2020年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)沖刺講義：第6講圓 教師版

**教育iso講義

學(xué)員姓名：年級：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)學(xué)科教師：

授課日期授課時(shí)段

授課主題2020年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)沖刺講義：第6講圓專題

1.復(fù)習(xí)圓的概念與性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)2.復(fù)習(xí)切線的判定

3.復(fù)習(xí)圓的計(jì)算公式

重點(diǎn)：切線的判定，扇形面積、圓與相似結(jié)合

教學(xué)重難點(diǎn)

難點(diǎn)：圓的綜合題

教學(xué)內(nèi)容

圓

3...........................................?:

露趣味導(dǎo)入

足J在一個平面內(nèi)，線段OM6固定端點(diǎn)O

足乂旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)A所形成的圖形

圓的認(rèn)識旋轉(zhuǎn)不變性

o為圓心的國iBS-OO-

幾何表示

畫10

外接圓

三角形外^圓和內(nèi)切圓

內(nèi)切圓

點(diǎn)在圓上

與點(diǎn)的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外

點(diǎn)在圓內(nèi)

mj

圓的位置與直線的位置關(guān)系相交

相離

回W鬻

與圓的位置關(guān)系相交2,

―外離

相離

內(nèi)含

圓面積、扇形面積

面神時(shí)算圓柱體、圓錐體

與圓相關(guān)的計(jì)算正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算

直線與圓的計(jì)算

圓與圓的計(jì)算

畫周角定理

與圓相關(guān)的定理國心角

垂徑定理

藥知識a”叱

【知識梳理】

知識點(diǎn)一垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧.

推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.

知識點(diǎn)二圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角是圓心角的一半。

推論：1、同弧或等弧所對圓周角相等。

2、半圓(或直徑)所對圓周角是直角，90°的圓周角所對弦是直徑。

知識點(diǎn)三切線判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑

知識點(diǎn)四補(bǔ)充定理

(1)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

(2)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

(4)割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D,則有PA-PB=PCPD

知識點(diǎn)五弧長和扇形面積

1、弧長公式：n。的圓心角所對的弧長1的計(jì)算公式為1=黑

low

1

2、扇形面積公式5扇=五萬成2=5出(其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，1是扇形的弧長。)

3、圓錐的側(cè)面積5=5/?2〃="/(其中1是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑。)

2

【典型例題】

考點(diǎn)一：求長度問題_

【例1】如圖，45為。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，若AB=4,AC=2V2,則。到AC的距離為（）

C.V2D.2V2

【考點(diǎn)】M2：垂徑定理.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計(jì)算；69：應(yīng)用意識.

【分析】連接BC,作OEJ_AC于E.根據(jù)勾股定理求出8C,利用三角形的中位線定理即可解決問題.

【解答】解：連接8C,作OELAC于E.

:AB是直徑，

/.ZACB=90°,

:.BC=ylAB2-AC2=J42-(2A/2)2=2/,

,：OE±AC,

：.AE=EC,

'：AO=OB,

：.OE=加=V2,

故選：C.

【總結(jié)】本題考查垂徑定理，勾股定理，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于

中考?？碱}型.

【例2】如圖，BC為。。直徑，弦AC=2,弦AB=4,。為。。上一點(diǎn)，/為上一點(diǎn)，MDC=DB=Dl,AI

長為（)

I

Bc

O

A.5V10-3V2B.3V10-5V2C.3V10-V2D.3V2-V10

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理.

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；66：運(yùn)算能力.

【分析】如圖，連接/C,作正，AC于E,//LAB于R/GL3C于G.首先證明點(diǎn)/是△A3C的內(nèi)心，再利

用面積法求出IE的長即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接作ZE_LAC于E,/口LAB于R/G_L8C于G.

,:DB=DC,

：.BD=DC,NDBC=/DCB,

：.ZBAD=ZCAD,

,:DI=DC,

:?/DIC=/DCI,

VZDIC=ZDAC+ZACLZDCI=ZDCB+ZICB,ZDBC=ZDACf

：.ZICA=ZICBf

???點(diǎn)/為△ABC內(nèi)心，

：.IE=IF=IG,

???BC是直徑，

：.ZBAC=90°,

：.BC=y/AB2+AC2=V42+22=2而，

?/SAABC=j'AB?AC=^IE<AB+AC+BC),

：.IE=3-V5,

,：ZIAE=ZAIE=45°,

：.AI=V2ZE=3V2-V10,

故選：D.

【總結(jié)】本題考查圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解

決問題，學(xué)會利用面積法確定線段的長，屬于中考常考題型.

【例3】如圖，四邊形A3CZ）是。。的內(nèi)接四邊形，AD=BC.若N5AC=45°,ZABC=105°,則下列等式成

立的是（）

A.AB=-CDB.AB=—CDC.AB=-CDD.AB=—CD

【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系；M5：圓周角定理；M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】55C：與圓有關(guān)的計(jì)算.

【分析】如圖設(shè)AC交8D于K.首先證明△CBK的RtA,NBCK=3U°,推出KC=再利用相似三角

形的性質(zhì)解決問題即可.

【解答】解：如圖設(shè)AC交5。于K.

VAD=BC,

：.ZACD=ZBDC=ZBAC=45°,

：.ZDKC=90°,

9：ZBAC=ZDCK=45°,

J.AB//CD,

：.ZABC+ZBC￡)=180°,

VZABC=105°,

：.ZDCB=75°,ZACB=30°,

'：ZCKB=90°,

CK=WBK,

■:NKAB=NKDC,/AKB=/DKC,

：.AAKBsADKC,

,AB_BK

?.CD-KC'

：.AB=—CD

3

故選：B.

【總結(jié)】本題考查圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本

知識，屬于中考?？碱}型.

【變式訓(xùn)練】

如圖，A8是。。的直徑，弦CZ）_LA8,垂足為下列結(jié)論不成立的是（）

A.CM=DMB.CB=DBC.ZACD=ZADCD.OM=BM

【考點(diǎn)】M2：垂徑定理；M5：圓周角定理.

【專題】H：計(jì)算題.

【分析】先根據(jù)垂徑定理得CM=DM，CB=DB,AC=AD,再根據(jù)圓周角定理得到而0M

與而W的關(guān)系不能判斷.

【解答】解：是。。的直徑，弦

：.CM=DM,CB=DB,AC=AD,

：.ZACD=ZADC.

故選：D.

【總結(jié)】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了圓周角定理.

考點(diǎn)二：求角度問題

【例1】如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E都是。。上的點(diǎn)，AC=AE,ZB=118°,則/。的度數(shù)為（）

C.124°D.122°

【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系；M5：圓周角定理；M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】55C：與圓有關(guān)的計(jì)算；69：應(yīng)用意識.

【分析】連接AD首先證明NAOC=NA￡）E,再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NAOC即可解決問題.

【解答】解：連接AD

月

\'AC=AE,

：./ADC=ZADE,

VZB+ZADC=180",

：.ZADC=180°-118°=62°,

：.ZCDE=2X62a=124°,

故選：C.

【總結(jié)】本題考查圓心角，弧，弦的關(guān)系，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知

識，屬于中考常考題型.

【例2】如圖，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，與BC的延長線交于點(diǎn)E,8A與C￡）的延長線交于點(diǎn)R

/DCE=85°,ZF=28°,則/E的度數(shù)為（）

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理；M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；67：推理能力.

【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【解答】解：/B=NDCE-/F=57°,

:四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，

：.ZEDC=ZB=57°,

.?.ZE=180°-ZDCE-Z￡Z）C=38°,

故選：A.

【總結(jié)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的

內(nèi)對角是解題的關(guān)鍵.

【例3】如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于。。廠是加上一點(diǎn)，且麗=元，連接CF并延長交的延長線于點(diǎn)E,

連接AC,若/A2C=105°，NBAC=25°,則/￡的度數(shù)為()

A.60°B.55°C.50°D.45°

【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系；M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】64：幾何直觀.

【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出/AOC的度數(shù)，再由圓周角定理得出/OCE的度數(shù)，根據(jù)三角形外

角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：：四邊形A8CZ)內(nèi)接于0O,ZABC=105°,

AZA￡)C=180°-ZABC=180°-105°=75°.

'：DF=BC,ZBAC=25°,

：.ZDCE=ZBAC=25°,

：.ZE=ZADC-ZDCE=15°-25°=50°.

故選：C.

【總結(jié)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵.

【例4】如圖所示，半徑為3的。A經(jīng)過原點(diǎn)。和C(0,2),B是y軸左側(cè)。A優(yōu)弧上的一點(diǎn)，貝han8=()

Ay

B.2V2

【考點(diǎn)】D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；M5：圓周角定理；T7：解直角三角形.

【專題】11：計(jì)算題；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；55E：解直角三角形及其應(yīng)用；66：運(yùn)算能力；67：推理能

力.

【分析】連接CZ),根據(jù)勾股定理求出O。，根據(jù)正切的定義求出tan/C。。，根據(jù)圓周角定理得到/OBC=/

CDO,等量代換即可.

【解答】解：設(shè)0A與無軸交于點(diǎn)D,連接CD,則CD為。A的直徑,

則0D=<CD2-OC2=4V2,

由圓周角定理得，ZOBC=ZCDO,

則tan/08C=—.

4

故選：C.

【總結(jié)】本題考查的是圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在△ABC中，/A=70°,。。截△ABC的三條邊所得的弦長相等，則N80C的度數(shù)為125°

【考點(diǎn)】KF：角平分線的性質(zhì)；M2：垂徑定理；M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；67：推理能力.

【分析】先利用。。截△ABC的三條邊所得的弦長相等，得出即。是△ABC的內(nèi)心，從而，Z1=Z2,Z3=

N4,進(jìn)一步求出/BOC的度數(shù).

【解答】解：:△ABC中NA=70°,。。截AABC的三條邊所得的弦長相等，

...O到三角形三條邊的距離相等，即O是△ABC的內(nèi)心，

.?.N1=N2,N3=N4,Zl+Z3=-(180°-NA)=-(180°-70°)=55°,

22

AZBOC=180°-(Z1+Z3)=180°-55°=125

故答案是：125°.

【總結(jié)】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，垂徑定理以及圓心角、弧、弦的關(guān)系，比較簡單.

2.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上.若NAB￡）=40°,則/BCD的度數(shù)為（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理.

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；67：推理能力.

【分析】根據(jù)圓周角定理得到/4。=/&8。=40。、ZACB=90°,結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案.

【解答】解：由圓周角定理得，ZACD^ZABD^40°,

是。。的直徑，

AZACB=90",

：.ZBCD^90°-40°=50°,

故選：C.

【總結(jié)】本題考查的是圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的

圓心角的一半、直徑所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，四邊形48a（內(nèi)接于。O,延長A。交。。于點(diǎn)連接BE.若NC=100°,ZDAE^5Q°,則NE的

A.50°B.60°C.70°D.80°

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理；M6：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；66：運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：：四邊形ABC。內(nèi)接于。O,ZC=100°,

：.ZDAB=80°,

：ND4E=50°,

：.ZEAB=3Q°,

是。。的直徑，

AZABE=90°,

...NE=90°-30°=60°,

故選：B.

【總結(jié)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三：求最值問題

【例1】如圖，。。的半徑為5,弦AB=8,尸是弦A8上的一個動點(diǎn)（不與A、2重合），則。尸的最小值是（）

【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；M2：垂徑定理.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；67：推理能力.

【分析】作0CLA8于點(diǎn)C,連接根據(jù)垂線段最短，知OP最短為AB弦的弦心距的長度，由垂徑定理和

勾股定理即可得出答案.

【解答】解：作。C_LAB于點(diǎn)C,連接OA,如圖所示：

則AC=|AB=4,

'：OA=5,

：.OC=Vox2-XC2=7s2—42=3,

則OP的最小值是3；

故選：B.

【總結(jié)】本題考查了垂徑定理、勾股定理以及垂線段最短的性質(zhì)；熟練掌握垂徑定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

【例2】如圖，點(diǎn)A是半圓上的一個三等分點(diǎn)，點(diǎn)8為弧AD的中點(diǎn)，P是直徑上一動點(diǎn)，。。的半徑是2,

則PA+PB的最小值為()

【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系；PA：軸對稱-最短路線問題.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計(jì)算.

【分析】首先作A關(guān)于的對稱點(diǎn)。，連接B。，然后根據(jù)圓周角定理、圓的對稱性質(zhì)和勾股定理解答.

【解答】解：作A關(guān)于MN的對稱點(diǎn)。，連接C。，BQ,BQ交CD于P,此時(shí)AP+PB=QP+P3=Q2,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，PA+PB的最小值為QB的長度，

連接O。，0B,

；點(diǎn)A是半圓上的一個三等分點(diǎn)，

AZACZ)=30°.

弧中點(diǎn)，

：.ZBOD=ZACD=30°,

.?./QO￡)=2N0Cr>=2X3O°=60°,

：.ZBOQ^30°+60°=90°.

:。。的半徑是2,

：.OB=OQ=2,

：.BQ=JOB2+OQ2=2V2,即PA+PB的最小值為2立.

故選：D.

【總結(jié)】本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，把題目的問題轉(zhuǎn)化為兩

點(diǎn)之間線段最短解答.

【例3】如圖，C是以為直徑的半圓。上任意一點(diǎn)，48=3,則aABC周長的最大值是（）

A.2V2+3B.3V2+3C.273+3D.9

【考點(diǎn)】M2：垂徑定理.

【專題】55C：與圓有關(guān)的計(jì)算.

【分析】當(dāng)點(diǎn)C在血中點(diǎn)時(shí)，△ABC周長最大，然后根據(jù)42=3計(jì)算即可.

【解答】解：..乂臺為直徑，

AZACB=90°,

：.AC2+BC2^AB2=32=9,

AC+BC^y/AC2+BC2+2AC-BC=19+4x|XC-BC=79+4s“CB'

當(dāng)SAABC最大時(shí)，AC+BC最大，

13

'：S^ABC=^AB>CD=^CD,

當(dāng)點(diǎn)C在血中點(diǎn)時(shí)，CD=CO=1AB=I為最大，

此時(shí)SMBC最大，S^ABc=fCD=|x|=p

Z224

即AC+BC最大=19+4x：=3V2,

AABC周長的最大值=AC+8C+A8=3V2+3.

故選：B.

【總結(jié)】本題考查了周長的最大值，熟練掌握勾股定理與圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【例4】如圖所示，在。。中，為弦，OCLAB交AB于點(diǎn)。.且OD=Z）CP為。。上任意一點(diǎn)，連接R1,

PB,若。。的半徑為1,則S△曲的最大值為（）

【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；M2：垂徑定理.

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；64：幾何直觀.

【分析】連接如圖，利用垂徑定理得到AD=BD,AC=BC,再根據(jù)OD=DC可得到0D=10A=|,所

以AO=今NAOD=60°,貝根據(jù)圓周角定理得到NAPB=NAOC=60°,當(dāng)點(diǎn)尸為A8所的優(yōu)弧

的中點(diǎn)時(shí)，△APB的面積最大，此時(shí)△AP8為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式計(jì)算即可.

【解答】解：連接如圖，

,：OC1AB,

:.AD=BD,AC^BC,

"：OD=DC,

：.0D^-OA=

22

：.AD=V3OD=y,

AZAOD=60°,AB=V3,

；.NAPB=/AOC=60°,

當(dāng)點(diǎn)尸為AB所的優(yōu)弧的中點(diǎn)時(shí)，△APB的面積最大，此時(shí)△APB為等邊三角形，

...△APB的面積的最大值為fx(V3)2=乎.

44

【總結(jié)】本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了圓周角定理.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C(0,4),A(3,0),。4半徑為2,尸為。A上任意一點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，則

。￡的最小值是()

C.2D.V2

【考點(diǎn)】D5：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；K6：三角形三邊關(guān)系；KX：三角形中位線定理；M8：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

【專題】25：動點(diǎn)型；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；64：幾何直觀.

【分析】如圖，連接AC,取AC的中點(diǎn)H,連接EH,OH.利用三角形的中位線定理可得EH=1,推出點(diǎn)E

的運(yùn)動軌跡是以“為圓心半徑為1的圓.

【解答】解：如圖，連接AC,取AC的中點(diǎn)H,連接E”，OH.

,:CE=EP,CH=AH,

1

：.EH=-PA^1,

2

，點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以H為圓心半徑為1的圓,

VC(0,4),A(3,0),

：.H(1.5,2),

：.OH=J22+L52=2.5,

.?.OE的最小值=OH-EH=2.5-1=1.5,

故選：B.

【總結(jié)】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添

加常用輔助線，正確尋找點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題.

2.如圖，已知。。的半徑為5,P是直徑A8的延長線上一點(diǎn)，BP=2,是。。的一條弦，CD=6,以PC,PD

為相鄰兩邊作平行四邊形PCED當(dāng)C、D點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時(shí)，線段尸￡長的最大值為（）

【考點(diǎn)】KQ：勾股定理；L5：平行四邊形的性質(zhì)；M2：垂徑定理；M5：圓周角定理.

【專題】11：計(jì)算題；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；66：運(yùn)算能力；67：推理能力.

【分析】連接。C.設(shè)CD交PE于點(diǎn)K,連接OK.求出OK,OP的值，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題.

【解答】解：連接。C.設(shè)CD交PE于點(diǎn)、K,連接。K.

,/四邊形PCED是平行四邊形，

:.EK=PK,CK=DK,C￡)=6,

：.OK±CD,

在Rt/XCOK中，；0C=5,CK=3,

：.0K=7s2—32=%

'：OP=OB+PB=1,

：.7-4WPKW7+4,

.?.3WPKW11,

，PK的最小值為3,最大值為11,

...PE的最大值為22,

故選：B.

【總結(jié)】本題考查垂徑定理，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

3.如圖，OA的半徑為2,B,C在0A上且NBAC=120°,若點(diǎn)P,Q,R分別為BC,AC、A8上的動點(diǎn)，則

PR+PQ的最小值為()

宓

A.2-V3B.V3-1C.1D.V3

【考點(diǎn)】M4：圓心角、弧、弦的關(guān)系；PA：軸對稱-最短路線問題.

【專題】25：動點(diǎn)型；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】如圖，作8HLCA交CA的延長線于連接刑.當(dāng)PQLAC時(shí)，PR+PQ的值最小，利用

面積法證明PR+PQ=BH即可.

【解答】解：如圖，作B”_LCA交C4的延長線于H.連接出.

在RtZXABH中，VAB=2,ZBAH=60°,

：.BH=AB-sm6Q0=V3,

SPR±AB,PQ_LAC時(shí)，PR+P。的值最小，

111

'."SAABC^-'AC'BH=--AB-PR+-'AC'PQ,

：.PR+PQ=BH=V3,

故PR+PQ的最小值為舊，

故選：D.

【總結(jié)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？?/p>

題型.

4.如圖，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)。為圓心作圓，交x軸正半軸于點(diǎn)A,交y軸正半軸于點(diǎn)C,正比例函數(shù)y=依鼠＞0)

的圖象與。。分別交于點(diǎn)8、D,若A(2,0),則四邊形ABC。面積的最大值為口

【考點(diǎn)】F4：正比例函數(shù)的圖象；F8：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；M2：垂徑定理.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì).

【分析】連接AC，由題意得出。。=。4=2,20=204=4,證出△A0C是等腰直角三角形，得出

=2V2,當(dāng)AC_LB。時(shí)，四邊形ABCZ)的面積最大=/0<8。=4魚.

【解答】解：連接AC,如圖所示：

VA(2,0),

：.OA=2,

：.OC=OA=2,BD=2OA=4,

VZAOC=90°,

/.AAOC是等腰直角三角形，

r.AC=V2OA=2V2,

當(dāng)AC±BD時(shí)，四邊形ABCD的面積最大=^ACXBD=|x2&x4=4&；

故答案為：4V2.

【總結(jié)】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、四邊形面積的計(jì)算以及最值問題；熟練

掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)四：切線的有關(guān)證明

【例1】如圖，在。。中，A8是直徑，且46=10,點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)C是麗的中點(diǎn)，CEL48于點(diǎn)E,過

點(diǎn)。的切線交EC的延長線于點(diǎn)G,連接A。，分別交CE、于點(diǎn)尸、Q,連接AC,OP,CO.關(guān)于下列結(jié)

論：①NBAD=/ABC；②GP=GD；③點(diǎn)尸是△AC0的外心；④點(diǎn)尸是△AOC的內(nèi)心；⑤若CB〃GD,則

。尸=卓.正確的個數(shù)有()

E0。

A.2B.3C.4D.0

【考點(diǎn)】M2：垂徑定理；M5：圓周角定理；MA：三角形的外接圓與外心；MC：切線的性質(zhì)；MI：三角形的

內(nèi)切圓與內(nèi)心.

【專題】559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；69：應(yīng)用意識.

【分析】①用反證法什么結(jié)論錯誤即可.

②想辦法證明NGPO=NG￡)P,可得結(jié)論.

③想辦法證明AP=PQ,可得結(jié)論.

④說明NC4尸與/ZM8不一定相等，即可判斷本結(jié)論錯誤.

⑤證明△AOC是等邊三角形，求出。尸即可判斷.

【解答】解：不妨設(shè)則麗=前，

'：AC=CD,

：.AC=CD=BD,這個顯然不符合題意，故①錯誤,

???GD是。。的切線，

：.OD±DG,

：.ZODG=90°,

???NG0P+NOZM=9O°,

?：GE：LAB,

：.ZAEP=90°,

：.ZPAE+ZAPE=90°,

9：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

???NAPE=/GPD,

:?/GDP=/GPD,

：.GP=GD,故②正確，

'：AB是直徑，

ZACB=90°,

VZACP+ZBCE=9Q°,NBCE+NABC=90°,

ZACE=ZABC,

U：AC=E,

：.ZCAP=ZABC,

：.ZPAC=ZPCA,

：.PC=PA,

VZAQC+ZCAP=90°,ZACP+ZPCQ=90°,

：.ZPCQ=ZPQC,

:?PC=PQ,

：.PA=PQ,

VZACQ=90°,

???點(diǎn)尸是△AC。的外接圓的圓心，故③正確，

??,麗與皿不一定相等，

ZCAP與ND4B不一定相等，

???點(diǎn)尸不一定是△AOC的內(nèi)心，故④錯誤，

9：DG//BC,ODLDG,

：.OD±BCf

：.CD=BD,

V4C=CD,

：.AC=E=前,

：.ZAOC^ZCOD=ZDOB=60°,NCAO=NZMB=30°

'：OA=OC,

...△OAC是等邊三角形，

'：CE±OA,

：.ZACE=ZOCE,

點(diǎn)尸是△AOC的外心，

???OP=AP=PC==備="，故⑤錯誤，

cos300見5

故選：A.

「E0。

【總結(jié)】本題考查切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)心與外心，垂徑定理，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

【例2】如圖所示，以△ABC的邊A8為直徑作。。，點(diǎn)C在。。上，8。是。。的弦，NA=/CBD,

過點(diǎn)C作于點(diǎn)F,交于點(diǎn)G過C作CEHBD交AB的延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)求證：CG=BG；

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理；ME：切線的判定與性質(zhì).

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；67：推理能力.

【分析】(1)連接OC,先證得配=發(fā)，根據(jù)垂徑定理得到。CL2D,根據(jù)“〃3。推出OCUCE,即可得

到結(jié)論；

(2)根據(jù)圓周角定理得出NACB=90°,然后根據(jù)同角的余角相等得出/A=N8CR即可證得乙BCR=/CB￡),

根據(jù)同角對等邊即可證得結(jié)論；

(3)連接A。，根據(jù)圓周角定理得出NAZ)B=90°,即可求得NBAD=60°,根據(jù)圓周角定理得出/ZMC=N

BAC=30°,然后根據(jù)三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE的值.

【解答】(1)證明：連接OC,

ZA=ZCBDf

：.BC=DC,

：.OCLBD,

?:CE//BD,

：.OCLCE,

???CE是。。的切線；

(2)證明：為直徑，

ZACB=90°,

VCF±AB,

ZACB=ZCFB=9Q°,

/ABC=/CBF,

：.NA=NBCF,

'：ZA=ZCBD,

:?/BCF=/CBD,

：.CG=BG；

(3)解：連接A。，

TAB為直徑，

ZADB=90°,

9：ZDBA=30°,

：.ZBAD^60°,

\9BC=DC,

1

ZDAC=ZBAC=-ZBAD=30°,

2

：.—=tan30°=—,

AC3

■:CE//BD,

：.ZE=ZDBA=30°,

：.AC=CE,

.BC_V3

.?CE-3，

VZA=ZBCF=ZCBD=30°,

：.ZBCE=30°,

：.BE=BC,

:.ACGBsACBE,

.CG_BC_

*'BC~CE_3'

VCG=8,

.,.BC=8V3,

：.BE=8』.

【總結(jié)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，切線的判定和性質(zhì)以及三角形相似的判定和性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)

建直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【例3】如圖，己知。。是△ABC的外接圓，且BC為。。的直徑，在劣弧死上取一點(diǎn)使前=檢，將△AOC

沿對折，得到連接CE.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若CE=WCD,劣弧前的弧長為無，求。。的半徑.

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理；MA：三角形的外接圓與外心；ME：切線的判定與性質(zhì)；MN：弧長的計(jì)算；PB：

翻折變換(折疊問題).

【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合；64：幾何直觀.

【分析】(1)在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,則2a+22+2丫=180°,即可求解；

(2)證明四邊形AMCN為矩形，CN=3CE=gx=AM,而尤，則sin/ABM=*即NABM=60°,即可

求解.

【解答】解：(1)VCB=AB,：.ZCAD=ZBCA=a=ZEAD,

設(shè)：ZDCA=ZDEA=^,ZDCE=ZDEC=y,

則△ACE中，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,

.,.2a+2p+2y=180°,

.?.a+p+y=90°,

；.CE是。。的切線；

(2)過點(diǎn)A作延長AD交CE于點(diǎn)N,

則DNLCE,.?.四邊形AMCN為矩形，

設(shè)：AB=CD=x,貝!]CE=A,

貝ijCN=|CE=^-x=AM,而AB=x,

則sinZABM=y,；.ZABM=60°,

...△OAB為等邊三角形，即NAOB=60°,

CD=AB=史-x2兀廠=兀，

360°

解得：r=3,

故圓的半徑為3.

【總結(jié)】本題主要考查的是圓切線的基本性質(zhì)，涉及到弧長的計(jì)算、三角形內(nèi)角和知識等，綜合性較強(qiáng)，難度

較大.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在。。中，是直徑，點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，CELAB于點(diǎn)E,過點(diǎn)。的切線交

EC的延長線于點(diǎn)G,連接A。，分別交CE,于點(diǎn)PQ.連接AC,關(guān)于下列結(jié)論：?ZBAD=ZABC；②GP

=GD；③點(diǎn)尸是△AC。的外心，其中正確結(jié)論是()

n

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考點(diǎn)】M5：圓周角定理；MA：三角形的外接圓與外心；MC：切線的性質(zhì).

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；559：圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；67：推理

能力.

【分析】連接BD,由G。為圓。的切線，根據(jù)弦切角等于夾弧所對的圓周角得到再由AB

為圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到為直角，由CE垂直于A8,得到NAE尸為直角，再由

一對公共角，得到三角形APE與三角形A3。相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出/APE等于NAB。，

根據(jù)等量代換及對頂角相等可得出利用等角對等邊可得出GP=GD,選項(xiàng)②正確；由直徑

A3垂直于弦CR利用垂徑定理得到A為弧CP的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，再由C為弧的中點(diǎn)，得到兩條

弧相等，等量代換得到三條弧相等，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得出NCAP=/ACP,利用等角對等邊可得

出又AB為直徑得到/AC。為直角，利用等角的余角相等可得出/PCQ=/PQC,得出CP=P。，

即尸為直角三角形ACQ斜邊上的中點(diǎn)，即為直角三角形ACQ的外心，選項(xiàng)③正確.

【解答】解：???在。。中，A8是直徑，點(diǎn)。是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，

.,.弧4。=弧4。#弧

:./BADW/ABC,選項(xiàng)①錯誤；

連接B。，延長CE交。。于凡如圖所示：

:.NGDP=NABD,

又AB為圓。的直徑，

；./ADB=90°,

'：CE.LAB,

：.ZAEP=90°,

ZADB=ZAEP,又4PAE=/BAD,

：.AAPF^AABD,

：./ABD=ZAPE,又NAPE=ZGPD,

:.NGDP=NGPD,

：.GP=GD,選項(xiàng)②正確；

:直徑A8_LCE,

為弧CF的中點(diǎn)，即弧4/=弧4。

又C為弧AD的中點(diǎn)，

...弧?^=弧CD,

.?.弧人F=弧。9,

J.ZCAP=ZACP,

C.AP^CP,

又AB為圓。的直徑，

ZACQ=90°,

：.ZPCQ=ZPQC,

:.PC=PQ,

：.AP=PQ,即尸為RtAACQ斜邊AQ的中點(diǎn)，

：.P為RtAACQ的外心，選項(xiàng)③正確；

故選：C.

【總結(jié)】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外接圓與圓心，熟練掌

握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵.

2.如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)。為圓心的圓，經(jīng)過A,8兩點(diǎn)，且與8C邊交于點(diǎn)E,。為弧BE的中點(diǎn)，連

接交BC于尸，AC=FC,連接2D.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)已知。0的半徑R=5CHI,AB8cm,求△A3。的面積.

D

【考點(diǎn)】M2：垂徑定理；ME：切線的判定與性質(zhì).

【專題】55A：與圓有關(guān)的位置關(guān)系；66：運(yùn)算能力；67：推理能力.

【分析】(1)連接。4、0D,求出/。+/。f￡>=90°,推出/CAP=/C必，ZOAD=ZD,求出

C4尸=90°,根據(jù)切線的判定推出即可；

(2)過點(diǎn)B作BGLAD于G,根據(jù)勾股定理得到8D=VOB2+OD2=V52+52=5vLBG=AG=4vL又

根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接。4,OD.

:點(diǎn)。是弧BE的中點(diǎn)，

：.ZBOD=ZEOD=90°,

：.ZODF+ZOFD=9Q°

又?.,/OFO=NAFC,

：.ZODF+ZAFC^90°

又；AC=",

ZAFC^ZCAF,

'：OA^OD,

：.ZODF=ZOAF,

：.ZOAF+ZCAF=90°,

即/OAC=90°,

故AC是。。的切線；

(2)解：過點(diǎn)2作于G,

'：ZBOD=9Q°,OB=OD=R=5,

：.BD=VOB2+OD2=7s2+52=5V2,

:點(diǎn)。是弧BE的中點(diǎn)，

：.ZBAD=45°,

VZAGB=90°,

AZABG=ZBAD=45°,BPBG=AG.

：.2BG2=AB2=S2,

：.BG=4G=4近

又,：DG=7BD2-BG2=J(5V2)2-(4A/2)2=3版,

：.AD=4G+DG=4V2+3V2=7V2

故SAABD=^AD-BG=|x7V2x4V2=28(a??).

【總結(jié)】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理

和計(jì)算的能力.

3.如圖。。的直徑AB=10c〃z,弦BC=6cm,NACB的平分線交。。于。，交A8于￡,尸是A2延長線上一點(diǎn)，

且PC=PE.

(Z)求證：PC是。。的切線；

(2)求AC、4。的長.