422等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)考點(diǎn)講解練（人教A版2019選擇性）

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式備注：資料包含：1.基礎(chǔ)知識歸納；考點(diǎn)分析及解題方法歸納：考點(diǎn)包含：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和；數(shù)列前n項(xiàng)和判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列；等差數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)；含絕對值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和；等差數(shù)列前n和的性質(zhì)；兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比；等差數(shù)列前n項(xiàng)和的二次函數(shù)特征；求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值；等差數(shù)列前n項(xiàng)和求參數(shù)；等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)的和；等差數(shù)列的應(yīng)用課堂知識小結(jié)考點(diǎn)鞏固提升知識歸納等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：是一個(gè)關(guān)于n且沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)形式等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項(xiàng)數(shù)為，則，且，．=2\*GB3②若項(xiàng)數(shù)為，則，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差數(shù)列．判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=1\*GB3①定義法：是等差數(shù)列=2\*GB3②中項(xiàng)法：是等差數(shù)列=3\*GB3③通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列=4\*GB3④前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列考點(diǎn)講解考點(diǎn)講解考點(diǎn)1：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和例1．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】方法一：∵∴∴∴，方法二：由于是二次函數(shù),當(dāng)時(shí)的函數(shù)值，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，由可知，的關(guān)于對稱，因此，故選:B【方法技巧】公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【變式訓(xùn)練】1．若是等差數(shù)列，且是方程的兩個(gè)根，則（

）A．4046 B．4044 C． D．【答案】C【分析】由題可得，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即得.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬蓚€(gè)根，所以，所以，所以.故選：C.2．已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則___________.【答案】55【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求得，化簡，即可求得答案.【詳解】由題意知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，，則，即，所以，故答案為：553．已知等差數(shù)列滿足：，，其前n項(xiàng)和為.求數(shù)列的通項(xiàng)公式及.【答案】，【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則由題意可得，從而解出與的值即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式及．【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，依題意可得，解得，，．考點(diǎn)2：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列例2．（多選）在下列四個(gè)式子確定數(shù)列是等差數(shù)列的條件是（

）A．（，為常數(shù)，）； B．（為常數(shù)，）；C．； D．的前項(xiàng)和（）.【答案】AC【詳解】A選項(xiàng)中（，為常數(shù)，），數(shù)列的關(guān)系式符合一次函數(shù)的形式，所以是等差數(shù)列，故正確，B選項(xiàng)中（為常數(shù)，），不符合從第二項(xiàng)起，相鄰項(xiàng)的差為同一個(gè)常數(shù)，故錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，對于數(shù)列符合等差中項(xiàng)的形式，所以是等差數(shù)列，故正確；D選項(xiàng)的前項(xiàng)和（），不符合，所以不為等差數(shù)列．故錯(cuò)誤．故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義的應(yīng)用，如何去判斷數(shù)列為等差數(shù)列，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．【方法技巧】直接利用等差數(shù)列的定義性質(zhì)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列．【變式訓(xùn)練】1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和是.當(dāng)________時(shí)，是公差________的等差數(shù)列.【答案】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得到要使得為等差數(shù)列，得到且，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可知，要使得為等差數(shù)列，則滿足，解得，即，又由，所以公差.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中正確理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.考點(diǎn)3：等差數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)例3．（多選）已知數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，則下列說法正確的是（

）．A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的最大項(xiàng)為和【答案】BCD【詳解】解：因?yàn)椋詳?shù)列的最大項(xiàng)為和，故D正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得：，又，適合上式，所以，故C正確；因?yàn)?，所以是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤，B正確；故選：BCD【方法技巧】根據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷D，利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和關(guān)系求得通項(xiàng)公式判斷ABC.【變式訓(xùn)練】1．設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式【詳解】解：由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∵不適合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？【答案】是等差數(shù)列，首項(xiàng)和公差分別是和2.【分析】利用得出通項(xiàng)，最后不忘檢驗(yàn)是否適合通項(xiàng)即可.【詳解】解:①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),由得又，滿足，所以此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.因?yàn)?，所以此?shù)列是首項(xiàng)為,公差為2的等差數(shù)列.3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，試判斷是否為等差數(shù)列，并說明理由．【答案】(1)(2)不能是等差數(shù)列，理由見解析【分析】（1）當(dāng)，可得答案；（2）利用等差中項(xiàng)判斷可得答案.(1)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，綜上.(2)依題意有，，，，知不能是等差數(shù)列．考點(diǎn)4：含絕對值的等差數(shù)列前n項(xiàng)和例4．在等差數(shù)列中，，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，．所以．由得，即數(shù)列的前5項(xiàng)為正，其余各項(xiàng)為負(fù)．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即．【方法技巧】根據(jù)已知條件列方程組求出，再求出，然后可判斷數(shù)列的前5項(xiàng)為正，其余各項(xiàng)為負(fù)，再分和兩種情況求解.【變式訓(xùn)練】1．等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知求出和公差，再由等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可；（2）寫出的通項(xiàng)公式，可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；再利用求和公式分別在兩個(gè)范圍內(nèi)求解.（1）由題意得：，解得，；（2），當(dāng)時(shí)，，；時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即，綜上所述：.2．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求解通項(xiàng)公式即可；（2）分別討論當(dāng)及時(shí)兩種情況下與的關(guān)系，進(jìn)而求得與的關(guān)系，綜合兩種情況，從而得出的前項(xiàng)和的公式.(1)當(dāng)n＝1時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，顯然時(shí)也滿足上式，所以.(2)由（1）知，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)②當(dāng)時(shí)，，=.綜上可得：.考點(diǎn)5：等差數(shù)列前n和的性質(zhì)例5．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______．【答案】32.【詳解】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，∴，解得，∴2，6，10，成等差數(shù)列，可得，解得.故答案為：32.【方法技巧】由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，進(jìn)而即得【變式訓(xùn)練】1．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S10＝10，S20＝60，則S40等于（

）A．110 B．150C．210 D．280【答案】D【分析】根據(jù)在等差數(shù)列中，S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等差數(shù)列即可得解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差數(shù)列．故(S30－S20)＋S10＝2(S20－S10)，所以S30＝150，又因?yàn)?S20－S10)＋(S40－S30)＝2(S30－S20)，所以S40＝280.故選：D.2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）．A．27 B．45 C．18 D．36【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，成等差數(shù)列，從而可列方程可求出結(jié)果.【詳解】由已知，，，即6，15，成等差數(shù)列，所以，所以，故選：B．3．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則______．【答案】7【分析】方法一：設(shè)出公差，利用題干條件得到，進(jìn)而求出公差，再求出首項(xiàng)，利用求和公式進(jìn)行求解；方法二：利用題干條件得到，再利用求和公式的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】方法一：設(shè)公差為d，由，∴，又，∴，，∴．方法二：由已知得，∴，又，所以．故答案為：7考點(diǎn)6：兩個(gè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比例6．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別是，且，則__________.【答案】【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則.故答案為：【方法技巧】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求解即可.【變式訓(xùn)練】1．設(shè)等差數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為，.若對于任意的正整數(shù)n都有，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)，，由，直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，，.則，，所以.故選：B.2．若等差數(shù)列和的前項(xiàng)的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和的公式即可轉(zhuǎn)化成,進(jìn)而求解.【詳解】因?yàn)楹褪堑炔顢?shù)列,故故選:C3．若等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，滿足，則_______.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：依題意可得；故答案為：考點(diǎn)7：等差數(shù)列前n項(xiàng)和和n的比例7．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝﹣2018，，則S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【詳解】∵Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，∴數(shù)列{}是等差數(shù)列．∵a1＝﹣2018，，∴數(shù)列{}的公差d，首項(xiàng)為﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故選：C．【方法技巧】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【變式訓(xùn)練】1．若等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，記，則（

）A．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列【答案】AC【分析】利用等差數(shù)列的定義可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由已知可得，對于AB選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，A對B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，C對；對于D選項(xiàng)，，所以，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，D錯(cuò).故選：AC.2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則___________.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，求出的值，可求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為，所以，，故，所以，.故答案為：.3．等差數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若，則______.【答案】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得為等差數(shù)列，再設(shè)公差為及通項(xiàng)公式即可求解．【詳解】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因?yàn)椋?，故為常?shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則故答案為：考點(diǎn)8：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的二次函數(shù)特征例8．在各項(xiàng)不全為零的等差數(shù)列中，是其前n項(xiàng)和，且，，則正整數(shù)k＝（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差分別為，則，所以可看成關(guān)于n的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的對稱性及，，可得，解得k＝2022．故選：C【方法技巧】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特征，即可根據(jù)對稱性求解.【變式訓(xùn)練】1．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若數(shù)列在時(shí)為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得；或在時(shí)恒成立，即求；或數(shù)列從第8項(xiàng)開始后面的項(xiàng)都是正數(shù)即可，，即得.【詳解】解法一：∵，∴，∴，∵數(shù)列在時(shí)為遞增數(shù)列，∴，解得．解法二：數(shù)列在時(shí)為遞增數(shù)列，∴，∴，∴恒成立，即恒成立，∴．解法三：數(shù)列在時(shí)為遞增數(shù)列只需滿足數(shù)列從第8項(xiàng)開始，后面的項(xiàng)都是正數(shù)即可，∴，即．故選：D.2（多選）．等差數(shù)列中，，公差，為其前n項(xiàng)和，對任意正整數(shù)n，若點(diǎn)在以下4條曲線中的某一條上，則這條曲線不可能是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),判斷圖象的開口方向，可判斷A，B；判斷圖象對稱軸位置，判斷C，D，即可到答案．【詳解】等差數(shù)列中，，公差，為其前項(xiàng)和，，點(diǎn)在曲線上，，二次函數(shù)開口向下，故A，B不可能；對稱軸，對稱軸在軸的右側(cè)，故C可能，D不可能.故選：ABD3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，已知且．則使成立的最小正整數(shù)n的值為______．【答案】9【分析】先由求得，由求得的取值范圍，從而求得正確答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，由，可得，即，所以使成立的最小正整?shù)n的值為9.故答案為：考點(diǎn)9：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值例9．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則取最大值時(shí)的值為（

）A．12 B．12或11 C．11或10 D．10【答案】B【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，即，又，所以，所以，令，可得，所以數(shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以取得最大值時(shí)，的取值為11或12.【方法技巧】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，可解出值為－2，從而可知數(shù)列前11項(xiàng)為正；第12項(xiàng)為0；從第13項(xiàng)起，各項(xiàng)為負(fù)，所以取得最大值時(shí)n的值可確定.【變式訓(xùn)練】1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，.則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，列方程求得，再求解的最小值即可.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，所以，解得，所以，且時(shí)，所以的最小值為.故選：A2（多選）．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，公差為d，若，則以下結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．取得最大值時(shí)，【答案】AB【分析】對于ABC，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡求解；對于D，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及各項(xiàng)正負(fù)判斷.【詳解】由，得即，又，所以，選項(xiàng)A正確；由；，得，選項(xiàng)B正確；由，得，又，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，令，得，解得，又，所以，即數(shù)列滿足：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以取得最大值時(shí)，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AB．考點(diǎn)10：等差數(shù)列前n項(xiàng)和求參數(shù)例10．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為_____．【答案】【詳解】∵Sn＝7n，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，∴，即，解得：，綜上：d的取值范圍為．故答案為：【方法技巧】根據(jù)數(shù)列最大值的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【變式訓(xùn)練】1．已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為（），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和最大，則當(dāng)時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由條件求，再代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】由條件可知，當(dāng)時(shí)，，，解得：，因?yàn)?，所以，得，，解得：或（舍?故選：D2．在等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，已知，且，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【分析】由題意，可得，又，所以，進(jìn)而可得，，從而可得答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，∴，∴，∴，，∴取得最大值.故選：C.考點(diǎn)11：等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)的和例11．已知等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則的值為（

）．A．30 B．29 C．28 D．27【答案】B【詳解】奇數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，其和為，∴．偶數(shù)項(xiàng)共有n項(xiàng)，其和為，∴．故選：B．【方法技巧】由等差數(shù)列的求和公式與等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【變式訓(xùn)練】1．一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32∶27，求公差d．【答案】【分析】由題意可得，可解得它們的值，而，代入可解．【詳解】解：設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則由題意可得，解得又，．2．已知等差數(shù)列中，前m（m為奇數(shù)）項(xiàng)的和為77，其中偶數(shù)項(xiàng)之和為33，且，求通項(xiàng)公式．【答案】【分析】設(shè)公差等于d，由題意可得偶數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，從而列出方程組求出m，d，，由此能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】∵等差數(shù)列中，前m（m為奇數(shù)）項(xiàng)的和為77，∴，①∵其中偶數(shù)項(xiàng)之和為33，由題意可得偶數(shù)項(xiàng)共有項(xiàng)，公差等于，+×=33，②∵，∴，③由①②③，解得，故．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為．考點(diǎn)12：等差數(shù)列的應(yīng)用例12．在中國古代詩詞中，有一道“八子分綿”的名題：“九百九十六斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言”．題意是把996斤綿分給8個(gè)兒子做盤纏，依次每人分到的比前一人多分17斤綿，則第八個(gè)兒子分到的綿是（

）A．65斤 B．82斤 C．167斤 D．184斤【答案】D【詳解】設(shè)8個(gè)兒子依次分綿斤，斤，斤，…，斤，則數(shù)列是公差為17的等差數(shù)列，因?yàn)榫d的總重量為996斤，所以，解得，則第八個(gè)兒子分到的綿．故選：D．【方法技巧】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式即可求解.【變式訓(xùn)練】1．騎行是一種健康自然的運(yùn)動旅游方式，能充分享受旅行過程之美．一輛單車，一個(gè)背包即可出行，簡單又環(huán)保．在不斷而來的困難當(dāng)中體驗(yàn)挑戰(zhàn)，在旅途的終點(diǎn)體驗(yàn)成功．一種變速自行車后齒輪組由7個(gè)齒輪組成，它們的齒數(shù)成等差數(shù)列，其中最小和最大的齒輪的齒數(shù)分別為10和28，求后齒輪所有齒數(shù)之和（

）A．134 B．133 C．114 D．113【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算．【詳解】由題意7個(gè)齒輪的齒輪數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，首末兩項(xiàng)分別為10和28，所以所有齒數(shù)之和為．故選：B．2．廣豐永和塔的前身為南潭古塔，建于明萬歷年間，清道光二十五年（1845）重修.磚石結(jié)構(gòu)，塔高九層，沿塔內(nèi)石階可層層攀登而上.塔身立于懸崖陡坡上，下臨豐溪河，氣勢峭拔.上個(gè)世界九十年代末，此塔重修，并更名為“永和塔”.每至夜色降臨，金燈齊明，塔身晶瑩剔透，遠(yuǎn)望猶如仙境.某游客從塔底層（一層）進(jìn)入塔身，即沿石階逐級攀登，一步一階，此后每上一層均沿塔走廊繞塔一周以便瀏覽美景，現(xiàn)知底層共二十六級臺階，此后每往上一層減少兩級臺階，頂層繞塔一周需十二步，每往下一層繞塔一周需多三步，問這位游客從底層進(jìn)入塔身開始到頂層繞塔一周止共需幾步？（

）A．352 B．387 C．332 D．368【答案】C【分析】設(shè)從第層到第層所走的臺階數(shù)為，繞第層一周所走的步數(shù)為，由條件確定兩個(gè)數(shù)列的特征，再分別求兩個(gè)數(shù)列的前8項(xiàng)和即可.【詳解】設(shè)從第層到第層所走的臺階數(shù)為，繞第層一周所走的步數(shù)為，由已知可得，，，，，，所以數(shù)列為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，故，設(shè)數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，所以，，這位游客從底層進(jìn)入塔身開始到頂層繞塔一周止共需332步，故選：C.知識小結(jié)知識小結(jié)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．公式特征：是一個(gè)關(guān)于n且沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)形式等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項(xiàng)數(shù)為，則，且，．=2\*GB3②若項(xiàng)數(shù)為，則，且，（其中，）．=3\*GB3③，，成等差數(shù)列．判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法：=1\*GB3①定義法：是等差數(shù)列=2\*GB3②中項(xiàng)法：是等差數(shù)列=3\*GB3③通項(xiàng)公式法：是等差數(shù)列=4\*GB3④前項(xiàng)和公式法：是等差數(shù)列鞏固提升鞏固提升一、單選題1．在等差數(shù)列中，若，則其前9項(xiàng)的和等于（

）A．18 B．27 C．36 D．9【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算出，利用等差數(shù)列求和公式求出答案.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，解得：，所以.故選：A2．?dāng)?shù)列{an}滿足，且，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)遞推公式得到數(shù)列是等差數(shù)列，進(jìn)而求出公差和通項(xiàng)公式，求出，得到答案.【詳解】數(shù)列滿足，則數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為.因?yàn)?，所以，?所以，所以，，，所以，.故選：B3．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為（一丈＝十尺＝一百寸）（

）．A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸【答案】B【分析】十二個(gè)節(jié)氣日影長構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出芒種日影長．【詳解】由題意知：從冬至日起，依次小寒、大寒等十二個(gè)節(jié)氣日影長構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)公差為，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，，解得，，芒種日影長為（寸）尺5寸．故選：B4．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S5＝5，a6＝10，則a8＝（

）A．15 B．16 C．19 D．20【答案】B【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，然后由已知條件列方程組可求出，從而可求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解得，∴.故選：B.5．?dāng)?shù)列{an}中，如果an=49﹣2n，則Sn取最大值時(shí)，n等于（

）A．23 B．24 C．25 D．26【答案】B【分析】由題意，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】由題意，可知數(shù)列為等差數(shù)列，則，則當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：B.6．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若則的公差為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，，聯(lián)立解得，則的公差為3．故選：C．7．若數(shù)列中不超過的項(xiàng)數(shù)恰為，則稱數(shù)列是數(shù)列的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)是數(shù)列生成的控制函數(shù)．已知，且，數(shù)列的前m項(xiàng)和，若，則m的值為（

）A．9 B．11 C．12 D．14【答案】B【分析】對m分奇偶討論可得，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，根據(jù)求解.【詳解】由題意可知，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，可得2n≤m，則；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，可得2n≤m－1，則，所以.則當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，,則，因?yàn)?，所以無解；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以m＝11.故選:B．8．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則數(shù)列的前n項(xiàng)和（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合數(shù)列前n項(xiàng)和的意義求出，進(jìn)而得，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算作答.【詳解】因，當(dāng)時(shí)，，則，而滿足上式，因此，，即，則，，即是首項(xiàng)為4、公差為4的等差數(shù)列，所以．故選：B二、多選題9．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和公式為，故B正確；又，而，故，故D正確，故選：BD．10．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法商業(yè)功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三次有6個(gè)球，…