控制工程基礎(chǔ)教案

第一講

緒

論控制工程基礎(chǔ)教案（一）一、課程的地位與作用

隨著科學技術(shù)、特別是信息技術(shù)的突飛猛進，自動控制技術(shù)越來越廣泛地應用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運輸、國防、宇航及日常生活的各個領(lǐng)域。掌握和了解自動控制的基本理論和方法，對從事工程技術(shù)類各專業(yè)的科學技術(shù)人員是十分必要的。本課程具有科學方法論的鮮明特點，研究的問題帶有普遍性，是廣泛意義上的方法論。這將對學生提高分析問題和解決問題的能力，奠定堅實的理論基礎(chǔ)。

控制工程基礎(chǔ)是工科許多專業(yè)一門學科基礎(chǔ)課。目前在我校有六個專業(yè)大類中的12個專業(yè)將該課程設(shè)置成學科基礎(chǔ)課，有三個專業(yè)大類中的4個專業(yè)將該課程設(shè)置為學科選修課，電氣信息類及機械類培優(yōu)班均將該課程設(shè)置成學科基礎(chǔ)課。

該課程在各專業(yè)的學習過程中起著非常重要的作用。它既是前期基礎(chǔ)課向?qū)I(yè)課的轉(zhuǎn)折，又是后續(xù)專業(yè)課的一個重要基礎(chǔ)課。作為培養(yǎng)工程技術(shù)人員的學科基礎(chǔ)課，該課程使學生首次學習控制和控制系統(tǒng)的概念，系統(tǒng)地學習控制理論的經(jīng)典方法。該課程的學習是專業(yè)學習過程中的一個重要環(huán)節(jié)。二、課程簡介控制工程基礎(chǔ)是研究各類控制系統(tǒng)共性的一門技術(shù)基礎(chǔ)科學。教學內(nèi)容以反饋控制理論為核心，介紹控制系統(tǒng)建模方法，介紹線性系統(tǒng)的時域、頻域和根軌跡的分析與設(shè)計方法。本課程具有科學方法論的鮮明特點，研究的問題帶有普遍性，對工程實踐具有重要的指導意義。教學方式以講授為主，輔以多媒體CAI及課堂討論。課程的教學目標是，使學生掌握有關(guān)自動控制的基本概念、基本理論和基本方法，能夠自覺運用反饋原理解決實際工程中的相關(guān)問題，進一步提高分析問題和解決問題的能力。三、課程的教學目標與基本要求通過本課程的學習，使學生掌握有關(guān)自動控制、自動控制系統(tǒng)的基本概念，掌握有關(guān)經(jīng)典控制理論的基本概念、基本理論和基本方法，能夠運用反饋原理解決實際中的相關(guān)問題，提高分析問題和解決問題的能力。要求掌握自動控制系統(tǒng)的基本組成、線性系統(tǒng)數(shù)學建模以及系統(tǒng)分析與設(shè)計的基本方法，能進行典型控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計?？己瞬捎瞄]卷筆試形式，學習成績將根據(jù)平時作業(yè)、實驗課成績及考試成績綜合評定。該課程在教學組織時應根據(jù)不同專業(yè)的特點，不同專業(yè)的要求，具有針對性的教學。在教材的選用、教學方式的組織、實驗的開設(shè)以及課內(nèi)課外時數(shù)的分配上有所區(qū)別?？己朔绞綖殚]卷筆試加平時作業(yè)。本課程將為培養(yǎng)學生運用控制原理的方法，分析和解決各種工程問題奠定扎實的理論基礎(chǔ)。四、主要教材、參考書（作者、教材名稱、出版社）RichardC.Drof&RobertH.Bishop,ModernControlSystem(第八版)高等教育出版社,2001年KatsuhikoOgata現(xiàn)代控制理論（第三版），電子工業(yè)出版社，2000年胡壽松，自動控制原理（第四版），科學出版社，2000年劉明俊，自動控制原理.國防科技大學出版社，2000年董景新趙長德，控制工程基礎(chǔ)，清華大學出版社，1992年李友善主編，自動控制原理(修訂版)，北京:國際工業(yè)出版社，1989吳麒主編，自動控制原理，北京：清華大學出版社，1990緒方勝彥著，現(xiàn)代控制工程,盧伯英等譯，北京：科學出版社，1976黃家英，自動控制原理，高等教育出版社，2003年7月五、本課程中各章節(jié)之間的關(guān)系：第二講

控制系統(tǒng)的基本概念1.自動控制的基本概念

本章主要內(nèi)容：引言自動控制的基本原理及基本控制方式自動控制系統(tǒng)示例及基本組成自動控制系統(tǒng)的分類對控制系統(tǒng)的基本要求控制系統(tǒng)示例

1.0引言

以“三論”（系統(tǒng)論、信息論、控制論）為代表的科學方法論，是一門新興的學科，是二十實際以來最偉大的成果。它的崛起為人類認識世界和改造世界提供了新的有力的武器。

近幾年，自然科學的高速發(fā)展一方面使得科學不斷分化，分支科學越來越多，各種新的學科如雨后春筍般地相繼出現(xiàn)；另一方面，各學科之間又不斷的相互滲透，呈交叉的趨勢，由分化走向統(tǒng)一的趨勢?？陀^上要求有共同的方法論，為各學科的彼此溝通，發(fā)揮橋梁作用。“三論”的出現(xiàn)正是這種時代要求的結(jié)果。

“三論”是從自然科學研究中總結(jié)出來的一種科學方法，但它不限于自然科學，具有一般的方法論意義。它不是某一具體科學的方法論，而是包括自然科學、社會科學和思維科學在內(nèi)的共同的方法論，是認識世界和改造世界的統(tǒng)一的方法。被稱為“橫向科學”或“橫斷科學”。這種方法具有嚴格的程序和精確的形式，是一種更科學、更規(guī)范的方法，對科學研究、領(lǐng)導決策和各項工作都具有很強的指導性，在一定意義上可以說“三論”是哲學范疇的具體化、規(guī)范化、模型化。

“三論”的出現(xiàn)是有深刻意義和歷史背景的。作為“三論”之一的“控制論”中的“控制”的概念，人們并不陌生。什么是控制？

控制論是一種現(xiàn)代科學的方法論，它所提供的科學方法，對我們分析問題忽然解決問題是十分重要的，它還算一門新興學科，正在不斷地發(fā)展和完善，其定義和規(guī)定的研究內(nèi)容也眾說不一，主要有以下幾種說法：

說法一：“控制論”是關(guān)于機器的理論

說法二：“控制論”是電子計算機和電子學的理論

說法三：“控制論”就是類似于數(shù)學的一門學科

說法四：“控制論”是關(guān)于動物和機器中控制和通信的科學（維納定義）維納其人：1893年生美國人數(shù)學家哲學家《控制論》。根據(jù)維納的定義人們關(guān)于“控制論”的較公認的說法是：“控制論”是以研究各種系統(tǒng)共同存在的控制規(guī)律為對象的一門科學。“控制論”就是要揭示包括機器、生物、社會在內(nèi)的各種不同的控制系統(tǒng)的共同規(guī)律。是研究各種系統(tǒng)共同控制規(guī)律的科學，是方法論?？刂普摦a(chǎn)生的基礎(chǔ)：來源于人們的社會實踐活動，有它產(chǎn)生的實踐基礎(chǔ)和理論基礎(chǔ)。例如：人類很早以前就利用水的勢差和風的流動作為能源的各種裝置，像“風磨漏斗”、“蒸汽機的調(diào)節(jié)器”。19世紀以來，隨著電子技術(shù)的發(fā)展，出現(xiàn)了以電信號傳遞信息為主的控制過程，如：數(shù)控機

床、控制煉鋼等等。

第二次世界大戰(zhàn)以前，在美國，一些不同學科的科學家自發(fā)地建立組織討論會，研究他們共同感興趣的問題，更多的是各學科之間的交叉問題。維納參加了這樣的討論，得到了啟迪，形成了控制論的思想基礎(chǔ)信息在控制中的作用要使控制行為得以實現(xiàn)，就要求控制部分以某種方式給予受控部分以影響，受控部分就按照影響變化自己的行為，這種聯(lián)系和影響是什么？如：電、力、風、生物電脈沖……等等。共同點：控制內(nèi)容的消息----信息，正是控制部分和受控部分之間發(fā)生了這種信息的聯(lián)系、信息的運動，控制過程才得以實現(xiàn)。控制過程就是系統(tǒng)中信息運動的過程。反饋是如何調(diào)節(jié)控制行為的呢？反饋調(diào)節(jié)完全可以看成是一種原因與結(jié)果不斷相互作用的關(guān)系。反饋的兩種作用方式是控制論中要研究的主要問題。反饋有兩種方式：正反饋、負反饋。定義：正反饋：凡是后輸出的信息與原輸出的信息起著相同的作用，使總的輸出增大的反饋調(diào)節(jié)。負反饋：凡是后輸出的信息與原輸出的信息起著相反的作用，使總的輸出減小的反饋調(diào)節(jié)。自動控制的發(fā)展及現(xiàn)狀以維納的《控制論》為標志，1948年正式形成。三個時期：第一個時期經(jīng)典控制理論時期40年代末到50年代

單機自動化局部自動化單變量控制自動調(diào)節(jié)器伺服系統(tǒng)第二個時期現(xiàn)代控制理論時期60年代

多變量控制最優(yōu)控制多種變化因素航天系統(tǒng)導彈系統(tǒng)人造衛(wèi)星第三個時期大系統(tǒng)理論時期70年代

規(guī)模龐大結(jié)構(gòu)復雜變量參數(shù)多目標不單一生物系統(tǒng)社會系統(tǒng)機器人發(fā)展前景：

向大系統(tǒng)理論發(fā)展規(guī)模龐大結(jié)構(gòu)復雜功能綜合因數(shù)眾多……

向智能控制系統(tǒng)發(fā)展自組織自學習自修復自繁殖……控制理論已形成了以理論控制論為中心的四大分支（也有不同分法）：工程控制論技術(shù)系統(tǒng)工程系統(tǒng)生物控制論生物系統(tǒng)社會控制論社會系統(tǒng)智能控制論思維系統(tǒng)控制論的基本概念和方法是人類認識史上的一個飛躍，開辟了認識世界的新途徑。

1.1自動控制的基本原理及基本控制方式①自動控制

自動控制指在沒有人直接參與的情況下，利用控制裝置使被控對象（如：機器、設(shè)備或生產(chǎn)過程）的某一物理量（或工作狀態(tài)）自動地按照預定的規(guī)律運行（或變化）。

例：化工過程的反應塔

數(shù)控機床

雷達、指揮儀、火炮控制系統(tǒng)

人造地球衛(wèi)星

……②自動控制系統(tǒng)

自動控制系統(tǒng)是指能夠?qū)Ρ豢刂茖ο蟮墓ぷ鳡顟B(tài)進行自動控制的系統(tǒng)。

組成：控制裝置對被控對象起控制作用的設(shè)備的總體。

被控對象要求實現(xiàn)自動控制的機器、設(shè)備和生產(chǎn)過程自動控制系統(tǒng)的基本方式：開環(huán)控制和閉環(huán)控制③開環(huán)控制開環(huán)控制是指控制裝置與被控對象之間只有順向作用而沒有反向聯(lián)系的控制。特點：信號流動的單向性無反饋開環(huán)系統(tǒng)是指具有開環(huán)控制方式的控制系統(tǒng)。開環(huán)系統(tǒng)的輸出量不對系統(tǒng)的控制發(fā)生作用。例1：電加熱爐輸入信號：電流i(t)（時間的函數(shù)）控制裝置：開關(guān)k，電阻絲被控對象：爐子輸出信號：爐溫T

分析：工作原理抗干擾能力

各個量之間的關(guān)系

特點：控制裝置只按照給定的輸入信號對被控對象進行單向的控制，被控對象的輸出不影響控制。例2：直流電機轉(zhuǎn)速的開環(huán)控制

輸入信號：電壓v

控制裝置：電位器、功放、電動機

被控對象：負載

輸出信號：電動機的轉(zhuǎn)速n

分析：工作原理

抗干擾能力

各個量之間的關(guān)系

特點：電動機的轉(zhuǎn)速由電位器控制

轉(zhuǎn)速對電位器上電壓的大小沒有影響

開環(huán)系統(tǒng)的特點：

a.簡單，給定一個輸入量，便對應有一個輸出量。

b.精度由元器件的精度和干擾決定。不具備修正由于干擾而引起的系統(tǒng)的偏差。因而使用受到限制。④閉環(huán)控制

閉環(huán)控制是指控制裝置與被控對象之間既有順向作用，又有反向聯(lián)系的控制。

特點：信號流動的雙向性有反饋

閉環(huán)系統(tǒng)是指具有閉環(huán)控制方式的控制系統(tǒng)。閉環(huán)系統(tǒng)的輸出量對系統(tǒng)的控制發(fā)生作用，它可以實現(xiàn)復雜而又準確的控制。

例1：電加熱爐的閉環(huán)控制方式

例2：直流電機轉(zhuǎn)速的閉環(huán)控制開環(huán)控制與閉環(huán)控制的比較：a.穩(wěn)定性b.精度c.抗干擾d.結(jié)構(gòu)、功率⑤復合控制

復合控制是指將開環(huán)控制方式和閉環(huán)控制方式組合在一起的控制方式。實質(zhì)上，它是在閉環(huán)回路的基礎(chǔ)上，附加一個輸入信號或擾動作用的順饋信號，以提高系統(tǒng)的精度。

復合控制=開環(huán)控制+閉環(huán)控制常用的兩種復合控制形式：按輸入補償?shù)膹秃峡刂?/p>

按擾動補償?shù)膹秃峡刂脾拗苯涌刂婆c間接控制⑦最優(yōu)控制⑧自適應控制⑨智能控制⑩魯棒控制

1.2自動控制系統(tǒng)示例及基本組成①被控對象②執(zhí)行機構(gòu)③放大裝置④檢測裝置⑤比較裝置⑥反饋裝置⑦校正裝置⑧輸入信號⑨輸出信號⑩擾動信號

1.3自動控制系統(tǒng)的分類常用的分類：①按數(shù)學模型分線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)②按控制方式分開環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)控制系統(tǒng)③按時間概念分定常系統(tǒng)時變系統(tǒng)④按信號的性質(zhì)分連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)⑤按輸入輸出信號的數(shù)量分單輸入單輸出系統(tǒng)多輸入多輸出系統(tǒng)⑥按系統(tǒng)參數(shù)分布特征分集中參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)⑦按元件類型分類機電系統(tǒng)氣動系統(tǒng)液壓系統(tǒng)生物系統(tǒng)……⑧按系統(tǒng)功用分類溫度控制系統(tǒng)位置控制系統(tǒng)……一般地，為了全面的反映自動控制系統(tǒng)的特點，常常將上述各類分類方法組合應用。在工程控制系統(tǒng)中以下幾點要注意：嚴格地講，任何的實際系統(tǒng)都是非線性的，只是形式不同、程度不同。非線性系統(tǒng)分為：本質(zhì)非線性不能線性化處理，用特殊的研究方法非本質(zhì)非線性線性化處理后，用線性系統(tǒng)的理論研究嚴格地講，任何實際系統(tǒng)都是時變的，系統(tǒng)的參數(shù)總會隨時間的變化。嚴格地講，任何實際系統(tǒng)都存在隨機性。

1.4對控制系統(tǒng)的基本要求①穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是保證系統(tǒng)能正常工作的先決條件，任何系統(tǒng)只有在穩(wěn)定的情況下才有可能正常工作。

系統(tǒng)的穩(wěn)定是有域度的，也稱為穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度越大，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越深，系統(tǒng)抗干擾的能力就越強。②穩(wěn)態(tài)性

理論上講控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能是指時系統(tǒng)的性能。但通常地是將系統(tǒng)引到一個穩(wěn)定的工作狀態(tài)時的性能稱為穩(wěn)態(tài)性。通常它由穩(wěn)態(tài)精度來描述和刻劃，亦稱為穩(wěn)態(tài)誤差。這里誤差是指希望輸出與實際輸出的差別。③動態(tài)性

動態(tài)性能是指系統(tǒng)從一個狀態(tài)變化到另一個狀態(tài)，即過渡過程的性能。過渡過程的性能主要由快速性能和振蕩性能來描述。一般的對控制系統(tǒng)來說，快速性是越快越好，振蕩性是越小越好，有的系統(tǒng)不允許有振蕩。如：火炮系統(tǒng)的快速性很重要車床的給進系統(tǒng)不允許有振蕩

1.6控制系統(tǒng)示例

第二章

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

2控制系統(tǒng)的數(shù)學模型本章主要內(nèi)容：引言微分方程模型傳遞函數(shù)模型脈沖響應模型方框圖模型信號流圖模型頻域特性模型數(shù)學模型的實驗測定方法（辨識）2.0引言主要解決的問題：什么是數(shù)學模型為什么要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型對系統(tǒng)數(shù)學模型的基本要求2.0.1什么是數(shù)學模型

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部各物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學表達式或圖形表達式或數(shù)字表達式。

亦：描述能系統(tǒng)性能的數(shù)學表達式（或數(shù)字、圖像表達式）

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型按系統(tǒng)運動特性分為：靜態(tài)模型

動態(tài)模型

靜態(tài)模型：在穩(wěn)態(tài)時（系統(tǒng)達到一平衡狀態(tài)）描述系統(tǒng)各變量間關(guān)系的數(shù)學模型。

動態(tài)模型：在動態(tài)過程中描述系統(tǒng)各變量間關(guān)系的數(shù)學模型。

關(guān)系：靜態(tài)模型是t時系統(tǒng)的動態(tài)模型。

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型可以有多種形式，建立系統(tǒng)數(shù)學模型的方法可以不同，不同的模型形式適用于不同的分析方法。2.0.2為什么要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型是由具體的物理問題、工程問題從定性的認識上升到定量的精確認識的關(guān)鍵！（這一點非常重要，數(shù)學的意義就在于此）

一方面，數(shù)學自身的理論是嚴密精確和較完善的，在工程問題的分析和設(shè)計中總是希望借助于這些成熟的理論。事實上凡是與數(shù)學關(guān)系密切的學科發(fā)展也是快的，因為它有嚴謹和完整的理論支持；另一方面，數(shù)學本身也只有給它提供實際應用的場合，它才具有生命力?！?”本身是沒有意義的，只有給它賦予了單位（物理單位）才有意義。

建立系統(tǒng)數(shù)學模型的方法很多，主要有兩類：機理建模白箱

實驗建模（數(shù)據(jù)建模）黑箱或灰箱

系統(tǒng)辨識2.0.3對系統(tǒng)數(shù)學模型的基本要求亦：什么樣的數(shù)學表達式能用于一個工程系統(tǒng)的描述。

理論上，沒有一個數(shù)學表達式能夠準確（絕對準確）地描述一個系統(tǒng)，因為，理論上任何一個系統(tǒng)都是非線性的、時變的和分布參數(shù)的，都存在隨機因素，系統(tǒng)越復雜，情況也越復雜。

而實際工程中，為了簡化問題，常常對一些對系統(tǒng)運動過程影響不大的因素忽略，抓住主要問題進行建模，進行定量分析，也就是說建立系統(tǒng)的數(shù)學模型應該在模型的準確度和復雜度上進行折中的考慮。因此在具體的系統(tǒng)建模時往往考慮以下因素：模型類型（與物理性能、分析、設(shè)計方法有關(guān)）系統(tǒng)允許的誤差條件（在允許的條件下盡可能取簡單的模型形式）2.1微分方程模型（亦:時間域模型）2.1.1根據(jù)系統(tǒng)物理機理建立系統(tǒng)微分方程模型的基本步驟：（1）確定系統(tǒng)中各元件的輸入輸出物理量；（2）根據(jù)物理定律或化學定律（機理），列出元件的原始方程，在條件允許的情況下忽略次要因素，適當簡化；（3）列出原始方程中中間變量與其他因素的關(guān)系；（4）消去中間變量，按模型要求整理出最后形式。例1：機械位移系統(tǒng)如圖，建立～間的微分方程關(guān)系式。質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)

分析：輸入：力輸出：m的位移m的受力分析

對于m，由牛頓定律，有

（2）彈簧力－彈簧系數(shù)與位移成正比

阻尼器力－阻尼系數(shù)與位移的變化量成正比

由上面兩式有

整理

注意：習慣上將系統(tǒng)（元件）的輸出及輸出的各階導數(shù)放在等式的左邊，輸入及輸入的各階導數(shù)放在等式的右邊；由于系統(tǒng)總是存在著儲能元件，一般地，等式左邊的階次高于右邊的階次；上式中左邊輸出的最高階次為二，稱該系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。

例2：RLC電路如圖，建立輸入輸出間的微分方程關(guān)系式。

由基爾霍夫定律電流與的關(guān)系有

注意：該系統(tǒng)也是一個二階系統(tǒng)

與例1相比，它們具有相同的模型形式。當與在數(shù)值上具有一定關(guān)系時，上述二個微分方程具有完全相同的形式。也就是說，在數(shù)學上～，～具有相同的關(guān)系（靜、動態(tài)關(guān)系），由此可見利用數(shù)學模型研究控制系統(tǒng)的重要性、方便性。另外，用電氣系統(tǒng)模擬機械系統(tǒng)進行實驗研究也是工程中的常用方法，就系統(tǒng)理論而言，可以撇開系統(tǒng)的具體屬性進行普遍意義的分析和研究。

例3：電樞控制的直流電動機

特性：電動機是將電能（電信號）轉(zhuǎn)變成機械能（機械信號）的一種物理器件，即輸入量是電，輸出量是機械量。直流電動機是指輸入的電是直流電（不是交流電），電樞控制是指該種電動機是以電樞電壓的改變來改變電動機的機械輸出（電動機軸的轉(zhuǎn)動角度或轉(zhuǎn)速）。

電動機中物理量的轉(zhuǎn)換

電樞控制的直流電動機的符號

電動機能將電能轉(zhuǎn)變成機械能的基本原理是根據(jù)馬科斯威爾的電磁理論。（即電動機產(chǎn)生的力矩正比與磁通量Φ和角速度ω乘積的電壓）即在磁場中電流的流動能產(chǎn)生運動，運動的方向由左手定則判定，電樞控制的直流電動機的符號如上圖。直流伺服機的調(diào)節(jié)特性不同電樞電壓對應的機械特性不同負載時直流伺服機初始電壓（壓區(qū)電壓），T：電磁轉(zhuǎn)矩T增大，n減??；的調(diào)節(jié)特性時電磁轉(zhuǎn)矩少于Td：堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩（n=0）；Ts：負載轉(zhuǎn)矩軸上的阻轉(zhuǎn)矩，電機不轉(zhuǎn)。n0：空載轉(zhuǎn)速（T＝0）。

電機在控制系統(tǒng)中是常用的執(zhí)行元件。為了求該元件的數(shù)學模型更進一步地將電動機（電樞控制的直流電動機）畫為如圖的形式：

永磁式

激磁式

其中：：電樞回路總電感（亨）：電樞回路總電阻（歐）：電樞反電勢（電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的反電勢）（伏）：電動機角速度（弧度/秒）：電樞電壓（伏）：電樞電流（安）：電動機和負載折合到電機軸上的轉(zhuǎn)動慣量(公斤米秒)：電動機和負載折合到電機軸上的粘性摩擦系數(shù)(公斤米秒)

(1)電樞回路方程由基爾霍夫定律：

其中（－反電勢系數(shù)，由電機決定，常數(shù)（伏/秒））

（2）電機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程式：其中（公斤米）：電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩，（公斤米）：總負載轉(zhuǎn)矩（電機軸上）

（3）電磁轉(zhuǎn)矩方程：其中：（公斤米/安）：電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù)，由電機決定，常數(shù)將作為輸出，作為輸入，視為外作用，整理有：

工程中，通常電樞電感非常小，可忽略不計，即有：記（－電機時常數(shù)，－電機轉(zhuǎn)動系數(shù)）

若電機不帶負載，則上式中只是電機軸的轉(zhuǎn)動慣量和粘性摩擦系數(shù)。則

（一階系統(tǒng)）當輸出是角度時，即有

（二階系統(tǒng)）

例4：直流測速發(fā)電機

發(fā)電機的功能和電動機正好相反，它是將機械能轉(zhuǎn)換成電能的一種元件，其機理是在磁場中運動的導線能產(chǎn)生電流，直流測速機指的是產(chǎn)生的是直流電信號。

直流測速機的示意圖其中：測速機軸上角速度，

負載電阻（復雜時可以是阻抗），

電樞回路電流

激磁電流（常數(shù)，產(chǎn)生磁場）

電樞電阻

電樞電感（不計）

感應電勢

磁通（韋伯，常量）

電勢系數(shù)（常量）有：有：

若無負載（開路）電機的輸出電壓與軸上的角速度成正比。例5：圖示控制系統(tǒng)（一個速度控制系統(tǒng)）

建立一個復雜的控制系統(tǒng)的數(shù)學模型，重要是分析構(gòu)成系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，以及環(huán)節(jié)間的偶合（有無負載效應），在無負載效應的情況下，先列寫各環(huán)節(jié)的數(shù)學模型，最后整理得系統(tǒng)得數(shù)學模型，對于該系統(tǒng)，構(gòu)成系統(tǒng)的各環(huán)節(jié)如上圖所示，各環(huán)節(jié)得數(shù)學模型為：

（1）運算放大器Ⅰ

（－希望輸出信號，－實際輸出信號，，－誤差信號）該環(huán)節(jié)兼有放大和比較二個功能。

（2）運算放大器Ⅱ

微分網(wǎng)絡(luò)

放大器(－微分時常數(shù))

（3）功率放大器

（4）直流電動機（直接用例3的結(jié)論）均是考慮負載值折合到電機軸上的值。

（5）設(shè)齒輪系的速比為，則減速后的為

（6）測速電機直接用例4的結(jié)果由（1）～（6）消去中間變量整理得：其中：,

,上面的例子均是線性系統(tǒng)的線性模型，其特點是可以應用迭加原理（即具有可迭加性和齊次性）。

設(shè)

若時

時

則當時

若時

則當時由此，對于線性系統(tǒng)在多個外作用同時加于系統(tǒng)的情況，可以將它們分別分析，再將其輸出迭加，也可以利用齊次性去求取對輸入信號放大時的系統(tǒng)的輸出。2.1.2非線性微分方程的線性化

嚴格地說，實際物理元件或系統(tǒng)都是非線性的

如：彈簧的剛度與其形變有關(guān)，彈性系數(shù)K與位移x有關(guān)，且非常值；

電阻、電容、電感等值也與周圍環(huán)境及經(jīng)過它們的電流有關(guān)；

電動機本身的摩擦、死區(qū)等非線性因素也存在。

常用兩種處理方法：忽略不計取常值

切線法或小偏差法

切線法或小偏差法特別適用于具有連續(xù)變化的非線性特性函數(shù)，其本質(zhì)是在一個很小的范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來代替。數(shù)學上的處理是取其泰勒展開式的線性項。設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)取平衡狀態(tài)A為工作點，對應，當有，設(shè)在（）點連續(xù)可微,則在（）點附近的泰勒級數(shù)展開式為：……當增量（）很小時，略去高次冪項，則有：記（）略去增量符號，便得函數(shù)在A點附近的線性化方程（是比例系數(shù)，它是在A點處的斜率）

對于有兩個自變量的非線性函數(shù)，同樣可在某工作點（）附近用泰勒級數(shù)展開，取其線性項，去掉高次（二階以上）項：其增量形式

這種小偏差線性化方法對于控制系統(tǒng)中大多數(shù)連續(xù)工作狀態(tài)是可行的。在線性化處理時要注意以下幾點：

（1）線性化方程中的參數(shù)（如上面的）與選擇的工作點有關(guān)，工作點不同相應的參數(shù)也不同。因此處理時，首先應確定工作點。

（2）當輸入量變化較大時，用上述方法處理誤差較大，注意小范圍內(nèi)。

（3）如系統(tǒng)在工作點處的非線性性是不連續(xù)的，其泰勒級數(shù)不收斂，這時上述方法不能用，這種非線性稱為本質(zhì)非線性。

非線性本質(zhì)非線性不能進行線性化處理

非本質(zhì)非線性在一定條件下可線性化處理2.2傳遞函數(shù)模型傳遞函數(shù)的概念傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)的列寫2.2.1定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為初始條件為零時，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。三要素：線性定常系統(tǒng)零初始條件輸出與輸入的拉氏變換之比（復域模型）形式上記為：2.2.2幾點說明（性質(zhì)）

傳遞函數(shù)是系統(tǒng)數(shù)學模型的又一種形式，也是一種表示輸入輸出的模型形式。

它表示了系統(tǒng)本身的特性而與輸入信號無關(guān)。

它僅能表示輸入輸出關(guān)系，而無法表示出系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

（2）傳遞函數(shù)中（分子的階次小于分母的階次）是一切物理系統(tǒng)所固有的，這是因為任何物理系統(tǒng)均含有慣性。

（3）微分方程與傳遞函數(shù)的關(guān)系。

重要意義：復雜簡單

（4）可減化對系統(tǒng)動態(tài)性能分析的過程

R(s)一定時C(s)完全由G(s)決定，因此：G(s)的特征和形態(tài)分析系統(tǒng)的性能

另：對系統(tǒng)性能的要求對G(s)的要求

（5）記

=

式中：稱

稱-為系統(tǒng)的特征根為系統(tǒng)的特征多項式。

有可能相等，在數(shù)學上分子分母可直接相消，但工程中涉及到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，處理時要慎重。

（6）由于可以是零、實數(shù)、復數(shù)，因此在復平面上總能找到相對應的一點，故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與復平面有一一對應的關(guān)系。這將引出經(jīng)典控制論的一種重要分析方法：根軌跡法。分析方法：根軌跡法。

（7）記

均是實常數(shù)從傳遞函數(shù)的這種分解方式可以看出，線性系統(tǒng)的傳遞總可以分解成如下7種環(huán)節(jié)的組合（乘積）

特點：最高不超過二階上面的表示系統(tǒng)有個零的零點表示系統(tǒng)有個零的極點

表示系統(tǒng)有個實數(shù)零點表示系統(tǒng)有個實數(shù)極點

表示系統(tǒng)有對復數(shù)零點表示系統(tǒng)有對復數(shù)極點稱上面七種環(huán)節(jié)為系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)，其中稱：

K比例環(huán)節(jié)一階積分環(huán)節(jié)（慣性環(huán)節(jié)）

s微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)

(s+z)一階微分環(huán)節(jié)二階積分環(huán)節(jié)（振蕩環(huán)節(jié)）在線性控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)含有典型環(huán)節(jié)的情況，反映了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性能

（8）傳遞函數(shù)的拉氏變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應

該式表明：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的脈沖響應有單值對應的關(guān)系，由于傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的一種數(shù)學模型，能反映系統(tǒng)的靜、動態(tài)性能，故系統(tǒng)的脈沖響應也可以反映系統(tǒng)的靜、動態(tài)性能，即系統(tǒng)的脈沖響應也可以作為系統(tǒng)的數(shù)學模型。由卷積定理知：也說明脈沖響應可以作為系統(tǒng)的數(shù)學模型。

法一：列寫系統(tǒng)的微分方程

消去中間變量

在初始條件為0的情況下，取拉氏變換

求輸出與輸入拉氏變換之比

法二：列寫系統(tǒng)中各元件（各環(huán)節(jié)）的微分方程

在零初始條件下求拉氏變換

整理拉氏變換后的代數(shù)方程組，消去中間變量

整理成傳遞函數(shù)的形式

舉例一些常用典型元部件的傳遞函數(shù)的列寫

例1：電位器

空載時：

帶載時：設(shè)負載電阻為有：（，）可見與不再是線性關(guān)系，當很大時近似為線性關(guān)系故：當電位器接負載時，只有在負載阻抗足夠大時，才能將電位器視為線性元件。

利用幾何關(guān)系，可以將電位器做成將線性位移或角位移變換成電壓的裝置（這里考慮空載情況或理想情況）

有（伏/弧度）一對與上面相同的電位器可以組成誤差檢測器數(shù)學關(guān)系式K為單個電位器的傳遞函數(shù)，為角位移差

例2：齒輪系

一般地在伺服電動機與負載之間，往往通過齒輪系進行運動傳遞，其目的有二：對負載提供必要地加速力矩，減速和增大力矩；調(diào)節(jié)精度高。

轉(zhuǎn)速比（>1）

傳遞函數(shù)

實際系統(tǒng)中，為了考慮負載和齒輪系對伺服電機特性地影響，一般要將齒輪系地力矩、轉(zhuǎn)動慣量、粘性摩擦折合到電動機軸上進行計算。

例3調(diào)制解調(diào)器

控制系統(tǒng)中交、直流地轉(zhuǎn)換調(diào)制器（直交）

解調(diào)器（交直）包絡(luò)

G(s)=1分析或設(shè)計控制系統(tǒng)時，數(shù)學模型可以不考慮調(diào)制、解調(diào)器地動態(tài)特性。

例4前一節(jié)例1，機械位移系統(tǒng)直接由得到的微分方程模型，在零初始條件下，對上式兩端求拉氏變換有：，整理得該系統(tǒng)得傳遞函數(shù)：

例5前一節(jié)例2RLC網(wǎng)絡(luò)

由得到得微分方程模型，在零初始條件下，對上式兩端求拉氏變換有：，整理得該系統(tǒng)得傳遞函數(shù)：

例7如圖表示一個汽車懸浮系統(tǒng)的原理圖。當汽車沿著道路行駛時，輪胎的垂直位移作為一個運動激勵作用在汽車的懸浮系統(tǒng)上。該系統(tǒng)的運動，由質(zhì)心的平移運動和圍繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運動組成。建立這個系統(tǒng)的數(shù)學模型相當復雜。（b）圖給出了一種大為簡化的懸浮系統(tǒng)，設(shè)p點的運動為系統(tǒng)的輸入，車體的垂直運動為系統(tǒng)的輸出，只考慮車體在垂直方向的運動時，求。

（a）汽車懸浮系統(tǒng)

（b）減化懸浮系統(tǒng)

更復雜一點的懸浮系統(tǒng)

例6電樞控制的直流電動機(前節(jié)例3)

其微分方程（不帶負載角速度輸出）在零初始條件下的傳遞函數(shù)為：

（不帶負載角度輸出）

事實上：2.3方框圖模型（結(jié)構(gòu)圖）方框圖模型是控制系統(tǒng)的又一種數(shù)學模型。特點：具有圖示模型的直觀，具有數(shù)學模型的精確。方框圖具有數(shù)學性質(zhì)，可以進行代數(shù)運算和等效變換，是計算系統(tǒng)傳遞函數(shù)的有力工具，應用非常普遍。2.3.1方框圖的建立

將網(wǎng)絡(luò)看作一個系統(tǒng)，各元件便是系統(tǒng)中的各個環(huán)節(jié)

建立方框圖的方法是：（1）列出各環(huán)節(jié)（元件）的傳遞函數(shù)

（2）用圖的形式連接起來。

要注意的是：由于傳遞函數(shù)的條件是零初始的，因此方框圖也是零初始條件的。

例1如圖無源網(wǎng)絡(luò)

由圖：

將上面的各環(huán)節(jié)（元件）的部分綜合有：

即為該網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的方框圖模型。特點：清晰的表現(xiàn)了系統(tǒng)中的結(jié)構(gòu)；與具體器件本身的物理屬性無關(guān)，純數(shù)學關(guān)系；可進行各物理量之間數(shù)學關(guān)系的計算；結(jié)構(gòu)圖中信號只能沿箭頭方向流動。（結(jié)構(gòu)圖的單向性）例2電壓測量裝置其中：待測電壓（輸入）；指示的電壓測量值（輸出）；誤差信號原理框圖：比較電路

調(diào)制器

放大器

兩相伺服電機

繩輪傳遞（－指針位移）

測量電位計

綜合：將電機作為一元件后的系統(tǒng)的方框圖：特點：該系統(tǒng)十分簡單，除了電機以外，其余均是比例關(guān)系，系統(tǒng)的動態(tài)特性完全由電機的動態(tài)性能決定。2.4.2系統(tǒng)方框圖的變換與簡化（略，詳見參考書）

上面表中有幾點要引起注意：1．串連連接中，兩個環(huán)節(jié)之間應沒有負載效應，否則不能簡單的相乘，如：

加入隔離放大器（輸入阻抗很小，輸出阻抗很大），放大系數(shù)為12．注意并聯(lián)連接與反饋連接的區(qū)別。3．反饋連接，它可以出現(xiàn)在系統(tǒng)方框圖的任何地方。例（略）2.4控制系統(tǒng)的信號流圖模型

信號流圖模型是又一種系統(tǒng)的圖示數(shù)學模型，與系統(tǒng)的方框圖模型相似。在信號流圖上利用梅遜公式可方便地求取系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。《信號與系統(tǒng)》課程中有詳細的講解，本課程不展開講，要求同學們要會用。2.5反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不失一般性，設(shè)系統(tǒng)的方框圖如圖所示：

（1）前向通道傳遞函數(shù)

（2）反饋通道傳遞函數(shù)，特殊地時，稱為單位反饋。

（3）對輸入引起的開環(huán)傳遞函數(shù)（）

（4）對輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)（）

（5）對擾動量的閉環(huán)傳遞函數(shù)（）

（6）定義為系統(tǒng)的誤差由輸入量引起的誤差傳遞函數(shù)（）

（7）由擾動引起的誤差傳遞函數(shù)（）

（8）由傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的輸出（線性系統(tǒng)的迭加性）

（9）由傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的誤差

描述系統(tǒng)框圖的兩種最基本、最重要的形式

（1）體現(xiàn)輸入輸出關(guān)系的描述開環(huán)形式

（2）體現(xiàn)反饋機制關(guān)系的描述閉環(huán)形式

注意：開環(huán)控制方式、開環(huán)傳遞函數(shù)、開環(huán)描述形式的區(qū)別。2.6頻域特性模型

在前面介紹脈沖響應模型時，提到在零初始條件下可利用系統(tǒng)卷積積分的方法求系統(tǒng)輸出的時域響應

對上式兩邊求傅立葉變換，并利用時域卷積定理可得到：或

即為零初始條件下輸出的付氏變換與輸入的傅氏變換之比。稱為系統(tǒng)的頻域傳遞函數(shù)或轉(zhuǎn)移函數(shù)，也稱為系統(tǒng)的頻率響應特性或頻率特性。

從物理學概念來講，如果激勵信號的頻譜密度函數(shù)為，則響應的頻譜密度函數(shù)便為，即通過系統(tǒng)的作用改變了激勵信號的頻譜。可見：同一系統(tǒng)可以在時域加以表示，又可以在頻域加以表示。一般地，為復數(shù)它可表示成：其中稱為系統(tǒng)的幅頻特性

稱為系統(tǒng)的相頻特性在形式上可以證明或

例：已知描述系統(tǒng)的微分方程為：，求頻率特性。

解：設(shè)系統(tǒng)是零初始條件的，對上面微分方程兩邊求傅氏變換，由時域微分性質(zhì)可得：有：或由原微分方程有：有：2.7．數(shù)據(jù)模型的實驗測定法系統(tǒng)數(shù)學模型的建立通常是兩種方法：機理建模法實驗建模法（系統(tǒng)辨識）機理建模法：根據(jù)系統(tǒng)運動的物理機理或化學機理；根據(jù)信號在系統(tǒng)中的傳遞過程與方式；根據(jù)構(gòu)成系統(tǒng)的元部件，通過分析和運用已有的物理化學定律，建立系統(tǒng)中各物理量的數(shù)量關(guān)系，反映系統(tǒng)輸入輸出的靜、動態(tài)關(guān)系，這樣的建模方法稱為機理的建模方法。該方法要求系統(tǒng)是“白箱”的，即系統(tǒng)中的各元部件及參數(shù)均已知，結(jié)構(gòu)均已知。實驗建模法（系統(tǒng)辨識）：對系統(tǒng)進行實驗，給系統(tǒng)以一定的激勵（輸入），測得它的輸出，根據(jù)輸入輸出的數(shù)據(jù)（或曲線）結(jié)果，通過一定的數(shù)學處理方法，得到能反映系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的數(shù)學模式，這樣的方法稱為系統(tǒng)辨識。在系統(tǒng)辨識中有幾點要注意：*只能得到反映系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的數(shù)學模型，不知道（不能反映）系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)中各物理量之間的關(guān)系；外部特性等效；實驗用的激勵信號（輸入信號）應該是能夠激勵起系統(tǒng)中的各個模態(tài)（狀態(tài)），能夠讓系統(tǒng)充分地運動，其目的是讓輸出能充分地反映系統(tǒng)的靜、動態(tài)特性。在這樣的基礎(chǔ)上建立的模型才符合我們對系統(tǒng)模型的要求。這樣的激勵信號稱為充分激勵（持續(xù)激勵）信號；可加的輸入信號應接近系統(tǒng)在實際工況場合中使用的信號，這樣更符合實際；這樣采樣輸入輸出數(shù)據(jù)的建模方法，對系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的要求可以低一些，知道一部分（灰箱）或全不知道（黑箱）。在實際中，有時系統(tǒng)是白箱的，但十分復雜，不便列式，利用辨識的方法也是一個好的途徑。2.7.1數(shù)學模型實驗測定方法的主要思想系統(tǒng)辨識的定義：（Zadeh1962年）

系統(tǒng)辨識就是在輸入和輸出數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，從一組給定的模型中，確定一個可測系統(tǒng)等價的模型。

根據(jù)定義可得系統(tǒng)辨識的原理結(jié)構(gòu)圖：

由上可知系統(tǒng)辨識的三要素：輸入輸出數(shù)據(jù)，模型類，等價準則

從數(shù)學的角度看，就是修改將輸入激勵轉(zhuǎn)化為模型輸出特性的變換特性（算子特性），修改模型的目標是設(shè)法使模型和對象之間達到更高的擬合程度。

對三要素的要求：

（1）輸入信號（辨識用）應該在實際系統(tǒng)允許的情況下，激勵起系統(tǒng)所有的模態(tài)（充分激勵，持續(xù)激勵）

（2）模型類：這需要預先作出設(shè)定，從實際系統(tǒng)中盡可能多的得到信息，確定相應的模型類（這與建模的目的有關(guān)）

（3）等價原則：在系統(tǒng)辨識中起著重要的作用，它直接反映了數(shù)學模型與實際系統(tǒng)之間的接近程度，反映這個程度的標量是“準則函數(shù)”

由系統(tǒng)辨識的定義可以看出，系統(tǒng)辨識問題的提法是有相當大的自由度，這種自由度表現(xiàn)在對象的模型之間的距離或準則函數(shù)的選擇上，在模型形式和結(jié)構(gòu)選擇上以及在激勵信號的選擇上。2.7.2數(shù)學模型實驗測定的主要方法

按照選擇的模型形式、激勵信號的方式的不同，數(shù)學模型實驗測定又可分為：時域方法，頻域方法，相關(guān)分析法。

系統(tǒng)辨識的方法存在許多與工程實際有關(guān)的問題，如數(shù)據(jù)的檢測、抗干擾問題、實時估計問題、參數(shù)辨識、結(jié)構(gòu)辨識……等等。這將在“系統(tǒng)辨識”課程的內(nèi)容中詳細地介紹。ch2小結(jié)主要概念：數(shù)學模型動態(tài)模型線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)（本質(zhì)非線性非本質(zhì)非線性線性化）傳遞函數(shù)：開環(huán)傳函，閉環(huán)傳函，誤差傳函，典型環(huán)節(jié)及其傳函特征多項式，控制系統(tǒng)的零、極點模型的種類：要求：1．掌握各類數(shù)學模型的表達形式2．掌握各類數(shù)學模型的定義、特點3．掌握各類數(shù)學模型的建立4．掌握各類數(shù)學模型的簡化5．掌握各類數(shù)學模型的之間的關(guān)系

第三章

線性系統(tǒng)的時域分析法

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173線性系統(tǒng)的時域分析法本章主要內(nèi)容：時域分析的提法（概念，時域性能指標）一階系統(tǒng)的分析（穩(wěn)定性分析穩(wěn)態(tài)分析動態(tài)分析）二階系統(tǒng)的分析（穩(wěn)定性分析穩(wěn)態(tài)分析動態(tài)分析）控制系統(tǒng)的一般分析（穩(wěn)定性分析穩(wěn)態(tài)分析動態(tài)分析）3.1時域分析的提法3.1.1時域分析的基本思想時域分析法是控制系統(tǒng)常用的一種分析方法。該方法直觀，容易理解。3.1.2時域分析問題的提法時域分析問題是指在時間域內(nèi)對系統(tǒng)的性能進行分析，是通過系統(tǒng)在典型信號作用下的時域響應，來建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)與系統(tǒng)的性能的定量關(guān)系。

穩(wěn)定穩(wěn)定性能系統(tǒng)的分析包括三個方面：穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)性能

動態(tài)動態(tài)性能3.1.3系統(tǒng)的時域響應系統(tǒng)的數(shù)學模型是微分方程描述時系統(tǒng)的數(shù)學模型是傳遞函數(shù)描當系統(tǒng)的數(shù)學模型是別的形式是，可轉(zhuǎn)化為上面兩種形式求解。上面的兩種形式是時域分析中常用的形式。3.1.4性能指標的時域描述（性能指標，性能指標的定量化）穩(wěn)定性描述

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是控制系統(tǒng)能正常工作的必要條件

控制系統(tǒng)在實際工況中，總會受到內(nèi)部和外界一部分因素的擾動。例如負載或能源的波動、系統(tǒng)參數(shù)的的變化、環(huán)境條件的改變等。對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，當其受到這些擾動，即使這些擾動很弱，持續(xù)時間很短，照樣會使系統(tǒng)中的各物理量偏離其原來的平衡點，并隨時間的增加而發(fā)散，以至在擾動消失后，系統(tǒng)也不會再恢復到原來的工作點，顯然不穩(wěn)定系統(tǒng)是無法工作的。

為了使控制系統(tǒng)受到擾動后仍能穩(wěn)定工作，需要分析并找出保證系統(tǒng)穩(wěn)定工作的條件。（這本身是系統(tǒng)分析的一個重要穩(wěn)態(tài)）

例子：擺的平衡點（穩(wěn)定的平衡點、不穩(wěn)定的平衡點、穩(wěn)定區(qū)域）

單擺和小球運動的這種穩(wěn)定概念，可以推廣于控制系統(tǒng)。假如系統(tǒng)具有一個平衡的穩(wěn)定工作狀態(tài)，如果系統(tǒng)受到有界擾動偏離了原平衡狀態(tài)，無論擾動引起的偏差有多大，當擾動消除后，看系統(tǒng)是否能回到原來的平衡狀態(tài)，若能，則認為系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

在分析線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時，我們關(guān)心的是系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，即系統(tǒng)方程在不受任何外界輸入下，方程的解在時的漸近行為?；蛘呦到y(tǒng)在某一給定輸入下，按一種方式運動，不受干擾的影響，既便有些偏離運動狀態(tài)，當干擾消除后，終能回到原運動狀態(tài)。在數(shù)學上，這種性質(zhì)表現(xiàn)為系統(tǒng)微分方程的齊次解，其通解稱為微分方程的一個運動。

平衡點的穩(wěn)定與運動狀態(tài)的穩(wěn)定嚴格的的說是有區(qū)別的，但可以證明，在線性系統(tǒng)中，它們是等價的。

線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義，常采用俄國學者李亞普諾夫在1892年給的定義。線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義：

若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之，若在初始擾動的影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定。

注：的物理概念是指加了擾動并消除（與前面擺的運動平衡點結(jié)合起來講。采用脈沖函數(shù)來模擬干擾主要是取其下沿。，也可以是方波，即加一段時間后又放掉）在數(shù)學上，上述對控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義的描述可轉(zhuǎn)化為這樣的數(shù)學表達式：若系統(tǒng)穩(wěn)定若系統(tǒng)不穩(wěn)定即：這也給出了控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷方法事實上，對于線性定常系統(tǒng)

正常工作輸入

干擾

在正常輸入上

迭加干擾信號系統(tǒng)穩(wěn)定時

即控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的深入分析后面專門介紹。穩(wěn)態(tài)性描述概念及定義：在時域分析法中，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能是指：時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)輸出的狀態(tài)，稱為系統(tǒng)的的穩(wěn)態(tài)響應。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應的優(yōu)劣程度，主要是看系統(tǒng)實際輸出狀態(tài)與希望輸出狀態(tài)之間的差距，及穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的大小是衡量系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標。穩(wěn)態(tài)誤差＝輸出量的期望值－輸出量的實際穩(wěn)態(tài)值數(shù)學描述控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu):

常用的有兩種定義穩(wěn)態(tài)誤差的方法:從輸入端定義的方法

C(s)=特殊地H(s)=1為單位反饋系統(tǒng)有E(s)=R(s)-

＝

＝R(s)

稱為系數(shù)誤差傳遞函數(shù)，反應了在輸入作用下，系統(tǒng)誤差的變化情況（與系統(tǒng)的開環(huán)傳函有關(guān)）.

2.從輸出端的定義方法E(s)-C(s)=R(s)-C(s)希望輸出的拉氏變換穩(wěn)態(tài)誤差的求取設(shè)系統(tǒng)的誤差=+誤差的暫態(tài)分量誤差的穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)誤差的求取：

(2)拉氏變換的終值定理＝＝使用終值定理時注意條。擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差如圖分析擾動N(s)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的影響。利用線性系統(tǒng)的迭加原理設(shè)R(s)＝0（特別注意：無論R(s)是否為零，誤差的定義仍然是E(s)=R(s)-B(s)）R(s)=0時E(s)=-B(s)=-H(s)C(s)由第二章的概念可得，由擾動引起的誤差傳遞函數(shù)：＝即E(s)=-＝N(s)注意：當擾動在不同處加入是，E(s)的表達式略有不同，但分析思路完全相同的。同時考慮輸入和擾動對系統(tǒng)的誤差，由線性系統(tǒng)可迭加性有：E(s)=R(s)+N(s)=-動態(tài)性描述反映系統(tǒng)動態(tài)過程的性能稱為系統(tǒng)的動態(tài)性能。描述系統(tǒng)動態(tài)性能的指標稱為動態(tài)指標。通常，對系統(tǒng)動態(tài)性能的描述約定為：以系統(tǒng)對單位階躍信號的響應為準，定義具體的指標，由于系統(tǒng)的響應與初始條件有關(guān)，為了便于比較，通常采樣標準初始條件（即零初始條件，亦在輸入加入以前，系統(tǒng)的輸出及輸出的各階導數(shù)均為零）不失一般性，設(shè)系統(tǒng)的單位階躍響應如圖：（1）延遲時間階躍響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值50％所需的時間。指輸入的穩(wěn)態(tài)值，對單位階躍為1。(2)上升時間響應從穩(wěn)態(tài)值的10％上升到穩(wěn)態(tài)值的90％所需的時間。（對過阻尼系統(tǒng)）或響應從穩(wěn)態(tài)值的5％上升到穩(wěn)態(tài)值的95％所需的時間。（對過阻尼系統(tǒng)）或響應從穩(wěn)態(tài)值的0％上升到穩(wěn)態(tài)值的100％所需的時間。（對欠阻尼系統(tǒng)）(3)峰值時間響應超過穩(wěn)態(tài)值，達到第一個峰值所需要的時間。(4)調(diào)節(jié)時間響應達到并停留在穩(wěn)態(tài)值的5％或2%誤差范圍內(nèi)所需的最小時間。(5)超調(diào)量設(shè)c()是在處的值，則(6)震蕩次數(shù)n響應曲線在時刻之前震蕩的次數(shù)，曲線與輸入穩(wěn)態(tài)值相交次數(shù)的一半。注意：性能指標按特征分為兩類：快速性指標,,,

振蕩性指標；,n若響應曲線無過調(diào)現(xiàn)象，則不定義。這時，c(t)1·％（t），記=0(超調(diào)量為零)最常用的的指標是，理論上，及指標指標是越小越好，但實際中是做不到的。3.2一階系統(tǒng)的分析

分析的思路：一階系統(tǒng)的數(shù)學描述

穩(wěn)定性

動態(tài)性

穩(wěn)態(tài)性

線性系統(tǒng)的重要結(jié)論：

一階系統(tǒng)的數(shù)學模型穩(wěn)定性分析()

由穩(wěn)定性的分析有：時控制系統(tǒng)穩(wěn)定,，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。本系統(tǒng)==]=即時系統(tǒng)穩(wěn)定3.2.2動態(tài)性分析容易求得：

＝0.69T=2.20T=不存在=4T(=2%)3T(=5%)%=0n=0特點：一階系統(tǒng)可以用時間常數(shù)T來度量系統(tǒng)的輸出值t0T2T3T4T……c(t)00.6320.8650.950.982……1響應曲線的初始斜率為1/T

T:一階系統(tǒng)的時間常數(shù)T小，1/T大，初始陡，上升快，小

T大，1/T小，初始平，上升慢，大根據(jù)一階系統(tǒng)的響應曲線可以求T常用的方法①0.632c()處，t＝T

②t＝0處曲線斜率k＝1/T3.2.3穩(wěn)態(tài)性分析00無差跟蹤10無差跟蹤有差跟蹤不能跟蹤3.2.4線性系統(tǒng)的重要結(jié)論(適合：線性定常)===有(t)===結(jié)論：系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應等于系統(tǒng)對輸入信號響應的導數(shù)同理：系統(tǒng)對輸入信號積分的響應等于系統(tǒng)對輸入信號響應的積分3.3二階系統(tǒng)的分析分析思路：二階系統(tǒng)的數(shù)學模型穩(wěn)定性分析動態(tài)性分析穩(wěn)態(tài)性分析3.3.1二階系統(tǒng)的數(shù)學模型一般表達式＝其中阻尼比：自然振蕩頻率（不失一般性設(shè)>0）方框圖形式：閉環(huán)形式開環(huán)形式特征方程=0可見二階系統(tǒng)的時間響應與有解二個參數(shù)有關(guān)對于不同的，有七種情況，這七種情況在s平面上分別為：3.3.2穩(wěn)定性分析有了二階系統(tǒng)模型后，對二階系統(tǒng)的分析歸結(jié)為

穩(wěn)定性動態(tài)性1(t)穩(wěn)態(tài)性,1(t),t,···

由微分方程解的知；當時特征方程的解具有正的實部。這時：(,為了分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性)

（由于所以）↖可見當時系統(tǒng)的脈沖響應是發(fā)散的，即系統(tǒng)不穩(wěn)定。分析其動態(tài)特性無意義。（對應圖中第1，2，3共三中情況）當時（稱為無阻尼系統(tǒng)）,C(t)其響應是等幅振蕩，系統(tǒng)不穩(wěn)定。由于不發(fā)散，稱為臨界穩(wěn)定。當時（欠阻尼系統(tǒng)）系統(tǒng)穩(wěn)定

為包絡(luò)當時（臨界阻尼系統(tǒng)）

c(t)

系統(tǒng)穩(wěn)定。

當時（過阻尼系統(tǒng)）系統(tǒng)穩(wěn)定。小結(jié)上面各種情況有如下結(jié)論：二階系統(tǒng)當時系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定?；蚨A系統(tǒng)特征多項式的系數(shù)均大于零（不能等于零，即不能缺項。），系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。（這一點從數(shù)學上十分容易看出）如……下面僅對的情況分析二階系統(tǒng)的動態(tài)性及穩(wěn)定性。3.3.2.臨界阻尼系統(tǒng)(=1)

由c(t)可得，有（t=0）(這一點與一階系統(tǒng)有別)(t)>0（t>0）(c(t)單調(diào)上升)()=0（t）e(t)=r(t)-c(t)=e=二階臨界系統(tǒng)能夠無差地跟蹤階躍信號。計算動態(tài)指標：由c(t)曲線可知，這里只需計算，td,t,t，%=0,t不定義，n=0延遲時間的計算由定義即設(shè)有e(1+x)=0.5x1.68,td=上升時間的計算由定義，設(shè)，，解：由得：,,由得：,,過渡過程時間的計算由于單調(diào)，由定義由上:3.3.3.(過阻尼情況)

=1-+

=1-+(=)

=1-(=)

=1-

=1+

（

C(t)1

二階過阻尼系統(tǒng)能無差地跟蹤階躍信號性能指標的計算由的曲線知，不定義，的計算由定義

可有：3.3.3動態(tài)性分析

分析思路：↙由性能指標的定義求

%

有三中方法求(1)求解微分方程

(2)利用拉氏反變換

(3)由的響應的積分（利用線性系統(tǒng)的結(jié)論）

由前面穩(wěn)定性的分析結(jié)論，

對二階系統(tǒng)動態(tài)性能的分析只需分析的情況。

3.3.1.（欠阻尼系統(tǒng)）

()

()

()誤差：有即：二階系統(tǒng)（欠阻尼）能夠無差地跟蹤階躍信號。計算%.（性能指標的求?。┭舆t時間的計算：由的定義知：，代入的表達式有：

(即)這是一個含有的隱函數(shù)的表達式，整理有：利用數(shù)值解釋與的關(guān)系曲線如圖：在內(nèi)近似地有=

有的書上介紹=

也是近似值。上升時間的計算這里討論的是欠阻尼情況，按的定義是由01的所用的時間即由定義時有即因為，e0，即有:

，(,)

,(

峰值時間的計算根據(jù)的定義知：由

有注意到，有，即有=0,,2,3……因為:出現(xiàn)在的第一個t值上.故,取=,即=調(diào)節(jié)時間的計算由的定義有：,(t,誤差帶=(0.02~0.05))所以,t時因為：所以,取,物理意義是指,取其包絡(luò)可求得,tln=0.02時，t，=0.05時，t，,(有時取)最大超調(diào)量%的取值定義：%=%

注意:%僅與有關(guān),與無關(guān).大%小.一般地，取=0.4~0.8,這時%=25%~2.5%3.3.4穩(wěn)態(tài)分析分析方法及思路由前面的分析對于穩(wěn)定的二階系統(tǒng)均能無差地跟蹤階躍響應信號時時有=

表明：二階大阻尼系統(tǒng)跟蹤斜坡信號（速度信號）時，穩(wěn)態(tài)誤差是一個常數(shù)，即，其數(shù)值與成正比，與成反比小的阻尼比可得到小的，但又大了，工程中綜合考慮，采用控制。時

同上時同前

小結(jié)：二階系統(tǒng)對速度信號的響應存在一個恒定的穩(wěn)態(tài)誤差。

D.E：為,的函數(shù)表達式

小結(jié)：二階系統(tǒng)對加速度信號的響應的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮。即：不能跟蹤加速度信號。注：不等于不穩(wěn)定完全是兩個不同的概念。總：二階系統(tǒng)的分析結(jié)果控制系統(tǒng)的一般分析：指穩(wěn)定，穩(wěn)態(tài)，動態(tài)三方面的分析，分三節(jié)講3.4.1控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

對于線性定常系統(tǒng)，階數(shù)越高系統(tǒng)越復雜。由于數(shù)學表達式上的復雜，分析和計算都十分不方便，以前通常將三階以上的系統(tǒng)稱為高階（含或不含三階）系統(tǒng)，現(xiàn)在隨著計算技術(shù)的發(fā)展，計算機的普及，高階系統(tǒng)的計算不再是一個十分困難的事。但工程中為了抓住系統(tǒng)的主要因素，有時也采用一些近似的處理方法?？刂葡到y(tǒng)的一般模型=(物理可實現(xiàn))其中：分別為零，極點可以是實數(shù)，可以是零，也可以是虛數(shù)。3.4.2控制系統(tǒng)的階躍響應●如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點各不相同，且均系不為零的實數(shù)。這時，當時，具有這樣的形式其中，是實數(shù)，可由留數(shù)求得取其反變換●如果系統(tǒng)的閉環(huán)極點各不相同，具有不為零的實數(shù)極點和復數(shù)極點這時其中，q+2r=nmn當時，具有這樣的形式取其拉氏反變換有●如系統(tǒng)含有相同的極點，其階躍響應更復雜一些，求取的方法是相同的，實際系統(tǒng)中大多數(shù)是互不相同的極點上述的階躍響應表達式表明，系統(tǒng)（高階系統(tǒng)）的階躍響應含有指數(shù)函數(shù)分量和含有指數(shù)函數(shù)包絡(luò)的正余弦分量。利用計算機技術(shù)和好的仿真軟件，計算的數(shù)字解是十分容易的。3.4.3動態(tài)性能指標的計算當?shù)谋磉_式復雜時，利用定義求動態(tài)指標是十分困難的。對于三階系統(tǒng)有這樣的結(jié)論（過程略）振蕩的三階系統(tǒng)（具有一對共軛復數(shù)極點）不含零點的情況（）（）（當較更靠近虛軸時會出現(xiàn)此種情況）含零點的情況（c<）非振蕩三階系統(tǒng)（均系實數(shù)極點，且穩(wěn)定）

無零點的情況

有零點的情況()↖的作用大于的作用還有若干情況不一一列舉在實際工程設(shè)計中，對于高階系統(tǒng)采用數(shù)字仿真的方法十分有效，在程序中按照指標的定義判斷計算即可。3.4.4控制系統(tǒng)的主導極點，偶極子對

對于實際的系統(tǒng)，其極點，零點的分布具有多種的形式，這由具體系統(tǒng)的參數(shù)，結(jié)構(gòu)確定。有的距實軸遠，有的距實軸近，有的距虛軸遠，有的距虛軸近，極點的位置反映了系統(tǒng)相應的狀態(tài)，動態(tài)性能的好壞。先看幾個例：現(xiàn)象：T大小極點靠近虛軸大響應慢T小，有相反的情況②二階系統(tǒng)

響應速度取決于包絡(luò)：大極點離虛軸遠振蕩的頻率（振蕩性能）：③高階系統(tǒng)極點互不相同的事實上，它是由若干一階系統(tǒng)的響應和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應線性迭加而成。

當系統(tǒng)的極點遠離虛軸時，其對應的暫態(tài)分量衰減很快，對系統(tǒng)的響應速度影響很小。

由上，零點的位置（的大小）影響的是這些幅值，與響應形態(tài)關(guān)系不大。

由上面的分析可見，影響系統(tǒng)動態(tài)性能的關(guān)鍵是系統(tǒng)的極點，在系統(tǒng)的各個極點中，又以距虛軸近，和距實軸遠的極點為重中之重。

在高階系統(tǒng)的分析中，將由于不同極點引起系統(tǒng)響應的不同分量中的主要分量對應的極點稱為主導極點，在高階系統(tǒng)中抓住了主導極點也就抓住了主要矛盾。

在上面的分析中又知道，距離虛軸近的極點是系統(tǒng)的關(guān)鍵點，因此在控制系統(tǒng)的分析中，將距離虛軸近的極點（且其它極點相對較遠，同時近的這些極點附近沒有零點），稱為系統(tǒng)的主導極點。

在判斷系統(tǒng)主導極點時要注意的三點很重要：其它極點相對較近，若距離較近，對系統(tǒng)的影響相差不大，無法區(qū)分主次。極點附近應沒有零點，從數(shù)學表達式看極點在分母，零點在分子，正好是相反的作用，相距較近時數(shù)學上可抵消，工程中作用也相反。一個實際系統(tǒng)的主導極點可以是一個，兩個或數(shù)個。這要視具體系統(tǒng)的具體情況。主導極點也可以是實數(shù)復數(shù)。

偶極子對：是指若在某一極點的附近同時存在一個零點，而在該零點，極點的附近又無其它的零點或極點。就稱這個極點和這個零點為一個偶極子對。由于零極點在數(shù)學上位置分別是傳函的分子分母，工程實際中作用又相反，因此在近似的處理上可相消，近似地認識其對系統(tǒng)的作用相互抵消了。有了主導極點和偶極子對的概念后，對于高階系統(tǒng)的分析，在誤差精度允許的情況下，可將高階系統(tǒng)的主導極點分析出來，利用主導極點來分析系統(tǒng)，相當于降低了系統(tǒng)的階數(shù)，給分析帶來方便。設(shè)某系統(tǒng)（高階）的輸出的拉氏變換為其中，均是S的多項式，設(shè)系統(tǒng)有一對共軛復數(shù)的主導極點，此時,其中有其它零極點的綜合影響主導極點的結(jié)果其它零極點的綜合影響若是實數(shù)不是復數(shù)，可相應地求的拉氏反變換。經(jīng)系統(tǒng)的主導極點，偶極子對的分析后，高階系統(tǒng)可化減，一般地當作為主導極點的極點與非主導極點在與虛軸的距離3倍以上時，這樣簡化就能保證一定的精度，有的這個倍數(shù)還要小。簡化后系統(tǒng)的動態(tài)性能指標求取的方法仍然按動態(tài)指標的定義求，即先求系統(tǒng)的階躍響應，然后在進行指標的計算。補充：在分析系統(tǒng)的偶極子對時要注意相應的倍數(shù)關(guān)系，如(100倍的關(guān)系)例：對上面高階系統(tǒng)具有二個共軛復數(shù)的主導極點時性能指標求取如下：峰值時間的計算對求導并令其為零，有

=arctg(-)(*)其中

=

（*）式有得零點對的影響非主導極點的影響

“+”號，

大減慢

小，加速，越小，越明顯若m=0(無零點)，n=2(無其它極點)與前面的二階欠阻尼一致（2）超調(diào)量的計算由由的表達式及c()=1有由（*）式可推得：又由前設(shè)，在系統(tǒng)穩(wěn)定且無差（對階躍響應）的條件下有

，即

，注意到，(共軛)最后整理有：，該式第一部分是由非主導極點的影響，,使減小，可增大阻尼系數(shù)；第二部分是零點的影響，，使增大，可減小阻尼系數(shù)。（3）調(diào)節(jié)時間的計算

，()由定義：，↖包絡(luò)

，整理有，第一部分是非主導極點的影響，，，第二部分是零點的影響，，影響大，，對任何系統(tǒng)（高階）均可采用上面的方法去分析其動態(tài)性能。3.3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性的概念線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件代數(shù)判據(jù)（一般情況，特殊情況，勞斯，赫爾維茨）勞斯判據(jù)的應用（確定穩(wěn)定域判斷穩(wěn)定性，求系統(tǒng)的極點，設(shè)計系統(tǒng)中的參數(shù)穩(wěn)定性的概念分析小球平衡點的穩(wěn)定性

定義：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱穩(wěn)定。反之，若在初始擾動的影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱該系統(tǒng)不穩(wěn)定。理解：線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件設(shè)系統(tǒng)的微分方程模型為：分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性是分析在擾動的作用下，當擾動消失后系統(tǒng)是否能回到原來的平衡狀態(tài)的性能，亦系統(tǒng)在作用下的性能，亦與系統(tǒng)的輸入信號無關(guān)，只與系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)有關(guān)。對上述微分方程描述的系統(tǒng)亦只與等式的左端有關(guān)，而與右端無關(guān)，亦：系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由下列齊次方程所決定：其穩(wěn)定性可轉(zhuǎn)化為上述齊次方程的解c(t)若則系統(tǒng)穩(wěn)定，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。分析齊次方程的解的特征。由微分方程解的知識，上述方程對應的特征多項式為：設(shè)該方程有k個實根（i＝1，2，…k）r對復根（i＝1，2，…r）k＋2r＝n且各根互異（具有相同的根時分析方法相同，推導稍繁瑣）則上述齊次方程的一般解為：其中為常數(shù)，由式中的決定，分析可見：只有當時，否則。注：只能是小于零，等于或大于均不行。等于零的情況為臨界穩(wěn)定，屬不穩(wěn)定。綜:線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件（iff）是：其特征方程式的所有根均為負實數(shù)或具有負的實部。亦：特征方程的根均在根平面（復平面、s平面）的左半部。亦：系統(tǒng)的極點位于根平面（復平面、s平面）的左半部。從上面的充要條件可以看出：系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷只需計算上系統(tǒng)的極點，看其在s平面上的位置，勿需去計算齊次方程的解（當系統(tǒng)復雜時的計算可能很繁），勿需去計算系統(tǒng)的脈沖響應。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件設(shè)系統(tǒng)特征方程式中所有系數(shù)均為實數(shù)，并設(shè)（若，對特征方程兩端乘（－1）），可以證明上述特征方程中所有系數(shù)均大于零（即）是該特征方程所有根在s平面的左半平面的必要條件。也就是說，（）特征根有可能在左半s平面，否則（）特征根中有在虛軸上或右半平面的。證明：設(shè)有n個根k個實根（i＝1，2，…k）r對復根（i＝1，2，…r）k＋2r＝n則逐一展開看系數(shù)即可。例：F(s)=a0(s-λ1)(s-λ2)λ1<0

=a0s2-a0(λ1+λ2)s+a0λ1λ2λ2<0

a1>1a2>1-(λ1+λ2)>0λ1λ2>0

F(s)=a0(s-λ1)[（s-σ1）2+ω12]

=a0[s3-(2σ1+λ1)s2+(σ12+ω12+2λ1σ1)s-λ1(σ12+ω12)]

=a0s3-a0(2σ1+λ1)s2+a0(σ12+ω12+2λ1σ1)s-a0λ1(σ12+ω12)

a1>1a2>1a3>1以此類推。根據(jù)這條原則，在判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時，可事先檢查一下系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否均為正。注意：此條件僅為必要條件，非充分條件一定要均大于零，不能等于（缺項）或小于零。3.5.4代數(shù)判據(jù)勞斯判據(jù)勞斯判據(jù)是1877年Roth提出來的一種代數(shù)判據(jù)，只介紹方法不證明，證明涉及到高等代數(shù)的理論。勞斯判據(jù)的三個步驟：①列寫系統(tǒng)的特征方程式；②列寫勞斯表；③根據(jù)勞斯表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。⑴系統(tǒng)的特征方程⑵勞斯表

a0a2a4……

a1a3a5……

b1b2b3……

c1c2c3……

…

…

…

表中

……勞斯表中，可以證明：將某一行中所有元素同時乘以某一正數(shù)，不影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性的判斷。（這樣處理往往可以簡化計算）定性的判斷若勞斯表中第一列的各元素的符號均為正，則特征方程的所有根位于左半s平面，即系統(tǒng)穩(wěn)定。若勞斯表中第一列中存在著零元素或小于零的元素，系統(tǒng)則不穩(wěn)定，勞斯表中第一列符號變化的次數(shù)即是系統(tǒng)在右半平面的極點個數(shù)。遞推的勞斯判據(jù)與勞斯判據(jù)的思路和方法完全相同，僅只是在總結(jié)勞斯表的列寫上，歸納出下面的遞推形式，便于計算機處理或計算。

通項=-i=1,2,…n-1;j=2,4,6…偶數(shù)

判斷：表中若第一列的數(shù)，即（I=0，1，2，3…，n-1）均大于零時系統(tǒng)穩(wěn)定。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列變符號的次數(shù)表明了系統(tǒng)在右半平面的極點個數(shù)赫爾維茨判據(jù)（勞斯—赫爾維茨判據(jù)）設(shè)系統(tǒng)的特征方程F（s）=++…++=0;構(gòu)造赫爾維茨行列式：Δ=判斷：若Δ的順序主子式Δ（i=1，2，…n）全部為正，系統(tǒng)穩(wěn)定即Δ=>0

Δ==>0

Δ==

對于低階系統(tǒng)該方法是極其方便的。n=2（二階）時各項系數(shù)均為正時系統(tǒng)穩(wěn)定n=3（三階）時各項系數(shù)均為正且>0即>例：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為+6+12+11+6=0滿足穩(wěn)定的必要條件勞斯表

1126

611

61/66（取6136）

455/61（取455）

36判斷第一列均>0，系統(tǒng)穩(wěn)定事實上該方程F（s）=+6+12+11+6=(s+2)(s+3)(+s+1)極點，，例：設(shè)系統(tǒng)的特征方程為+3+2++5+6=0勞斯表

125

316

5/33（取59）

-22/56（取-1115）

174/11（取1）

15由第一列的符號可知系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有二個在右半平面的極點。因為第一列中1→3→→→→15，有兩次變號。勞斯判據(jù)中的兩種特殊情況(1)勞斯表中某一行的第一個數(shù)出現(xiàn)0，其余不為0或沒有（這是因為虛軸上的極點所致）法一：這時系統(tǒng)不穩(wěn)定，若要繼續(xù)分析根的分布，可以用一個小的整數(shù)ε代替零。例：特征多項式F（s）=+3++3+1勞斯表

111

33

0(+ε)1

3-3/ε（取-1）

1系統(tǒng)不穩(wěn)定，符號變化二次，系統(tǒng)有二個右半平面的根。法二：在已有的特征式上乘以一個（s+a）其中a>0任意，這是一個穩(wěn)定的極點，乘上去不改變原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但改變了原特征式的系數(shù)，使勞斯表中不出現(xiàn)零。例：同上F（s）（s+a）=（+6+12+11+6）（s+a）=+(3+a)+(3a+1)+(3+a)+(3a+1)+a(取a=1)=+4+4+4+4+1勞斯表：

144

441

3+15/4(取1215)

1/41(取14)

s

-33(取-1)

4系統(tǒng)不穩(wěn)定，符號變化兩次。(2)勞斯表中出現(xiàn)全為0的行這種情況表明在s平面內(nèi)存在大小相等，但是位置徑向相反的極點，即存在大小相等符合相反的實根或一對共軛虛根，或者是對稱實軸的兩對共軛復根。處理的方法是利用出現(xiàn)全零行的上一行的元素構(gòu)成輔助方程，利用輔助方程的導數(shù)的系數(shù)代替原來全零行的系數(shù)。繼續(xù)計算勞