=4，則△DBC的面積是()A.43 B.23 C.2 D.412.(2021臺灣省中考)如圖，I為△ABC的內(nèi)心，有一條直線通過I點(diǎn)且分別與AB、AC相交于D點(diǎn)、E點(diǎn).若AD=DE=5，AE=6，則I點(diǎn)到BC的距離為()A.2411 B.3011 C.213.(2020江蘇泰州中考)如圖所示的網(wǎng)格由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成，點(diǎn)A、B、C在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(3，6)，(-3，3)，(7，-2)，則△ABC內(nèi)心的坐標(biāo)為.

14.(2020青海中考)如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r為.

15.(2022四川宜賓中考)我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形(如圖所示).若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3，小正方形的面積為49，則大正方形的面積為.

16.(2021貴州畢節(jié)中考)如圖，☉O是△ABC的外接圓，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點(diǎn)F，交☉O于點(diǎn)D，連接BD，BE.(1)求證：DB=DE；(2)若AE=3，DF=4，求DB的長.17.(2019湖北鄂州中考)如圖，PA是☉O的切線，切點(diǎn)為A，AC是☉O的直徑，連接OP交☉O于E.過A點(diǎn)作AB⊥PO于點(diǎn)D，交☉O于B，連接BC，PB.(1)求證：PB是☉O的切線；(2)求證：E為△PAB的內(nèi)心；(3)若cos∠PAB=1010，BC=1，求PO的長素養(yǎng)探究全練18.如圖，☉O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D、E、F.為了探索三角形的周長L、面積S與內(nèi)切圓半徑r之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)活動中，選取等邊三角形(圖甲)和直角三角形(圖乙)進(jìn)行研究.(1)根據(jù)下表數(shù)據(jù)，計(jì)算出周長L和面積S；ACBCABrLS圖甲2.02.02.03圖乙3.04.05.01.0(2)觀察圖形，利用上表數(shù)據(jù)，分析、猜測特殊三角形的r與L、S之間的關(guān)系，判斷這種關(guān)系對任意三角形(圖丙)是否也成立，并給出證明.19.(2022貴州銅仁印江三模)已知任意三角形的三邊長，如何求三角形的面積?古希臘的幾何學(xué)家海倫解決了這個(gè)問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計(jì)算公式——海倫公式S=p(p?a)(p?b)(p?c)其中a，b，c例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面積可以這樣計(jì)算：∵a=3，b=4，c=5，∴p=a+b∴S=p(p?a事實(shí)上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可以用我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決.根據(jù)上述材料，解答下列問題：如圖，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9.(1)用海倫公式求△ABC的面積；(2)求△ABC的內(nèi)切圓半徑r.

第24章圓24.5三角形的內(nèi)切圓答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.解析如圖所示，分別作∠ABC和∠ACB的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)O.過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，以點(diǎn)O為圓心，OD的長為半徑作☉O，則☉O就是符合要求的圓.2.D三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點(diǎn).故選D.3.D∵☉O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，∴O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠3=12(180°-∠A)=12×(180°-70°)=55∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-55°=125°.故選D.4.A連接BI，如圖，∵△ABC的內(nèi)心為I，∴∠1=∠2，∠5=∠6.∵∠3=∠1，∴∠3=∠2，∵∠4=∠2+∠6，∴∠4=∠3+∠5，即∠4=∠DBI，∴DI=DB.故選A.5.2解析設(shè)這個(gè)三角形內(nèi)切圓的半徑是r，∵三角形的面積為24，周長為24，∴12×24r=24，解得r=26.20解析設(shè)AC，BC，AB與☉O的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn).如圖，連接OD，OE，OF，則四邊形ODCE是正方形，∴CD=CE=OD=2，∵AD和AF是圓的切線，∴AD=AF，同理BE=BF，則AD+BE=AB=8，則△ABC的周長是8+8+2+2=20.7.6解析設(shè)三角形為△ABC，∠C=90°，AC=8步，BC=15步，∴AB=AC2+B設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r步，則S△ABC=12(AB+BC+CA)·r∴12AC·BC=12(AB+BC+CA)·即12×8×15=12×(8+15+17)·解得r=3，∴內(nèi)切圓的直徑是6步.8.證明連接BE.∵DB=DC，∴DB=DC，∴∠DAB=∠DAC=∠DBC，∴AD平分∠CAB.∵DB=DE，∴∠DBE=∠DEB，即∠DBC+∠CBE=∠DAB+∠ABE，∴∠ABE=∠CBE，∴BE平分∠ABC，∴E為△ABC的內(nèi)心.9.解析(1)證明：連接CE.∵AB是直徑，∴∠ACB=∠AEB=90°.∵點(diǎn)M是△ABE的內(nèi)心，∴∠AEM=∠BEM=45°，∠ABM=∠EBM.∴AC=CE.∵∠ACM=90°=2∠AEM，∴A、M、E三點(diǎn)在以C為圓心，AC為半徑的圓上，∴AC=CM.(2)∵AB是直徑，∴∠AEB=90°，∵☉O的半徑為5，∴AB=10，又AE=8，∴BE=AB2設(shè)△ABE的內(nèi)切圓的半徑為r.則S△ABE=12AE·BE=12(AB+AE+BE)·∴r=AE·BEAB+AE+∴S△BEM=12BE·r=12能力提升全練10.A三個(gè)內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.三角形的內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，三角形的內(nèi)心在三角形內(nèi)部，故B、C、D中說法正確，故選A.11.B如圖，過點(diǎn)B作BH⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)H.∵點(diǎn)D為△ABC的內(nèi)心，∠A=60°，∴∠BDC=90°+12∠A=90°+12×60°=120則∠BDH=60°，∵BD=4，∴BH=23，∵CD=2，∴△DBC的面積為12CD·BH=12×2×23=2故選B.12.A如圖，連接AI，作IG⊥AB于點(diǎn)G，IJ⊥BC于點(diǎn)J，IH⊥AC于點(diǎn)H，DF⊥AE于點(diǎn)F，∵AD=DE=5，AE=6，DF⊥AE，∴AF=3，∠AFD=90°，∴DF=AD2?A設(shè)IH=x，∵I為△ABC的內(nèi)心，∴IG=IJ=IH=x，∵S△ADE=S△ADI+S△AEI，∴6×42=5x2解得x=2411∴IJ=2411，即I點(diǎn)到BC的距離是24故選A.13.(2，3)解析如圖，點(diǎn)I即為△ABC的內(nèi)心.所以△ABC內(nèi)心I的坐標(biāo)為(2，3).14.1解析在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根據(jù)勾股定理，得AB=5，如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與三條邊的切點(diǎn)分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C=90°，∴四邊形EOFC是矩形，根據(jù)切線長定理，得CE=CF，∴矩形EOFC是正方形，∴CE=CF=r，∴AF=AD=AC-FC=3-r，BE=BD=BC-CE=4-r，∵AD+BD=AB，∴3-r+4-r=5，解得r=1，即△ABC的內(nèi)切圓半徑r=1.15.289解析如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，D、E分別為☉O與BC、AC的切點(diǎn)，連接OE、OD，則四邊形EODC為正方形，∴OE=OD=3=AC+BC?BA2，∴AC+∴AC+BC=AB+6，∴(AC+BC)2=(AB+6)2，∴BC2+AC2+2BC·AC=AB2+12AB+36，又BC2+AC2=AB2，∴2BC·AC=12AB+36①，∵小正方形的面積為49，∴(BC-AC)2=49，∴BC2+AC2-2BC·AC=49，即AB2-2BC·AC=49②，把①代入②中得AB2-12AB-85=0，∴(AB-17)(AB+5)=0，∴AB=17(負(fù)值舍去)，∴大正方形的面積為289.16.解析(1)證明：∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，∴AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，又∵∠CAD與∠CBD所對弧均為DC，∴∠CAD=∠CBD=∠BAD.∵∠BED=∠ABE+∠BAD，∠DBE=∠CBE+∠CBD，∴∠BED=∠DBE，故DB=DE.(2)由(1)知∠DBF=∠BAD，又∵∠D=∠D，∴△ABD∽△BFD，∴BDFD=AD設(shè)EF=x，則4+x4=解得x1=2，x2=-6(不符合題意，舍去)，則DB=4+x=4+2=6.17.解析(1)證明：如圖，連接OB，∵AC為☉O的直徑，∴∠ABC=90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC，∴∠AOP=∠C，∠POB=∠OBC，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C，∴∠AOP=∠POB，在△AOP和△BOP中，OA∴△AOP≌△BOP，∴∠OBP=∠OAP，∵PA為☉O的切線，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=90°，又OB是☉O的半徑，∴PB是☉O的切線.(2)證明：如圖，連接AE，∵PA為☉O的切線，∴∠PAO=∠PAE+∠OAE=90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED=90°，∵OE=OA，∴∠OAE=∠AED，∴∠PAE=∠DAE，即AE平分∠PAD，∵PA，PB為☉O的切線，∴PD平分∠APB，∴E為△PAB的內(nèi)心.(3)∵∠PAB+∠BAC=90°，∠C+∠BAC=90°，∴∠PAB=∠C，∴cosC=cos∠PAB=1010在Rt△ABC中，cosC=BCAC=1AC=∴AC=10，∴AO=102易證△PAO∽△ABC，∴POAC=AO∴PO=AOBC·AC=1021×素養(yǎng)探究全練18.解析(