課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGE41PAGE課題：§13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題參賽教案基本信息作者姓名性別出生年月工作單位郵政編碼通訊地址聯(lián)系電話電子郵箱所用教科書(shū)書(shū)名《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)》人教版八年級(jí)上冊(cè)所教年級(jí)八年級(jí)所教冊(cè)次、單元八年級(jí)上冊(cè)第13章《軸對(duì)稱》課題§13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)選自《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)初中數(shù)學(xué)》新人教版八年級(jí)上冊(cè)第13章《軸對(duì)稱》第85-87頁(yè)13.4《課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題》，總計(jì)１課時(shí).本節(jié)課是學(xué)生學(xué)完軸對(duì)稱圖形和圖形的對(duì)稱軸之后的最后一節(jié)內(nèi)容，教科書(shū)在這一節(jié)中安排了兩個(gè)問(wèn)題，分別是“牧馬人飲馬問(wèn)題”和“造橋選址問(wèn)題”，解決這兩個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是通過(guò)軸對(duì)稱和平移等變化把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于“兩點(diǎn)之間，線段最短”的問(wèn)題，在解決這兩個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中滲透了“化歸”的思想.二、學(xué)生情況分析從心理特征來(lái)說(shuō)，初中階段的學(xué)生邏輯思維從經(jīng)驗(yàn)型逐步向理論型發(fā)展，觀察能力，記憶能力和想象能力也隨著迅速發(fā)展.但同時(shí)，這一階段的學(xué)生好動(dòng)，注意力易分散，愛(ài)發(fā)表見(jiàn)解，希望得到老師的表?yè)P(yáng)，所以，在教學(xué)中應(yīng)抓住這些特點(diǎn)，一方面運(yùn)用直觀生動(dòng)的形象，引發(fā)學(xué)生的興趣，使他們的注意力，始終集中在課堂上；另一方面，要?jiǎng)?chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.從認(rèn)知情況來(lái)說(shuō)，學(xué)生在七年級(jí)已經(jīng)研究過(guò)一些“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等最短路徑問(wèn)題以及有關(guān)平移的基本知識(shí)，在本章的前面學(xué)生學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形，也初步掌握了作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)，所有這些內(nèi)容為順利完成本節(jié)課的教學(xué)任務(wù)打下了基礎(chǔ)．從知識(shí)能力來(lái)說(shuō)，通過(guò)初中一年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)有了圖形變換以及模型構(gòu)建的意識(shí)，獲得了初步的利用轉(zhuǎn)化思維轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的主動(dòng)參與、合作交流的意識(shí)和初步的觀察、分析、歸納、猜想和解決問(wèn)題的能力.三、教學(xué)策略選擇與設(shè)計(jì)落實(shí)新課程倡導(dǎo)的教育概念：以學(xué)生發(fā)展為本，以解決問(wèn)題為中心的“探究式學(xué)習(xí)”。教學(xué)過(guò)程通過(guò)史料創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，給學(xué)生提供了廣闊的思考空間．引導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫(huà)板在動(dòng)手（作圖）操作中觀察分析，調(diào)整自己的思路、想法，讓學(xué)生自主探究及驗(yàn)證，探尋出解決問(wèn)題的思維路徑．以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以挖掘?qū)W生的潛在學(xué)習(xí)水平、實(shí)踐能力的教學(xué)原則為指導(dǎo)，在幾何畫(huà)板的支持下，注重學(xué)生的親身體驗(yàn)，幫助學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證等，然后在拓展活動(dòng)中遷移使用所獲得的基本經(jīng)驗(yàn)，力求達(dá)到深入領(lǐng)會(huì)其應(yīng)用價(jià)值的目的．四、教學(xué)資源與工具設(shè)計(jì)教師資源：PPT課件、幾何畫(huà)板、黑板學(xué)生資源：筆、作圖工具等知識(shí)點(diǎn)媒體類(lèi)型媒體內(nèi)容要點(diǎn)教學(xué)作用使用方式占用時(shí)間（1）課件PPT文檔知識(shí)回顧回顧知識(shí)點(diǎn)，為后面應(yīng)用做好鋪墊.演示+講解3分鐘（2）課件PPT文檔情景導(dǎo)入溫故中實(shí)現(xiàn)引新，為展開(kāi)探究提供知識(shí)、方法及經(jīng)驗(yàn)的支持演示+講解8分鐘(3)PPT文檔幾何畫(huà)板知識(shí)探究+綜合運(yùn)用1.豐富課堂內(nèi)容，提高課堂實(shí)效，及時(shí)總結(jié)解題方法，滲透數(shù)學(xué)思想，突破教學(xué)難點(diǎn)；2.便捷呈現(xiàn)學(xué)生作業(yè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的閃光點(diǎn).演示+學(xué)生講解25分鐘(4)課件PPT文檔課堂小結(jié)梳理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，突出以學(xué)生為主體，注重提高學(xué)生的概括能力.演示+學(xué)生講解4分鐘（5）課件PPT文檔課后鞏固練習(xí)布置作業(yè)內(nèi)容,讓不同層次的學(xué)生都得到發(fā)展.五、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)最短路徑問(wèn)題的探索，進(jìn)一步理解和掌握兩點(diǎn)之間線段最短和垂線段最短．進(jìn)一步熟悉軸對(duì)稱作圖以及平移變換作圖等基本技能．?dāng)?shù)學(xué)思考：讓學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，掌握探索最短路徑問(wèn)題的思想和方法．問(wèn)題解決：在觀察、操作、想象、論證、交流的過(guò)程中，獲得解決此類(lèi)問(wèn)題的基本套路及經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念，激發(fā)內(nèi)在興趣．情感態(tài)度與價(jià)值觀：1.學(xué)會(huì)分享，體驗(yàn)分享的快樂(lè).2.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，樹(shù)立自信心，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系.六、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：最短路徑問(wèn)題的思路獲取和問(wèn)題解決.難點(diǎn)：選擇合理的方法解決最短路徑問(wèn)題.七、教學(xué)過(guò)程過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖回顧復(fù)習(xí)作直線外一點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A’請(qǐng)同學(xué)們?cè)诰毩?xí)紙上畫(huà)出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)直線l是線段AA’的垂直平分線垂直平分線的性質(zhì)學(xué)生作圖（1人上黑板板演并說(shuō)明作圖過(guò)程）回顧軸對(duì)稱的作法以及對(duì)稱軸的相關(guān)性質(zhì)，為后面最短路徑問(wèn)題的思路獲取提供支持引出課題板書(shū)課題：§13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題情境導(dǎo)入八年級(jí)某班同學(xué)做游戲，在活動(dòng)區(qū)域l擺放了一排籃球，如圖，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個(gè)位置的球，才能最快拿到球跑到終點(diǎn)處？同學(xué)們，你知道問(wèn)題的答案嗎？你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？請(qǐng)同學(xué)們自己選擇想要拾取籃球的點(diǎn)，你在比賽過(guò)程的跑動(dòng)路徑是怎樣的？跑動(dòng)路程是最短的嗎？你的理由是什么？（1）從A地出發(fā)，到區(qū)域l取籃球，然后到B地；（2）區(qū)域l上取籃球的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到取球地點(diǎn)，再到B地的路程之和；（3）設(shè)C為直線上一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB和最?。?）線段AB（連接AB，交直線l與點(diǎn)D，點(diǎn)D即為拾球的位置，原因“兩點(diǎn)之間,線段最短”.為了落實(shí)好兩個(gè)核心探究，通過(guò)設(shè)置基本問(wèn)題作為先行組織者，在溫故中實(shí)現(xiàn)引新，為展開(kāi)探究提供知識(shí)、方法及經(jīng)驗(yàn)的支持.知識(shí)探究游戲規(guī)則發(fā)生了變化，如圖，則小明按怎樣的路線跑，去撿哪個(gè)位置的球，才能最快拿到球跑到終點(diǎn)處？問(wèn)題1:前面我們已經(jīng)解決了A、B兩點(diǎn)在直線兩側(cè)的最短問(wèn)題，下面請(qǐng)同學(xué)們思考并嘗試，若這兩點(diǎn)居于直線的同側(cè)，該怎樣找到那樣的點(diǎn)P，使得AP與BP的和最?。繂?wèn)題2：若找到了那樣的點(diǎn)，請(qǐng)證明結(jié)論的正確性（化異側(cè)為同側(cè)）先作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′，交l于P，則P點(diǎn)即為所求．證明：如圖，在直線l上取一點(diǎn)P（′異于點(diǎn)P）.根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，可知AP′=P′A′，AP=PA′.則AP′+P′B=A′P′+P′B＞A′P+PB=AP+PB.由此可知：A到B經(jīng)P點(diǎn)距離最短.設(shè)置問(wèn)題1增進(jìn)遷移，實(shí)現(xiàn)同側(cè)最值問(wèn)題向異側(cè)最值問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，問(wèn)題2通過(guò)驗(yàn)證與證明實(shí)現(xiàn)合情推理向邏輯推理的過(guò)渡，期間需要幾何畫(huà)板的功能支持.學(xué)以致用（將軍飲馬）傳說(shuō)在古羅馬時(shí)代的亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫.一天，一位將軍專(zhuān)程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題.將軍每天都從軍營(yíng)A出發(fā)（如圖），先到河邊l飲馬，然后再去河岸的同側(cè)B開(kāi)會(huì)，他應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？據(jù)說(shuō)當(dāng)時(shí)海倫略加思索就解決了它.同學(xué)們，你知道問(wèn)題的答案嗎？現(xiàn)如今，將軍遇到了新的問(wèn)題，你能夠替代海倫幫助將軍解決這個(gè)問(wèn)題嗎？直接回答方法及答案（先作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接BA′，交l于P，則P點(diǎn)即為所求．）通過(guò)歷史經(jīng)典“將軍飲馬”問(wèn)題，鞏固同側(cè)兩點(diǎn)到直線上某點(diǎn)的距離最短問(wèn)題，鼓舞學(xué)生的斗志，通過(guò)替代海倫解決新的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生研究的興趣，把學(xué)生引領(lǐng)到研究的航道上來(lái).再探究（造橋選址問(wèn)題）將軍從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后淌水到B地（要求淌水的距離最短）．問(wèn)到河邊什么地方飲馬并淌水可使他所走的路線全程最短？問(wèn)題3：本問(wèn)題又變成了點(diǎn)在直線兩側(cè)的問(wèn)題，但一條直線拓寬成了一條河，請(qǐng)同學(xué)們思考，要飲馬并淌水過(guò)河，飲馬點(diǎn)M應(yīng)選在何處，才能使從A到B的路徑AMNB最短？問(wèn)題4：如何證明你的結(jié)論？如圖，由于河岸寬度是固定的，淌水的路徑最短要與河岸垂直，因此路徑AMNB中的MN的長(zhǎng)度是固定的.因此要使AM+MN+NB的值最小，只需AM+NB的值最小即可.如圖，幾何畫(huà)板驗(yàn)證，然后使用邏輯推理通過(guò)設(shè)置問(wèn)題3、4，在探究1獲得的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，把問(wèn)題引向深入，使得平移變換自然呈現(xiàn)，進(jìn)一步體現(xiàn)圖形變換在最短路徑問(wèn)題中的價(jià)值.學(xué)以致用4.如圖，如果A、B兩地之間有兩條平行的河，我們要建的橋都是與河岸垂直的，如何找到這個(gè)最短的距離呢？歸納總結(jié)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：將軍飲馬類(lèi)問(wèn)題解決的基本套路？通過(guò)探究2和拓展練習(xí)，我們?cè)谠鞓蜻x址問(wèn)題上已經(jīng)獲得了哪些經(jīng)驗(yàn)？解決路徑最短問(wèn)題時(shí)，我們常用的圖形變換是什么？目的何在？通過(guò)軸對(duì)稱變換，把兩點(diǎn)在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線兩側(cè)的問(wèn)題，從而可利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”加以解決.對(duì)于造橋選址問(wèn)題，要使所得到的路徑最短，就是要通過(guò)平移變換，使除橋長(zhǎng)不變外所得到的其他路徑經(jīng)平移后在一條直線上.通常借助軸對(duì)稱變換、平移變換等，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”的模型去解決．復(fù)習(xí)鞏固、提升總結(jié)本節(jié)課的知識(shí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)反思。拓展提升（1）如圖，在等腰三角形ABC中，∠ABC=120°，點(diǎn)P是底邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是A