2021年高中數(shù)學(xué)新高考真題卷一卷二合集

2021年高中數(shù)學(xué)新高考真題卷一卷二合集

2021年高中數(shù)學(xué)新高考試卷一原卷與答案

2021年高中數(shù)學(xué)新高考試卷二原卷與答案

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用

23鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上,將條形碼橫貼在答題卡右上角

“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答

案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試

卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不

準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={R-2VXV4},3={2,3,4,5},則()

A.{2}B.{2,3}C.{3,4}D.

{2,3,4}

2.已知z=2-i，則z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

3.己知圓錐的底面半徑為近，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為（)

A.2B.2aC.4D.4x/2

［一看）單調(diào)遞增的區(qū)間是（

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f（x）=7sin)

(A)

22

5.已知耳，居是橢圓c：5+?=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在c上，則|叫卜|摩|的最大

值為（）

A.13B.12C.9D.6

nlsin^(l+sin2^)/、

6.若tan?=-2,則-------------L=()

sin0+cos0

6226

A一一B.一一C.-D.-

5555

7.若過點(diǎn)（。8）可以作曲線y=e"的兩條切線，則（)

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<^D.0<h<ea

8.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取

1個(gè)球，甲表示事件”第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件”第二次取出的球的數(shù)字是2”,

丙表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，

則（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)玉，聲，…，血，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)M，%，…，L，其中

M=Xj+c(i=l,2,…為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)R(coso,sina),7^(cos/?,-sin/?),

A(cos(a+/?),sin(a+￡)),A(l,0),則()

A.|。制=|。司B.,止|阿

C.OAOPvOROP?D.30月=。修0勺

11.己知點(diǎn)P在圓(x—5『+(y-5)2=16上，點(diǎn)4(4,0)、5(0,2),則()

A.點(diǎn)尸到直線A3的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線43的距離大于2

C.當(dāng)NP8A最小時(shí)，歸邳=3啦

D.當(dāng)NP8A最大時(shí)，|陽二30

12.在正三棱柱ABC—A8C中，AB=AA,=1,點(diǎn)p滿足BP=ABC+〃BB-其中

>le[0,l],//e[0,l],則()

A.當(dāng);1=1時(shí)，△AgP的周長為定值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸一48。的體積為定值

C.當(dāng)4=3時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得

D.當(dāng)〃二g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A8J.平面A片尸

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/（力=V（82]—2-、）是偶函數(shù)，貝ijQ=____.

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y?=2px（，＞0）的焦點(diǎn)為尸，P為。上一點(diǎn)，PF與

x軸垂直，。為工軸上一點(diǎn)，且PQ_LOP,若|硝=6,則C的準(zhǔn)線方程為.

15.函數(shù)〃%）=注一1|一2111%的最小值為.

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格

為20dmxl2dm的長方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dmx12dm,20dmx6dm兩種規(guī)格

的圖形，它們的面積之和S=240（10?,對(duì)折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,

20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S?=180dn?,以此類推，則對(duì)折4次共可

以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為;如果對(duì)折〃次，那么ZS*=dm2.

jt=i

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

4+1,〃為奇數(shù),

17.已知數(shù)列｛q｝滿足4=1,

+2,〃為偶數(shù)

（1）記〃二叼“，寫出偽，打，并求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

（2）求｛〃〃｝的前20項(xiàng)和.

18.某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A,3兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問

題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則

從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束”類問題

中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否

則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,

且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

19.記二ABC是內(nèi)角A,B,CH勺對(duì)邊分別為。，b,c.已知〃二雙，點(diǎn)。在邊AC上,

BDsinZABC=as\nC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AO=2DC,求cos/ASC.

20.如圖，在三棱錐A-BCD中，平面A5D_L平面8c。，AB=AD,。為8。的中點(diǎn).

(1)證明：OALCD；

(2)若KOCD是邊長為1等邊三角形，點(diǎn)E在棱4。上，DE=2EA,且二面角

E-8C-O的大小為45。，求三棱錐4一區(qū)CO的體積.

21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)6(-J氏。)、鳥(J萬,0)|M用一|M用=2,點(diǎn)M

的軌跡為C.

(1)求。的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x上，過了兩條直線分別交C于A、8兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn)，且

2

|刃4卜|7罔=|陰?|圖，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

22.已知函數(shù)/(x)=x(lTnx).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)設(shè)。，b為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且罰na-Hnb=a-b,證明：2<-+-<e.

ab

2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22小題，滿分150分,考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用

23鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上,將條形碼橫貼在答題卡右上角

“條形碼粘貼處”.

2?作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答

案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試

卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指

定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不

準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合4=卜卜2<%<4},5={2,3,4,5},則A08=()

A.{2}B.{2,3}c.{3,4}D.

{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的定義可求AB.

【詳解】由題設(shè)有Ac5={2,3},

故選：B.

2.已知z=2—i，則z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

【答案】C

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和共拆復(fù)數(shù)的定義可求得結(jié)果.

［詳解］因?yàn)閦=2—i,故；=2+i，故z「+i)=(2_i)(2+2i)=6+2i

故選：C.

3.已知圓錐的底面半徑為近，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長為()

A.2B.25/2C.4D.45/2

【答案】B

【解析】

【分析[設(shè)圓錐的母線長為/,根據(jù)圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得/的值，即為

所求.

【詳解】設(shè)圓錐的母線長為/,由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，則萬/=2晝夜，

解得1=2日

故選：B.

4.下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sinjx-單調(diào)遞增的區(qū)間是()

D.

【答案】A

【解析】

【分析】解不等式2時(shí)一■|<工一看<24萬+郛wZ),利用賦值法可得出結(jié)論.

/\

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)丁=411工的單調(diào)遞增區(qū)間為2ki*,2k4++(keZ),

\L2)

(jr、jrjrjr

對(duì)于函數(shù)/(x)=7sinx---,由2ATT-------<x----<2ATF+—(ZwZ),

k6J262

jr27r

解得2攵萬一]<xv2攵萬+半(ZwZ)

取攵=0,可得函數(shù)/(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

則0,—c--|(Z,A選項(xiàng)滿足條件，B不滿足條件;

‘紅竺1

取比=1,可得函數(shù)/（力的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為

~9~)

CD選項(xiàng)均不

滿足條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先化簡成y=Asin（5+p）形

式，再求y=Asin（5+°）的單調(diào)區(qū)間，只需把s+夕看作一個(gè)整體代入y=sinx的相應(yīng)

單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把。化為正數(shù).

5.已知"，尸2是橢圓C：三十9=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在。上，則|孫卜|咋|的最大

值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本題通過利用橢圓定義得至|“崢|+|咋|=2。=6,借助基本不等式

明可得到答案.

\MFt\-\MF2\<網(wǎng);阿瑪

【詳解】由題，“2=9,從=4,則附用+|g|=2a=6,

所以阿耳卜四圖4=9（當(dāng)且僅當(dāng)|“用二阿閭=3時(shí)，等號(hào)成立）.

<2）

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵在于正確理解能夠想到求最值的方法，即通過基本不等式放縮得到.

什八八esin6（1+sin26）

6.布tan9=-2,則-------------=（）

sin夕+cos。

6226

A.----B.----C.-D.一

5555

【答案】C

【解析】

【分析】將式子進(jìn)行齊次化處理，代入tan6=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：

sin8（1+sin2。）sin^（sin26^-cos26+2sin6cos。）

=sin6（sin，+cos。）

sin6+cos9sin6+cos。

_sin6(sine+cos。)_tan2+tan_4-2_2

sin2^+cos2^l+tan2^1+45

故選：C.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題如果利用tan?=-2,求出sin/cos。的值，可能還需要分象限

討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論.

7.若過點(diǎn)(。/)可以作曲線y=e"的兩條切線，則()

A.eb<aB.e”<b

C.0<a<eb0.0<b<ea

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形

確定結(jié)果

【詳解】在曲線y=-上任取一點(diǎn)尸?,一),對(duì)函數(shù)y=/求導(dǎo)得y=ev,

所以，曲線y=在點(diǎn)P處的切線方程為y-d=d(x-f),即y=dx+(l-l)e'，

由題意可知，點(diǎn)(。,匕)在直線y=~x+(l—f)d上，可得力=ae'+(lT)d=(a+lT)e',

令/(f)=(a+l—，)d，則/'(，)=

當(dāng)，va時(shí)，/'(r)>0,此時(shí)函數(shù)/(f)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，r(r)<0,此時(shí)函數(shù)/(r)單調(diào)遞減，

所以，/(〃皿=/(〃)=/，

由題意可知，直線y=b與曲線y=/(。的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則bv/(〃皿=/，

當(dāng)rva+1時(shí)，/(r)>0,當(dāng)r>a+l時(shí)，/(r)<0,作出函數(shù)/(1)的圖象如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)0〈人ve“時(shí)，直線y=b與曲線y=/（f）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：D.

【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題常用且有效的方法

8.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取

1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,

丙表示事件”兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，

貝U（）

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷

【詳解】P（甲）=3P（乙）=3P（丙）=［尸（?。?￡=3，

6636366

尸（甲丙）=0=P（甲）P（丙），P（甲?。┒?=P（甲）P（丁方

36

P（乙丙）=」=P（乙）P（丙％P（丙?。┒?0P（丁）P（丙）,

36

故選：B

【點(diǎn)睛】判斷事件AB是否獨(dú)立，先計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，再判斷P(A)P(B)二尸(AB)是否成立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有

多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.有一組樣本數(shù)據(jù)陽，々，…，當(dāng)，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù),，乂，…，先，其中

y=%+c(i=l,2,…,〃),c為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣數(shù)據(jù)的樣本極差相同

【答案】CD

【解析】

【分析】A、C利用兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系有E(y)=E(x)+c、D(y)=D(x)t即可判斷正

誤；根據(jù)中位數(shù)、極差的定義，結(jié)合已知線性關(guān)系可判斷B、D的正誤.

【詳解】A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且。工0,故平均數(shù)不相同，錯(cuò)誤；

B：若第一組中位數(shù)為七，則第二組的中位數(shù)為y=七+。，顯然不相同，錯(cuò)誤；

c：ZXy)=O(x)+ZXc)=O(x),故方差相同，正確；

D：由極差的定義知：若第一組的極差為4ax-%in，則第二組的極差為

,'max-Xnin一(3皿+°)一(%n+。)一/ax一5in，故極差相同，正確；

故選：CD

10.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)[(cosa,sina),《(cos/?,-sin/)，

[(cos(a+夕),sin(a+4))，4(1,0),則()

A\OP\=\OP\B.

]2\AP]=\AP2\

C.OAOP.=OP,OI}D.OAOP^OP.OP.

【答案】AC

【解析】

【分析】A、B寫出0<,。/、APrA6的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；

C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

22

(詳解】A：=(cosa,sina)，OP^=(cos4，一sinB)，所以10Px|=Vcosa+sina=1，

10P21=J(cos0)2+(-sin￡)2=1，故IOPX|=(OP21,正確；

B：AF\=(cosa-1,sina),AP2=(cos/?-1,-sinp),所以

|A^|=V(cosa-l)2+sin2a=7cos2a-2cosa+1+sin2a=^2(1-cosa)=^4sin2y=21sin-y|

,同理|Ap|=J(cos夕-l)2+sin2￡=2|sing|,故|4片|不一定相等，錯(cuò)誤；

C：由題意得：OAOF^=lxcos(a+/?)+0xsin(a4-^)=cos(a+/?),

OF\OP1=cosacos夕+sina?(-sinp)=cos(a+6)，正確；

D：由題意得：OA-OF^=lxcosa+Oxsina=cosa,

OP,OR=cosPxcos(a+/7)+(-sin尸)xsin(a+p)

=cosacos2-sinasin0cosfl-sinasinpcos0-cosasin2P

=cosacos2/7-sinasinip=cos(a+2^),錯(cuò)誤；

故選：AC

11.已知點(diǎn)P在圓(x—5『+(y-5)2=16上，點(diǎn)4(4,0)、5(0,2),則()

A.點(diǎn)p到直線A6的距離小于10

B.點(diǎn)?到直線的距離大于2

C.當(dāng)NP84最小時(shí)，|尸耳=30

D.當(dāng)NP84最大時(shí)，|冏=3血

【答案】ACD

【解析】

【分析】計(jì)算出圓心到直線AB的距離，可得出點(diǎn)尸到直線AB的距離的取值范圍，可判斷

AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)NP84最大或最小時(shí)，依與圓M相切，利用勾股定理可判

斷CD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】圓（"-5）2+（丁一5）2=16的圓心為加（5,5）,半徑為4,

直線A3的方程為:+]=1,即x+2y-4=0,

|5+2x5-4|11I1J5

圓心M到直線A8的距離為?/」=—二」一＞4,

65

所以，點(diǎn)尸到直線A8的距離的最小值為止5-4<2,最大值為生叵+4<10,A選項(xiàng)

55

正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

如下圖所示：

當(dāng)NPB4最大或最小時(shí)，/出與惻M相切，連接MP、BM,可知尸

\BM\=^（0-5）2+（2-5）2=V34，|陰=4,由勾股定理可得

\BP\==3V2?CD選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線/與半徑為「圓C相離，圓心C到直線，的距離為d,則圓C

上一點(diǎn)P到直線/的距離的取值范圍是W一二d+r].

12.在正三棱柱ABC-A耳￡中，AB=A4,=1,點(diǎn)P滿足3戶=幾3右+"3瓦，其中

/1G[0,1],//G[0,1],則（）

A.當(dāng)a=1時(shí)，△4&P的周長為足值

B.當(dāng)〃=1時(shí)，三棱錐尸一A/C的體積為定值

C.當(dāng);l=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)尸，使得AP_L3P

D.當(dāng)"=g時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得ABJ.平面ABf

【答案】BD

【解析】

【分析】對(duì)于A,由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；

對(duì)于B,將2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線，進(jìn)而考慮體積是否為定值：

對(duì)于C,考慮借助向量平移將2點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解P點(diǎn)

的個(gè)數(shù)；

對(duì)于D,考慮借助向量的平移將尸點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來求解尸點(diǎn)

的個(gè)數(shù).

易知，點(diǎn)P在矩形8CG與內(nèi)部（含邊界）.

對(duì)于A,當(dāng)；1=1時(shí)，BP=BC+^BBpBC+，即此時(shí)尸仁線段CG，周長

不是定值，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)〃=1時(shí)，BP=ABC+BBpBB]+AB。,故此時(shí)P點(diǎn)軌跡為線段qG,而

,4G〃平面A^C,則有2到平面ABC的距離為定值，所以其體積為定值，

故B正確.

1I

對(duì)于C,當(dāng)％時(shí)，=+,取8C,qG中點(diǎn)分別為。，”，則

-2

BP=8Q+〃QH,所以尸點(diǎn)軌跡為線段不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖,

4日,0,1,p(0,0,〃)，則qp:一日,0,〃一1,8P=(o,

I2)\^)(2)12，

〃(〃-1)=0,所以〃=0或〃=1.故H,Q均滿足,故C錯(cuò)誤；

1——1---

對(duì)于D,當(dāng)〃=5時(shí)，BP=ABC+^BBI,取BB「CC,中點(diǎn)為M,N.BP=BM+入MN1

所以尸點(diǎn)軌跡為線段MN.設(shè)P(0,%,；),因?yàn)?*，0,0，所以AP=-與y。,；，

'2)k27\22)

一號(hào)；,-1,所以3+』%-4=0=%=-,，此時(shí)「與N重合，故D正確.

\22/4222

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換.關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在二角形內(nèi).

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知函數(shù)/(司=/(。2—2一、)是偶函數(shù)，則〃=____.

【答案】1

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的定義可求參數(shù)。的值.

【詳解】因?yàn)?(力=/(。2-2一)故/(一力=一/(小2T-21

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，故/(一%)=/(力,

時(shí)x3?2、-2r)=-x3(a2-x-2"),整理得到(a-l)(2v+2-r)=0,

故a=l,

故答案為：1

14.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y2=2px(〃>0)的焦點(diǎn)為尸，P為C上一點(diǎn)，PF與

x軸垂直，。為x軸上一點(diǎn)，且若|圖=6,則C的準(zhǔn)淺方程為_____.

3

【答案】x=--

2

【解析】

【分析】先用坐標(biāo)表示P，Q,再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得〃，即得結(jié)果.

nn

【詳解】不妨設(shè)P(§p)「.。(6+g,0),P。=(6,—p)

因?yàn)槭琎1.OP,所以勺6-〃2=0(2〃>0「.〃=3「.。的準(zhǔn)線方程為X=一方

故答案為：％=-三3

2

【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.

15.函數(shù)/(%)=|2工一1|一21nx的最小值為.

【答案】1

【解析】

【分析】由解析式知/(幻定義域?yàn)?0,+8),討論0<X工!、x>l,并結(jié)合

22

導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求/(幻最小值.

【詳解】由題設(shè)知：f(x)=|2x—l|-21nx定義域?yàn)?0,+oo),

，當(dāng)0vxW］時(shí)，/(x)=l-2x-21nx,此時(shí)/(x)單調(diào)遞減：

12

當(dāng)一時(shí)，f(x)=2x-\-2\nxt有/'a)=2--<0,此時(shí)/(外單調(diào)遞減；

2x

2

當(dāng)*>1時(shí)，/(x)=2x-l-21nx,有/'(幻=2-->0,此時(shí)/(力單調(diào)遞增；

x

又fM在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，

工綜上有：0<xKl時(shí)，/V)單調(diào)遞減，4>1時(shí)，單調(diào)遞增；

???/a)^/(i)=i

故答案為：i.

16.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱軸把紙對(duì)折，規(guī)格

為20dmx12dm的長方形紙，對(duì)折1次共可以得到lOdmxl2dm,20dmx6dm兩種規(guī)格

的圖形，它們的面積之和S=240411?,對(duì)折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,

20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S?=180dn?,以此類推，則對(duì)折4次共可

以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為；如果對(duì)折〃次，那么二dm2.

15(3+〃)

【答案】⑴.5(2).720-

2〃-4

【解析】

【分析】（1）按對(duì)折列舉即可；（2）根據(jù)規(guī)律可得S〃，再根據(jù)錯(cuò)位相減法得結(jié)果.

【詳解】（1）對(duì)折4次可得到如卜規(guī)格：—dmx12dm,—dmxGdm,5dmx3dm?

42

33

10dmx—dm,20dm義一dm,共5種;

24

12Qn+1

(2)由題意可得S=2x120,$2=3x60,$3=4x30,S4=5x15,…，^=()

120x2120x3120x4+L+I2。*】)

設(shè)5=

2°2^2?

則4竽+等120〃120(71+1)

++2〃T+T，

兩式作差得

6。(1一擊)120(〃+l)

f11

-5=240+120———^=240+

-+r2++擊

2(22TT

二360」2。(〃+3)

2〃2”

_八240(〃+3)八15(〃+3)

因此，S=720-----——^=720——

2〃2"-4

故答案為：5；720_155：3）

2?-4

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用方法:

(1)對(duì)于等差等比數(shù)列，利用公式法可直接求解;

(2)對(duì)于｛《白｝結(jié)構(gòu),其中｛《J是等差數(shù)列,｛勿｝是等比數(shù)列,用錯(cuò)位相減法求和;

(3)對(duì)于｛%+￡｝結(jié)構(gòu),利用分組求和法;

（4）對(duì)于＜三一,結(jié)構(gòu)，其中｛與｝是等差數(shù)列，公差為d（d。。），則

」一=!（1-一——利用裂項(xiàng)相消法求和.

〃〃凡川小〃4+J

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

z1儲(chǔ)”+1,〃為奇數(shù)，

17.已知數(shù)列間滿足Q1,為偶數(shù)

⑴記仇=%,，寫出4,%,并求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式;

（2）求｛%｝的前20項(xiàng)和.

【答案】（1）4=2也=5；（2）300.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得包川=勿+3,從而可求｛〃｝的通項(xiàng).

（2）根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得｛為｝的前20項(xiàng)和為§2。可化為

520=2佃+4+…+4+4））-10,利用⑴的結(jié)果可求Sa。.

【詳解】（1）由題設(shè)可得4=。2=4+1=2,力2=〃4=。3+1=。2+2+1=5

又a2k+2=+1?。2%+1=+2，

故生4+2=%4+3即%=d+3即4+1=3

所以｛或｝為等差數(shù)列，故〃=2+5—1）X3=3〃-1.

（2）設(shè)｛%｝的前20項(xiàng)和為邑0，則520=4+。2+。3+?一+。20，

因?yàn)閝=〃2-1，%=〃4-1，，49=。20-1，

所以$20=2（叼+/++々18+420）—1°

（9x10、

=2（Z?1+Z?2++^+Z?lo）-lO=2xllOx2+^y-x31-10=300.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于數(shù)列的交叉遞推關(guān)系，我們一般利用已知的關(guān)系得到奇數(shù)項(xiàng)的遞推

關(guān)系或偶數(shù)項(xiàng)的遞推關(guān)系，再結(jié)合已知數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式等來求解問題.

18.某學(xué)校組織“一帶一路''知識(shí)競賽，有A,3兩類問題，每位參加匕賽的同學(xué)先在兩類問

題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束：若回答正確則

從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題

中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得。分：8類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否

則得。分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6,

且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).

（1）若小明先回答4類問題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）B類.

【解析】

【分析】（1）通過題意分析出小明累計(jì)得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.（2）

與（1）類似，找出先回答8類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可.

【詳解】（1）由題可知，X的所有可能取值為0，20,100.

p（X=0）=l-0.8=0.2；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

（2）由⑴知，E（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答3問題，記y為小明的累計(jì)得分，則丫的所有可能取值為0,80,100.

P（y=0）=l-0.6=0.4；

P（Y=80）=0.6（1-0.8）=0.12；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以E（y）=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6.

因?yàn)?4.4V57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答8類問題.

19.記-ABC是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c.已知〃=而，點(diǎn)。在邊AC上,

BDsinZABC=as\nC.

(1)證明：BD=bx

(2)若AD=2DC,求cos/ABC

7

【答案】（1）證明見解析；（2）cosZ4BC=—.

12

【解析】

【分析】（D根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有8。二半，結(jié)合已知即可記結(jié)論.

2bb

(2)由題設(shè)8￡>=〃,AO=—,DC=—,應(yīng)用余弦定理求cosNADB、cosZ.CDB,又

33

人4][序

NADB=7T-NCDB,可得2/+1二——,結(jié)合已知及余弦定理即可求8SNABC.

a23

（1）由題設(shè)，BD=-^—,由正弦定理知:-----=----------,即----------=一

sinZABCsinCsin/ABCsin/ABCb

:.BD=――,又戶=ac，

b

:.BD=b,得證.

(2)由題意知：BD=b,AD=-,DC=-,

33

:.cosZADB=-----------=—―7——,同理cosZCDB=-----

2》竺也2〃2b

~3

-:ZADB=7T-ZCDB,

一心理

,整理得2/+<?=+,又b?=(1c

4b2b23

~T

A2^+^-=—,整理得6。4一11/6+3/=0,解得彳=_1或4=。，

a23b23b-2

zr2-ur2—h24a2

由余弦定理知：cosZ4BC=-----=

lac32b2

當(dāng)冬="L時(shí)，cos/45C=1>1不合題意；當(dāng)g=3時(shí)，cosZ4BC=—：

b236b2212

綜上，cosZABC--.

12

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:第二問，根據(jù)余弦定理及ZADB=K-ZCDB得到。力,c的數(shù)量關(guān)系，

結(jié)合已知條件及余弦定理求cosNA5c.

20.如圖，在三棱錐A—BCD中，平面平面BCD,AB=AD^。為80的中點(diǎn).

(1)證明：OA1CD；

(2)若cOCD是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA,且二面角

七一3?！?。的大小為45。，求三棱錐A-3C。的體積.

【答案】（I）詳見解析⑵

6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得AO_L平面BCD,即可證得結(jié)果；

（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根據(jù)體積公式得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)锳B=AD,O為BD中點(diǎn)，所以AO_LBD

因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD=8Z）,平面ABD_L平面BCD,AOu平面ABD,

因此AOJ_平面BCD,

因?yàn)镃OU平面BCD,所以AO_CD

（2）作EF1BD于E作FM±BC于M,連FM

因?yàn)锳OI平面BCD.所以AOIBD.AOICD

所以EFJ_BD,EF_LCD,B￡）cCD=￡）,因此EF_L平面BCD,即EF_LBC

因?yàn)镕MJ_BC,FM\所=尸，所以BC_L平面EFM,即BC_LMF

7T

則ZEMF為二面角E-BC-D的平面角，/EMF=-

4

因?yàn)锽O=OD,t.OCD為正三角形，所以AOCD為直角三角形

因?yàn)?石=2￡0,，根=[3/=]（1+!）=1

2233

2

從而EF=FM=-.\AO=\

3

QAOJ?平面BCD,

所以V=—AO-S,BCD=~xlx~x>/3-—-

3326

【點(diǎn)睛】二面角的求法：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法.

21.在平面直角坐標(biāo)系xO），中，已知點(diǎn)片（-J萬,0）、鳥（J萬,0）|5|一|“卜2,點(diǎn)M

的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)了在直線人=，上，過丁的兩條直線分別交。于A、6兩點(diǎn)和P,。兩點(diǎn)，且

2

|Z4|.|7B|=|7^-|得，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

2

【答案】(1)x2-^=l(x>l)：(2)0.

【解析】

【分析】(1)利用雙曲線的定義可知軌跡C是以點(diǎn)入、尸2為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求

出。、6的值，即可得出軌跡。的方程；

(\\

(2)設(shè)點(diǎn)7不/，設(shè)直線AB的方程為》-二勺X--，設(shè)點(diǎn)A(5，x)、8(天,月)，

聯(lián)立直線A8與曲線C的方程，列出韋達(dá)定理，求出|7?*|73］的表達(dá)式，設(shè)直線PQ的斜

率為22,同理可得出|歷iTQl的表達(dá)式，由|啊?|用化簡可得勺+&2的值.

【詳解】因?yàn)镮”用一|咋|=2<忻閭=2所,

所以，軌跡。是以點(diǎn)耳、尸2為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

設(shè)軌跡C的方程為三一方二1(〃>0/>0),則勿=2,可得。=1,6=47-/=4,

所以，軌跡C的方程為V一得=1(x21)；

(2)設(shè)點(diǎn)T-JI,若過點(diǎn)T的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線C無公共點(diǎn),

1,即y=女/+/_；4,

不妨直線AB的方程為y-，=&x—

2

y=k,.x+t——1K,.

聯(lián)立〈121,消去y并整理可得

\6x2-y2=\6

2

（k；-16）工？+K（2/—勺）r+1+16=0,

設(shè)點(diǎn)4（天,凹）、8（%,%），則且￡>；?

〃乙