控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們知道，自動(dòng)控制理論是研究自動(dòng)控制系統(tǒng)三方面性能的基本理論。

設(shè)控制系統(tǒng)控制系統(tǒng)輸入輸出加上輸入信號(hào)tr(t)0tc(t)0求出輸出響應(yīng)根據(jù)輸出響應(yīng)即可分析系統(tǒng)的性能。

怎樣根據(jù)輸入信號(hào)求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)？

如果知道控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型就可求出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。

分析系統(tǒng)性能的第一步就是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，這是第二章的主要內(nèi)容。數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型反映了系統(tǒng)各變量之間的關(guān)系。常用的數(shù)學(xué)模型：(2)微分方程(3)傳遞函數(shù)(4)頻率特性(1)代數(shù)方程(5)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

其中微分方程是最基本的，其它可以通過(guò)微分方程求得。建立微分方程的方法：(1)解析法(2)實(shí)驗(yàn)法這一章介紹解析法。補(bǔ)充：控制系統(tǒng)的微分方程第二節(jié)傳遞函數(shù)第三節(jié)傳遞函數(shù)的方框圖表示及運(yùn)算第四節(jié)信號(hào)流圖及梅遜公式第五節(jié)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB表示

第一節(jié)拉普拉斯變換第二章：控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型補(bǔ)充：控制系統(tǒng)的微分方程一、建立微分方程的一般步驟二、常見(jiàn)環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的微分方程的建立三、線性微分方程式的求解上一目錄第二章：控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）

確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。一、建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟

一個(gè)系統(tǒng)通常是由一些環(huán)節(jié)連接而成的，將系統(tǒng)中的每個(gè)環(huán)節(jié)的微分方程求出來(lái)，便可求出整個(gè)系統(tǒng)的微分方程。列寫(xiě)系統(tǒng)微分方程的一般步驟：

根據(jù)各環(huán)節(jié)所遵循的基本物理規(guī)律，分別列寫(xiě)出相應(yīng)的微分方程，并構(gòu)成微分方程組。(1)確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。

將與輸入量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在方程式等號(hào)右邊，與輸出量有關(guān)的項(xiàng)寫(xiě)在等號(hào)的左邊。（3）消除中間變量，將式子標(biāo)準(zhǔn)化。補(bǔ)充：控制系統(tǒng)的微分方程（2）

建立初始微分方程組。ucur二、常見(jiàn)環(huán)節(jié)和系統(tǒng)微分方程的建立1．RC電路+-uruc+-CiR輸入量：輸出量：（1）

確定輸入量和輸出量（2）

建立初始微分方程組（3）消除中間變量，使式子標(biāo)準(zhǔn)化RC電路是一階常系數(shù)線性微分方程。ur=Ri+uci=CducdtRCducdt+uc=ur補(bǔ)充：控制系統(tǒng)的微分方程2．機(jī)械位移系統(tǒng)系統(tǒng)組成：質(zhì)量彈簧阻尼器輸入量彈簧系數(shù)km阻尼系數(shù)fF(t)輸出量y(t)初始微分方程組:F=maF(t)–FB(t)–FK(t)=ma根據(jù)牛頓第二定律補(bǔ)充：控制系統(tǒng)的微分方程中間變量關(guān)系式:FB(t)=fdy(t)dtFK(t)=ky(t)a=d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ky(t)=F(t)+消除中間變量得:補(bǔ)充：控制系統(tǒng)的微分方程3．他激直流電動(dòng)機(jī)Ud系統(tǒng)組成：直流電機(jī)負(fù)載輸入:電樞電壓勵(lì)磁電流If電磁轉(zhuǎn)矩Te負(fù)載轉(zhuǎn)矩TL摩擦轉(zhuǎn)矩Tf工作原理：

電樞電壓作用下產(chǎn)生電樞電流，從而產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩使電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng).輸出:電動(dòng)機(jī)速度n補(bǔ)充：控制系統(tǒng)的微分方程根據(jù)基爾霍夫定律有

電動(dòng)機(jī)的電路等效圖:ed+-udLdidRddiddtud=Rdid+Ld+eded=CenCe—反電勢(shì)系數(shù)反電勢(shì)根據(jù)機(jī)械運(yùn)動(dòng)方程式dndtTe-TL–Tf=GD2375Te=CmidCm—轉(zhuǎn)矩系數(shù)GD2—飛輪慣量為了簡(jiǎn)化方程，設(shè)TL=Tf=0id=GD2375Cmdndt.+n=+GD2Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2CmCeRaLaRaudCe定義機(jī)電時(shí)間常數(shù)：GD2Ra375CmCeTm=電磁時(shí)間常數(shù)：LaRaTd=電動(dòng)機(jī)的微分方程式為：+n=d2ndt2TmTd+TmdndtuaCe補(bǔ)充：控制系統(tǒng)的微分方程

系統(tǒng)微分方程由輸出量各階導(dǎo)數(shù)和輸入量各階導(dǎo)數(shù)以及系統(tǒng)的一些參數(shù)構(gòu)成。系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式為：+dtm+bmr(t)=b0dm-1r(t)dtm-1b1+···dmr(t)+dr(t)dtbm-1anc(t)+···dnc(t)dtna0+dn-1c(t)dtn-1a1+dc(t)dtan-1+補(bǔ)充：控制系統(tǒng)的微分方程微分方程的解（時(shí)域t）代數(shù)方程的解（復(fù)數(shù)域s）拉氏變換拉氏反變換用拉氏變換求解微分方程的基本思路和方法是：

線性微分方程（時(shí)域t）代數(shù)方程（復(fù)數(shù)域s）

三、線性微分方程式的求解

求解補(bǔ)充：控制系統(tǒng)的微分方程2.1拉氏變換變換

如果有一函數(shù)滿足下列條件：（1）t

<0時(shí)

f(t)=0（2）t≥0時(shí)

f(t)是分段連續(xù)的

第一節(jié)

拉普拉斯變換2.1.1拉氏變換及逆變換定義：（3）f(t)的拉氏變換為：記作

F(s)=L[f(t)]拉氏反變換為：f(t)=L-1[F(s)]

2.1.2常用函數(shù)的拉氏變換1)單位階躍函數(shù)u(t)記作

第一節(jié)

拉普拉斯變換2)單位脈沖函數(shù)δ(t)3)單位斜坡函數(shù)t對(duì)上式進(jìn)行分部積分公式2.1.2常用函數(shù)的拉氏變換令4)指數(shù)函數(shù)5)正弦函數(shù)sinωt2.1.2常用函數(shù)的拉氏變換6)余弦函數(shù)cosωt2.1.2常用函數(shù)的拉氏變換小結(jié)與作業(yè)小結(jié)：

1.控制系統(tǒng)微分方程的建立步驟2.用拉氏變換求解微分方程3.拉氏變換及逆變換4.常用函數(shù)的拉氏變換作業(yè)：1.求函數(shù)的拉氏變換2.求習(xí)題2-5的微分方程。第一周作業(yè)講評(píng)作業(yè)主要問(wèn)題：1.沒(méi)有按要求繪制系統(tǒng)框圖2.系統(tǒng)框圖中沒(méi)有綜合點(diǎn)符號(hào)3.系統(tǒng)框圖中沒(méi)有箭頭4.參考答案復(fù)習(xí)提問(wèn)

1.控制系統(tǒng)微分方程的建立步驟2.拉氏變換及逆變換3.分部積分公式2.1.3拉氏變換的定理1)線性定理2)微分定理

證明:根據(jù)拉氏變換定義應(yīng)用分部積分法,則有

例:

已知分別如題圖(a)、(b)所示,試求f′1(t)與f′2(t)的拉氏變換。2.1.3拉氏變換的定理解（一）：因?yàn)?.1.3拉氏變換的定理所以解（二）：因?yàn)樗?)積分定理第一節(jié)

拉普拉斯變換

證明:根據(jù)拉氏變換的定義

應(yīng)用分部積分法可得所以4)延遲定理證明:令x=t-t0,則t=x+t0,dt=dx,于是上式可寫(xiě)為2.1.3拉氏變換的定理5)初值定理證明：根據(jù)微分定理有2.1.3拉氏變換的定理等式兩邊對(duì)s趨向于無(wú)窮取極限6）終值定理證：由微分定理，有等式兩邊對(duì)s趨向于0取極限2.1.3拉氏變換的定理7)相似定理8)位移定理9)卷積定理2.1.3拉氏變換的定理證明：證明：2.1.3拉氏變換的定理

2.1.3拉氏變換的定理象函數(shù)的一般表達(dá)式：F(s)=b0

sm+b1

sm-1

+···+bm-1s+bma0

sn+a1

sn-1

+···+an-1s+an分解為K(s

–z1)(s

–z2)···(s

–zm

)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn

)=零點(diǎn)極點(diǎn)轉(zhuǎn)換為=s-p1A1+s-p2A2+···+s-pnAn則p1tf(t)=A1ep2t+A2epntAne+···+部分分式法求拉氏反變換,實(shí)際上是求待定系數(shù)A1,A2,…,An.極點(diǎn)的形式不同,待定系數(shù)的求解不同,下面舉例說(shuō)明.

待定系數(shù)2.1.4

拉普拉斯變換的應(yīng)用拉氏反變換(1)不相等實(shí)數(shù)極點(diǎn)Ai=F(s)(s-pi)

s=pi解：例求拉氏變換．s2+4s+3F(s)=s2+5s+5(s+1)(s+3)F(s)=1+s+2=1++s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p1)

s=p1(s+1)(s+3)=s2+5s+5s=-1=(s+1)(s+3)(s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2)

s=p2s=-3=(s+1)(s+3)(s+2)(s+3)21=21+f(t)=δ(t)+e-t21e-3t2.1.4

拉普拉斯變換的應(yīng)用(2)復(fù)數(shù)極點(diǎn)A(s)(s

–p1)(s

–p2)···(s

–pn

)F(s)=p1,p2共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)分解為=(s-p1)(s-p2)A1s+A2+s-p3A3+···+s-pnAnF(s)(s-p1)(s-p2)

s=p1=A1s+A2s=p1根據(jù)求待定系數(shù)A1,A2.

例求拉氏變換．s(s2+9)F(s)=s+1解：A1s+A2+s(s2+9)F(s)=A3=A1s+A2s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1

19A1=-

19A3=

-s/9+1

+s(s2+9)=1/9

s/9

-s(s2+9)F(s)=1/9

1

+(s2+9)1391-f(t)=Sin3t91Cos3t+2.1.4

拉普拉斯變換的應(yīng)用(3)重極點(diǎn)A(s)(s

–p1)r(s

–pr+1)···(s

–pn

)F(s)=有r個(gè)重極點(diǎn)分解為=(s-p1)rA1+s-pr+1Ar+1+···+s-pnAn+(s-p1)r-1A2+···+s-p1Ardr-1[F(s)(s-p1)r]Ar=

s=p11

((r-1)!dsr-1)下面舉例說(shuō)明2.1.4

拉普拉斯變換的應(yīng)用例求拉氏變換．(s+2)F(s)=s(s+1)2(s+3)解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解為按不相等實(shí)數(shù)極點(diǎn)確定A1,A3,A4得：-12A1=

23A3=

112A4=

d2-1[F(s)(s-p1)2]A2=

s=p11

((2-1)!ds2-1)d[=

s=-1ds](s+2)s(s+3)-34=

-34A2=

+-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121將各待定系數(shù)代入上式得：2.1.4

拉普拉斯變換的應(yīng)用5．用拉氏變換解微分方程

下面舉例說(shuō)明求解線性微分方程的方法。例求拉氏反變換．r(t)=20I(t)+2c

(t)=r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dtc(0)=5c'(0)=15解：(1)將微分方程拉氏變換s2C(s)-sc(0)-c'(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s)=20s20s+5s+30=C(s)(s2+3s+2)

(2)解代數(shù)方程s(s2+3s+2)

C(s)=5s2+30s+20(3)求拉氏反變換s(s+1)(s+2)=5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t2.1.4

拉普拉斯變換的應(yīng)用例已知系統(tǒng)的微分方程式，求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。r(t)=δ(t)+2c

(t)=r(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt

c(0)=c'(0)=0解：將方程兩邊求拉氏變換得：s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)R(s)=1C

(s)=s2+2s+21=(s+1)2+11求拉氏反變換得：c(t)=e–t

sint

輸出響應(yīng)曲線c(t)r(t)r(t)t0c(t)2.1.4

拉普拉斯變換的應(yīng)用課堂練習(xí)題：(1)求下列函數(shù)的拉氏變換(2)求下列函數(shù)的拉氏反變換(3)解下列微分方程cos12tf(t)=e-4tf(t)=t2+3t+2F(s)=s(s+1)1+1c

(t)=I(t)+2d2c(t)dt2dc(t)dt

c(0)=c'(0)=01.控制系統(tǒng)的微分方程2.拉氏變換及逆變換3.拉氏變換的性質(zhì)作業(yè)：習(xí)題：2-4小結(jié)：小結(jié)與作業(yè)上周作業(yè)點(diǎn)評(píng)1.本次作業(yè)較好，但個(gè)別同學(xué)存在計(jì)算錯(cuò)誤，希望今后再認(rèn)真些。2.個(gè)別同學(xué)沒(méi)有及時(shí)提交，或提交格式不對(duì)，打不開(kāi)，所以沒(méi)有成績(jī)，提倡圖片格式。復(fù)習(xí)提問(wèn)簡(jiǎn)述傳遞函數(shù)的性質(zhì)？（4）傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。（1）傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)。（2）傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外施信號(hào)的大小和形式無(wú)關(guān)。（3）傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量S的有理分式。2.3傳遞函數(shù)的方框圖表示及運(yùn)算2.3.1方框圖的定義及組成2.3.2閉環(huán)控制系統(tǒng)的方框圖

方塊圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的另一種形式，它表示出系統(tǒng)中各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系及信號(hào)的傳遞過(guò)程。2.3.3系統(tǒng)方框圖的繪制2.3.4方框圖的等效變換及運(yùn)算法則2.組成1.概念方框圖是對(duì)系統(tǒng)中每個(gè)環(huán)節(jié)的功能和信號(hào)流向進(jìn)行的圖解表示。描述系統(tǒng)及各組成元件之間信號(hào)傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它表示系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系及各變量所進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換。2.3.1方框圖的定義及組成（1）方框表示對(duì)信號(hào)進(jìn)行的數(shù)學(xué)變換，方框中寫(xiě)入元件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并用信號(hào)線將其連接起來(lái)。G(s)X(s)C(s)r(t),R(s)c(t),C(s)_U(t)=r(t)-c(t)U(s)=R(s)-C(s)（2）比較點(diǎn)（綜合點(diǎn)或相加點(diǎn)）一般加號(hào)常省略，負(fù)號(hào)必須標(biāo)出。（3）分支點(diǎn)C(t),C(s)C(t),C(s)2.3.1方框圖的定義及組成_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+D(s)

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：2.開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)反饋量與誤差信號(hào)的比值E(s)B(s)Gk(s)=E(s)B(s)=G1(s)G2(s)H

(s)=G(s)H(s)

2.3.2閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖1.前向通道傳遞函數(shù)Y(s)E(s)=G(s)

3.閉環(huán)傳遞函數(shù)1)給定信號(hào)R(s)作用R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：

設(shè)

D

(s)=0典型結(jié)構(gòu)圖可變換為：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):R(s)C(s)Ф(s)==1+G(s)H(s)G(s)2.3.2閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖2)擾動(dòng)信號(hào)D(s)作用設(shè)R

(s)=0R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s)

系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：+D(s)

動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)D(s)C(s)反饋通道:閉環(huán)傳遞函數(shù)為：D(s)C(s)Фd(s)==1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)2.3.2閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)4.誤差傳遞函數(shù)1)給定信號(hào)R(s)作用誤差輸出的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖:R(s)+D(s)

前向通道:

反饋通道:

設(shè)D(s)=0E(s)C(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)1誤差傳遞函數(shù)為：R(s)E(s)Фer(s)=2.3.2閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2)擾動(dòng)信號(hào)D(s)作用R(s)R(s)作用下誤差輸出的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖:

前向通道:

反饋通道:R(s)=0E(s)C(s)+D(s)B(s)_H(s)G1(s)G2(s)D(s)E(s)Фed(s)=誤差傳遞函數(shù)為：=1+G1(s)G2(s)H(s)-G2(s)H(s)2.3.2閉環(huán)系統(tǒng)的方框圖系統(tǒng)方框圖的繪制步驟一般為:（1）確定系統(tǒng)中各元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。（2）繪出各環(huán)節(jié)的方框，方框中標(biāo)出其傳遞函數(shù)、輸入量和輸出量。（3）根據(jù)信號(hào)在系統(tǒng)中的流向，依次將各方框連接起來(lái)。2.3.3系統(tǒng)方框圖的繪制例

設(shè)一RC電路如圖所示。畫(huà)出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。+-uruc+-CiRRC電路解：初始微分方程組：ur=Ri+ucduci=dtc變換：Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CSUc(s)即=I(s)RUr(s)–Uc(s)Uc(s)=I(s)·1CS

用方框表示各變量間關(guān)系Ur(s)1R_I(s)Uc(s)Uc(s)I(s)1CSUc(s)I(s)1CS2.3.3系統(tǒng)方框圖的繪制

對(duì)于RLC電路，可以運(yùn)用電流和電壓平衡定律及復(fù)阻抗的概念，直接畫(huà)出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。例求圖所示電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。RC電路+-uruc+-ii2R2R1ci1解：I2(s)I1(s)+Uc(s)Ur(s)_CS1R1+R2Uc(s)RC電路動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3.3系統(tǒng)方框圖的繪制+-urC1I1

(t)uc+-C2i2(2)R1R2例畫(huà)出圖所示電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。RC串聯(lián)電路解：1R1I1(s)_1C1S1R21C2SUr(s)UC(s)I2(s)__U1(s)U1(s)I2(s)UC(s)RC串聯(lián)電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3.3系統(tǒng)方框圖的繪制ed+-udLdidRd反電勢(shì)例建立他激直流電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。解：電樞回路部分：微分方程為+edud=Rdid+

Lddiddt取拉氏變換:Ud

(s)=Rd

Id

(s)+LdsId

(s)+Ed

(s)整理得：Ud(s)

–Ed(s)=Id

(s)(Rd+Lds)=Id(s)Rd(1+s)Ld

Rd令：La

RaTa=則有Ra(

Tas+1)Ud(s)–Eb(s)=Id(s)

用框圖表示為1/RdTds+1Ud(s)_Ed(s)Id(s)2.3.3系統(tǒng)方框圖的繪制電機(jī)轉(zhuǎn)軸部分：微分方程:Te–TL=GD2375dndt.Te=Cm·id

TL=Cm·iL

拉氏變換得：Te(s)

–TL(s)

=GD2375SN(s)Te(s)=Cm·Id

(s)TL(s)=Cm·IL

(s)整理得：Id(s)

–IL(s)

=GD2375CmsN(s)即Id(s)

–IL(s)

=N(s)SGD2Rd375CmCeCeRd·令得Id(s)

–IL(s)

=N(s)SCeRd·TmGD2Rd375CmCeTm=

用框圖表示為Id(s)IL(s)RdCeTmSN(s)_2.3.3系統(tǒng)方框圖的繪制反電勢(shì)部分：拉氏變換微分方程

用框圖表示為CeN(s)Ed(s)eb=Ce·nEb(s)=Ce·N(s)

2.3.3系統(tǒng)方框圖的繪制

將三部分框圖連接起來(lái)即得電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。Ud(s)_Ed(s)1/Rd1+TdsIL(s)RdCeTms_N(s)N(s)Ed(s)Ce(a)(b)(c)

IL(s)RdCeTms_N(s)電動(dòng)機(jī)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖Ce2.3.3系統(tǒng)方框圖的繪制2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則

系統(tǒng)的方框圖直觀地反映了系統(tǒng)內(nèi)部各變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。將復(fù)雜的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行化簡(jiǎn)可求出傳遞函數(shù)。1．動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換等效變換：被變換部分的輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，在變換前后保持不變。C1(s)（1）串聯(lián)兩個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的等效變換：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)ni=1G(s)=ΠGi(s)C1(s)=R(s)G1(s)C(s)=C1(s)G2(s)=R(s)G(s)1G2(s)R(s)G1(s)C(s)G2(s)F(s)不是串聯(lián)！R(s)G1(s)C(s)G2(s)C1(s)也不是串聯(lián)！2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2)并聯(lián)兩個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)等效變換：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)++G2(s)R(s)C(s)G1(s)等效C1(s)=R(s)G1(s)C1(s)C2(s)=R(s)G2(s)C2(s)C(s)=C1(s)+C2(s)=R(s)G1(s)+R(s)G2(s)n個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)

Σni=1G(s)=Gi(s)2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則E(s)=R(s)B(s)+–=R(s)E(s)G(s)H(s)+–1±G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反饋連接G(s)1±G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)±環(huán)節(jié)的反饋連接等效變換：根據(jù)框圖得：等效R(s)C(s)1±G(s)H(s)G(s)=C(s)=E(s)G(s)第四節(jié)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則（4）綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)1)

綜合點(diǎn)之間或引出點(diǎn)之間的位置交換引出點(diǎn)之間的交換：b綜合點(diǎn)之間交換：bccbaaaa±aa±b±c±a±c±b不改變數(shù)學(xué)關(guān)系不改變數(shù)學(xué)關(guān)系aa綜合點(diǎn)與引出點(diǎn)之間不能交換！2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則2）綜合點(diǎn)相對(duì)方框的移動(dòng)F(s)R(s)G(s)C(s)±R(s)前移：R(s)C(s)G(s)±F(s)R(s)±C(s)1G(s)F(s)后移：±C(s)G(s)F(s)R(s)C(s)G(s)±F(s)F(s)R(s)G(s)C(s)±2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則3)引出點(diǎn)相對(duì)方框的移動(dòng)C(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)G(s)1C(s)R(s)C(s)G(s)前移：G(s)C(s)后移：R(s)R(s)C(s)G(s)2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則G1(s)G2(s)G3(s)H(s)__+R(s)C(s)a移動(dòng)aG2(s)+_G2(s)H(s)例化簡(jiǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，求傳遞函數(shù)。

先移動(dòng)引出點(diǎn)和綜合點(diǎn)，消除交叉連接，再進(jìn)行等效變換，最后求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：G1(s)G2(s)G3(s)G2(s)H(s)+__R(s)C(s)交換比較點(diǎn)a求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù):R(s)C(s)G1(s)G2(s)+G3(s)=1+G2(s)H(s)+G1(s)G2(s)+G3(s)G1(s)G2(s)+G3(s)11+G2(s)H(s)_R(s)C(s)等效變換后系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則例求RC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。1R11C1S1C2S___R(S)C(S)1R2RC串聯(lián)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖解：錯(cuò)！C2S1R1注意：綜合點(diǎn)與引出點(diǎn)的位置不作交換！R1_1R2C2S_1R1C1SR1C2S1R1C1S+11R2C2S+1_R(s)C(s)系統(tǒng)傳遞函數(shù)：R(s)C(s)(R1C1S+1)(R2C2S+1)+R1C2S1=2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則例:R(s)C(s)R(s)+D(s)解:G1G2G3H1H2___C(s)E(s)D(s)=0結(jié)構(gòu)圖變換為：

G1G2G3H1/G3G2H2___C(s)E(s)R(s)求1+G3G2H2G1G2G3=1+G3G2H2+G1G2H1+G1G2G3G1G2G3R(s)C(s)=1+G3G2H2+G1G2H1G1G2G3H1/G31+G3G2H2G1G2G31+1+G3G2H2G1G2G32.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則+D(s)C(s)R(s)G1G2G3H1H2---E(s)R(s)E(s)求R(s)H1H2-G1G2-E(s)G3-結(jié)構(gòu)圖變換為：

解:D(s)=0R(s)-G1G2-E(s)G3-H1H2/G1G1G2G31+G1G2H11+G1G2G31+G1G2H1H2/G1G1G2G31+G1G2H1=1+G1G2H1+G2G3H2G1G2G3E(s)R(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G31+G1G2H1+G2G3H22.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則R(s)+D(s)G1G2G3H1H2___C(s)D(s)C(s)求解:R(s)=0結(jié)構(gòu)圖變換為

D(s)+G1G2-C(s)-H1-1H2G31+G1G2H1G1G2-(1+H2/G1)D(s)+-C(s)-H1-1G3G2G1H2/G1C(s)D(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3G3(1+G1G2H1)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則R(s)+D(s)G1G2G3H1H2___C(s)E(s)求D(s)E(s)解:結(jié)構(gòu)圖變換為

R(s)=0D(s)+G1G2-E(s)-H1H2-G3D(s)+-E(s)-H1H2/G1-G3G2G11+G1G2H1G1G2(1+H2/G1)E(s)D(s)=1+G1G2H1+G2G3H2+G1G2G3-G3(1+G1G2H1)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：2.3.4

方塊圖的等效變換及運(yùn)算法則小結(jié)：2.3傳遞函數(shù)的方框圖表示及運(yùn)算1方框圖的定義及組成2閉環(huán)控制系統(tǒng)的方框圖3系統(tǒng)方框圖的繪制4方框圖的等效變換及運(yùn)算法則前向通道傳遞函數(shù)、開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)、誤差傳遞函數(shù)作業(yè)：習(xí)題2-9，2-11(a)、(b)復(fù)習(xí)提問(wèn)簡(jiǎn)述方框圖的等效變換及運(yùn)算法則？等效變換：被變換部分的輸入量和輸出量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，在變換前后保持不變。（1）串聯(lián)（2）并聯(lián)（3）反饋連接（4）綜合點(diǎn)和引出點(diǎn)的移動(dòng)1)

綜合點(diǎn)之間或引出點(diǎn)之間的位置交換2）綜合點(diǎn)相對(duì)方框的移動(dòng)3)引出點(diǎn)相對(duì)方框的移動(dòng)2.4信號(hào)流圖及梅遜公式2.4.1.信號(hào)流圖的概念及術(shù)語(yǔ)1.節(jié)點(diǎn)：用以表示系統(tǒng)中變量或信號(hào)的點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，用“o”表示。2.支路：連接兩節(jié)點(diǎn)的定向線段。3.輸入支路：指向某節(jié)點(diǎn)的支路，稱(chēng)為該節(jié)點(diǎn)的輸入支路。4.輸出支路：背離某節(jié)點(diǎn)的支路，稱(chēng)為該節(jié)點(diǎn)的輸出支路。5.傳輸：兩節(jié)點(diǎn)間（支路）的增益或傳遞函數(shù)6.源點(diǎn)：只有輸出支路而無(wú)輸入支路的節(jié)點(diǎn)。7.阱點(diǎn)：只有輸入支路而無(wú)輸出支路的節(jié)點(diǎn)。8.混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。X1X2X3X4X5acedfgb9.通路：沿支路箭頭所指的方向穿過(guò)各相連支路的途徑。10.開(kāi)通路：如果通路與任意節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)不多于一次，稱(chēng)為開(kāi)通路。

11.閉通路：如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，而與任何其它節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)不多于一次，則稱(chēng)為閉通路或回路。12.回路增益：回路中各支路傳輸?shù)某朔e。13.不接觸回路：回路間沒(méi)有任何共有節(jié)點(diǎn)，稱(chēng)其為不接觸回路

。14.前向通路：從源點(diǎn)到阱點(diǎn)的通路上，通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通路。15.前向通路增益：前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e，稱(chēng)為前向通路增益。X1X2X3X4X5acedfgb2.4信號(hào)流圖及梅公式遜2.4.2.信號(hào)流圖的性質(zhì)及化簡(jiǎn)1．以節(jié)點(diǎn)代表變量，源點(diǎn)代表輸入量，阱點(diǎn)代表輸出量，用混合節(jié)點(diǎn)代表變量或信號(hào)的匯合。在混合節(jié)點(diǎn)處，輸出支路的信號(hào)等于各輸入支路信號(hào)的疊加。2．以支路表示變量或信號(hào)的傳輸和變換過(guò)程，信號(hào)只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號(hào)流圖中每經(jīng)過(guò)一條支路，相當(dāng)于在方框圖中經(jīng)過(guò)一個(gè)用方框表示的環(huán)節(jié)。3．增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹?，可以把混合?jié)點(diǎn)化為阱點(diǎn)。4．對(duì)于同一系統(tǒng)，信號(hào)流圖的形式不是唯一的。信號(hào)流圖和方框圖是一一對(duì)應(yīng)的，且可以互相轉(zhuǎn)化。運(yùn)算法則：2.4.2.信號(hào)流圖的性質(zhì)及化簡(jiǎn)加法規(guī)則：并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦返膫鬏斨汀３朔ㄒ?guī)則：串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔谒兄返膫鬏斨e。x2x1abx1x2a+bx1x2ax3bx1x2ab運(yùn)算法則：2.4.2.信號(hào)流圖的性質(zhì)及化簡(jiǎn)分配規(guī)則：混合結(jié)點(diǎn)可以通過(guò)移動(dòng)支路的方法消掉。反饋回路簡(jiǎn)化規(guī)則：先化成自回路x3x4cx1x2bax4x1x2bcacx1x2ax3bcx1abx3bcx1ab/(1-bc)x3方框圖與信號(hào)流圖的轉(zhuǎn)換例1將下面所示的方框圖轉(zhuǎn)化為流程圖1-1-1-12.4.2.信號(hào)流圖的性質(zhì)及化簡(jiǎn)ΣLiΣLiLjΣLiLjLzΔ=1––++···

回路內(nèi)前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)的乘積。梅遜公式：回路傳遞函數(shù)：—特征式△—各回路傳遞函數(shù)之和?！獌蓛苫ゲ幌嘟佑|回路的傳遞函數(shù)乘積之和?！腥齻€(gè)互不相接觸回路的傳遞函數(shù)乘積之和。Φ(s)=Σnk=1PkΔkΔΣLiΣLiLjΣLiLjLzΣLiΣLiLjΣLiLjLz△k—將△中與第k條前向通道相接觸的回路所在項(xiàng)去掉之后的剩余部分，稱(chēng)為余子式。Pk—第k條前向通道的傳遞函數(shù)。2.4

.3梅遜公式例系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求閉環(huán)傳遞函數(shù)。G1G2G3H1G4H2___C(s)+R(s)解：系統(tǒng)有5個(gè)回路，各回路的傳遞函數(shù)為L(zhǎng)1L1=–G1G2H1L2L2=–G2G3H2L3L3=–G1G2G3L4L4=–G1G4L5L5=–G4H2ΣLiLj=0ΣLiLjLz

=0Δ

=1+G