數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。（1)y=x4-2x2+6;(2）y=-lnx+2x2。思路分析：求出導(dǎo)數(shù)y′,分別令y′>0或y′<0,解出x的取值范圍，便可得出單調(diào)區(qū)間.解：（1)y′=4x3—4x，令y′〉0,即4x3—4x>0，解得—1<x<0或x>1，所以單調(diào)增區(qū)間為（—1，0)和（1，+∞）。令y′〈0，解得x<—1或0<x<1，因此單調(diào)減區(qū)間為(—∞,—1)和(0,1)。（2)y′=4x—,令y′〉0，即4x->0,解得-〈x〈0或x>;令y′〈0,即4x-<0，解得x<—或0<x<.∵定義域?yàn)閤>0,∴單調(diào)增區(qū)間為（,+∞)，單調(diào)減區(qū)間為（0,)。溫馨提示在求單調(diào)區(qū)間時(shí)，一定要在定義域內(nèi)考慮。二、函數(shù)單調(diào)性的逆向應(yīng)用【例2】若函數(shù)f（x)=+(a—1）x+1在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù),在區(qū)間(6,+∞)上為增函數(shù),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析:函數(shù)f(x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=x2-ax+a—1。令f′（x)=0,解得x=1或x=a—1.當(dāng)a—1≤1,即a≤2時(shí),函數(shù)f（x）在(1，+∞)上為增函數(shù)，不合題意。當(dāng)a-1>1,即a>2時(shí)，函數(shù)f（x)在(-∞，1）上為增函數(shù)，在（1，a-1）內(nèi)為減函數(shù)，在（a-1，+∞）上為增函數(shù)。依題意應(yīng)有當(dāng)x∈(1，4）時(shí)，f′（x)〈0;當(dāng)x∈（6，+∞)時(shí)，f′(x）〉0.所以4≤a-1≤6，解得5≤a≤7。所以a的取值范圍是［5，7］。溫馨提示本題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.三、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式【例3】當(dāng)x∈(0,)時(shí),證明tanx〉x。思路分析:首先構(gòu)造函數(shù)f(x)=tanx—x,然后判斷f(x)在（0，）上的單調(diào)性.證明:設(shè)f(x）=tanx-x，x∈(0，）?！鄁′（x)=(∴f(x)在(0，）上為增函數(shù).又∵f(x)=tanx—x在x=0處可導(dǎo)且f（0)=0，∴當(dāng)x∈（0,）時(shí),f（x）〉f（0)恒成立,即tanx—x〉0，∴tanx>x。溫馨提示對(duì)于tanx的導(dǎo)數(shù),沒有導(dǎo)數(shù)公式可用，可先變換成sinx、cosx的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)運(yùn)算法則求導(dǎo)。各個(gè)擊破類題演練1證明函數(shù)f(x）=ex+e—x在［0,+∞)上是增函數(shù).證明：f′（x)=（ex)′+()′=ex+（—）=ex—e-x=,∵當(dāng)x∈［0,+∞)時(shí)，ex≥1，∴f′（x）≥0?！鄁(x)=ex+e—x在［0，+∞)上為增函數(shù)。變式提升1設(shè)f(x）=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間。解：f′(x)=3ax2+1。若a〉0,f′(x)>0對(duì)x∈（—∞，+∞）恒成立，此時(shí)f（x)只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，與已知矛盾，若a=0，f′（x)=1>0，∴x∈(—∞，+∞），f(x）也只有一個(gè)單調(diào)區(qū)間，與已知矛盾，若a〈0，∵f′（x）=3a，此時(shí)f（x)恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間；即單調(diào)減區(qū)間(—∞,-）、（，+∞)和單調(diào)增區(qū)間（-,）.因此，a的取值范圍是（-∞,0)。類題演練2函數(shù)y=f（x）的圖象過原點(diǎn)且它的導(dǎo)函數(shù)g=f′(x）的圖象是如圖所示的一條直線，則y=f(x）圖象的頂點(diǎn)在(）A。第Ⅰ象限 B.第Ⅱ象限C.第Ⅲ象限 D.第Ⅳ象限解:設(shè)g=f′(x)=kx+b(k<0,b>0），則y=f(x）=ax2+bx+c;則f′（x）=2ax+b,由此可知a〈0，b>0，又因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x）圖象過原點(diǎn)，所以c=0，故y=ax2+bx+c的頂點(diǎn):x=—>0,y=>0,故選A.答案：A變式提升2當(dāng)a取何值時(shí)，函數(shù)f（x)=x3+（a—1)x2+2x+1在區(qū)間（-∞,+∞)內(nèi)是增函數(shù)？解:f′（x）=(a2-1）x2+2(a-1）x+2因?yàn)閒(x)在（—∞，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，∴f′(x)=(a2-1)x2+2（a—1)x+2≥0恒成立.當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=2>0，恒成立。當(dāng)a=-1時(shí),f′（x)=—4x+2,f′(x）≥0不恒成立。當(dāng)a≠±1時(shí)，應(yīng)有解得a〉1或a≤—3綜上可知a≥1或a≤-3。類題演練3求證：2>3-（x>1）證明：令f(x)=2—3+,則f′（x)=。∵x>1時(shí)，x2〉x>0.∴∴f′（x)=〉0。∴f（x）在(1,+∞）上為增函數(shù).∴當(dāng)x〉1時(shí)，f(x)>f（1）=2—3+1=0?！喈?dāng)x>1時(shí)，2〉3-。變式提升3x≠0，求證ex>1+x證明:令f(x)=ex—1-x,f（0）=e0-1-0=0,f′(x)=ex—1。①當(dāng)x>0時(shí),f′（x）=ex—1〉0，即f（x）在（0，+∞)上為增函數(shù)，∴f（x)〉f（0