專題05 三角函數(shù)與函數(shù)應用（知識梳理+考點精講精練+實戰(zhàn)訓練）

專題05三角函數(shù)與函數(shù)應用目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學考要求 1基礎知識梳理 1考點精講講練 6考點一：弧度制下的弧長、面積公式 6考點二：三角函數(shù)的定義、基本關系與誘導公式 7考點三：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 8考點四：三角函數(shù)圖象變換 10考點五：函數(shù)零點與函數(shù)模型應用 11實戰(zhàn)能力訓練 12明晰學考要求1、了解終邊相同角的含義及其表示，能對弧度和角度進行正確的轉換；2、掌握并能應用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式；3、理解任意角的三角函數(shù)定義，能判斷正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號；4、會用同角三角函數(shù)的基本關系式化簡、求值；5、能運用誘導公式解決化簡、求值問題；6、掌握y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的圖象與性質(zhì)；7、了解零點的概念，會應用函數(shù)零點存在定理判斷零點所在的范圍；8、能利用所給函數(shù)模型解決實際問題.基礎知識梳理1、任意角(1)任意角的概念：一條射線繞著它的端點，按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉形成的角叫做負角.如果射線沒有作任何旋轉，叫作零角.(2)角的終邊所在象限：使角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸正半軸，建立平面直角坐標系，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么就稱這個角為軸線角.(3)終邊相同的角：與角α終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.2、弧度制與扇形弧長、面積公式(1)度量角的兩種單位制角度制定義用度作為單位來度量角的單位制1度的角周角的eq\f(1,360)為1度的角，記作1°弧度制定義以弧度為單位來度量角的單位制1弧度的角長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角.1弧度記作1rad(2)角的弧度數(shù)的計算：如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對值是|α|＝eq\f(l,r).(3)角度制與弧度制的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2π__rad2πrad＝360°180°＝π__radπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)__rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)(4)設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長l＝eq\f(απR,180)l＝α·R扇形的面積S＝eq\f(απR2,360)S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R23、三角函數(shù)的定義(1)任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖，對于任意角α，它的終邊異于原點的一點P(x，y)，該點與原點的距離為定義正弦叫做α的正弦，記作sin__α，即sinα＝余弦叫做α的余弦，記作cos__α，即cosα＝正切叫做α的正切，記作tan__α，即tanα＝(2)三角函數(shù)在各象限的符號4、同角三角函數(shù)基本關系與誘導公式(1)同角三角函數(shù)的基本關系①平方關系：sin2α＋cos2α＝1.②商數(shù)關系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).③常用變形：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α，sinα＝cos__αtan__α，cosα＝eq\f(sinα,tanα).(2)誘導公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sin__α，cos(α＋2kπ)＝cos__α，tan(α＋2kπ)＝tan__α；公式二：sin(－α)＝－sin__α，cos(－α)＝cos__α，tan(－α)＝－tan__α.公式三：sin(π－α)＝sin__α，cos(π－α)＝－cos__α，tan(π－α)＝－tan__α.公式四：sin(π＋α)＝－sin__α，cos(π＋α)＝－cos__α，tan(π＋α)＝tan__α.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos__α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin__α.公式六：sin＝cos__α，cos＝-sin__α.5、三角函數(shù)的圖象（1）正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線．函數(shù)y＝sinx，x∈R圖象（2）余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線．函數(shù)y＝cosx，x∈R圖象（3）正切函數(shù)的圖象．（4）五點(畫圖)法函數(shù)y＝sinxy＝cosx圖象畫法五點法五點法關鍵五點(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)①正弦曲線與余弦曲線形狀相同，只是在坐標系中的位置不同，可以通過相互平移得到．②正切函數(shù)的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，正切函數(shù)的圖象只有對稱中心，沒有對稱軸，6、三角函數(shù)的性質(zhì)（1）周期性與奇偶性：①正弦函數(shù)y＝sinx(x∈R)和余弦函數(shù)y＝cosx(x∈R)的周期為2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期為2π，正切函數(shù)y＝tanx(x∈R)的周期為kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期為π;②函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)和f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是周期函數(shù)，最小正周期T＝eq\f(2π,ω).③正弦函數(shù)y＝sinx(x∈R)與正切函數(shù)y＝tanx(x∈R)是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱；余弦函數(shù)y＝cosx(x∈R)是偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱.（2）單調(diào)性與最值：①正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值：在每一個閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上都單調(diào)遞增，其值從－1增大到1；在每一個閉區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上都單調(diào)遞減，其值從1減小到－1.正弦函數(shù)當且僅當x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時取得最大值1，當且僅當x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)時取得最小值－1.②余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值：在每一個閉區(qū)間[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都單調(diào)遞增，其值從－1增大到1；在每一個閉區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都單調(diào)遞減，其值從1減小到－1.余弦函數(shù)當且僅當x＝2kπ(k∈Z)時取得最大值1，當且僅當x＝2kπ＋π(k∈Z)時取得最小值－1.③正切函數(shù)的單調(diào)性與最值：正切函數(shù)在每一個區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)上都單調(diào)遞增，正切函數(shù)沒有最大值和最小值，故正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R.7、函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的有關性質(zhì)性質(zhì)定義域R值域[－A，A]周期性T＝eq\f(2π,ω)對稱中心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ－φ,ω)，0))(k∈Z)對稱軸x＝eq\f(kπ,ω)＋eq\f(π－2φ,2ω)(k∈Z)奇偶性當φ＝kπ(k∈Z)時y是奇函數(shù)；當φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時y是偶函數(shù)單調(diào)性通過整體代換可求出其單調(diào)區(qū)間8、三角函數(shù)圖象變換由y＝sinx的圖象，通過變換可得到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象，其變化途徑有兩種：(1)y＝sinxeq\o(→,\s\up7(相位變換),\s\do5())y＝sin（x＋φ）eq\o(→,\s\up7(周期變換),\s\do5())y＝sin（ωx＋φ）eq\o(→,\s\up7(振幅變換),\s\do5())y＝Asin（ωx＋φ）；（2）y＝sinxeq\o(→,\s\up7(周期變換),\s\do5())y＝sinωxeq\o(→,\s\up7(相位變換),\s\do5())y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(φ,ω)))))＝sin（ωx＋φ）eq\o(→,\s\up7(振幅變換),\s\do5())y＝Asin（ωx＋φ）.注意：兩種途徑的變換順序不同，其中變換的量也有所不同，這是易出錯的地方，應特別注意．9、函數(shù)的零點與二分法(1)概念：對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點.(2)函數(shù)的零點、函數(shù)的圖象與x軸的交點、對應方程的根的關系：(3)函數(shù)零點存在定理：若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0.則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點.(4)二分法：對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.考點精講講練考點一：弧度制下的弧長、面積公式【典型例題】例題1．（2022高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知扇形的半徑為1，圓心角為30°，則扇形的弧長為（

）A．30 B． C． D．例題2．（23-24江蘇蘇州常熟中學高一上學期學業(yè)水平調(diào)研）如圖是杭州2022年第19屆亞運會會徽，名為“潮涌”，形象象征著新時代中國特色社會主義大潮的涌動和發(fā)展.如圖是會徽的幾何圖形，設弧AD的長度是l1，弧BC的長度是l2，幾何圖形ABCD面積為S1，扇形BOC面積為S2，若，（

）A．9 B．8 C．16 D．15例題3．已知扇形的半徑為1，圓心角為，則這個扇形的弧長為（

）A． B． C． D．60【即時演練】1．已知半徑為1的扇形的圓心角為，則扇形的弧長等于（

）A． B． C． D．2.一扇形的圓心角，半徑cm，則該扇形的面積為（cm2）3．已知扇形的半徑為2，面積為2π3，則扇形的圓心角的弧度數(shù)為考點二：三角函數(shù)的定義、基本關系與誘導公式【典型例題】例題1．（23-24江蘇蘇州常熟中學高一上學期學業(yè)水平調(diào)研）角的終邊與單位圓O相交于點P，且點P的橫坐標為，則的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）已知，則（

）A． B． C． D．例題3．（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知角的終邊位于第二象限，則點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限例題4．（江蘇省2023年普通高中學業(yè)水平合格性考試）已知角的終邊經(jīng)過點，則A． B． C． D．【即時演練】1．已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．2.已知，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角3.已知（1）化簡；（2）若，求的值；（3）若，求的值.考點三：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典型例題】例題1．（2024年江蘇省揚州市學業(yè)水平考試數(shù)學模擬試卷）下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）A． B．C． D．例題2．（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知函數(shù)的圖像與直線的兩個相鄰交點的距離等于，則的值為（

）A． B．1 C．2 D．3例題3．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的可能值共有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例題4．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求實數(shù)的取值范圍.【即時演練】1．如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)關系式，據(jù)此可知，這段時間水深(單位：)的最大值為（

）A．5 B．6 C．8 D．102．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象的一條對稱軸是（

）A． B．C． D．4.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.考點四：三角函數(shù)圖象變換【典型例題】例題1．（江蘇省2023年普通高中學業(yè)水平合格性考試）要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位例題2．要得到函數(shù)的圖像，只需將的圖像上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度例題3．（2023高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知函數(shù).(1)求的對稱軸方程；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍后所得到的圖象對應的函數(shù)是，求在上的零點個數(shù)．【即時演練】1．要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位2．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=fx的圖象，則（

）A． B．C． D．3．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度考點五：函數(shù)零點與函數(shù)模型應用【典例講解】例題1．（2024年江蘇省揚州市2023年學業(yè)水平考試模擬）函數(shù)的零點一定位于下列哪個區(qū)間（

）A． B． C． D．例題2．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）2023年2月6日，土耳其發(fā)生強烈地震，造成重大人員傷亡和財產(chǎn)損失，江蘇救援隊伍緊急赴當?shù)亻_展救報行動.盡管日前人類還無法準確預報地震，但科學家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為.里氏8.0級地震所釋放出來的能量是里氏6.0級地震所釋放出來的能量的（

）A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍例題3．（2022高三上·江蘇徐州·學業(yè)考試）已知是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則方程的根的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．4 D．6例題4．（2023高三·江蘇·學業(yè)考試）在一次實驗中，某小組測得一組數(shù)據(jù)，并由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖.由此散點圖，在區(qū)間上，下列四個函數(shù)模型為待定系數(shù)）中，最能反映函數(shù)關系的是（

）A． B．C． D．【即時演練】1.已知方程的根所在的區(qū)間為，，則n的值為（

）A．