專題08數(shù)列求和（奇偶項討論求和）(典型例題題型歸類練)（原卷版）

專題08數(shù)列求和（奇偶項討論求和）(典型例題+題型歸類練)一、必備秘籍有關數(shù)列奇偶項的問題是高考中經(jīng)常涉及的問題，解決此類問題的難點在于搞清數(shù)列奇數(shù)項和偶數(shù)項的首項、項數(shù)、公差(比)等．本專題主要研究與數(shù)列奇偶項有關的問題，并在解決問題中讓學生感悟分類討論等思想在解題中的有效運用.因此，在數(shù)列綜合問題中有許多可通過構造函數(shù)來解決．類型一：通項公式分奇、偶項有不同表達式；例如：角度1：求的前項和角度2：求的前項和類型二：通項含有的類型；例如：類型三：已知條件明確的奇偶項或含有三角函數(shù)問題二、典型例題類型一：通項公式分奇、偶項有不同表達式通項公式分奇、偶項有不同表達式；例如：角度1：求的前項和例題1．（2022·浙江嘉興·模擬預測）已知公差不為零的等差數(shù)列滿足成等比數(shù)列．數(shù)列的前n項和為，且滿足(1)求和的通項公式；第（2）問解題思路點撥：由（1）知：,，可代入到第（2）問中，求出的通項公式：，即：注意到奇偶項通項不同，直接考慮分組求和.奇偶項通項不同，采用分組求和可作為一個解題技巧，由于奇偶項通項比較復雜，可設；第（2）問解題思路點撥：由（1）知：,，可代入到第（2）問中，求出的通項公式：，即：注意到奇偶項通項不同，直接考慮分組求和.奇偶項通項不同，采用分組求和可作為一個解題技巧，由于奇偶項通項比較復雜，可設；，則（注意到本例求解的為偶數(shù)項和，最后一項一定是代入偶數(shù)的通項公式，否則，若是求，最后一項是代入奇數(shù)項通項，還是代入偶數(shù)項通項，則需要討論）分組求和當為奇數(shù)當為偶數(shù)，兩式相減得：綜上：角度2：求的前項和例題2．（2022·山東日照·模擬預測）已知數(shù)列中，，，（），，，，成等差數(shù)列．第（2）問解題思路點撥：由（1）知，代入即：注意到奇偶項通項不同，直接考慮分組求和.奇偶項通項不同，采用分組求和可作為一個解題技巧第（2）問解題思路點撥：由（1）知，代入即：注意到奇偶項通項不同，直接考慮分組求和.奇偶項通項不同，采用分組求和可作為一個解題技巧當為偶數(shù)時，數(shù)列{的前項中有個奇數(shù)項，有個偶數(shù)項．（注意到本例求解的，最后一項是代入奇數(shù)項通項，還是代入偶數(shù)項通項，需要討論）（討論時優(yōu)先討論為偶數(shù)）為奇數(shù)為偶數(shù)當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，注意到為偶數(shù)，所以可使用偶數(shù)項和的結(jié)論，代入左側(cè)求和結(jié)果：，則：，整理：綜上：(2)設，求數(shù)列的前項和．感悟升華（核心秘籍）（1）對比例題1，例題2，通項都是分段式，在求和時都使用（奇偶項分組求和法）；不同的是，例題1求前項和；例題2求前項和；（2）對于例題1求，其中奇數(shù)項，偶數(shù)項各項，可直接分組求和，無需討論；（3）對于例題2求，注意到最后一項是代入哪個表達式，不確定，故需要討論，在討論時，作為核心技巧，先討論為偶數(shù)，再利用為偶數(shù)的結(jié)論，快速求為奇數(shù)的和；（4）當為偶數(shù)時:，其中奇數(shù)項，偶數(shù)項各為項；可直接利用分組求和；（5）當為奇數(shù)時，，其中可利用上述結(jié)論代入，然后再快速求解.類型二：通項含有的類型通項含有的類型；例如：例題3．（2022·河南·開封高中模擬預測（理））在數(shù)列中，，數(shù)列的前項和滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．第（2）問解題思路點撥：由題意知第（2）問解題思路點撥：由題意知，求，代入：注意到通項中含有“”，會影響最后一項取“正還是負”，通過討論的奇偶，結(jié)合分組求和.奇偶項通項不同，采用分組求和可作為一個解題技巧（注意到本例求解的，代入最后一項，是正，還是負，需要討論）（討論時優(yōu)先討論為偶數(shù)）為奇數(shù)為偶數(shù)當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，即：注意到為偶數(shù)，所以可使用偶數(shù)項和的結(jié)論，代入左側(cè)求和結(jié)果：，則：，整理：綜上：例題4．（2022·重慶八中模擬預測）已知是公差不為零的等差數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列，數(shù)列化的前項和為第（2）問解題思路點撥：由（1）知：，可代入到第（2第（2）問解題思路點撥：由（1）知：，可代入到第（2）問中，求出的通項公式：，注意到通項中含有“”，會影響最后一項取“正還是負”，通過討論的奇偶，結(jié)合分組求和.奇偶項通項不同，采用分組求和可作為一個解題技巧（注意到本例求解的為偶數(shù)項和，代入最后一項，一定是正，故不需要討論）分組求和感悟升華（核心秘籍）（1）對比例題3，例題4，通項都含有“”，在求和時都使用（連續(xù)兩項分組求和法：即連續(xù)的兩項分一組）；不同的是，例題3求前項和；例題4求前項和；（2）對于例題3求，其中最后一項代入，是取“正”還是取“負”不確定，故需討論為奇數(shù)還是偶數(shù)，在討論時，作為核心技巧，先討論為偶數(shù)，再利用為偶數(shù)的結(jié)論，快速求為奇數(shù)的和；；（3）對于例題4求，注意到最后一項一定是正，故不需要討論；類型三：已知條件明確的奇偶項或含有三角函數(shù)問題例題5．（2022·江西贛州·二模（文））已知數(shù)列的前項和為，且滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知，求數(shù)列的前項和．第（2）問解題思路點撥：由題意知第（2）問解題思路點撥：由題意知，求，注意，所以可化簡為：，注意到通項中含有“”，會影響最后一項取“正”還是取“負”，通過討論的奇偶，結(jié)合分組求和.奇偶項通項不同，采用分組求和可作為一個解題技巧（注意到本例求解的，代入最后一項，是正，還是負，需要討論）（討論時優(yōu)先討論為偶數(shù)）為奇數(shù)為偶數(shù)當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，即：注意到為偶數(shù)，所以可使用偶數(shù)項和的結(jié)論，代入左側(cè)求和結(jié)果：，則：，，整理：綜上：感悟升華（核心秘籍）（1）已知條件明確的奇偶項或含有三角函數(shù)問題，如本例：，含有三角函數(shù)，需等價轉(zhuǎn)化（2）常用三角函數(shù)等價轉(zhuǎn)化：①②（3）將含有三角函數(shù)問題的通項，等價轉(zhuǎn)化，再求和.三、題型歸類練1．（2022·湖北·荊門市龍泉中學二模）已知數(shù)列的前項和為，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，求數(shù)列的前項和；2．（2022·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若求數(shù)列的前2n項和.3．（2022·山東·肥城市教學研究中心模擬預測）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．4．（2022·福建三明·模擬預測）設數(shù)列的前項和為，，，．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和．5．（2022·江西·新余四中模擬預測（理））在數(shù)列中，(1)求，，；(2)求數(shù)列的前n項和．6．（2022·安徽省舒城中學模擬預測（理））已知數(shù)列的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．7．（2022·全國·模擬預測）已知數(shù)列中，.（1）求證：數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；（2）令為數(shù)列的前項和，求使得的的最小值.8．（2022·重慶八中模擬預測）已知{}是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前n項和為，且滿足.(1)求證:數(shù)列{}為等差數(shù)列；(2)設，求{}的前64項和.9．（2022·遼寧·模擬預測）已知為等差數(shù)列的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和．10．（2022·山東濟寧·三模）已知等差數(shù)列的前項和為，且，，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.11．（2022·陜西西安·三模（理））設公差不為零的等差數(shù)列的前項