專(zhuān)題07導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值（重難點(diǎn)突破）

專(zhuān)題07導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值【重難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)】：1．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)一般地，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條________的曲線(xiàn)，那么它必有最大值與最小值．2．求函數(shù)最值的步驟求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內(nèi)的________；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．【重難點(diǎn)題型突破】：一、求函數(shù)的最值求函數(shù)最值的步驟是：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．其中準(zhǔn)確求出函數(shù)的極值是解題的關(guān)鍵．需注意：（1）要在定義域（給定區(qū)間）內(nèi)列表；（2）極值不一定是最值，一定要將極值與區(qū)間端點(diǎn)值比較，必要時(shí)需進(jìn)行分類(lèi)討論．例1．（1）（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y＝的最大值為（）A．e－1 B．e C．e2 D．10【答案】A【分析】先求導(dǎo)找極大值，再得最大值.【詳解】令當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)得極大值為，因?yàn)樵诙x域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以故選：A.（2）（2021·江蘇高二單元測(cè)試）函數(shù)在[0，2]上的最大值是（）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值【詳解】解：由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，所以，故選：A（3）（2021·廣東湛江市·高三一模）（多選題）已知函數(shù)f(x)=x33lnx1，則（）A．f(x)的極大值為0 B．曲線(xiàn)y=f(x)在（1，f(1))處的切線(xiàn)為x軸C．f(x)的最小值為0 D．f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)【答案】BC【分析】直接對(duì)f(x)=x33lnx1，求出導(dǎo)函數(shù)，利用列表法可以驗(yàn)證A、C、D;對(duì)于B:直接求出切線(xiàn)方程進(jìn)行驗(yàn)證即可.【詳解】f(x)=x33lnx1的定義域?yàn)椋?，得，列表得：x(0,1)1(1,+∞)0+f(x)單減單增所以f(x)的極小值，也是最小值為f(1)=0，無(wú)極大值，在定義域內(nèi)不單調(diào)；故C正確，A、D錯(cuò)誤；對(duì)于B:由f(1)=0及，所以y=f(x)在（1，f(1))處的切線(xiàn)方程，即.故B正確.故選：BC【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線(xiàn)方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.【變式訓(xùn)練11】、（2021·全國(guó)高二月考（理））函數(shù)在上的最大值與最小值之和為（）A．46 B．35 C．6 D．5【答案】B【分析】由，求導(dǎo)，先求得的極大值，再由端點(diǎn)值，得到最值求解.【詳解】由得，由可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的極大值為，又，，所以的最大值為11，最小值為46，所以最大值與最小值之和為35.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：(1)求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得．(2)已知函數(shù)的最值求參數(shù)，一般先用參數(shù)表示最值，列方程求解參數(shù)．【變式訓(xùn)練12】、（2021·河南駐馬店市·高三期末（文））已知函數(shù)，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，然后可得答案.【詳解】，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，因?yàn)闀r(shí)有解，所以．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出最小值，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【變式訓(xùn)練13】、（2021·天津靜海區(qū)·靜海一中高二月考）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為（）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】求出導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性判定最值.【詳解】解：由題意可得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以故選：B.【點(diǎn)睛】求函數(shù)區(qū)間上的最值的步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)，不要忘記函數(shù)的定義域；（2）求方程的根；（3）檢查在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，確定函數(shù)的極值.（4）求函數(shù)區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，將區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值與極值比較，取最大的為最大值，最小的為最小值.例2．（2021·全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí)（理））若，，求：（1）的單調(diào)增區(qū)間；（2）在上的最小值和最大值.【答案】(1)增區(qū)間為;(2).【詳解】分析：（1）求導(dǎo)，解不等式得到的單調(diào)增區(qū)間；（2）求出極值與端點(diǎn)值，經(jīng)比較得到在上的最小值和最大值.詳解：（1），由解得，的增區(qū)間為；（2），（舍）或，,,，點(diǎn)睛：函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)f(x)在上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值．【變式訓(xùn)練21】、（2021·全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為【分析】（1）求出，令，得到函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求出函數(shù)在的單調(diào)性，根據(jù)極值和端點(diǎn)值，求得最值.【詳解】（1），令，得，所以的減區(qū)間為.（2）由（1），令，得或知：，為增函數(shù)，，為減函數(shù)，，為增函數(shù).，，，.所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.二、函數(shù)最值的應(yīng)用由函數(shù)的最值確定參數(shù)的問(wèn)題一般采用待定系數(shù)法，由已知條件列出含參數(shù)的方程或者方程組，從而求得參數(shù)的值．例3、（2021·山東菏澤市·高三一模）（多選題）對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷的單調(diào)性即可得極值，可判斷選項(xiàng)A；由的單調(diào)性以及函數(shù)值的符號(hào)可判斷選項(xiàng)B；利用得單調(diào)性以及函數(shù)值與的關(guān)系可判斷選項(xiàng)C；分離可得，計(jì)算的最大值可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)定義域?yàn)?，，令可得，令可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，故選項(xiàng)A正確對(duì)于選項(xiàng)B：令，可得，因此只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：顯然，在單調(diào)遞減，可得，因?yàn)?，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意知：在上恒成立，令則，因?yàn)橐字?dāng)時(shí).，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)取得極大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的步驟：①寫(xiě)定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和得到單調(diào)性；③利用單調(diào)性判斷極值點(diǎn)，代入解析式即可得極值.【變式訓(xùn)練31】、（2020·江蘇省濱海中學(xué)高三月考）對(duì)任意的，不等式恒成立，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【分析】根據(jù)不等式恒成立，構(gòu)造，有，利用二階導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，再討論、時(shí)的單調(diào)性，進(jìn)而確定在上的最小值及對(duì)應(yīng)m、n的關(guān)系式，將與所得關(guān)系式轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切的問(wèn)題，求的最小值即可.【詳解】令，則，即，∴單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，而當(dāng)時(shí)，，故不滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，若得，即，∴時(shí)，，即遞減；當(dāng)時(shí)，，即遞增；若令，即，則：①當(dāng)，即，恒成立；∴情況下最小，即直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，而，∴時(shí)，，有，，則；當(dāng)，即，，得，∴情況下最小，即直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，而，∴時(shí)，，有，，則；∴綜上：，即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)不等式恒成立，利用導(dǎo)數(shù)、分類(lèi)討論的方法判斷單調(diào)性，并構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定目標(biāo)代數(shù)式中參數(shù)的關(guān)系，由所得條件中代數(shù)式的幾何含義求最小值例4．（2021·全國(guó)高三月考（文））已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在上的最值；（2）求證：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程僅有1個(gè)實(shí)數(shù)解．【答案】（1）最小值為，最大值為；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）求出，再令利用的單調(diào)性得可得，判斷出在上單調(diào)性，可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為，分、兩種情況，再利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）依題意，，令，則，故在上單調(diào)遞增，故；故，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上的最小值為，最大值為；（2）依題意，，則，令，則；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，所以，，，即，綜上，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；因?yàn)?，，故時(shí)，恰有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，令，得，單調(diào)遞增，令，得，單調(diào)遞減，所以，所以，故存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，故?dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；因?yàn)?，，所以存在唯一?shí)數(shù)，使得，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，由得，故；令，；因?yàn)?，故在上單調(diào)遞增；因?yàn)?，故，故?dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)；故當(dāng)時(shí)，函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程僅有1個(gè)實(shí)數(shù)解．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決零點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵一方面是利用零點(diǎn)存在性定理或最值點(diǎn)來(lái)說(shuō)明存在零點(diǎn)，另一方面是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的唯一性，二者缺一不可，考查了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．【變式訓(xùn)練41】、（2020·咸陽(yáng)市高新一中高三月考（理））已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求斜率，再代入切線(xiàn)方程公式中即可；（Ⅱ）設(shè)，求，根據(jù)確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值為，從而可以知道恒成立，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求最值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（Ⅱ）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【名師點(diǎn)睛】這道導(dǎo)數(shù)題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡(jiǎn)單很多，第二問(wèn)比較有特點(diǎn)的是需要兩次求導(dǎo)數(shù)，因?yàn)橥ㄟ^(guò)不能直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以需要再求一次導(dǎo)數(shù)，設(shè)，再求，一般這時(shí)就可求得函數(shù)的零點(diǎn)，或是()恒成立，這樣就能知道函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求其最值，從而判斷的單調(diào)性，最后求得結(jié)果.三、恒成立問(wèn)題利用函數(shù)的最值解決不等式恒成立問(wèn)題是函數(shù)最值的重要應(yīng)用．要使不等式在區(qū)間上恒成立，可先在區(qū)間上求出函數(shù)的最大值，只要，則上面的不等式恒成立．同理，要使不等式在區(qū)間上恒成立，可先在區(qū)間上求出函數(shù)的最小值，只要，則不等式恒成立．例5（2021·湖北高三月考）已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)，，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，根據(jù)已知條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，其中，則，①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于函數(shù)，該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，可得，列表如下：極小值所以，.（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意；（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，即.對(duì)于函數(shù)，，所以，當(dāng)時(shí)，，，則對(duì)任意的恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.【變式訓(xùn)練51】、（2021·浙江高三其他模擬）已知，在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】題中告訴了，并且出現(xiàn)，故需要對(duì)的范圍加以考慮.本題解法一是根據(jù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，并利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到.解法二也可以是對(duì)分解因式，采用分離參數(shù)的辦法來(lái)解決．【詳解】解法一：當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，原不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，則，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以即解得．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．解法二易知，所以不等式，即．當(dāng)時(shí)，，，，所以，即，又，所以；當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，原不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，，，所以，即，又，所以．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了定義域的分類(lèi)討論、二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題，以及分解因式，分離參數(shù)等數(shù)學(xué)方法，著重強(qiáng)調(diào)邏輯思維能力、綜合應(yīng)用能力．例6．（2020·哈爾濱市·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.（1）求的表達(dá)式；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求