數(shù)學學案：互動課堂第三講一平行射影

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂重難突破一、正射影1。一個圖形F上的各點在平面α上的正射影也組成了一個圖形F′，則圖形F′稱作圖形F在平面α上的正射影.圖3—1—1就是正射影的幾個例子.圖3-1-12。一個圖形在一個平面上的射影與圖形和平面的位置關系有關,如一條直線,當它和平面α垂直時,它在平面α上的射影是一個點;當它和平面α斜交時,它在平面α上的射影是一條直線;它和平面α平行時,它在平面α上的射影是一條與原直線平行的直線.二、平行射影1.設直線l與平面α相交,把直線l的方向稱為投影方向,過點A作平行于l的直線,與平面α交于點A′，那么把點A′稱作點A沿直線l的方向在平面α上的平行射影.一個圖形F上的各點在平面α上的平行射影也組成了一個圖形F′，則圖形F′稱作圖形F在平面α上的平行射影.于是正射影是平行射影的特例.在立體幾何部分,我們對此已經(jīng)有了了解，如圖3—1-2就是平行射影的具體實例。圖3-1-22.平行射影的性質(1）直線或線段的平行射影仍是直線或線段;(2）平行直線的平行射影是平行或重合的直線；（3)平行于投射面的線段，它的射影與這條線段平行且等長；（4)與投射面平行的平面圖形，它的射影與這個圖形全等;（5)在同一直線或平行直線上，兩條線段平行射影的比等于這兩條線段的比.三、橢圓運輸油制品的油罐、圓柱形容器傾斜后所盛液體的液面等，都給我們以橢圓的形象。四、刨根問底問題1一個圓所在的平面β與平面α平行,那么該圓在平面α上的正射影是和原來的圓相同的圓，當圓所在的平面β與平面α不平行時,該圓在平面α上的正射影會是什么圖形？如果β與α垂直，該圓在平面α上的正射影又會是什么圖形？探究:一個圓所在的平面β與平面α平行，那么該圓在平面α上的正射影顯然是一個圓,并且是和原來的圓相同的圓。如果圓所在的平面β與平面α不平行，從生活經(jīng)驗我們知道,正射影的形狀發(fā)生了變化,就好像一個圓被壓扁了,我們稱之橢圓.橢圓的“圓周”上的點到其中心的距離不再相等,但它也有一個特征,就是它到兩個定點的距離相等，下一節(jié)還會講到.如果圓所在的平面β與平面α是互相垂直的,那么該圓在平面α上的射影是一條線段?；顚W巧用【例1】一個圓所在的平面β與平面α平行時,該圓在α上的正射影是什么圖形？當β與α不平行時，圓在α上的正射影是什么圖形?思路解析：依據(jù)正射影的概念,圓所在的平面β與平面α平行時,該圓在α上的正射影是圓，當β與α不平行時,圓在α上的正射影是橢圓.答案:圓；橢圓.【例2】下列語句不正確的是。(1）正射影是平行射影的特例;（2)平行于投射面的線段,它的射影與這條線段平行且相等；（3）在同一直線或平行直線上,兩條線段平行射影的比等于這兩條線段的比;（4)兩條相交直線的平行射影還是相交直線.思路解析：要想澄清本例語句的正確與否，必須弄清正射影、平行射影以及平行射影的性質。正射影是平行射影的特例，從而（1)正確；根據(jù)平行射影的性質，（2）是正確的；同樣(3）也是平行射影的性質，因此也正確.而（4）中，兩條相交直線的平行射影是否是相交直線需分情況討論:當投射線與兩直線所確定的平面平行時，此兩直線的平行投影是一條直線;當投射線與兩直線確定的平面不平行時，此兩直線的平行投影仍是兩條相交直線。故（4)不正確。答案:(4）【例3】兩條相交直線的平行射影還是相交直線嗎?如果不相交,那它的形狀是什么樣子?同理,兩條平行直線的平行射影還是平行直線嗎？它的情形有哪些？答案:兩條直線相交,可以確定一個平面，當投射線與兩直線所確定的平面平行時,此兩直線的平行投影是一條直線;當投射線與兩直線確定的平面不平行時，此兩直線的平行投影仍是兩條相交直線,在考慮時一定要周全，避免漏掉特殊情況。所以兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線或一條直線。同理，可以考慮兩條平行直線在同一個平面上的射影，當兩條平行