第六章平面向量及其應(yīng)用（選拔卷）-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)尖子生選拔卷（人教A版2019）

第六章平面向量及其應(yīng)用（人教A版2019）選拔卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單選題（每小題5分，共40分）1．（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期末）已知向量，，則下列說法不正確的是A．若，則的值為 B．若，則的值為2 C．的最小值為1 D．若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是【解答】解：選項(xiàng)，若，則，所以，即正確；選項(xiàng)，，，若，則，解得，即正確；選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值1，即正確；選項(xiàng)，若與的夾角為鈍角，則，，解得且，即錯(cuò)誤．故選：．2．（2021秋?金山區(qū)期末）已知向量與的夾角為，且，向量滿足，且，記向量在向量與方向上的投影分別為、．現(xiàn)有兩個(gè)結(jié)論：①若，則；②的最大值為．則正確的判斷是A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【解答】解：由，解得，當(dāng)時(shí)，，由得，，即，由得，因?yàn)?，假設(shè)，則可求出，代入中，等號(hào)不成立，故①錯(cuò)誤；設(shè)，因?yàn)?，由向量共線定理可知，點(diǎn)在線段上，如圖，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，所以，，而要想保證最大，只需最小，由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最小值為，所以最大值為，故的最大值為，②正確；故選：．3．（2021秋?河南期中）如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上且，若，則A． B． C．1 D．【解答】解：，故，．故．故選：．4．（2021秋?相山區(qū)校級(jí)月考）如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．【解答】解：由可得，，，又因與不共線，且，，故選：．5．（2021秋?河南月考）已知中，，，，點(diǎn)，分別為線段，上靠近，的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則A． B． C． D．【解答】解：，，，所以，故選：．6．（2021秋?香坊區(qū)校級(jí)期中）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，已知，，則的面積最大值為A． B． C． D．【解答】解：，，由余弦定理得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的面積，即的面積最大值為，故選：．7．（2021秋?信陽期中）在鈍角中，已知，的對(duì)邊分別為，，，，且，則A． B． C．或 D．或【解答】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，由正弦定理可得，，則，因?yàn)?，所以，角為的?nèi)角，所以或，當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形，符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，所以，則為鈍角三角形，符合題意．故選：．8．（2021秋?凌河區(qū)校級(jí)月考）在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，則的取值范圍是A．， B． C． D．【解答】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，因?yàn)?，，可得，所以，即，因?yàn)闉殇J角三角形，可得，解得，所以，因?yàn)椋傻?，可得，所以，即的取值范圍是．故選：．二、多選題（每小題5分，共20分）9．（2021春?樊城區(qū)校級(jí)期末）關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說法正確的是A．若，則 B．，若與平行，則 C．非零向量和滿足，則與的夾角為 D．點(diǎn)，，與向量同方向的單位向量為【解答】解：對(duì)于，若，且，可滿足條件，但，故不正確；對(duì)于，由條件，，若這兩向量平行，有，解得，故正確；對(duì)于，由條件可知，以向量和為邊對(duì)應(yīng)的四邊形為一個(gè)角是的菱形，則與的夾角為，故正確：對(duì)于，可得，因此與同方向的單位向量為，，故正確；故選：．10．（2021春?湖北月考）設(shè)銳角的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的值不可能為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因?yàn)?，所以，，所以，又，且，所以，，所以，又，，所以，，所以，，所以不可能?，3，4．故選：．11．（2021秋?海門市月考）對(duì)平面向量，，有A．若和為單位向量，則 B．若，則 C．若，在上的投影向量為，則的值為2 D．已知，為實(shí)數(shù)，若，則與共線【解答】解：對(duì)于，單位向量為模長(zhǎng)為1的向量，方向不一定相同，所以若和為單位向量，兩個(gè)向量不一定相等，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)或時(shí)，滿足條件，因?yàn)榱阆蛄颗c任何一個(gè)向量均為共線向量，所以；當(dāng)與均不是零向量時(shí)，因?yàn)椋?，所以或，所以，故：正確；對(duì)于，設(shè)，由投影向量的定義可知在上的投影向量為，故，所以，即，故正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，滿足條件，但是與不共線可知錯(cuò)誤；故選：．12．（2021秋?諸暨市校級(jí)期中）已知，分別是的邊，的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界）的有A．， B．， C．， D．，【解答】解：如圖：當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，有，且滿足，，，，設(shè)線段，且介于線段，之間，將點(diǎn)看成線段與線段的交點(diǎn)，可設(shè)，，此時(shí)，，故，且，，，經(jīng)計(jì)算，，選項(xiàng)滿足，，選項(xiàng)不滿足．故選：．三、填空題（每小題5分，共20分）13．（2021秋?河南月考）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，，且，則1．【解答】解：由于的面積為，所以，整理得；由于，且，利用余弦定理，轉(zhuǎn)換為，整理得，則，故（負(fù)值舍去）．故．故答案為：1．14．（2021秋?海陵區(qū)校級(jí)月考）在中，，，，動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，動(dòng)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止，且動(dòng)點(diǎn)的速度是動(dòng)點(diǎn)的3倍．若二者同時(shí)出發(fā)，且當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，則該過程中最大值是72．【解答】解：中，，，，，得．由知，，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；設(shè)點(diǎn)，，，，，，即，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值是72．故答案為：72．15．（2021秋?定海區(qū)校級(jí)月考）已知中，，，，則邊長(zhǎng)為，的面積是．【解答】解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，．故答案為：?．16．（2021秋?民樂縣校級(jí)月考）在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則的取值范圍為．【解答】解：由正弦定理，及，且，，則，，所以，，因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，所以，，所以，所以，故答案為：．四、解答題（共70分）17．（10分）（2021秋?清江浦區(qū)校級(jí)月考）已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且．（1）求角的大小；（2）若，點(diǎn)滿足，且，求邊的長(zhǎng)．【解答】解：（1），利用正弦定理化簡(jiǎn)得：，即，所以，因?yàn)椋?，即，因?yàn)?，可得，所以，可得．?）由，可知，，在一直線上且，在中，由余弦定理有①，②，在中，由余弦定理有，所以③①③得，所以④，把①代入④得，解得或（舍去）所以，所以．18．（12分）（2021秋?汕頭期末）在中，角，，所對(duì)的邊分別，，．已知．（1）求；（2）若，，設(shè)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng)．【解答】解：（1），由正弦定理可得，，，，，．（2）由（1）知，，，由正弦定理可得，，即，，或（舍去），，，，，，．19．（12分）（2021秋?松江區(qū)期末）在中，內(nèi)角、、所對(duì)邊分別為、、，已知．（1）求角的值；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值．【解答】解：（1）已知，利用正弦定理：，整理得，由于，故；（2）由于，，利用余弦定理：，所以，利用基本不等式的應(yīng)用：，整理得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）所以，故三角形的周長(zhǎng)的最大值為．20．（12分）（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）在中，與交于點(diǎn)，設(shè)．（1）用表示；（2）若在線段上取點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，使過點(diǎn)，設(shè)，，求的最小值．【解答】解：（1）設(shè)，則，，因?yàn)辄c(diǎn)，，三點(diǎn)共線，所以與共線，所以，則①，又，，因?yàn)辄c(diǎn)，，三點(diǎn)共線，所以與共線，所以，即②，聯(lián)立①②，可得，所以；（2）因?yàn)?，，因?yàn)榕c共線，所以，所以，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．21．（12分）（2021春?東城區(qū)期末）已知點(diǎn)，，．（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）已知．①若點(diǎn)在直線上，試寫出，應(yīng)滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由；②若為等邊三角形，求，的值．【解答】解：（1）由題意，，，點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）設(shè)，由得、．①把、代入“”得，得；②由為等邊三角形，得，，，由得，代入，得