24.7 弧長與扇形面積 24.8 綜合與實(shí)踐進(jìn)球線路與最佳射門角 同步練習(xí)

第24章圓24.7弧長與扇形面積24.8綜合與實(shí)踐進(jìn)球線路與最佳射門角基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點(diǎn)1弧長公式及應(yīng)用1.(2022重慶渝中模擬)如圖，若半徑為2cm的定滑輪邊緣上一點(diǎn)A繞中心O逆時針轉(zhuǎn)動150°(繩索與滑輪之間沒有滑動)，則重物上升的高度為()A.5πcm B.10π3cm C.5π3cm D.2.如圖，△ABC中，∠B=30°，AC=1.若以A為圓心，AC的長為半徑的弧交AB于點(diǎn)D，CD的長為π3，則△ABCA.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.無法判斷3.(2021湖南長沙雨花一模)如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊靠墻角的空地上建造了一個扇形花圃，其圓心角∠AOB=120°，半徑為6m，則該扇形的弧長是m.(結(jié)果保留π)

4.(2022安徽合肥壽春中學(xué)一模)如圖，菱形OABC的邊長為4，且點(diǎn)A、B、C在☉O上，則劣弧BC的長度為.

[變式]如圖，點(diǎn)A、B在☉O上，☉O的半徑為4，若劣弧AB的長度為43π，則AB的長為5.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，已知△ABC，且A(2，1)，B(4，2)，C(1，4).(1)畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A1B1C1；(2)在(1)的條件下求出點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長.6.清代鄭板橋曾有詩：“紙花如雪滿天飛，嬌女秋千打四圍.五色羅裙風(fēng)擺動，好將蝴蝶斗春歸.”描寫的是放風(fēng)箏和蕩秋千的場景.如圖，秋千拉繩AB為3米，靜止時踩板離地面0.5米，某人蕩該秋千蕩到最高處時，踩板離地面2米(左右對稱)，請計(jì)算該秋千所蕩過的圓弧BF的長.知識點(diǎn)2扇形面積公式及應(yīng)用7.如圖，☉A，☉B(tài)，☉C的半徑都是2，則圖中三個扇形(即陰影部分)的面積之和是()A.2π B.π C.12π D.8.如圖，兩個正方形的邊長都相等，設(shè)S1表示圖①中陰影部分的面積，S2表示圖②中陰影部分的面積，則這兩個圖形中陰影部分的面積的關(guān)系是()A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.無法比較9.(2022黑龍江哈爾濱中考)一個扇形的面積為7πcm2，半徑為6cm，則此扇形的圓心角是度.

10.我國的國球是乒乓球，世界上乒乓球拍的拍形大體上可以歸為三類：圓形、方形和異形，絕大多數(shù)的橫板與中國式的直板都是圓形的.如圖，李明同學(xué)自制一塊乒乓球拍，正面是半徑為8cm的☉O，AB的長為4πcm，弓形ACB(陰影部分)粘貼膠皮，則膠皮面積為cm2.

11.(2022江蘇鹽城阜寧期末)如圖，AB是☉O的直徑，弦CD⊥AB于E，∠CDB=30°，CD=23，求陰影部分的面積.12.當(dāng)汽車在雨天行駛時，司機(jī)為了看清楚道路，要啟動前方擋風(fēng)玻璃上的雨刷器.如圖是某汽車的一個雨刷器的轉(zhuǎn)動示意圖，雨刷器桿AB與雨刷CD在點(diǎn)B處固定連接(不能轉(zhuǎn)動)，當(dāng)桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動90°時，雨刷CD掃過的區(qū)域(陰影部分)如圖所示，現(xiàn)量得CD=80cm，∠DBA=20°，AC=115cm，DA=35cm，試從以上信息中選擇所需要的數(shù)據(jù)，求出雨刷掃過區(qū)域的面積.知識點(diǎn)3圓柱、圓錐的側(cè)面積和全面積13.(2022安徽馬鞍山雨山二模)已知圓錐的底面半徑為4，母線長為6，則它的側(cè)面展開圖的面積是()A.24 B.48 C.12π D.24π14.(2022山東淄博周村一模)如圖，將半徑為15cm的圓形紙片剪去圓心角為144°的一個扇形，用剩下的扇形圍成一個圓錐(接縫忽略不計(jì))，這個圓錐的高是()A.8cm B.12cm C.20cm D.18cm15.(2021浙江杭州上城二模)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.把△ABC分別繞直線AB，BC和AC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積分別記作S1，S2，S3，則表面積最大的是()圖24-7-13A.S1 B.S2 C.S3 D.無法確定16.(2021貴州畢節(jié)織金期末)如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為2π，高為2，AB、CD分別是兩底面圓的直徑.若一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，從圓柱表面爬行到C點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離是.17.如圖，已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為9cm，圓心角為120°的扇形.求：(1)圓錐的底面半徑；(2)圓錐的全面積.知識點(diǎn)4圓外角、圓周角和圓內(nèi)角的關(guān)系18.如圖，足球運(yùn)動員在球門AB前沿直線l橫向帶球準(zhǔn)備射門，在不考慮其他的情況下，關(guān)于C、D兩處射門進(jìn)球的可能性，下列說法正確的是()A.在點(diǎn)C處射門進(jìn)球的可能性大B.在點(diǎn)D處射門進(jìn)球的可能性大C.在點(diǎn)C、D兩處射門進(jìn)球的可能性一樣大D.無法判斷在點(diǎn)C、D兩處哪處射門進(jìn)球的可能性更大19.足球訓(xùn)練場上，教練在球門前畫了一個圓圈進(jìn)行無人防守的射門訓(xùn)練.如圖，甲、乙兩名運(yùn)動員分別在點(diǎn)C，D兩處，他們爭論不休，都說自己所在的位置對球門AB的張角大，如果你是教練，請?jiān)u一評他們兩個人誰的位置對球門AB的張角大.為什么?能力提升全練20.(2022江蘇無錫中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以AC所在直線為軸，把△ABC旋轉(zhuǎn)1周，得到圓錐，則該圓錐的側(cè)面積為()A.12π B.15π C.20π D.24π21.(2022廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)中考)如圖，在△ABC中，CA=CB=4，∠BAC=α，將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)2α，得到△AB'C'，連接B'C并延長交AB于點(diǎn)D，當(dāng)B'D⊥AB時，BB'的長是()A.233π B.433π C.83922.(2021浙江紹興越城期中)如圖，有一個弓形的暗礁區(qū)，弓形所在圓的圓周角∠C=48°，問船在航行時怎樣才能保證不進(jìn)入暗礁區(qū)?答：.

23.(2022廣西貴港中考)如圖，在?ABCD中，AD=23AB，∠BAD=45°，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接CE，若AB=32，則圖中陰影部分的面積是24.(2022江蘇南通一模)如圖，A，P，B，C是☉O上的四個點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°.(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)若BC=6，求BC的長.25.(2019湖南邵陽中考)如圖，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分線，且AD=6，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧EF，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.(1)求由弧EF及線段FC、CB、BE圍成圖形(圖中陰影部分)的面積；(2)將陰影部分剪掉，余下扇形EAF，將扇形EAF圍成一個圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)面無重疊，求這個圓錐的高h(yuǎn).素養(yǎng)探究全練26.(2022江蘇鹽城亭湖期末)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表，其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積的公式：弧田面積=12(弦×矢+矢2).弧田由圓弧和其所對的弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差.按照上述公式計(jì)算所得弧田面積與其實(shí)際面積之間存在誤差.如圖，現(xiàn)有圓心角∠AOB為120°，弦長AB=23m的弧田(OD⊥AB，垂足為C)(1)計(jì)算弧田的實(shí)際面積；(2)按照《九章算術(shù)》中弧田面積的公式計(jì)算所得結(jié)果與(1)中計(jì)算的弧田實(shí)際面積相差多少平方米?(π≈3，3≈1.7)27.在學(xué)習(xí)扇形面積公式時，同學(xué)們推得S扇形=nπR2360，并通過比較扇形面積公式與弧長公式l=nπR180接著老師讓同學(xué)們解決兩個問題：問題1：求弧長為4π，圓心角為120°的扇形面積.問題2：某小區(qū)設(shè)計(jì)的花壇如圖中的陰影部分所示，已知弧AB與弧CD所在圓的圓心都是點(diǎn)O，弧AB的長為l1，弧CD的長為l2，AC=BD=d，求花壇的面積.(1)請你解答問題1；(2)在解答完問題2后的全班交流中，有位同學(xué)發(fā)現(xiàn)扇形面積公式S扇形=12lR類似于三角形面積公式和梯形面積公式，他猜想花壇的面積S=12(l1+l2)d，他的猜想正確嗎?如果正確，寫出推導(dǎo)過程；如果不正確，

第24章圓24.7弧長與扇形面積24.8綜合與實(shí)踐進(jìn)球線路與最佳射門角答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C根據(jù)題意，得重物上升的高度為150π×2180=5π3(cm)，2.B設(shè)∠A=n°，則由弧長公式，得n×1×π180=π3，解得n=60，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-30°=90°，∴△ABC是直角三角形3.4π解析由題意可得，扇形的弧長為120π×6180=4π(m)4.43解析如圖，連接OB，∵四邊形OABC是菱形，∴OC=BC=AB=OA=4，∴OC=OB=BC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠COB=60°，∴劣弧BC的長度為60π×4180=43[變式]4解析如圖，連接OA，OB.設(shè)∠BOA的度數(shù)為n°，則有nπ×4180=43π，解得n=60，又OA∴△AOB是等邊三角形，∴AB=4.5.解析(1)△A1B1C1如圖所示.(2)由勾股定理得OA=5，∴點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長=90×π×5180=6.解析如圖，過點(diǎn)B作BG⊥AD于G，BE垂直地面于E，易知BE=DG，由題意知BE=2，AC=3，CD=0.5，所以AG=AD-GD=AC+CD-BE=1.5.因?yàn)锳B=3，所以在Rt△ABG中，∠BAG=60°.所以∠BAF=120°，所以該秋千所蕩過的圓弧BF的長為120×π×3180=2π(米)7.A因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和等于180°，所以三個扇形的圓心角度數(shù)之和等于180°，又三個扇形的半徑都是2，所以三個扇形的面積之和為180π×22360=2π8.B兩個圖形的空白處均可組成一個完整的圓，且這兩個圓的直徑均為它所在的正方形的邊長，又兩個正方形的邊長相等，故這兩個圓的面積相等，且兩個正方形的面積相等，則兩個圖形中陰影部分的面積相等.故選B.9.70解析設(shè)扇形的圓心角為n°，則nπ×62360=7π，10.(32+48π)解析如圖，連接OA、OB，設(shè)∠AOB的度數(shù)為n°，∵AB的長為4πcm，∴nπ×8180∴n=90，∴∠AOB=90°，∴S△AOB=12×8×8=32(cm2)，扇形ACB的面積=270×π×82360=48π(cm2)11.解析如圖，連接OD.∵CD⊥AB，∴CE=DE=12CD=3(垂徑定理)故S△OCE=S△ODE，∴S陰影=S扇形又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°(圓周角定理)，∴OC=CEsin60°=2故S扇形OBD=60π×22即陰影部分的面積為23π12.解析在△ACD與△AC'D'中，AC=AC'，∠CAD=∠C'AD'，AD=AD'，∴△ACD≌△AC'D'，∴S△ACD=S△AC'D'，∴陰影部分的面積=S扇形CAC'-∵扇形CAC'的半徑AC=115cm，扇形DAD'的半徑AD=35cm，∠CAC'=∠DAD'=90°，∴雨刷CD掃過區(qū)域的面積為S扇形CAC'-S扇形DAD'=90π×1152360-13.D圓錐側(cè)面展開圖的面積=π×4×6=24π.故選D.14.B設(shè)圓錐的底面圓的半徑為rcm，根據(jù)題意，得2πr=(360?144)π×15180，解得r=9，所以圓錐的高=15215.A∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=32+42=5.△ABC繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐，底面半徑為BC=4，此圓錐的表面積為底面圓面積加圓錐的側(cè)面積，即S1=π×42+π×4×5=36π；△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐，底面半徑為AB=3，此圓錐的表面積為底面圓面積加圓錐的側(cè)面積，即S2=π×32+π×3×5=24π；△ABC繞直線AC旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為兩個共底面的圓錐，底面半徑為125，此圓錐的表面積為兩個圓錐的側(cè)面積之和，即S3=π×125×3+π×125×4=84π5.∴S1>16.22解析沿AD將該圓柱的側(cè)面剪開并展平，則點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置(如圖)，由條件易知，AD=2，DC'=12×2π×2π=2.易知螞蟻爬行的最短距離為AC'的長，AC'=AD2+17.解析(1)設(shè)該圓錐底面圓的半徑為rcm，根據(jù)題意，得2πr=120π×9180，解得r=3即該圓錐底面圓的半徑為3cm.(2)∵該圓錐的側(cè)面積=120π×92360=27π(cm圓錐的底面積=π·32=9π(cm2)，∴圓錐的全面積為27π+9π=36π(cm2).18.B因?yàn)辄c(diǎn)D距離球門AB的中心比較近，所以∠ADB大于∠ACB，所以在D處射門進(jìn)球的可能性大.19.解析甲、乙兩個人所在的位置對球門AB的張角一樣大.理由：根據(jù)圓周角定理的推論可得∠ADB=∠ACB.能力提升全練20.C在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=AC2+BC2=3221.B根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得AC'∥B'D，∠C'AB'=∠CAD.∵B'D⊥AB，∴∠C'AD=∠C'AB'+∠B'AB=90°.∵∠CAD=α，∴α+2α=90°，∴α=30°.∵AC=4，∴AD=AC·cos30°=4×32=23，∴AB=2AD=43，∴BB'的長=60π×43180=4322.∠ASB<48°解析如圖，設(shè)AS交圓于點(diǎn)E，連接EB，則∠AEB=∠C=48°，因?yàn)椤螦EB是△SEB的一個外角，所以∠AEB>∠S，所以當(dāng)∠S<48°時船不進(jìn)入暗礁區(qū).23.52-π解析如圖，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵AD=23AB，∠BAD=45°，AB=32∴AD=23×32=22，∴DF=ADsin45°=22×22=2，∵AE=AD=22，∴EB=AB-AE=∴S陰影=S?ABCD-S扇形ADE-S△EBC=32×2-45π×(22)2360-1224.解析(1)∵∠APC=∠CPB=60°，∴∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°.(2)如圖，連接OB，OC，過點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=2∠BAC=120°.∵OD⊥BC于點(diǎn)D，OB=OC，∴∠BOD=12∠BOC=60°，BD=12BC=1∵Rt△BOD中，sin∠BOD=BDOB∴OB=BDsin∠BOD=3sin60°∴BC的長=120π×23180=425.解析(1)∵在等腰△ABC中，∠BAC=120°，∴∠B=30°，∵AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，BD=CD，∴BD=3AD=63，∴BC=2BD=123，∴S陰影=S△ABC-S扇形EAF=12×6×123-120×π×62360(2)設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr=120×π×6180，解得r=2∴這個