第一次月考測(cè)試卷（一）（三角函數(shù)平面向量）

第一次月考測(cè)試卷（一）范圍：三角函數(shù)、平面向量說(shuō)明：1．本試題共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卷上。3.答題必須使用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷上各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。4．考生必須保持答題卷整潔，考試結(jié)束后，將答題卷交回，試卷自己保存。第I卷(選擇題共60分)一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1．（2022春·湖南衡陽(yáng)·高一衡陽(yáng)市衡鋼中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的圖形中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】由題可得，即求.【詳解】由題把圖形看作平面直角坐標(biāo)系的一部分則，∴.故選：D.2．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高一雅禮中學(xué)校考階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)，再由齊次式即可求解.【詳解】.故選：C3．（2023春·湖南·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】C【分析】根據(jù)圖像平移的規(guī)律，算出答案即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的圖象平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，則，所以，解得，所以向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選：C.4．（2023春·湖南張家界·高一統(tǒng)考期末）已知與均為單位向量，且與的夾角為，則（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】解：因?yàn)榕c均為單位向量，且與的夾角為，所以.故選：D.5．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由周期求得，由點(diǎn)的坐標(biāo)求得（要注意的范圍）．【詳解】由題意，，，，∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)圖象求函數(shù)解析式，掌握五點(diǎn)法是解題關(guān)鍵．6．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）在中，D，E分別為，上的點(diǎn)，且，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由平面向量的三角形法則和共線定理，可得，即可求出值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由題意，作出草圖，如下圖所示：由平面向量的三角形法則和共線定理，可知，所以，，故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的加法運(yùn)算、共線定理和平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7．（2022·湖南長(zhǎng)沙·高一雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知,則λ是“與的夾角為鈍角”的條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】根據(jù)向量的夾角為鈍角，則，再排除共線時(shí)的取值，從而進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化；再結(jié)合題意進(jìn)行選擇即可.【詳解】∵，∴與的夾角為鈍角?﹣2λ﹣1<0且﹣2+λ≠0，即λ且λ≠2.∴λ是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查命題充分性和必要性的判斷，涉及由向量夾角的范圍求參數(shù)的范圍，屬綜合基礎(chǔ)題.8．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期末）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由兩角和的正切公式可得，即可得到，然后由面積公式可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，在中，所以，即，所以，所?故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積公式的應(yīng)用，考查兩角和的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．（2022秋·湖南邵陽(yáng)·高一邵陽(yáng)市第二中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若，則的面積是15D．若，則外接圓半徑是【答案】AD【分析】根據(jù)題意可設(shè)，進(jìn)而有，利用正弦定理、平面向量的數(shù)量積和余弦定理、三角形面積公式化簡(jiǎn)計(jì)算依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】依題意，設(shè)，所以，A：由正弦定理得：，故選項(xiàng)A正確；B：，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C：若，則，所以，所以，所以，故的面積是：，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D：若，則，所以，所以，所以，則利用正弦定理得：的外接圓半徑是：，故選項(xiàng)D正確.

故選：AD10．（2022秋·湖南長(zhǎng)沙·高一雅禮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．的周期是 D．的最大值為2【答案】AB【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即可判斷A,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B,根據(jù)周期的定義即可判斷C，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】的定義域?yàn)?，故是偶函數(shù)，故A正確，當(dāng)時(shí)，，且在分別單調(diào)遞增和單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知均在單調(diào)遞減，因此在區(qū)間單調(diào)遞減，故B正確，由于，故不是的周期，故C錯(cuò)誤，由于，所以，而，故，故D錯(cuò)誤，故選：AB11．（2022春·湖南郴州·高一嘉禾縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則可能是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】ABCD【分析】利用正弦定理得到由此可得或，即可判斷.【詳解】∵，由正弦定理，得，即．∵，，∴或，∴或，即為等腰三角形或直角三角形.故選：ABCD．12．（2022春·湖南衡陽(yáng)·高一衡陽(yáng)市一中?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)的最小值為，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式可得，結(jié)合余弦函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)及已知最小值，討論與區(qū)間的位置關(guān)系，求的值.【詳解】由題設(shè)，，令，則，其開口向上且對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則(舍)或（舍）；當(dāng)時(shí)，，則；綜上，或.故選：AC第Ⅱ卷(非選擇題共90分)三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．（2023春·湖南·高一校聯(lián)考期中）已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，，則______.【答案】或【解析】由正弦定理即可求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)以及即可求.【詳解】由正弦定理：，有，∴，而，當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，由，顯然無(wú)解；∴或.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，結(jié)合應(yīng)用了三角形內(nèi)角和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14．（2022秋·湖南婁底·高一雙峰縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，若，則________.【答案】【解析】先根據(jù)求解出的值，然后求解出的坐標(biāo)表示，由此求解出.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，故答案為?【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：已知向量，（1）若，則有；（2）若，則有.15．（2022春·福建福州·高一?？计谀┮阎遣还簿€的向量，，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)，滿足__________．【答案】.【分析】方法1：運(yùn)用三點(diǎn)共線，再運(yùn)用向量相等列方程消去m可得結(jié)果.方法2：先計(jì)算、，再運(yùn)用A，B，C三點(diǎn)共線則列方程可得結(jié)果.【詳解】方法1：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以設(shè)，即：，所以，消去m得：.方法2：，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，故，所以．故答案為：.16．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，中華中學(xué)某班級(jí)課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測(cè)量某座山峰的高氣度，先在山腳A處測(cè)得山頂C處的仰角為60°，又利用無(wú)人機(jī)在離地面高400m的M處（即），觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，則山高_(dá)__________m.【答案】600【分析】確定，，，在中，利用正弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】，則，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，則.故答案為：四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．（2022秋·湖南邵陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，向量與垂直.(1)求；(2)若，求邊.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量垂直的坐標(biāo)表示，再結(jié)合邊角互化，即可解出；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和正弦定理即可求出．（1）∵，∴，∴，而，解得，又，解得.（2）∵，∴，，由正弦定理可得，解得．18．（2023秋·云南·高一云南師大附中?？计谀┮阎蛄浚?，．(1)求的最小值及相應(yīng)t的值；(2)若與共線，求與的夾角．【答案】(1)最小值為，此時(shí)(2)【分析】（1）求出向量的坐標(biāo)，再由向量的模長(zhǎng)公式求出，根據(jù)二次函數(shù)求最值，即可得出答案.（2）由與共線可求出，再由向量的夾角公式即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)取“＝”，即的最小值為，此時(shí)．（2）因?yàn)?，，所以由與共線得，解得，此時(shí)，設(shè)，的夾角為θ，則，又,故與的夾角為．19．（2022春·湖南岳陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）從①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答：已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知_________.（1）求角的大?。唬?）若為銳角三角形，，求a的取值范圍.【答案】選①②③（1）；（2）【分析】（1）選①：利用余弦定理以及已知條件可求得的值，再結(jié)合角范圍即可求解；選②：利用正弦定理化邊為角可得的值，再結(jié)合角范圍即可求解；選③：利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求得的值，再結(jié)合角范圍即可求解；（2）利用正弦定理，結(jié)合將邊轉(zhuǎn)化為角，再由銳角三角形求出的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）選①：∵，∴.∴.∴.又∵，∴.選②：∵，由正弦定理得.∵，∴，∴，∴.又∵，∴.選③：∵，∴.∴.∴.又∵，∴.（2）由正弦定理，∴.∴

.∵為銳角三角形，，可得，解得：，∴，∴∴，∴.∴的范圍是.20．（2022秋·湖南益陽(yáng)·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，向量，，且．(1)求角的大小(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量共線的坐標(biāo)表示結(jié)合正弦定理化簡(jiǎn)可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用余弦定理結(jié)合已知條件可求得、的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.（1）解：由可得，所以，，由正弦定理可得，、，則，，所以，，故.（2）解：因?yàn)?，可設(shè)，則，由余弦定理可得，解得，故，，因此，的面積為.21．（2023春·湖南常德·高一?？茧A段練習(xí)）已知：.（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間；（2）若，求函數(shù)的最值及相應(yīng)的x的值.【答案】（1）；單調(diào)遞增區(qū)間：；單調(diào)遞減區(qū)間：；（2）最大值是，此時(shí)；最小值是，此時(shí).【分析】（Ⅰ）由向量數(shù)量積的運(yùn)算以及三角恒等變換求得函數(shù)的解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得答案；（Ⅱ）由已知得.由正弦函數(shù)的最值可求得答案.【詳解】解：（Ⅰ）.所以函數(shù)的最小正周期，由，解得，由，解得，∴函數(shù)的最小正周期，單調(diào)遞增區(qū)間：；單調(diào)遞減區(qū)間：.（Ⅱ）若，則.∴，，即的最大值是，此時(shí)；的最小值是，此時(shí).22．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一長(zhǎng)沙一中校考階段練習(xí)）已知