專題12空間向量與立體幾何壓軸大題（十二大題型）（原卷版）

專題12空間向量與立體幾何壓軸大題線面平行、面面平行的判定定理1．（山東省濟(jì)寧市泗水縣20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)．求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1平面BCHG.2．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值．3．（2022秋·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期中）如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．4．（2022秋·福建福州·高三校聯(lián)考期中）如圖所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，已知，，.(1)求證：平面；(2)連接，求多面體的體積.補(bǔ)全平行的條件5．（湖南省衡陽市第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求證：平面；(3)若M是線段上一動點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說明理由.6．（廣東省梅州市大埔縣虎山中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，，，且.

(1)記線段的中點(diǎn)為，在平面內(nèi)過點(diǎn)作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明；(2)求直線與平面所成角的正弦值.7．（2022秋·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求銳二面角的大小.8．（2022秋·遼寧·高三校聯(lián)考期中）如圖：在正方體中，M為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)N，使得平面平面，說明理由.線面平行、面面平行的性質(zhì)定理9．（福建省福州華僑中學(xué)等多校2023屆高三上學(xué)期期中）已知四棱錐，底面為菱形平面，為上一點(diǎn).(1)平面平面，證明：；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，試確定點(diǎn)的位置.10．（山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第四中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）已知四棱錐，底面為菱形，平面，，，為上一點(diǎn)．

(1)平面平面，證明：．(2)當(dāng)直線與平面的夾角為時(shí)，求三棱錐的體積．11．（河北省石家莊市部分學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，在四棱錐中，平面，且四邊形是正方形，，，分別是棱，，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面的距離.12．（安徽省合肥市肥東縣綜合高中20222023學(xué)年高三上學(xué)期11月期中）如圖，在四棱柱中，底面為梯形，，平面與交于點(diǎn)．求證：．線面垂直、面面垂直的判定定理13．（2022秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）如圖所示，直三棱柱中，，，.

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.14．（2022秋·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四棱柱中，底面，底面滿足，且，.

(1)求證：平面；(2)求四棱錐的體積.15．（福建省泉州市晉江二中、鵬峰中學(xué)、廣海中學(xué)、泉港五中2023屆高三上學(xué)期10月期中）在如圖所示的幾何體中，，平面，，，，.(1)證明：平面；(2)過點(diǎn)作一平行于平面的截面，畫出該截面（不用說明理由），并求夾在該截面與平面之間的幾何體的體積.16．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶一中期中考試）如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)．將，，分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)P．

(1)求證：平面PEF；(2)若，且K為PD的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．17．（湖南省長沙市長郡中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）在三棱臺中，為中點(diǎn)，，，.(1)求證：平面；(2)若，，平面與平面所成二面角大小為，求三棱錐的體積.18．（2022秋·山東青島·高三山東省青島第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直四棱柱的底面為菱形，且，，E，F(xiàn)分別為BC，的中點(diǎn)．

(1)證明：平面平面．(2)求平面和平面的夾角的余弦值．補(bǔ)全垂直的條件19．（2022秋·河北滄州·高三任丘市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在五面體中，平面ABC，，，.

(1)問：在線段CD上是否存在點(diǎn)P，使得平面ACD?若存在，請指出點(diǎn)P的位置，并證明；若不存在，請說明理由.(2)若，，，求平面ECD與平面ABC夾角的余弦值.20．（江蘇省鹽城市四校2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，在直三棱柱中，，．(1)試在平面內(nèi)確定一點(diǎn)H，使得平面，并寫出證明過程；(2)若平面與底面所成的銳二面角為60°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．21．（重慶市長壽中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)）如圖，四邊形是菱形，，平面，，，設(shè)，連接，交于點(diǎn)，連接，.(1)試問是否存在實(shí)數(shù)，使得平面?若存在，請求出的值，并寫出求解過程；若不存在，請說明理由.(2)當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22．（海南省文昌中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，已知四棱錐的底面為等腰梯形，，與相交于點(diǎn)O，且頂點(diǎn)P在底面上的射影恰為O點(diǎn)．又．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求二面角的大小；(3)設(shè)點(diǎn)M在棱上，且，問為何值時(shí)，平面．線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理23．（廣東省廣州市南沙區(qū)東涌中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．24．（2022秋·遼寧沈陽·高三沈陽市第一二〇中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐的底面是菱形，平面底面，，分別是，的中點(diǎn)，，，.

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求四棱錐的體積.25．（2022秋·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖所示，在正四棱錐中，底面ABCD的中心為O，PD邊上的垂線BE交線段PO于點(diǎn)F，．

(1)證明：//平面PBC；(2)求二面角的余弦值．26．（2022·浙江寧波·高三統(tǒng)考）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，底面為菱形，．

(1)若四棱錐的體積為1，求的長；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．27．（2022秋·重慶·高三西南大學(xué)附中?？计谥校┤鐖D，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D為A1B上一點(diǎn)，平面．

(1)求證：；(2)若，，P為AC的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．利用空間向量證明平行，垂直28．（2022秋·廣東潮州·高三上學(xué)期期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．(1)證明：//平面AEC(2)設(shè)三棱錐的體積是，，求平面DAE與AEC的夾角．29．（廣東省深圳市南山區(qū)北京師范大學(xué)南山附屬學(xué)校2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，且，，且，且，平面，.

(1)若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求二面角的正弦值；(3)若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角為，求點(diǎn)到平面的距離.30．（安徽省滁州市定遠(yuǎn)縣民族中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期11月期中）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．31．（江蘇省常州市橫林高級中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，，分別是的中點(diǎn)，.

(1)證明：.(2)求平面與平面的夾角的余弦值.32．（山西省運(yùn)城市2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。磺罂臻g角33．（江蘇省淮安市高中校協(xié)作體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，，，底面ABCD，，點(diǎn)E在棱PD上，且

(1)證明：平面平面ACE；(2)求平面PAC與平面ACE所成角的余弦值．34．（湖北省十一校2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，，.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.35．（2022秋·河北邢臺·高三統(tǒng)考期中）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點(diǎn)，，的邊長為2．

(1)求證：：平面；(2)若三棱柱的高為1，求二面角的正弦值．36．（遼寧省重點(diǎn)高中沈陽市郊聯(lián)體20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）如圖，在四棱錐中，分別為的中點(diǎn)，連接.

(1)當(dāng)為上不與點(diǎn)重合的一點(diǎn)時(shí)，證明：平面；(2)已知分別為的中點(diǎn)，是邊長為的正三角形，四邊形是面積為的矩形，當(dāng)時(shí)，求與平面所成角的正弦值.37．（湖北省襄陽市部分學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.38．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，.

(1)求證：平面；(2)若，求與所成角的余弦值.已知夾角求其他量39．（江蘇省蘇州市昆山中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，在三棱錐中，底面，.點(diǎn)、、分別為棱、、的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，.

(1)求證：平面；(2)已知點(diǎn)在棱上，且直線與直線所成角的余弦值為，求線段的長．40．（2022秋·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┮阎襟w，點(diǎn)為中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn).

(1)證明：點(diǎn)為的中點(diǎn)；(2)若點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求的值.41．（2022秋·河北滄州·高三統(tǒng)考期末）在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是AC的中點(diǎn).

(1)求證：平面(2)確定在線段上是否存在一點(diǎn)P，使得AP與平面所成角為，若存在，求出的值;若不存，說明理由.42．（山西大學(xué)附屬中學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期11月期中）如圖，四棱錐的底面為正方形，，平面，分別是線段的中點(diǎn)，是線段上的一點(diǎn).

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，且點(diǎn)不是線段的中點(diǎn)，求三棱錐體積.43．（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，為等邊三角形，面底面ABCD，E為AD的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)在線段BD上存在一點(diǎn)F，使直線AP與平面PEF所成角的正弦值為.①確定點(diǎn)F的位置；②求點(diǎn)C到平面PEF的距離.44．（福建省石獅市永寧中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．

(1)若平面平面，證明：；(2)點(diǎn)是棱上一動點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求．求異面直線，點(diǎn)到面或者面到面的距離45．（2022秋·福建寧德·高三統(tǒng)考期中）如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，.

(1)求直線與平面的夾角；(2)求點(diǎn)到平面的距離.46．（山東省青島市青島第十九中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，在四面體中，．點(diǎn)為棱上的點(diǎn)，且，三棱錐的體積為．

(1)求點(diǎn)A到平面的距離；(2)求平面與平面夾角的余弦值．47．（遼寧省朝陽市建平縣20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，四邊形是邊長為2的菱形，，四邊形為矩形，，從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，并解答問題（如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分）.①與平面所成角相等；②三棱錐體積為；③

(1)平面平面；(2)求二面角的大??；(3)求點(diǎn)到平面的距離.48．（2022秋·山東淄博·高三統(tǒng)考期中）三棱錐中，，，.記中點(diǎn)為，中點(diǎn)為（1）求異面直線與的距離；（2）求二面角的余弦值.49．（安徽省合肥市肥東縣綜合高中2023屆高三上學(xué)期期中）如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面是正三角形，且與底面垂直，平面，，是棱上的動點(diǎn).

(1)當(dāng)是棱的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；(2)若，，求點(diǎn)到平面距離的范圍.求點(diǎn)到線的距離50．（遼寧省沈陽市東北育才學(xué)?？茖W(xué)高中部20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）三棱臺中，平面，，且，，是的中點(diǎn)．

(1)求三角形重心到直線的距離；(2)求二面角的余弦值．51．（2022秋·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)上學(xué)期期中）如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和個(gè)圓柱拼接而成，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且，，，四點(diǎn)共面.

(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成二面角的余弦值為，且線段長度為2，求點(diǎn)到直線的距離.52．（河北省滄衡八校聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期11月期中）如圖1，在等腰梯形中，，沿將折成，如圖2所示，連接，得到四棱錐.(1)若平面平面，求證：；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍.53．（2022秋·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，在三棱錐中，底面，．點(diǎn)，，分別為棱，，的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到直線的距離；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由．點(diǎn)的存在性問題54．（山東省大教育聯(lián)盟學(xué)校20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）圖①是直角梯形，，，四邊形是邊長為的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且.

(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值；若不存在，請說明理由.55．（2022秋·黑龍江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）如圖，如圖1，在直角梯形中，．把沿對角線折起到的位置，如圖2所示，使得點(diǎn)P在平面上的正投影H恰好落在線段上，連接，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段，的中點(diǎn)．

(1)求證：平面//平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)在棱上是否存在一點(diǎn)M，使得M到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請說明理由．56．（廣東省廣州市白云中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）如圖所示，在直三棱柱中，，，點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的點(diǎn)（不包括兩個(gè)端點(diǎn)）.

(1)設(shè)平面與平面相交于直線，求證：；(2)是否存在一點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由；(3)當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．57．（2022秋·浙江紹興·高三紹興一中期中考試）在底面ABCD為梯形的多面體中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四邊形BDEN為矩形．

(1)求證：BD⊥AE；(2)線段EN上是否存在點(diǎn)Q，使得直線BE與平面QAD所成的角為60°？若不存在，請說明理由．若存在，確定點(diǎn)Q的位置并加以證明．58．（安徽省卓越縣中聯(lián)盟20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖，菱形的邊長為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請說明理由.59．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)上學(xué)期期中）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．1．（河北省保定市重點(diǎn)高中20222023學(xué)年高三上學(xué)期11月期中）在四棱錐中，底面ABCD為正方形，平面平面，，.

(1)證明：平面平面；(2)若E為PC的中點(diǎn)，異面直線BE與PA所成角為，求四棱錐的體積.2．（2022秋·江蘇南京·高三南京師大附中校考期中）如圖，在四棱錐中，，，是等邊三角形，，，.(1)求的長度；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.3．（海南省海口嘉勛高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期11月期中）如圖所示，圓錐的高，底面圓O的半徑為1，延長直徑AB到點(diǎn)C，使得BC＝1，分別過點(diǎn)A，C作底面圓O的切線，兩切線相交于點(diǎn)E，點(diǎn)D是切線CE與圓O的切點(diǎn).

(1)證明：平面PDE⊥平面POD；(2)點(diǎn)E到平面PAD的距離為d1，求d1的值.4．（江蘇省淮安市漣水縣第一中學(xué)2023屆高三上學(xué)期期中）如圖，在中，，，，E為AB中點(diǎn)，過點(diǎn)E作ED垂直AC于D，將沿ED翻折，使得面面，點(diǎn)M是棱AC上一點(diǎn)，且面．

(1)求的值；(2)求二面角的余弦值．5．（福建省廈門第一中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中考試）如圖，在三棱柱中，已知平面，且.

(1)求的長；(2)若為線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值.6．（江蘇省南京市金陵中學(xué)20222023學(xué)年高三上學(xué)期期中）如圖1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝2，∠DAB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)在以AD為直徑的半