數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)基本不等式（一）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、利用基本不等式證明不等式【例1】a，b，c∈R，求證:a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a思路分析:由于a4+b4≥2a2b2，說(shuō)明了運(yùn)用基本不等式,可以找到左式與中間式的關(guān)系.同樣地,a2b2+b2c2≥2ab2c,而ab證明：∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2，c4+a4≥2a2∴2（a4+b4+c4)≥2（a2b2+b2c2+c2a即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a又∵a2b2+b2c2≥2ab2b2c2+c2a2≥2bcc2a2+a2b2≥2a2∴2（a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+bc2即a2b2+b2c2+c2a以上各式當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。溫馨提示在證明不等式的一些題目時(shí),若有和大于或等于積的形式，可考慮用均值不等式來(lái)證明，有時(shí)需要多次使用基本不等式才能解決問(wèn)題。本題中，字母a，b,c是可輪換的(即a→b，b→c,c→a式子不變)，這稱為輪換對(duì)稱式,輪換對(duì)稱式的證明都可用此技巧.各個(gè)擊破類題演練1已知a,b，c∈(0，+∞）,求證：≥a+b+c。證明:∵a，b,c∈（0，+∞）,∴=2a.①同理，=2b，②=2c,③∴()+(a+b+c）≥2(a+b+c）?！唷輆+b+c.變式提升1設(shè)a,b，c為不全相等的正數(shù)，求證：>3.證明：左式=(+)+(）+（)-3,∵+≥2,)≥2≥2，又a,b，c為不全相等的正數(shù)，故等號(hào)不可能同時(shí)取得，∴(+）+（）+(）>6。因此原不等式成立。二、利用基本不等式證明條件不等式【例2】已知x,y〉0，且x+y=1,求證:（1+）（1+）≥9.思路分析:最突出的一點(diǎn)，要證的不等式中有四個(gè)“1”，而已知條件x+y=1,又一個(gè)“1”，如何用好這些“1”呢?證法一：(1+）（1+）=1+++=1+=3+=3+=5+2（）≥5+2×=9?！嘣坏仁匠闪?。證法二：(1+)(1+)=∴原不等式成立.證法三:設(shè)x=cos2θ,y=sin2θ，θ∈(0,）,∴(1+）(1+）=（2+tan2θ）(2+cot2θ）=5+2（tan2θ+cot2θ)≥5+2×=9。溫馨提示在運(yùn)用基本不等式時(shí)，活用“1”,巧用“1"，解法就會(huì)非常簡(jiǎn)潔。類題演練2已知x>0，y>0，且x+4y=1,求證：（1)=8+;(2)≥16.證明：(1)∵x+4y=1,∴=8+，即=8+；。(2）法一：∵x>0，y>0，且由（1)可知=16,即有≥16.法二:∵x>0，y>0,x+4y=1,∴≥，x+4y≥.∴（）（x+4y）≥16·=16.∴≥16。變式提升2已知a>0,b〉0，a+b=1，求證:≤2。證明:∵，,∴≤（1+a++1+b+)=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)取等號(hào).∴原不等式成立.三、利用基本不等式解決某些綜合問(wèn)題【例3】設(shè)a>0,a≠1,t〉0,試比較logat與loga的大小。思路分析:兩式先化為同底對(duì)數(shù)loga與loga，由于t〉0,應(yīng)用均值不等式知≥，下一步只要運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的單調(diào)性,就可以比較它們的大小了。解：∵t>0，由均值不等式得≥,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào).當(dāng)t=1時(shí)，loga=loga，即loga=logat;當(dāng)0<t≠1時(shí)，〉.當(dāng)0〈a<1時(shí),函數(shù)y=logax是減函數(shù)，∴l(xiāng)oga〈loga,即loga<logat；當(dāng)a〉1時(shí)，函數(shù)y=logax是增函數(shù),∴l(xiāng)oga〉loga，即loga>logat.綜上所述，當(dāng)0<a〈1時(shí)，logat≥loga；當(dāng)a>1時(shí)，logat≤loga。溫馨提示函數(shù)式的大小比較，除了利用求差比較法或均值不等式定理比較之外,還要注意應(yīng)用函數(shù)的重要性質(zhì)-—單調(diào)性.指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)因底數(shù)范圍不同,而單調(diào)性不同,要注意分類討論。類題演練3已知x,y,z是互不相等的正數(shù)，且x+y+z=1。試比較（-1)（-1）(—1）與8的大小關(guān)系。解析：—1=,-1=，-1=，∴(-1）（-1）（-1）==8.∵x,y,z是互不相等的正數(shù)，∴上式中取不到等號(hào)，即（-1）(-1）(—1)〉8.變式提升3已知關(guān)于x的方程loga(x-3）=—1+loga(x+2)+loga(x—1)有實(shí)根,求實(shí)數(shù)