23全稱量詞命題與存在量詞命題（課堂培優(yōu)）

2.3全稱量詞命題與存在量詞命題一、單選題1．下列命題中，存在量詞命題的個(gè)數(shù)是（）①實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)；②正方形的四條邊相等；③存在整數(shù)n，使n能被11整除.A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【分析】根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的概念，即可得答案.【解析】①可改寫為，任意實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，故為全稱量詞命題；②可改寫為：任意正方形的四條邊相等，故為全稱量詞命題；③是存在量詞命題.故選：A2．將a2+b2+2ab=(a+b)2改寫成全稱量詞命題是（）A．?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2B．?a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2C．?a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2D．?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2【答案】D【分析】根據(jù)全稱量詞命題的概念，改寫命題，即可得答案.【解析】命題對(duì)應(yīng)的全稱量詞命題為：?a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2.故選：D3．命題“?a，b∈R，使方程ax=b都有唯一解”的否定是()A．?a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一B．?a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一C．?a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在D．?a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在【答案】D【分析】全稱量詞命題的否定，先否定量詞，再否定“都有唯一”得解.【解析】選D.該命題的否定：?a，b∈R，使方程ax=b的解不唯一或不存在.【誤區(qū)警示】解答本題，在否定結(jié)論時(shí)容易出現(xiàn)考慮不全面而出錯(cuò)的情況.故選：D4．全稱量詞命題““的否定是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】全稱命題否定為特稱命題，改量詞否結(jié)論即可【解析】解：命題““的否定為“”，故選：B5．已知，；，.那么的取值范圍分別為（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】由全稱量詞和特稱量詞含義，可知與最大值與最小值的關(guān)系，由此得到結(jié)果.【解析】由，得：，即；由，得：，即.故選：C.6．已知，，.若為真命題且為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）.A． B．C． D．【答案】C【分析】分別求得命題為真命題，命題為真命題，求得的范圍，結(jié)合命題和命題都為真，即可求解.【解析】由命題為真命題，可得，因?yàn)闉檎婷}，即命題為真命題，則滿足，解得或，因?yàn)槊}和命題都為真，所以.故選：C.7．下列命題錯(cuò)誤的是A．命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B．若為假命題，則均為假命題C．對(duì)于命題：，使得，則：，均有D．“”是“”的充分不必要條件【答案】B【分析】由原命題與逆否命題的關(guān)系即可判斷A；由復(fù)合命題的真值表即可判斷B;由特稱命題的否定是全稱命題即可判斷C；根據(jù)充分必要條件的定義即可判斷D；．【解析】A．命題：“若p則q”的逆否命題為：“若￢q則￢p”，故A正確；B．若p∧q為假命題，則p，q中至少有一個(gè)為假命題，故B錯(cuò)．C．由含有一個(gè)量詞的命題的否定形式得，命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0，則￢p為：?x∈R，均有x2+x+1≥0，故C正確；D．由x2﹣3x+2＞0解得，x＞2或x＜1，故x＞2可推出x2﹣3x+2＞0，但x2﹣3x+2＞0推不出x＞2，故“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要條件，即D正確故選B．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)易邏輯的基礎(chǔ)知識(shí)：四種命題及關(guān)系，充分必要條件的定義，復(fù)合命題的真假和含有一個(gè)量詞的命題的否定，這里要區(qū)別否命題的形式，本題是一道基礎(chǔ)題．8．已知，函數(shù)，若m滿足關(guān)于x的方程，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值記為M，則下列選項(xiàng)中的命題為假命題的是（）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】由知拋物線開(kāi)口向上，是其對(duì)稱軸，且M為函數(shù)的最小值，進(jìn)而對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【解析】方程的解為.由當(dāng)時(shí)的函數(shù)記為M知A、B為真命題；∵，∴函數(shù)在處取得最小值.∴M是函數(shù)的最小值，因此D為真命題，C為假命題.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查含有一個(gè)量詞的命題的否定、一元二次函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意命題與命題的否定真假性相反.二、多選題9．命題“，”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】求出命題為真的取值范圍為，根據(jù)充分不必要條件，即可得出結(jié)果.【解析】，則，充分不必要條件為集合的真子集，所以B,C正確.故選：BC10．下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）A．命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；B．命題“”是全稱量詞命題；C．命題“，”是存在量詞命題．D．命題“不論取何實(shí)數(shù)，方程必有實(shí)數(shù)根”是真命題；【答案】BC【分析】根據(jù)存在量詞命題和全稱量詞命題的定義判斷ABC，根據(jù)判別式判斷D.【解析】A中命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題,故A錯(cuò)誤；B中命題“”是全稱量詞命題,故B正確；C中命題“,”是存在量詞命題,故C正確；D中選項(xiàng)中當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,因此，此命題為假命題.故選：BC11．（多選題）下列說(shuō)法正確的有（）A．命題：，，則：，B．“，”是“”成立的充分條件C．命題：，，則：，D．“”是“”的必要條件【答案】ABD【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可判定A、B，根據(jù)充分條件、必要條件的判定方法，可判定C、D，即可求解.【解析】由命題：，是全稱量詞命題，則：，，所以A正確；由時(shí)一定有，因此“”是“”成立的充分條件，所以B正確；由命題：，，為全稱命題，可得：，，所以C錯(cuò)誤；由不能推出，但時(shí)一定有成立，“”是“”的必要條件，所以D正確．故選：ABD12．對(duì)下列命題的否定說(shuō)法正確是（）A．B．C．：如果，那么如果，那么D．，使【答案】ACD【分析】根據(jù)命題的否定的定義判斷．【解析】解：，A正確；，B錯(cuò)誤；如果，那么如果，那么，C正確；，使，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查命題的否定．掌握命題的否定的定義是解題關(guān)鍵．命題的否定只要否定命題的結(jié)論，但其中錢黍量詞與存在量詞需互換，否則易出錯(cuò)．三、填空題13．已知命題，則該命題是_____________（填“真命題”或“假命題”）.【答案】假命題【分析】取，即可得出答案.【解析】當(dāng)時(shí)，，所以命題為假命題.故答案為：假命題.14．若“”是假命題，則實(shí)數(shù)a取值范圍為_(kāi)___．【答案】【分析】根據(jù)題意可知，命題“，”是真命題，可得出，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】由于命題“，”是假命題，則該命題的否定“，”是真命題，，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15．下列說(shuō)法中，正確的序號(hào)為_(kāi)__________．①命題“”的否定是“”；②已知，則“”是“或”的充分不必要條件；③命題“若，則”的逆命題為真；④若為真命題，則與至少有一個(gè)為真命題；【答案】①②【分析】對(duì)于①，把特稱命題否定為全稱命題即可；對(duì)于②，由充分條件和必要條件的定義判斷即可；對(duì)于③，取驗(yàn)證即可；對(duì)于④，由為真命題，得命題與命題至少有一個(gè)為真命題，由此可判斷【解析】解：對(duì)于①，命題“”的否定是“”，所以①正確；對(duì)于②，因?yàn)?，所以與不可能同時(shí)成立，即可得或，但或不能得到，比如，可得，所以“”是“或”的充分不必要條件，所以②正確；對(duì)于③，題“若，則”的逆命題為“若，則”，當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若為真命題，則命題與命題至少有一個(gè)為真命題，而當(dāng)命題為真命題，命題為假命題時(shí)，與均為假命題，所以④錯(cuò)誤，故答案為：①②16．給出下列結(jié)論：①若為真命題，則、均為真命題;②命題“若，則”的逆否命題是“若，則”;③若命題，，則，；④“”是“”的充分不必要條件.其中正確的結(jié)論有____.【答案】②③④【分析】根據(jù)復(fù)合命題的真假判定方法，可得①錯(cuò)誤；根據(jù)四種命題的概念，可得②正確；根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可得③正確；根據(jù)充分條件和必要條件的判定，可得④正確．【解析】對(duì)于①中，命題若為真命題，則至少有一個(gè)是真命題，所以不正確；對(duì)于②中，根據(jù)逆否命題的概念，可得命題“若，則”的逆否命題是“若，則”是正確的；對(duì)③中，根據(jù)全稱命題和存在性命題的關(guān)系，可得命題“，”的否定為“，”是正確的；對(duì)于④中，不等式的解集為或，所以“”是“”的充分不必要條件是正確的，故正確的結(jié)論有②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記復(fù)合命題的真假判定方法，四種命題的概念，全稱命題與存在性命題的關(guān)系，以及充要條件的判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．四、解答題17．用符號(hào)“?”與“?”表示下列含有量詞的命題，并判斷真假：（1）實(shí)數(shù)都能寫成小數(shù)形式.（2）有的有理數(shù)沒(méi)有倒數(shù).（3）不論m取什么實(shí)數(shù)，方程x2+xm=0必有實(shí)根.（4）存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x2+x+4≤0.【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】（1）按全稱命題改寫，再判斷命題真假.（2）按特殊命題改寫，再判斷命題真假.（3）按全稱命題改寫，再判斷命題真假.（4）按特殊命題改寫，再判斷命題真假.【解析】（1）?a∈R，a都能寫成小數(shù)形式，此命題是真命題.（2）?x∈Q，x沒(méi)有倒數(shù)，有理數(shù)0沒(méi)有倒數(shù)，故此命題是真命題.（3）?m∈R，方程x2+xm=0必有實(shí)根.當(dāng)m=1時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，是假命題.（4）?x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立，所以為假命題.18．選擇合適的量詞、，加在的前面，使其成為一個(gè)真命題：（1）；（2）；（3）是偶數(shù)；（4）若x是無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)；（5）這是含有三個(gè)變量的語(yǔ)句，用表示【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)勾股定理等知識(shí)，用全稱量詞和存在量詞改寫命題，使其成為真命題即可.【解析】（1），.（2），；，都是真命題.（3），x是偶數(shù)；（4），若x是無(wú)理數(shù)，則是無(wú)理數(shù)；例如.（5），b，，有.【點(diǎn)睛】本題主要考查了用全稱量詞和存在量詞改寫命題，屬于中檔題.19．設(shè)為全集，，是集合，則“存在集合使得，”是“”的什么條件？【答案】充要條件【分析】通過(guò)集合的包含關(guān)系，以及充分條件和必要條件的判斷，推出結(jié)果．【解析】作圖如圖:由題意，則，當(dāng)，可得，故“”；若“”能推出存在集合使得，，為全集，，是集合，則“存在集合使得，”是“”的充分必要的條件．【點(diǎn)睛】本題考查集合與集合的關(guān)系，充分條件與必要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．20．已知命題p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“，命題q：“?x∈R，使x2+2ax+2﹣a＝0“，（1）寫出命題q的否定；（2）若命題“p且q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）?x∈R，使x2+2ax+2﹣a≠0；（2）(﹣∞，﹣2]∪{1}.【分析】（1）根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可寫出；（2）求出命題p，q對(duì)應(yīng)的a的取值范圍，由“p且q”是真命題得p真q真，即可求出的范圍.【解析】（1）∵特稱命題的否定是全稱命題，∴命題q：“?x∈R，使x2+2ax+2﹣a＝0”的否定是：?x∈R，x2+2ax+2﹣a≠0.（2）命題p：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0”，即對(duì)?x∈[1，2]恒成立，∴a≤1；命題q：“?x∈R，使x2+2ax+2﹣a＝0”，∴＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1或a≤﹣2，若命題“p且q”是真命題，則p真q真，則a≤﹣2或a＝1.實(shí)數(shù)a的取值范圍(﹣∞，﹣2]∪{1}.21．已知命題p：關(guān)于x的方程x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0有兩個(gè)大于1的實(shí)數(shù)根．（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）命題q：3－a<m<3＋a，是否存在實(shí)數(shù)a使得p是q的必要不充分條件，若存在，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）m>2；（2）存在a≤1.【分析】（1）求出兩個(gè)根x＝m＋1或x＝2m－3，滿足m＋1>1且2m－3>1即可求出；（2）設(shè)集合A＝，集合B＝，由題可得BA，討論B＝和B≠兩種情況可求出.【解析】（1）由x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0得[x－(m＋1)][x－(2m－3)]＝0，所以x＝m＋1或x＝2m－3，因?yàn)槊}p為真命題，所以m＋1>1且2m－3>1，得m>2．（2）設(shè)集合A＝，集合B＝，因?yàn)閜是q的必要不充分條件，所以BA，當(dāng)B＝時(shí)，，解得a≤0；當(dāng)B≠時(shí)，解得．綜上所述：存在a≤1，滿足條件．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)必要不充分條件求參數(shù)，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）若是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）若是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）若是的既不充分又不必要條件，則對(duì)應(yīng)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．22．已知命題“關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是假命題.（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合；（2）設(shè)集合，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先令求出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是真命題時(shí)的范圍，再求補(bǔ)集即可；（