黑龍江省牡丹江市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

牡丹江市省級(jí)示范高中2024--2025學(xué)年度高三期中數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間:120分鐘分值：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念分析判斷.【詳解】因?yàn)?，則，所以．故選B．2.從1984年第23屆洛杉磯夏季奧運(yùn)會(huì)到2024年第33屆巴黎夏季奧運(yùn)會(huì)，我國獲得的夏季奧運(yùn)會(huì)金牌數(shù)依次為15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，這11個(gè)數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（）A.16 B.30 C.32 D.51【答案】C【解析】【分析】將數(shù)據(jù)按照從小到大順序排列，根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法即可求解.【詳解】把11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51，因?yàn)?，這11個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大排列第7個(gè)是32.故選：.3.如圖，在中，是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先用余弦定理求出，再將向量用基底表示，借助向量運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由，解得.設(shè)，則.故選：C4.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長之和為尺，今年月日時(shí)分為春分時(shí)節(jié)，其日影長為（）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】A【解析】【分析】由題意構(gòu)造等差數(shù)列，設(shè)公差為d，利用基本量代換求出通項(xiàng)公式，然后求.【詳解】小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日影長構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，由題意得：，解得：所以，所以，即春分時(shí)節(jié)的日影長為4.5.故選：A【點(diǎn)睛】(1)數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是常見考查形式：求解應(yīng)用性問題時(shí)，首先要弄清題意，分清條件和結(jié)論，抓住關(guān)鍵詞和量，理順數(shù)量關(guān)系，然后將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(2)等差（比）數(shù)列問題解決的基本方法：基本量代換.5.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合復(fù)合函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域計(jì)算求解.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，令單調(diào)遞減，則在區(qū)間上單調(diào)遞減且恒為正，所以且，所以．故選：D．6.已知，是一元二次方程的兩個(gè)根，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系可得，，再利用兩角和的正切公式可求出的值.【詳解】因?yàn)椋且辉畏匠痰膬蓚€(gè)根，顯然，所以，，所以，所以．故選：A．7.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求的取值范圍.【詳解】令，則恒成立，則在上單調(diào)遞增，且是奇函數(shù).由，得，即，從而，即故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)，可得函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，把轉(zhuǎn)化成，再求的取值范圍.8.若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的m的個(gè)數(shù)是（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】【分析】就、、分類，每種情況結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其取值范圍.【詳解】令，則或，由，當(dāng)時(shí)，在0,4上沒有零點(diǎn)，則在0,4上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)椋詍的值依次為9，10；當(dāng)時(shí)，在0,4上有1個(gè)零點(diǎn)，在0,4上有3個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在0,4上有2個(gè)零點(diǎn)，故0,4上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以該零點(diǎn)與的零點(diǎn)不相同，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以的取值依次?，3，4，綜上得符合條件的的個(gè)數(shù)是5．故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，，則（）A.若，則 B.若，共線，則C.不可能是單位向量 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系、向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算判斷AB；利用單位向量的意義判斷C，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及利用坐標(biāo)求模判斷D.【詳解】對(duì)于A，由，得，解得，A正確；對(duì)于B，由，共線，得，解得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，是單位向量，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，D正確．故選：AD10.在等比數(shù)列中，，則（）A.的公比為 B.的公比為2C. D.數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，列出等式求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，然后逐一判斷即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為，依題意得解得所以故，故BC正確，A錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知函數(shù)，，若，的圖象與直線分別切于點(diǎn)，，與直線分別切于點(diǎn)C，D，且，相交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)公切線的有關(guān)概念判斷與的關(guān)系，可判斷A、B選項(xiàng)的真假；根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，可判斷公切線斜率的關(guān)系，結(jié)合基本不等式，判斷C的真假；也可求兩條公切線的交點(diǎn)，判斷D的真假.【詳解】由題意得，，所以，即，由，整理得，且，A錯(cuò)誤；把，，代入，整理得，B正確；分別作出與的圖象如下：兩圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以圖象上的切點(diǎn)有2個(gè)，即與的公切線有2條．因?yàn)?，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，，，，C正確；因?yàn)橹本€，關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)就是直線與直線的交點(diǎn)，直線的方程為，與聯(lián)立得，所以，所以，由且可得，設(shè)，則，所以，所以，D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）同底的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，這一性質(zhì)的應(yīng)用在判斷D選項(xiàng)時(shí)很重要.（2）看到不等式，就要想到求代數(shù)式的最值，常見的最值的求法有：第一：與二次函數(shù)有關(guān)的最值問題的求法；第二：基本不等式求最值；第三：利用函數(shù)的單調(diào)性求最值；第三：利用三角函數(shù)的有界性求最值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知平面向量滿足，且，則________.【答案】【解析】【分析】由向量數(shù)量積的運(yùn)算律和向量垂直的表示直接計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以.故答案為：.13.若，且，則__________.【答案】【解析】【分析】化簡三角函數(shù)式，求出，根據(jù)即可求解.【詳解】由，得.因，所以，則，則.由，得，則，解得.故答案為：.14.設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，且設(shè)A是直線BC外一點(diǎn)，P是直線BC上一點(diǎn)，且則實(shí)數(shù)λ的值為________．【答案】【解析】【分析】運(yùn)用三點(diǎn)共線向量公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.【詳解】依題意，B，C，P三點(diǎn)共線，∴＋λ＝1，∴λ＝1－2×依題意，∴λ＝1－2×＝故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題需要熟練掌握三點(diǎn)共線向量公式，以及等差數(shù)列的求和公式的逆運(yùn)用.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得、，即可求出通項(xiàng)公式；（2）依題意可得，利用分組求和法計(jì)算可得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，根據(jù)題意可得，解得或，因?yàn)榈缺葦?shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.16.在銳角中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）證明：.（2）若點(diǎn)在邊上，且，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）化簡已知等式結(jié)合余弦定理可得，再利用兩角和的正弦公式即可證明結(jié)論；（2）由已知條件結(jié)合正弦定理可得，根據(jù)銳角確定角C的范圍，即可求得答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)?，所以，整理?又，所以，從而，整理得，則.由，得，即，結(jié)合銳角中，，則，即.【小問2詳解】如圖，由，可得，則.在中，由正弦定理得，整理得.因?yàn)?，且是銳角三角形，所以解得，則，從而，即的取值范圍為.17.18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒（BrookTaylor）發(fā)現(xiàn)的泰勒公式（又稱麥克勞林公式）有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時(shí)，．其中，f″x表示的二階導(dǎo)數(shù)，即為f′x的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)．（1）根據(jù)公式估計(jì)的值；（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）（2）由公式可得：，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)比較與的大小，并給出證明；（3）已知，證明：．【答案】（1）（2），證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)泰勒公式求得，賦值即可求得近似值；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，即可證明；（3）根據(jù)（2）中所得結(jié)論，將目標(biāo)式放縮為，再裂項(xiàng)求和即可證明.【小問1詳解】記，則，，所以，因?yàn)?，所以且，，．【小?詳解】令，則，恒成立，在遞增，在遞增，在遞增，，即.【小問3詳解】由題，，則，則，令，易得在上遞增，在上遞減，從而，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，即，，，得證．【點(diǎn)睛】本題第三問的處理關(guān)鍵是能夠利用第二問結(jié)論，將原式放縮為，再利用裂項(xiàng)求和法證明，對(duì)學(xué)生已知條件的利用能力以及綜合應(yīng)用能力提出了較高的要求，屬綜合困難題.18.某商場(chǎng)為促銷設(shè)計(jì)了一項(xiàng)回饋客戶的抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個(gè)紅球和4個(gè)黑球的袋中任意抽取一個(gè)，若第一次抽到紅球則獎(jiǎng)勵(lì)50元的獎(jiǎng)券，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎(jiǎng)券數(shù)額是上一次獎(jiǎng)券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎(jiǎng)勵(lì)25元的獎(jiǎng)券，記顧客甲第n次抽獎(jiǎng)所得的獎(jiǎng)券數(shù)額的數(shù)學(xué)期望為．（1）求及的分布列．（2）寫出與的遞推關(guān)系式，并證明為等比數(shù)列；（3）若顧客甲一共有6次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，求該顧客所得的所有獎(jiǎng)券數(shù)額的期望值．（考數(shù)據(jù)：?）【答案】（1），分布列見解析；（2），證明見解析；（3）（元）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，直接求出，的取值及相應(yīng)的概率，再利用期望的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，建立關(guān)系式，即可求出結(jié)果，再構(gòu)造成，利用等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)果；（3）由（2）得到，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】依題意，抽到一個(gè)紅球的概率為，抽到一個(gè)黑球的概率為0.4，顯然的值為25，50，則，所以，又的值為，則，所以的分布列為：25501000.40.240.36【小問2詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，甲第n次抽到紅球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為，對(duì)應(yīng)概率為，抽到黑球所得的獎(jiǎng)券數(shù)額為25元，對(duì)應(yīng)概率為，因此當(dāng)時(shí)，，，即，又，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為1.2，首項(xiàng)為90．【小問3詳解】由（2）得，，即，所以顧客甲抽獎(jiǎng)6次，所得獎(jiǎng)券數(shù)額的期望為（元）．19.已知.（1）求的定義域；（2）若恒成立，求能夠取得的最大整數(shù)值；（3）證明：.【答案】（1）（2）1（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)有意義，得到不等式組，構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)推出，即可得到函數(shù)的定義域；（2）由題設(shè)不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化為，恒成立，討論函數(shù)得，則須使，令得其當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值，得解.（3）利用（2）中得到的不等式進(jìn)行放縮得到，取，推得再對(duì)進(jìn)行賦值相加即可得證.【小問1詳解】要使函數(shù)有意義，需滿足，令，則，令解得，當(dāng)時(shí)，