2019年中考數(shù)學(xué)壓軸題匯編：選擇題填空題和代數(shù)幾何（含答案和解析）

（2019年湖南衡陽12題）

12.（3分）如圖，在直角三角形ABC中，/C=90°,AC=BC,E是A8的中點(diǎn)，過點(diǎn)E

作AC和BC的垂線，垂足分別為點(diǎn)。和點(diǎn)凡四邊形CDEF沿著C4方向勻速運(yùn)動，點(diǎn)

C與點(diǎn)A重合時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為,,運(yùn)動過程中四邊形CQEF與△A8C的重疊

部分面積為S.則S關(guān)于t的函數(shù)圖象大致為（）

【分析】根據(jù)已知條件得到AABC是等腰直角三角形，推出四邊形EFCO是正方形，設(shè)

正方形的邊長為小當(dāng)移動的距離時，如圖15=正方形的面積-，的面積=

a1-AT2；當(dāng)移動的距離時，如圖2,S—SMCH——（2a-t）2—Xj2-2at+2a2,根

222

據(jù)函數(shù)關(guān)系式即可得到結(jié)論；

【解答】解：???在直角三角形A8C中，ZC=90°,AC=BC,

...△A8C是等腰直角三角形，

"：EF1BC,EDVAC,

：.四邊形EFCD是矩形，

是AB的中點(diǎn)，

:.EF=1AC,DE=1-BC,

22

：.EF=ED,

...四邊形EFC￡＞是正方形，

設(shè)正方形的邊長為a,

1

如圖1當(dāng)移動的距離時，5=正方形的面積-△￡￡'H的面積=a2-U；

2

當(dāng)移動的距離時，如圖2,5=SAACH——（2a-t）2—lj2-2at+2a2,

22

；.S關(guān)于，的函數(shù)圖象大致為C選項(xiàng)，

【點(diǎn)評】本題考查動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵

是讀懂題意，學(xué)會分類討論的思想，屬于中考?？碱}型.

（2019年湖南衡陽18題）

18.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/的圖象如圖所示.已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,

過點(diǎn)A作〃x軸交拋物線于點(diǎn)A1,過點(diǎn)A1作AIA2〃OA交拋物線于點(diǎn)A2,過點(diǎn)A2

作A243〃x軸交拋物線于點(diǎn)43,過點(diǎn)A3作A3A4〃OA交拋物線于點(diǎn)A4.,依次進(jìn)行下

【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得出點(diǎn)Ai的坐標(biāo)，求得直線4A2為y=x+2,聯(lián)立方程求

得A2的坐標(biāo)，即可求得A3的坐標(biāo)，同理求得4的坐標(biāo)，即可求得對的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)

2

的變化找出變化規(guī)律，即可找出點(diǎn)A2019的坐標(biāo).

【解答】解：：A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

...直線04為、=?Ai(-1,1),

VA1A2//OA,

直線AIA2為y—x+2,

解了x+2得卜一或卜=2,

2

ky=xly=lly=4

???A2(2,4),

?M3(-2,4),

TA3A4〃04,

直線A3A4為y=x+6,

解尸+：得卜=-2或卜=3,

y=x2ly=4ly=9

：.A4(3,9),

...45(-3,9)

.".A2019(-1010,10102),

故答案為(-1010,10102).

【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的圖象以及交點(diǎn)的坐標(biāo)，

根據(jù)坐標(biāo)的變化找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(2019年湖南湘潭16題)

16.(3分)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計算弧田面積

所用的經(jīng)驗(yàn)公式是：弧田面積=!(弦X矢+矢2).孤田是由圓弧和其所對的弦圍成(如

2

圖中的陰影部分)，公式中“弦''指圓弧所對弦長，“矢'’等于半徑長與圓心到弦的距離之差,

運(yùn)用垂徑定理(當(dāng)半徑OC,弦AB時，OC平分A8)可以求解.現(xiàn)已知弦42=8米，半

徑等于5米的弧田，按照上述公式計算出弧田的面積為10平方米.

3

【分析】根據(jù)垂徑定理得到AO=4,由勾股定理得到。。=做以禍=3,求得0A-

00=2,根據(jù)弧田面積=!（弦x矢+矢2）即可得到結(jié)論.

2

【解答】解：：弦AB=8米，半徑0C_L弦A8,

：.AD=4,

???8=加2旬2=3'

：.OA-OD=2,

...弧田面積=!（弦x矢+矢2）=L<（8x2+2?）=10,

22

故答案為：10.

【點(diǎn)評】此題考查垂徑定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理和扇形面積解答.

（2019年湖南益陽16題）

16.（4分）如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)P為AB延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作。。的切線PE,

切點(diǎn)為M,過A、8兩點(diǎn)分別作PE的垂線AC、BD,垂足分別為C、D,連接4M,則下

列結(jié)論正確的是①②④.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①AM平分NC4B；

②A序=AC?AB；

③若AB=4,ZAPE=30°,則前的長為工；

3

④若AC=3,BD=\,則有CM=Z）M=遙.

【分析】連接。M,可證。M〃AC,得出/C4M=NAM。，由。4=OM可得NOAM=N

4

AMO,故①正確；證明△ACMS/\AMB,則可得出②正確；求出NMOP=60°,OB=2,

則用弧長公式可求出“的長為"，故③錯誤；由BD//AC可得PB=LpA，則PB=

33

OB=OA,得出NORW=30°,則PM=2愿，可得出CM=OM=￡)P=代，故④正確.

【解答】解：連接0M，

為。0的切線，

AOMA-PC,

VAC1PC,

：.OM//AC,

：.ZCAM^ZAMO,

'：OA=OM,

ZOAM=ZAMO,

：.ZCAM^ZOAM,即AM平分NC4B,故①正確;

為。。的直徑，

ZAMB=90°,

,：NCAM=ZMAB,NACM=ZAMB,

：.AACM^/XAMB,

-AC_AM

,,前

：.AM2=AC'AB,故②正確；

\"ZAPE=30a,

AZMOP^ZOMP-ZAP￡=90°-30°=60°,

；AB=4,

：.OB=2,

.?.前的長為6°，兀X2=2兀,故③錯誤；

1803

5

VBD±PC,AC.LPC,

J.BD//AC,

.PBBD1

?■而方

???尸8忖PA，

o

PB=yAB>BO《or

：.PB=OB=OA,

.?.在RtZ\OMP中，OM=/0p=2,

；./OPM=30°,

:.PM=2M，

:.CM=DM=DP=a,故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評】本題考查圓知識的綜合應(yīng)用，涉及切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判

定和性質(zhì)、弧長公式、含30度直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知

識解決問題.

（2019年湖南張家界14題）

（3分）如圖：正方形48CZ）的邊長為1,點(diǎn)E,尸分別為BC,C。邊的中點(diǎn)，連接AE,

BF交于點(diǎn)P,連接尸〃，則tan/APE）=

【解答】解：連接4尸,

尸分別是正方形A8CQ邊BC,8的中點(diǎn),

：.CF=BE,,

在△A8E和△BCF中,

rAB=BC

<ZABE=ZC>

,BE=CF

.'.RtAABE^RtABCF(SAS),

6

:?/BAE=/CBF,

又???N3A￡：+NBEA=9(r,

：.ZCBF^ZBEA=90°,

：.ZBPE=ZAPF=90°,

VZADF=90°,

ZADF+ZAPF=180°,

???A、P、F、。四點(diǎn)共圓，

Z.NAFD=NAPD,

.,.tanZAPD=tanZAFD==2,

故答案為：2.

（2019年湖南長沙12題）

12.（3分）如圖，△ABC中，A8=AC=10,tanA=2,8E_LAC于點(diǎn)E,。是線段BE上的

一個動點(diǎn)，則CZ）+返8。的最小值是（）

5

A.2代B.4旄C.5MD.10

【分析】如圖，作OH_L4B于H，CM_LAB于M.由tanA=&E=2,設(shè)AE=a,BE=2a,

AE

利用勾股定理構(gòu)建方程求出a,再證明DH=&BD,推出CD+J^BD=CD+DH,由垂

55

線段最短即可解決問題.

【解答】解：如圖，作。H_LAB于H,CM_L4B于M.

7

E

B￡_^C

,：BEA.AC,

：.ZABE=90°,

VtanA=I^-=2,設(shè)AE=a,BE=2a,

AE

則有：100=J+4〃2,

.?.『=20,

.?.a=2旄或-2灰（舍棄），

：.BE=2a=4后

；AB=AC,BELAC,CM1.AC,

:.CM=BE=4如（等腰三角形兩腰上的高相等））

,/NDBH=NABE,NBHD=ABEA,

sinZDBH=^~—_^5_=

_BDAB5

：.DH=J^-BD,

5

CD+D=CD+DH,

5

:.CD+DH2CM,

:.CD+叵BD/樂,

5

，CD+運(yùn)8。的最小值為4匹.

5

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵

是學(xué)會添加常用輔助線，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型.

（2019年湖南長沙18題）

18.（3分）如圖，函數(shù)>=四&為常數(shù)，左>0）的圖象與過原點(diǎn)的。的直線相交于A,B

X

兩點(diǎn)，點(diǎn)M是第一象限內(nèi)雙曲線上的動點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)），直線AM分別交X軸，

8

y軸于C,。兩點(diǎn)，連接分別交x軸，y軸于點(diǎn)E,F.現(xiàn)有以下四個結(jié)論：

①△OOM與△OCA的面積相等：②若8MLAM于點(diǎn)M,則/M24=30°；③若M點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為1,△04M為等邊三角形，則k=2+?；④若則MD=2MA.

5

其中正確的結(jié)論的序號是一①③④.(只填序號)

【分析】①設(shè)點(diǎn)4(如K),M(n,k),構(gòu)建一次函數(shù)求出C,D坐標(biāo)，利用三角形

mn

的面積公式計算即可判斷.

②△OMA不一定是等邊三角形，故結(jié)論不一定成立.

③設(shè)M(l,k),由△QAM為等邊三角形，推出。4=0M=AM,可得1+9=〃?2+上_丁，

in

推出m=k,根據(jù)OM=AM,構(gòu)建方程求出k即可判斷.

④如圖，作MK〃。。交。4于K.利用平行線分線段成比例定理解決問題即可.

【解答】解：①設(shè)點(diǎn)A(m，其)，M(H,K),

mn

則直線AC的解析式為y=-工+瓦瓦

mnnin

：.C(m+n,0),D(0,「時二世),

inn

11T

.??SZ\O￡)M=L乂"*["2)2=」時注區(qū)，5AOCA=—x(m+〃)xk=,(t

2mn2m2m2m

???△OQM與△OCA的面積相等，故①正確；

???反比例函數(shù)與正比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，

???0是AB的中點(diǎn)，

：.OM=OA,

9

'.A(m,n),M(〃,，”),

:.AM=?(n-m),OM=^2~^2,

不一定等于OM,

/BAM不一定是60°,

.?./MBA不一定是30°.故②錯誤,

???”點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.

...可以假設(shè)M(1,k),

：△OAM為等邊三角形,

：.OA=OM=AM,

\+l^—n^+——,

2

ID

?.m=k,

?.?OM=AM,

(1-zn)2+2=i+F,

m

.?.必-4A+l=0,

'?k=2i'\y3，

：.k=2+M，故③正確，

如圖，作MK//OD交0A于K.

OF//MK,

?里=強(qiáng)=2

"BMKB百

?-?0K―_2,

0B3

"：OA=OB,

?-?0K9_2

OA3

?-.0K_―2,

KA1

'：KM//OD,

.DM=OK=2

"AMAK-，

10

：.DM=2AM,故④正確.

故答案為①③④.

【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，三角形的面積，平行線分線段成

比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會構(gòu)造平行線，利用平行線

分線段成比例定理解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

（2019年湖南株洲10題）

10.（3分）從-1,1,2,4四個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)（記作M,bk）構(gòu)成一個數(shù)組MK

—｛ak,bk｝（其中k=L2…S,且將｛魂，枚｝與｛從，以｝視為同一個數(shù)組）,若滿足：對于

任意的歷｝和1&WS,iWjWS）都有ai+bi^aj+bj,則S

的最大值（）

A.10B.6C.5D.4

【分析】找出3+"'的值，結(jié)合對于任意的歷｝和腐=｛此bj｝IWiWS,

TWjWS）都有卬+b林/+5,即可得出S的最大值.

【解答】解:V-1+1=0,-1+2=1,-1+4=3,1+2=3,1+4=5,2+4=6,

.??S+歷共有5個不同的值.

又???對于任意的昭=3,加和的=｛此bj｝gj,iWiWS,IWjWS）都有0+）H勾+力,

二5的最大值為5.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出G+生共有兒個不同的值是解題的關(guān)鍵.

（2019年湖南株洲18題）

18.（3分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xO），中，在直線x=l處放置反光鏡I,在），軸處

放置一個有缺口的擋板II，缺口為線段A8,其中點(diǎn)A（0,1）,點(diǎn)8在點(diǎn)A上方，且AB

11

=1,在直線x=-1處放置一個擋板【n,從點(diǎn)o發(fā)出的光線經(jīng)反光鏡I反射后，通過缺

口AB照射在擋板III上，則落在擋板III上的光線的長度為1.5.

擋板m

X

【分析】當(dāng)光線沿0、G、B、C傳輸時，由lan/0GH=tan/CGE,即：。旦叁_,即:

GHGF

--＞解得：a—\,求出yc=l+2=3,同理可得：）＞￡＞=1.5,即可求解.

a2~a

【解答】解：當(dāng)光線沿0、G、B、C傳輸時，

過點(diǎn)B作BFLGH于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CELGH于點(diǎn)E,

則N0GH=NCGE=a,設(shè)GH=a,則G尸=2-a,

則tan/0G”=tan/CGE,即：

GHGF

即：—--*?,解得：a=\,

a2-a

則a=45°,

12

：.GE=CE=2,yc=1+2=3,

當(dāng)光線反射過點(diǎn)A時，

同理可得：加=1.5,

落在擋板III上的光線的長度=€7）=3-1.5=15

故答案為1.5.

【點(diǎn)評】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的變化，涉及到一次函數(shù)、解直角三角形等知識，本

題關(guān)鍵是弄懂題意，正確畫圖.

（2019年湖南永州18題）

18.（4分）我們知道，很多數(shù)學(xué)知識相互之間都是有聯(lián)系的.如圖，圖一是“楊輝三角’'數(shù)

陣，其規(guī)律是：從第三行起，每行兩端的數(shù)都是力”，其余各數(shù)都等于該數(shù)“兩肩”上的數(shù)

之和；圖二是二項(xiàng)和的乘方（。+6）”的展開式（按人的升幕排列）.經(jīng)觀察：圖二中某個

二項(xiàng)和的乘方的展開式中，各項(xiàng)的系數(shù)與圖一中某行的數(shù)一一對應(yīng)，且這種關(guān)系可一直

對應(yīng)下去.將（s+x）”的展開式按尤的升基排列得：（$+x）15=ao+a\x+a2^+...+?15%15.

依上述規(guī)律，解決下列問題：

(1)若S=l,則“2=；

(2)若5—2,貝！J?0+<31+?2+...+<?15=

圖一1圖二

11(a+b)i=a+b,

2

121(a+b)=a2+2ab+射

(a+b)3/+3a、b+3a及-W

1331

14641(a-b)4=aA^4a3b^6a2lr-4ab3+b4

5543235

15101051(a^b)=a+5dfd4-10flZr-10ab+5alf-b

【解答】解：（1）由圖2知：（a+6）?的第三項(xiàng)系數(shù)為0,

（a+b）2的第三項(xiàng)的系數(shù)為：1,

（。+6）3的第三項(xiàng)的系數(shù)為：3=1+2,

（4+8）4的第三項(xiàng)的系數(shù)為：6=1+2+3,

,發(fā)現(xiàn)（1+x）3的第三項(xiàng)系數(shù)為:3=1+2；

（1+x）4的第三項(xiàng)系數(shù)為6=1+2+3；

（1+x）5的第三項(xiàng)系數(shù)為10=1+2+3+4；

不難發(fā)現(xiàn)（1+x）”的第三項(xiàng)系數(shù)為1+2+3+...+（n-2）+

13

：.s=l,則42=1+2+3+…+14=105.

故答案為：105；

（2）（s+x）15=ao+a?x+ci2x2+...+a15JC15.

當(dāng)尤=1時，ao+G+“2+…+。15=（2+1）15=315,

故答案為：3叱

（2019年湖南常德16題）

16.（3分）規(guī)定：如果一個四邊形有一組對邊平行，一組鄰邊相等，那么稱此四邊形為廣

義菱形.根據(jù)規(guī)定判斷下面四個結(jié)論：①正方形和菱形都是廣義菱形；②平行四邊形是

廣義菱形；③對角線互相垂直，且兩組鄰邊分別相等的四邊形是廣義菱形；④若M、N

的坐標(biāo)分別為（0,1）,（0,-1）,尸是二次函數(shù)y=L?的圖象上在第一象限內(nèi)的任意

4

一點(diǎn)，PQ垂直直線y=-1于點(diǎn)Q,則四邊形PMNQ是廣義菱形.其中正確的是

①②④.（填序號）

【分析】①根據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對邊平行，一組鄰邊相等，①

正確；

②平行四邊形有一組對邊平行，沒有一組鄰邊相等，②錯誤；

③由給出條件無法得到一組對邊平行，③錯誤；

④設(shè)點(diǎn)尸（“，L?2）,則Q-1）,由股溝定理可得2+],MP=PQ

44

和MN〃PQ,所以四邊形PMNQ是廣義菱形.④正確；

【解答】解：①根據(jù)廣義菱形的定義，正方形和菱形都有一組對邊平行，一組鄰邊相等，

①正確；

②平行四邊形有一組對邊平行，沒有一組鄰邊相等，②錯誤；

③由給出條件無法得到一組對邊平行，③錯誤；

④設(shè)點(diǎn)（m,則）

PQ（/W,-1,

4

?“貨+（鋁一1）2=||m2+1|（P0=/2+i,

??,點(diǎn)尸在第一象限，

:.MP=L^+\,

4

14

：.MP=PQ,

又,：MN〃PQ,

四邊形PMNQ是廣義菱形.

④正確；

故答案為①②③；

【點(diǎn)評】本題考查新定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，特殊四邊形的性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形,

菱形，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，將廣義菱形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識是求解的關(guān)鍵.

（2019年湖南郴州8題）

8.（3分）我國古代數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形

和兩對全等的三角形，如圖所示，已知/A=90°,BD=4,CF=6,則正方形AOO尸的

邊長是（）

A.&B.2C.V3D.4

【分析】設(shè)正方形ADO尸的邊長為x,在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于

x的方程，解方程即可.

【解答】解：設(shè)正方形ACO尸的邊長為x,

由題意得：BE=BD=4,CE=CF=6,

：.BC=BE+CE=BD+CF^\0,

在RtZXABC中，AC2+AB2=BC2,

即（6+x）2+（x+4）2=102,

整理得，f+10x-24=0,

解得：x—2,或x=-12（舍去），

即正方形AOOF的邊長是2；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、勾股定

15

理等知識；熟練掌握正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵.

（2019年吉林長春14題）

14.（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=笳-2辦+&（a>0）與y軸交于點(diǎn)A,

3

過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M.P為拋物線的頂點(diǎn).若直線。尸交直線AM于

點(diǎn)8,且M為線段的中點(diǎn)，則a的值為2.

【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A坐標(biāo)和其對稱軸，再根據(jù)對稱性求出點(diǎn)M坐標(biāo)，

利用點(diǎn)M為線段4B中點(diǎn)，得出點(diǎn)8坐標(biāo)；用含a的式子表示出點(diǎn)P坐標(biāo)，寫出直線OP

的解析式，再將點(diǎn)B坐標(biāo)代入即可求解出a的值.

【解答】解：,??拋物線y=/-2av+_|（?>0）與y軸交于點(diǎn)A,

（0,旦），拋物線的對稱軸為x=l

3

頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（1,3■-“），點(diǎn)M坐標(biāo)為（2,—）

33

；點(diǎn)〃為線段AB的中點(diǎn)，

.,.點(diǎn)8坐標(biāo)為（4,—）

3

設(shè)直線OP解析式為），=履（&為常數(shù)，且/W0）

將點(diǎn)p（I,8._a）代入得旦=%

3a3a

-'.y—（--a）x

3

將點(diǎn)8（4,1）代入得旦=（反一且）X4

333

解得4=2

故答案為：2.

【點(diǎn)評】本題綜合考查了如何求拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，如何求拋物線的對稱軸，以

及利用對稱性求拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，同時還考查了正比例函數(shù)解析式的求法，難度中等.

16

（2019年江西6題）

6.（3分）如圖，由10根完全相同的小棒拼接而成，請你再添2根與前面完全相同的小棒,

拼接后的圖形恰好有3個菱形的方法共有（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，找出各種拼接法，此題得解.

【解答】解：共有6種拼接法，如圖所示.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了圖形的剪拼以及菱形的判定，依照題意，畫出圖形是解題的關(guān)鍵.

（2019年江西12題）

12.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4,0）,（4,4）,（0,4）,

點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)力在直線AB上，若D4=l,CPLOP于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,

0）或（2-2五0）或（2+2血，0）.

【分析】先由已知得出D（4,1）,02（4,-1）,然后分類討論。點(diǎn)的位置從而依次求

出每種情況下點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解答】解：8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4,0）,（4,4）

17

：.AB//y^

:點(diǎn)。在直線AB上，DA=\

：.D\(4,I),02(4,-1)

(I)當(dāng)點(diǎn)。在Oi處時，要使CPJ_OP,即使△C0PiZZ\PiA￡>i

.CO_QP1

即二QP

4-OP-1

解得：0a=2

：.P\(2,0)

(II)當(dāng)點(diǎn)。在。2處時，

VC(0,4),D2(4,-1)

?,.C02的中點(diǎn)E(2,W)

2

CPA.DP

.?.點(diǎn)P為以E為圓心，CE長為半徑的圓與x軸的交點(diǎn)

設(shè)PG,0),則PE=CE

BP^(2-x)2+(y-0)2=^22+(1-4)2

解得：x=2±2&

：.P1(2-272，0),Pi(2+2&,0)

18

綜上所述：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,0）或（2-2加,0）或（2+2加,0）.

【點(diǎn)評】本題考查了動點(diǎn)型問題，主要涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用,

圓的相關(guān)知識，本題比較復(fù)雜，難度較大.

（2019年遼寧沈陽16題）

16.（3分）如圖，正方形ABCO的對角線AC上有一點(diǎn)E,且CE=44E,點(diǎn)尸在0c的延

長線上，連接EF,過點(diǎn)E作EGLER交CB的延長線于點(diǎn)G,連接G尸并延長，交AC

的延長線于點(diǎn)尸，若A8=5,CF=2,則線段EP的長是—身反」.

【解答】解：如圖，作于H.

:四邊形A8CD是正方形，AB=5,

，AC=5我，ZACD=ZFCH=45°,

VZF//C=90°,CF=2,

：.CH=HF=-/2,

：CE=4AE,

；.EC=4a，AE=近

：.EH=5-^2'

在RtZXEFH中，EF1=EH1+FH1^(572)2+(&)2=52,

:NGEF=NGCF=90°,

：.E,G,F,C四點(diǎn)共圓，

:.NEFG=NECG=45°,

：.ZECF=ZEFP=135°,

19

,?ZCEF=ZFEP,

.,.△CEFSAFEP,

?EF=EC

"EPEF'

：.EF1=EC'EP,

?吁52=1犯

??472

故答案為里2

2

（2019年遼寧大連10題）

10.（3分）如圖，拋物線y=-/2+斷+2與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與），軸相交于點(diǎn)C,

點(diǎn)。在拋物線上，且C￡>〃A&AO與），軸相交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E的直線PQ平行于x軸,

與拋物線相交于尸，Q兩點(diǎn)，則線段PQ的長為，亞

【解答】解：當(dāng)y=0時，-L2+LV+2=0,

42

解得：xi=-2,X2—4,

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,0）；

當(dāng)x=0時，y=-—^+—x+2=2,

42

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,2）；

當(dāng)y=2時，-"+L+2=2,

42

解得：X1=O,XI—1,

...點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,2）.

設(shè)直線4。的解析式為y=fcc+b（左片0）,

將A（-2,0）,D（2,2）代入得:

20

「2k+b=。，解得：k/

12k+b=2hi

直線AD的解析式為y=L+l.

2

當(dāng)x=0時，y=L+l=l,

2

.?.點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,1）.

當(dāng)y=1時，--1^+-1^+2=1,

42

解得：Xl=l-yfS,*^2=1+'^，

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1-依，1）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（1+依，1）,

:.PQ=1+辰-（1-V5）=2遙.

故答案為：2A/^.

（2019年遼寧大連16題）

16.（3分）甲、乙兩人沿同一條直路走步，如果兩人分別從這條多路上的A,8兩處同時出

發(fā)，都以不變的速度相向而行，圖1是甲離開A處后行走的路程），（單位：，"）與行走時

x（單位：如力）的函數(shù)圖象，圖2是甲、乙兩人之間的距離（單位：m）與甲行走時間x

（單位；min）的函數(shù)圖象，則a-6=—.

-2一

圖1圖2

21

【解答】解：從圖1,可見甲的速度為儂=60,

2

從圖2可以看出，當(dāng)x=@時，二人相遇，即：(60+Ve)X§=120,解得：己的速度V

77

已=80,

丁己的速度快，從圖2看出已用了〃分鐘走完全程，甲用了。分鐘走完全程，

J20=l,

60802

故答案為工.

2

(2019年遼寧本溪18題)

18.(3分)如圖，點(diǎn)31在直線/：y=L上，點(diǎn)Bi的橫坐標(biāo)為2,過所作交x

2

軸于點(diǎn)4,以481為邊，向右作正方形4B1B2。，延長B2cl交x軸于點(diǎn)42；以A2B2

為邊，向右作正方形A28283c2,延長83c2交X軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形

A383&C3延長84c3交X軸于點(diǎn)A4;…；按照這個規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)隔的橫坐標(biāo)為

【分析】根據(jù)點(diǎn)Bi的橫坐標(biāo)為2,在直線/：y=L上，可求出點(diǎn)Bi的坐標(biāo)，由作圖可

2

知圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1：2,然后依次利用相似三角形

的性質(zhì)計算出。、C2、C3、C4……的橫坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律得出答案.

【解答】解：過點(diǎn)81、Cl、C2、C3、C4分別作Bi。，尤軸，C|D|J_X軸，C2D2Lc軸，

C3f)3，x軸，C4f)4，X軸，……垂足分別為￡>、。1、。2、￡>3、。4……

???點(diǎn)在直線/：y=L上，點(diǎn)劭的橫坐標(biāo)為2,

2

:.點(diǎn)、B1的縱坐標(biāo)為1,

即:8=2,B\D=\,

22

圖中所有的直角三角形都相似，兩條直角邊的比都是1：2,

B?D]DA?C[D]D[A?

OD"2“D_慶必一。必一

.?.點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為：2+1+（2）°,

22

點(diǎn)C2的橫坐標(biāo)為：2+—+（W）°+（W）°xl.+（A）|=§+（W）°x§+（A）1

222422242

點(diǎn)C3的橫坐標(biāo)為：2+1+（W）°+（2）°xL+（Jo。（2）'x±+（W）2=5+（2）

2224224222

（）x5+（J.）|義”++（W）2

4242

點(diǎn)。4的橫坐標(biāo)為：=反+（A）（）x5+（J.）]x5+（J.）2X,L+（A）3

22424242

點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：=$+（3）詠5+（W）ix5+（A）2XA+（J.）3X-^.+（J.）4x,^.

22424242424

+（.1）"-1

2

23

=§+與（&）°+（A）'x+（W）+（A）+（A）4...i+（W）"-1

24222222

【點(diǎn)評】考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的性質(zhì)、在計算探索的過程中

發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出一般性的結(jié)論.

（2019年內(nèi)蒙古赤峰18題）

18.（3分）二次函數(shù)>=/+縱+<?（a#0）的圖象如圖所示，下列結(jié)論：①6>0；②a-〃+c

=0；③一元二次方程a^+^x+c+l=0（a￥0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；④當(dāng)x<-1或x

23

>3時，y>0.上述結(jié)論中正確的是⑵③⑷.（填上所有正確結(jié)論的序號）

【分析】由圖可知，對稱軸x=l,與x軸的一個交點(diǎn)為（3,0）,則有人=-2a,與x軸

另一個交點(diǎn)（-1,0）；

①由”>0,得Z?<0；

②當(dāng)x=-1時，>,=0,則有a-h+c=0；

③一元二次方程由3械+。+1=0可以看作函數(shù)y=a』+6x+c與尸-1的交點(diǎn)，由圖象可

知函數(shù)），=/+法+。與y=-1有兩個不同的交點(diǎn)，一元二次方程蘇+以+<:+1=0（“ro）

有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

④由圖象可知，y>0時，x<-1或x>3.

【解答】解：由圖可知，對稱軸x=l,與x軸的一個交點(diǎn)為（3,0）,

；.b=-2a,與x軸另一個交點(diǎn)（7,0）,

@Va>0,

.?北<0；

①錯誤；

②當(dāng)X--1時，y=0,

.,.a-b+c=O；

②正確；

③一元二次方程0?+陵+。+1=0可以看作函數(shù)丫=〃/+云+。與>=-1的交點(diǎn)，

由圖象可知函數(shù)與y=-1有兩個不同的交點(diǎn)，

一元二次方程aj+fer+c+l：。（a/0）有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

.?.③正確；

④由圖象可知，y>0時，尢<-1或犬>3

...④正確；

故答案為②③④.

24

【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，能夠從圖

象中獲取信息進(jìn)行準(zhǔn)確的分析是解題的關(guān)鍵.

（2019年內(nèi)蒙古鄂爾多斯16題）

16.（3分）如圖，在圓心角為9（）。的扇形OAB中，OB=2,P為定上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作

PELOB于點(diǎn)E,設(shè)M為AOPE的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)8時，則內(nèi)心M所經(jīng)

過的路徑長為.

【解答】解：如圖，以。8為斜邊在的右邊作等腰RSP08,以P為圓心PB為半徑作

：.ZPEO=90°,

?點(diǎn)M是內(nèi)心，

.'.NOMP=135°,

VOB=OP,NM0B=NM0P,0M=0M,

.?.△0MB冬AOMP(SAS),

Z0MB=Z0MP=135°,

；N”=J-NBPO=45。，

2

.*.N”+NOM8=180。，

：.O,M,B,"四點(diǎn)共圓，

.?.點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是還，

25

內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長=3°兀"返=返出

_1802

故答案為返心

2

（2019年內(nèi)蒙古呼和浩特10題）

22

10.（3分）以下四個命題：①用換元法解分式方程-工2L+_^=1時，如果設(shè)

xX2+1x

），，那么可以將原方程化為關(guān)于y的整式方程/+）,-2=0；②如果半徑為r的圓的內(nèi)接正

五邊形的邊長為a,那么a=2*os54°；③有一個圓錐，與底面圓直徑是丁祖體積為

返三的圓柱等高，如果這個圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么它的母線長為2；④二次

23

函數(shù)-2ax+l,自變量的兩個值xi,X2對應(yīng)的函數(shù)值分別為yi、y2,若|xi-1|>位

-1|,則“（yi-y2）>0.其中正確的命題的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】①利用換元法代入并化簡；

②作OFJ_BC,在Rt^OC尸中，利用三角函數(shù)求出a的長；

③這個圓錐母線長為R,利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底

面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2n?3=色絲2上旦，然后解關(guān)

2180

于K的方程即可；

④根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷.

【解答】解：①設(shè)立L=y,那么可以將原方程化為關(guān)于y的整式方程/+y-2=0,故

X

正確；

②作OFLBC.

VZOCF=72°+2=36°,

CF=r*cos36°,

???C3=2wos36°,即。=2/cos360.

26

故錯誤;

③這個圓錐母線長為R,

根據(jù)題意得2n?3=180?天?R,

2180

解得R=3.

即它的母線長是3,.

故錯誤；

此時|xi-1|>位-1|,yi="=O,

所以a(yi-y2)=0.

故錯誤.

綜上所述，正確的命題的個數(shù)為1個.

故選：A.

【點(diǎn)評】考查了命題與定理.考查了換元法解分式方程，弧長的計算，二次函數(shù)圖象的

性質(zhì)，解直角三角形等知識，需要對相關(guān)知識有一個系統(tǒng)的掌握.

(2019年內(nèi)蒙古呼和浩特16題)

16.(3分)對任意實(shí)數(shù)”，若多項(xiàng)式2戶-5必+3/的值總大于-3,則實(shí)數(shù)方的取值范圍是

-6cb<6.

【分析】將已知轉(zhuǎn)化為對任意實(shí)數(shù)a,3a2-5"+2廿+3>0恒成立，利用△<()即可求解;

【解答】解：由題意可知：2/-5必+3/>-3,

；.3/-5"+2.+3>0,

27

對任意實(shí)數(shù)a,3a2-5帥+2/+3>0恒成立，

.?.△=25廿-12（2廿+3）=廬-36<0,

，-6<b<6；

故答案為-6<b<6；

【點(diǎn)評】本題考查一元二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系；熟練掌握判別式與一元二次

不等式值的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

（2019年內(nèi)蒙古通遼10題）

10.（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)）一加+灰+。（4云0）的圖象如圖所示，現(xiàn)給以

下結(jié)論：（T）abc<0；

②c+2“V0；

③9a-3b+c=0；

④“-Cam+b）（〃？為實(shí)數(shù)）；

⑤44c-62Vo.

其中錯誤結(jié)論的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】由拋物線的開口方向判斷〃與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與。的

關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【解答】解：①由拋物線可知：?>0,c<0,

對稱軸x=-且<0,

2a

.M>0,

/.abc<0,故①正確;

②由對稱軸可知：--=-1,

2a

28

??h~—2a,

Vx=l時，y=a+b+c=O,

c+3〃=0,

c+2a=-3a+2a=-aVO,故②正確；

③（1,0）關(guān)于尸7的對稱點(diǎn)為（-3,0）,

，％=-3時，y=9a-3匕+c=0,故③正確；

④當(dāng)x=-1時，y的最小值為a-b+c,

'.x=m時，y=am1+bm-^Cy

/.atrP'+bm+c^a-b+c,

即a-bWm（a〃?+6）,故④錯誤；

⑤