5.5 確定圓的條件 同步練習

第五章圓5確定圓的條件基礎過關全練知識點1確定圓的條件1.(2023河北石家莊四十四中期末)下列條件中,不能確定一個圓的是()A.圓心與半徑 B.平面上的三個已知點C.以已知線段為直徑 D.三角形的三個頂點2.平面直角坐標系內的三個點A(1,-3)、B(0,-3)、C(2,-3)確定一個圓.(填“能”或“不能”)3.(2023山東濟南歷下期末)如圖,方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度,點O,A,B,C在格點(兩條網(wǎng)格線的交點叫格點)上,以點O為原點建立平面直角坐標系.(1)過A,B,C三點的圓的圓心M的坐標為;

(2)求過A,B,C三點的圓的面積(結果保留π).4.將圖中的輪子復原,已知弧上三點A,B,C,連接AB,AC.(1)畫出該輪子的圓心(不寫作法,保留作圖痕跡);(2)若△ABC是等腰三角形,底邊BC=16cm,腰AB=10cm,求該輪子的半徑.知識點2三角形的外接圓與外心5.若一個三角形的外心在其內部,則這個三角形一定是()A.任意三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.鈍角三角形6.(2022山東煙臺萊陽期末)如圖所示的正方形網(wǎng)格中,A,B,C三點均在格點上,那么△ABC的外接圓圓心是()A.點E B.點F C.點G D.點H7.(2023四川巴中中考)如圖,☉O是△ABC的外接圓,若∠C=25°,則∠BAO=()A.25° B.50° C.60° D.65°8.(2023山東泰安泰山期末)如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-1,3),B(-2,-2),C(4,-2),則△ABC外接圓半徑的長度為.9.如圖,已知點O是△ABC的外心,連接AO并延長交BC于D,若∠C=50°,∠B=70°,求∠CAD的度數(shù).知識點3圓內接四邊形的性質10.(2022山東煙臺萊州期末)如圖,四邊形OABC的頂點A,B,C在☉O上,延長AB至點D,若∠CBD=58°,則∠O的度數(shù)為()A.58° B.116° C.120° D.122°11.(2022四川自貢中考)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AB是☉O的直徑,∠ABD=20°,則∠BCD的度數(shù)是()A.90° B.100° C.110° D.120°12.(2023山東濟寧梁山模擬)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,F是CD上一點,且DF=BC,連接CF并延長交AD的延長線于點E,連接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,則∠E的度數(shù)為()A.45° B.50° C.55° D.60°13.(2023山東威海文登期末節(jié)選)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AB是☉O的直徑,過點C作CE⊥AB于點E,交☉O于點F,交AD的延長線于點G.連接DF,求證∠CDG=∠ADF.能力提升全練14.(2022山東泰安高新區(qū)期末)如圖,圓內接四邊形ABCD的兩組對邊的延長線分別相交于點E,F,若∠E=30°,∠F=40°,則∠A=()A.25° B.30° C.40° D.55°15.(2023北京中考)如圖,圓內接四邊形ABCD的對角線AC,BD交于點E,BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.(1)求證:DB平分∠ADC,并求∠BAD的度數(shù);(2)過點C作CF∥AD交AB的延長線于點F.若AC=AD,BF=2,求此圓的半徑.16.(2023山東泰安泰山一模)如圖,四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,連接AC,BD,延長CD至點E.(1)若AB=AC,求證:DA平分∠BDE;(2)若BC=4,☉O的半徑為6,求cos∠BAC的值.素養(yǎng)探究全練17.(2022山東泰安中考)問題探究(1)在△ABC中,BD,CE分別是∠ABC與∠BCA的平分線.①若∠A=60°,AB=AC,如圖1,試證明BC=CD+BE;②將①中的條件“AB=AC”去掉,其他條件不變,如圖2,則①中的結論是否成立?并說明理由.遷移運用(2)若四邊形ABCD是圓的內接四邊形,且∠ACB=2∠ACD,∠CAD=2∠CAB,如圖3,試探究線段AD,BC,AC之間的等量關系,并證明. 圖1 圖2 圖3

第五章圓5確定圓的條件答案全解全析基礎過關全練1.BA項,已知圓心與半徑能確定一個圓;B項,平面上的三個已知點可能在同一直線上,∴不一定能確定一個圓;C項,以已知線段為直徑能確定一個圓;D項,已知三角形的三個頂點,能確定一個圓.故選B.2.答案不能解析點A(1,-3)、B(0,-3)、C(2,-3)在同一直線上,因此不能確定一個圓.3.解析此題以帶有網(wǎng)格的平面直角坐標系考查圓心的確定方法.(1)如圖所示,連接AB,BD,借助網(wǎng)格特點分別畫出AB,BD的垂直平分線,兩直線交于點M(1,-2),則點M就是過A,B,C三點的圓的圓心.故填(1,-2).(2)如圖,連接MB,由勾股定理得MB=32+14.解析(1)如圖所示,分別作弦AB和AC的垂直平分線,兩直線交于點O,則點O即為所求作的圓心.(2)如圖,連接AO,OB,BC,BC交OA于D.∵△ABC是等腰三角形,∴AB=AC,∴AB=AC,∴AO⊥BC,∴BD=12∵AB=10cm,∴AD=AB設該輪子的半徑為Rcm,在Rt△BOD中,OB2=BD2+OD2,即R2=82+(R-6)2,解得R=253∴該輪子的半徑為2535.C銳角三角形的外心在其內部.6.C利用網(wǎng)格可以判斷線段AB和線段BC的垂直平分線交于點G,則△ABC的外接圓圓心是點G,故選C.7.D連接OB(圖略).∵∠C=25°,∴∠AOB=2∠C=50°.∵OA=OB,∴∠BAO=∠ABO=180°?50°28.答案13解析設△ABC的外心為點M.∵B(-2,-2),C(4,-2),∴點M必在直線x=1上.如圖,AC的垂直平分線過點(1,0),故M的坐標為(1,0).連接MB.由勾股定理得MB=MD2+B∴△ABC的外接圓半徑為13.方法解讀確定圓弧的圓心,只需在圓弧上找到三個點,確定這三個點所構成的三角形的外心即可.此外,由垂徑定理的推論可知,圓弧上任意兩條弦的垂直平分線的交點即為圓心.特別地,在網(wǎng)格中確定三角形的外接圓圓心,可借助網(wǎng)格特點,快速找到兩邊的垂直平分線的交點,即圓心.9.解析如圖,作△ABC的外接圓,延長AD交☉O于點E,連接BE,則∠ABE=90°.∵∠ABC=70°,∴∠CBE=90°-∠ABC=20°.∴∠CAD=∠CBE=20°.10.B在優(yōu)弧AC上任取一點E,連接AE,CE,如圖,∵四邊形AECB內接于☉O,∴∠AEC=∠CBD=58°.∴∠AOC=2∠AEC=2×58°=116°.故選B.11.C∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°.∵∠ABD=20°,∴∠A=70°.∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,∴∠A+∠BCD=180°.∴∠BCD=110°.故選C.12.B∵四邊形ABCD內接于☉O,∠ABC=105°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°.∵DF=BC,∠BAC=25°,∴∠DCE=∠BAC=25°.∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°.故選B.13.證明∵CE⊥AB,AB是☉O的直徑,∴AC=AF.∴∠ADF=∠ABC.∵四邊形ABCD內接于☉O,∴∠CDG=∠ABC,∴∠CDG=∠ADF.能力提升全練14.D∵四邊形ABCD內接于☉O,∴∠ADC=∠FBC.∵∠ADC=180°-∠A-∠F,∠FBC=∠A+∠E,∴180°-∠A-∠F=∠A+∠E,∴2∠A=180°-(∠F+∠E)=180°-(40°+30°)=110°,∴∠A=55°.故選D.15.解析(1)證明:∵∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,∴∠ADB=∠CDB.∴DB平分∠ADC.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∵四邊形ABCD是圓內接四邊形,∴∠ABC+∠ADC=180°,即∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°.∴∠ABD+∠ADB=90°.∴∠BAD=90°.(2)∵∠BAD=90°,∴BD是圓的直徑.∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴AD=DC.∴AD=CD.∵AC=AD,∴AC=AD=CD,∴△ACD是等邊三角形.∴∠ADC=60°.∴∠BDC=12∵CF∥AD,∴∠F+∠BAD=180°.∴∠F=90°.∵四邊形ABCD是圓內接四邊形,∴∠FBC=∠ADC=60°.∴∠BCF=30°.∴BC=2BF=4.∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,∴BD=2BC=8.∴此圓的半徑是4.16.解析(1)證明:∵四邊形ABCD是☉O的內接四邊形,∴∠ABC=∠ADE.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠ADE.∴DA平分∠BDE.(2)如圖,連接CO并延長交☉O于點F,連接BF.∵CF是☉O的直徑,∴∠CBF=90°.在Rt△BCF中,BC=4,CF=12,∴BF=CF2-BC2∴cos∠BFC=BFCF=8212∵∠BAC=∠BFC,∴cos∠BAC=cos∠BFC=22∴cos∠BAC的值為22素養(yǎng)探究全練17.解析(1)①證明:∵∠A=60°,AB=AC,∴△ABC是等邊三角形,∴AB=AC=BC,又∵BD,CE分別是∠ABC,∠BCA的平分線,∴點D,E分別是AC,AB的中點,∴BE=12AB=12BC,CD=12∴BC=CD+BE.②結論成立.理由:如圖,設BD與CE交于點F,∵BD,CE分別是∠ABC與∠BCA的平分線,∴∠1=∠2,∠3=∠4,∵∠A=60°,∴∠ABC+∠BCA=120°,∴∠1+∠3=12∠ABC+1∴∠BFC=180°-(∠1+∠3)=120°,∴∠5=∠6=60°,在BC上截取BG=BE,連接FG,則△BEF≌△BGF,∴∠7=∠6=60°,∴∠8=∠BFC-∠7=60°,∴∠8=∠5,∴△DFC≌△GFC,∴DC=GC,∴BC=GC+BG=CD+BE.(2)AC=AD+BC.證明:∵四邊形ABCD是圓的內接四邊形,∴∠DAB+∠BCD=180°.∵∠DAC=2∠CAB,∠BCA=2∠ACD,∴∠DAB+∠BCD=(∠DAC+∠CAB)+(∠BCA+∠ACD)=(2∠CAB+∠CAB)+(2∠ACD+∠ACD)=3∠CAB+3∠ACD=180°,∴∠CAB+∠ACD=60°.作點B關于AC的對稱點E,連接CE,EA,AE與CD交于點F,如圖,∴∠CAB