81立體幾何圖形-2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期題型分類歸納講義（人教A版2019）(原卷版)

8.1立體幾何圖形一、空間幾何體的相關(guān)概念1、空間幾何體：在我們的周圍存在著各種各樣的物體，他們都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體。例如：我們?nèi)粘＝佑|到的足球、籃球等，吐過只考了他們的形狀和大小，他們都是球體，還有其他幾何體如長方體、正方體等。2、多面體：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.（1）多面體的面：圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；（2）多面體的棱：兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；（3）多面體的頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。3、旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線（包括直線）繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸。二、棱柱1、定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫棱柱。（1）有兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的地面，它們是全等的多邊形；（2）其余各面叫做棱柱的側(cè)面，他們都是平行四邊形；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；（4）側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。【注意】（1）有兩個(gè)面互相平行，并不代表只有兩個(gè)面互相平行，如長方體有三組對(duì)面互相平行，其中任意一組對(duì)面都可以作為底面。（2）棱柱的另外一種定義一般地，由一個(gè)平面沿著某一方向平移形成的空間幾何體叫做柱體，平移起止位置的兩個(gè)面叫做柱體的底面，縮變形的邊平移所形成的的面叫做柱體的側(cè)面2、棱柱的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)：可以把棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；（2）按側(cè)棱與底面的位置關(guān)系：可以把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱．正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱．平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱．三、棱錐1、定義：一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。（1）這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面；（2）有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；（4）各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)?！咀⒁狻坑幸粋€(gè)面是多邊形，其余各面都使三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖。棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個(gè)公共頂點(diǎn)。2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以把棱錐分成三棱錐、四棱錐和五棱錐。【注意】底面為正多邊形的棱錐叫做正棱錐，如正三棱錐、正四棱錐……四、棱臺(tái)1、定義：用一個(gè)平行與棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái)。（1）原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；（2）其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；（4）側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的定點(diǎn)?！咀⒁狻浚?）棱臺(tái)上下底面是互相平行且相似的多邊形；（2）側(cè)面都是梯形；（3）各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)。2、棱臺(tái)的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……五、圓柱定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體角圓柱。（1）旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；（2）垂直于軸的變旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；（3）平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；（4）無論轉(zhuǎn)到什么位置，平行與軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。【注意】（1）底面是互相平行且全等的圓面；（2）母線有無數(shù)條，都平行與軸；（3）軸截面為矩形。六、圓錐定義：以直角三角形的一條所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐。（1）垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面；（2）直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面；（3）無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓錐側(cè)面的母線。【注意】（1）底面是圓面，橫截面是比底面更小的圓面，軸截面是等腰三角形；（2）圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是圓錐的母線；（3）母線有無數(shù)條，且長度相等，側(cè)面由無數(shù)條母線組成。（4）直角三角形繞其任意一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體不一定是圓錐。七、棱臺(tái)1、第一種定義：用平行與圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)。2、第二種定義：以直角題型處置與底面的腰所在的的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體?！咀⒁狻浚?）圓臺(tái)上、下底面是半徑不相等且互相平行的圓面；（2）母線有無數(shù)條且長度相等，各母線的延長線交于一點(diǎn)；（3）軸截面為等腰梯形。八、球定義：半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球。（1）球心：半圓的圓心叫做球的球心；（2）半徑：連接圓心與球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑；（3）直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑。九、組合體的定義現(xiàn)實(shí)世界中物體表示的是幾何體，除了柱體、錐體、臺(tái)體和球等簡單幾何體外，還有大量的幾何體是由簡單幾何體組合而成，這些幾何體稱作組合體。組合體可以由幾何體拼接、截去或挖去一部分形成。題型一棱柱的幾何特征【例1】下列命題正確的是（）A．棱柱的每個(gè)面都是平行四邊形B．一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面C．棱柱有且只有兩個(gè)面互相平行D．棱柱的側(cè)面都是矩形【變式11】下列關(guān)于四棱柱的說法：①四條側(cè)棱互相平行且相等；②兩對(duì)相對(duì)的側(cè)面互相平行；③側(cè)棱必與底面垂直；④側(cè)面垂直于底面.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【變式12】下列命題正確的是（）．A．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫作棱柱B．棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫作棱柱的底面C．棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形【變式13】(多選題)下列說法錯(cuò)誤的是()A．有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)B．多面體至少有3個(gè)面C．各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D．九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形題型二棱錐和棱臺(tái)的幾何特征【例2】下列說法正確的是（）A．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐B．有兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)C．如果一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，那么這個(gè)棱錐可能為六棱錐D．如果一個(gè)棱柱的所有面都是長方形，那么這個(gè)棱柱是長方體【變式21】（多選）下列說法正確的是（）A．如果四棱錐的底面是正方形，那么這個(gè)四棱錐的四條側(cè)棱都相等B．五棱錐只有五條棱C．一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面D．棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)【變式22】下列命題中，正確的是（）A．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B．底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱C．側(cè)面都是矩形的四棱柱是長方體D．側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐【變式23】下列說法正確的是________．①一個(gè)棱錐至少有四個(gè)面；②如果四棱錐的底面是正方形，那么這個(gè)四棱錐的四條側(cè)棱都相等；③五棱錐只有五條棱；④用與底面平行的平面去截三棱錐，得到的截面三角形和底面三角形相似．題型三旋轉(zhuǎn)體的幾何特征類型1旋轉(zhuǎn)體的概念【例31】一個(gè)直角三角形繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)360°形成的空間幾何體為（）A．一個(gè)圓錐B．一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱C．兩個(gè)圓錐D．一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)【變式31】（1）如圖，第一排的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周能形成第二排中的某個(gè)幾何體．請(qǐng)寫出第一排、第二排中相應(yīng)的圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系________.A．B．C．D．【變式31】（2）如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為()A．一個(gè)球體B．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱C．一個(gè)圓柱D．一個(gè)球體中間挖去一個(gè)長方體【變式31】（3）經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以得到圖中幾何體的是（）A.B.C.D.【變式31】（4）以一個(gè)等邊三角形的底邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是A.一個(gè)圓柱B.一個(gè)圓錐C.兩個(gè)圓錐D.一個(gè)圓臺(tái)類型2圓柱、圓錐、圓臺(tái)的幾何特征【例32】給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點(diǎn)、圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.其中正確的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【變式32】（1）下列說法正確的是（）A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面D．一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)【變式32】（2）下列結(jié)論中正確的是（）A．半圓弧以其直徑為軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球B．直角三角形繞一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐C．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體D．用一個(gè)平面截圓錐底面與截面組成的部分是圓臺(tái)【變式32】（3）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線是圓錐的母線；③在圓臺(tái)的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的；⑤圓臺(tái)所有母線的延長線交于一點(diǎn)，其中正確的命題是（）A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤【變式33】下列說法不正確的是()A．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形B．圓錐過軸的截面是一個(gè)等腰三角形C．直角三角形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐D．圓臺(tái)平行于底面的截面是圓面其中正確的是()A．①②B．②③C．①③D．②④【變式34】給出下列命題：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點(diǎn)、圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．題型四簡單的組合體【例4】如圖所示的組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（）A．由兩個(gè)圓錐組合成的B．由兩個(gè)圓柱組合成的C．由一個(gè)棱錐和一個(gè)棱柱組合成的D．由一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱組合成的【變式41】如圖的組合體是由（）組合而成.A．兩個(gè)棱柱B．棱柱和圓柱C．圓柱和棱臺(tái)D．圓錐和棱柱【變式42】將一個(gè)等腰梯形繞著它的較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是由()A．一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐構(gòu)成B．兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓錐構(gòu)成C．兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓錐構(gòu)成D．一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐構(gòu)成【變式43】(多選題)對(duì)如圖中的組合體的結(jié)構(gòu)特征有以下幾種說法，其中說法正確的是()A．由一個(gè)長方體割去一個(gè)四棱柱所構(gòu)成的B．由一個(gè)長方體與兩個(gè)四棱柱組合而成的C．由一個(gè)長方體挖去一個(gè)四棱臺(tái)所構(gòu)成的D．由一個(gè)長方體與兩個(gè)四棱臺(tái)組合而成的【變式44】如圖所示的螺母可以看成一個(gè)組合體，其結(jié)構(gòu)特征是（）A.一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)棱柱B.一個(gè)棱柱中挖去一個(gè)圓柱C.一個(gè)圓柱中挖去一個(gè)棱錐D.一個(gè)棱臺(tái)中挖去一個(gè)圓柱【變式45】關(guān)于如圖所示幾何體的正確說法為_____．①這是一個(gè)六面體；②這是一個(gè)四棱臺(tái)；③這是一個(gè)四棱柱；④這是一個(gè)四棱柱和三棱柱的組合體；⑤這是一個(gè)被截去一個(gè)三棱柱的四棱柱．題型五空間幾何體展開圖問題【例5】如圖，兩個(gè)圖形都是立體圖形的平面展開圖，你能分別說出這兩個(gè)立體圖形的名稱嗎？【變式51】下列圖形不是正方體表面展開圖的是（）A．B．C．D．【變式52】某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個(gè)正方體禮品盒的平面展開圖應(yīng)該為(對(duì)面是相同的圖案)()【變式53】如圖是一個(gè)正方體的表面展開圖，則圖中“0”在正方體中所在的面的對(duì)面上的是（）A．2B．1C．高D．考【變式54】一圓柱的底面半徑為eq\f(3,π)，母線長為4，軸截面為ABCD，從點(diǎn)A拉一繩子沿圓柱側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)C，求最短繩長.【變式55】如圖所示，有一圓錐形糧堆，母線與底面圓的直徑構(gòu)成邊長為6m的正三角形ABC，糧堆母線AC的中點(diǎn)P處有一只老鼠正在偷吃糧食.此時(shí)，小貓正在B處，它要沿圓錐側(cè)面到達(dá)P處捕捉老鼠，求小貓所經(jīng)過的最短路程.(結(jié)果不取近似值)題型六簡單的截面問題【例6】如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是（）A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．組合體【變式61】若用長為4，寬為2的矩形作側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，則此圓柱軸截面的面積為()A．8B.eq\f(8,π)C.eq\f(4,