23直線的交點(diǎn)與距離公式（精講）

2.3直線的交點(diǎn)與距離公式（精講）考點(diǎn)一直線的交點(diǎn)【例11】（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由解得，則直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.【例12】（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））已知直線，，則過和的交點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于所求出直線與直線垂直，所以設(shè)所求直線為，由，得，即和的交點(diǎn)為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，得，所以所求直線方程為，故選：D【例13】（2022·江蘇·高二）直線x+ky=0和2x+3y+8=0的交點(diǎn)為A，且A在直線xy1=0上，則k的值是（

）A． B． C．2 D．2【答案】A【解析】由，解得，即兩直線2x+3y+8=0和xy1=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(1，2)．∵直線x+ky=0，2x+3y+8=0和xy1=0交于一點(diǎn)A，∴12k=0，∴k=，故選；A．【例14】（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線和相交，且交點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍為____．【答案】【解析】當(dāng)，直線和平行，不滿足題意，故，此時(shí)聯(lián)立方程，解得，因?yàn)榻稽c(diǎn)在第二象限，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：【一隅三反】1．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，可得，則兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)為故選：A2．（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，并且平行于直線的直線的一般式方程為______．【答案】【解析】由解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，由平行于直線可得斜率為1，故方程為，化為一般方程為.故答案為：.3．（2022·江蘇·高二）經(jīng)過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為_______．【答案】【解析】由，解得，即直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)與直線垂直的直線方程為，則，解得，所以直線方程為；故答案為：考點(diǎn)二直線的三種距離【例21】（1）（2021·福建三明·高二期中）已知直線：與直線：的交點(diǎn)為，則點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為（

） B． C． D．（2）（2022·江蘇宿遷·高二期末）直線與直線交于點(diǎn)Q，m是實(shí)數(shù)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值是（

）A．2 B． C． D．4【答案】（1）D（2）B【解析】（1）聯(lián)立方程，解得，所以，所以故選：D（2）因?yàn)榕c的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值是，故選：B.【例22】（1）（2022·海南·?？谑协偵饺A僑中學(xué)高二階段練習(xí)）直線與直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（

） B． C． D．（2）（2022·湖南·周南中學(xué)高二期末）已知點(diǎn)在直線上的運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）A【解析】（1）聯(lián)立，解得，故,所以點(diǎn)到直線的距離為，故選：B.（2）表示點(diǎn)與距離的平方，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的最小值為．故選：A【例23】（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【解析】由直線平行可得，解得，則直線方程為，即，則距離是.故選：D.【一隅三反】1．（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知A（﹣2，﹣1），B（2，5），則|AB|等于（）A．4 B． C．6 D．【答案】D【解析】因?yàn)锳（﹣2，﹣1），B（2，5），所以|AB|.故選：D.2．（2022·四川巴中）點(diǎn)（1，1）到直線的距離為（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】點(diǎn)到直線的距離為，故選：A.3．（2021·廣東·佛山一中高二階段練習(xí)）若點(diǎn)到直線：的距離為3，則（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】B【解析】由題設(shè)可得，結(jié)合可得，故選：B.4．（2022·西藏昌都）兩條平行直線與之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€與直線平行,所以,解得,將化為,所以兩平行直線與之間的距離為.故選：C5．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知x，y∈R，，則S的最小值是（

）A．0 B．2 C．4 D．【答案】B【解析】表示點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)A(－1，0)與點(diǎn)B(1，0)的距離之和，如圖所示：由圖象知：，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，等號(hào)成立，所以S取得最小值為2．故選：B6．（2022·四川巴中）當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時(shí)，直線到直線的距離的最大值是______.【答案】【解析】由可得過定點(diǎn)，由可得過定點(diǎn).又兩直線斜率相等，可知兩直線平行且垂直于時(shí)，距離最大，最大值即為兩點(diǎn)間的距離.故答案為：.考點(diǎn)三對(duì)稱問題【例31】（2021·全國·高二專題練習(xí)）點(diǎn)A（5，8），B（4，1），則A點(diǎn)關(guān)于B點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為__．【答案】【解析】設(shè)C（x，y），由A（5，8），B（4，1）且B點(diǎn)是A，C的中點(diǎn)，所以，解得．所以C的坐標(biāo)為．故答案為：【例32】（2022·安徽宿州）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，所以故選：B【例33】（2022·江蘇·高二）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)對(duì)稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.故選：D.【例34】5（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線，則直線l關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是______.【答案】【解析】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的直線上的點(diǎn)為，它的對(duì)稱點(diǎn)為：，因此有，則在直線上，所以，即．故答案為：【一隅三反】1．（2022·江西）已知點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是______.【答案】【解析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，且．解得，，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．故答案為：2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．【答案】【解析】設(shè)原點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得．要求的點(diǎn)()．故答案為：．3．（2022·江蘇無錫·高二期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0,4）關(guān)于直線x－y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為（）A．(－1,2) B．(2,－1) C．(1,3) D．(3,1)【答案】D【解析】設(shè)點(diǎn)(0,4)關(guān)于直線x－y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)是(a,b),則，解得：，故選：D．4．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線方程是______．【答案】【解析】設(shè)對(duì)稱直線為，則有，解這個(gè)方程得（舍）或.所以對(duì)稱直線的方程中故答案為：考點(diǎn)四綜合運(yùn)用【例41】（2022·全國·高二）過定點(diǎn)A的直線與過定點(diǎn)B的直線交于點(diǎn)，則的值為（

）A． B．10 C． D．20【答案】B【解析】直線過定點(diǎn)，直線可化為，由可得，所以定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線方程為，，此時(shí)兩直線垂直，當(dāng)時(shí)，由兩直線的斜率之積為可知兩直線垂直，所以，所以，故選：B.【例42】（2021·全國·高二課時(shí)練習(xí)）以點(diǎn)A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)為頂點(diǎn)的三角形是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．以上都不是【答案】C【解析】，，，，所以三角形是直角三角形.故選：C【一隅三反】1．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)?，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值為___________.【答案】【解析】因?yàn)殛P(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則,所以的最小值為.故答案為：2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知、，若A與B到直線l的距離都為2，則滿足條件的直線l有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【解析】，，所以，且的中點(diǎn)為，若直線過的中點(diǎn)，顯然直線的斜率存在，設(shè)直線為，即，則到直線的距離，即，解得或；所以直線為或；若直線與平行，設(shè)直線為