73空間幾何體截面軌跡問題（精練）

7.3空間幾何體截面、軌跡問題【題型解讀】【題型一截面形狀判斷】1.（2022·陜西安康·高三期末）已知正四面體及其內(nèi)切球，經(jīng)過該四面體的棱及底面上的高作截面，交于點(diǎn)，則截面圖形正確的是A． B． C． D．【答案】B【解析】畫出圖形，如圖所示；正四面體及其內(nèi)切球，經(jīng)過該四面體的棱及底面上的高作截面，交于點(diǎn)，則截面所表示的圖形是：故選：．2.（2022·海原縣高三模擬）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，，分別為棱，上的點(diǎn)，下列說法正確的是．（填上所有正確命題的序號(hào)）①平面；②在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；③△在側(cè)面上的正投影是面積為定值的三角形；④當(dāng)，為中點(diǎn)時(shí)，平面截該正方體所得的截面圖形是五邊形．【答案】②③④【解析】對(duì)于①平面，不一定成立，因?yàn)槠矫?，而兩個(gè)平面與面不一定平行．對(duì)于②在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線，此兩平面相交，一個(gè)面內(nèi)平行于兩個(gè)平面的交線一定平行于另一個(gè)平面，此結(jié)論正確；對(duì)于③△在側(cè)面上的正投影是面積為定值的三角形，此是一個(gè)正確的結(jié)論，因?yàn)槠渫队叭切蔚囊贿吺抢?，而點(diǎn)在面上的投影到此棱的距離是定值，故正確；對(duì)于④，當(dāng)，為中點(diǎn)時(shí)平面截該正方體所得的截面圖形是五邊形，故答案為：②③④【題型二截面面積求解】1.（2022·山西·太原五中高一階段練習(xí)）如圖，直線平面，垂足為，正四面體的棱長(zhǎng)為4，在平面內(nèi)，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)降木嚯x為最大時(shí)，正四面體在平面上的射影面積為A． B． C．4 D．【答案】A【解析】由題意，直線與動(dòng)點(diǎn)的空間關(guān)系：點(diǎn)是以為直徑的球面上的點(diǎn)，所以到的距離為四面體上以為直徑的球面上的點(diǎn)到的距離，最大距離為到球心的距離（即與的公垂線）半徑．再考慮取得最大距離時(shí)四面體的投影情況，此時(shí)我們注意到垂直平面，且平行平面，故其投影是以為底，到的距離投影，即為高的等腰三角形，其面積．故選：．2.（2022·河南·高三階段練習(xí)）某圓錐母線長(zhǎng)為2，底面半徑為，則過該圓錐頂點(diǎn)的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為A．2 B． C． D．1【答案】A【解析】如圖所示，截面為，為的中點(diǎn)，設(shè)，，所以，，故，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的截面面積最大．故選：．3.（2022·安徽·合肥市第六中學(xué)高一期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】解：設(shè)圓心到截面距離為，截面半徑為，由，即，，，故，又，，所以截面的面積為，故選：．4.（2022·全國(guó)高三模擬）已知球?yàn)槔忾L(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為．【答案】【解析】如圖，正方體的內(nèi)切球切正方體的六個(gè)面于各面的中心，則平面截球的截面為正三角形的內(nèi)切圓，正方體的棱長(zhǎng)為1，正三角形的邊長(zhǎng)為，設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為，則，即．平面截球的截面面積為．故答案為：．5.（2022?運(yùn)城期末）已知正方體的邊長(zhǎng)為3，為邊上靠近的三等分點(diǎn)，過且垂直于直線的平面被正方體所截的截面面積為A． B． C． D．【答案】A【解析】解：直線是正方體的體對(duì)角線，所以平面，因?yàn)檫^點(diǎn)的平面與直線垂直，所以平面平面，因?yàn)闉檫吷峡拷娜确贮c(diǎn)，所以平面截正方體所得截面的面積，因?yàn)檎襟w的邊長(zhǎng)為3，所以，所以過且垂直于直線的平面被正方體所截的截面面積為．故選：．6.已知底面是正方形的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng)，它的外接球的球心為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是球上任意一點(diǎn)，有以下判斷：①長(zhǎng)的最大值是9；②三棱錐體積最大值是；③存在過點(diǎn)的平面，截球的截面面積是；④是球上另一點(diǎn)，，則四面體體積的最大值為56；⑤過點(diǎn)的平面截球所得截面面積最大時(shí)，垂直于該截面．其中判斷正確的序號(hào)是．【答案】①②④【解析】解：①底面是正方形的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)，側(cè)棱長(zhǎng)，外接球的直徑為，半徑為5，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，長(zhǎng)的最大值是，故正確；②到平面的最大值為，的面積為9，三棱錐體積最大值是，故正確；③過點(diǎn)的平面，截球的截面面積最小是，故不正確；④當(dāng)中點(diǎn)與中點(diǎn)重合，且垂直于平面時(shí)，則四面體體積為56，故正確；⑤過側(cè)面是矩形，不垂直，不可能垂直于，故不正確．故答案為：①②④．【題型三平行、垂直有關(guān)的軌跡問題】1.（多選題）（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐的側(cè)面是邊長(zhǎng)為6的正三角形，點(diǎn)M在棱PD上，且，點(diǎn)Q在底面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且面，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)Q的軌跡為線段B．與CD所成角的范圍為C．的最小值為D．二面角的正切值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取點(diǎn),，使得，，連接,，如圖，由線段成比例可得，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，，所以平面平面，故當(dāng)點(diǎn)時(shí)，總有面，所以點(diǎn)Q的軌跡為線段，故A正確；對(duì)于B，由知與CD所成角即為與NE所成角，在中，，由余弦定理可得，由，可知，即運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，異面直線所成的角小于，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，二面角即平面與底面所成的銳角，連接相交于，連接，取點(diǎn)H，使得，連接MH，過H作于G，連接，如圖，由正四棱錐可知，面，由，知，，由可得，，面，，又，，平面，，即為二面角的平面角，，故D正確.故選：ACD2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱?的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，如圖所示：分別是棱?的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所?又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)?，所以平面平?因?yàn)辄c(diǎn)為底面四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，直線與平面無公共點(diǎn)，所以的軌跡為線段，則.故選：B3．（多選題）（2022·湖北孝感·高二期末）如圖，已知正方體ABCD—的棱長(zhǎng)為1，P為正方形底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．三棱錐的體積為定值B．存在點(diǎn)P，使得C．若，則P點(diǎn)在正方形底面ABCD內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段ACD．若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，過P，Q作平面α垂直于平面，則平面α截正方體的截面周長(zhǎng)為3【答案】ACD【解析】對(duì)于A，P為正方形底面ABCD時(shí)，三棱錐的高不變，底面積也不變，所以體積為定值，所以A正確；對(duì)于B，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，；若，則，即，與題意矛盾，所以B不正確；對(duì)于C，，由得，所以的軌跡就是線段，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以平面；因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面；以為參照線作出平面與正方體各個(gè)側(cè)面的交線，如圖，易知每個(gè)側(cè)面的交線均相等，長(zhǎng)度為，所以截面周長(zhǎng)為，所以D正確.故選：ACD.4.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，N為棱上的中點(diǎn)，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，過N作平面ABM的垂線段，垂足為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取AB中點(diǎn)P，連接PC，C1N，如圖，因?yàn)镻C⊥AB，PN⊥AB，且PN∩PC=P，所以AB⊥平面，AB平面ABM,所以平面ABM⊥平面，平面ABM∩平面=PM，過N作NO⊥PM，NO平面，所以NO⊥平面ABM，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1時(shí)，點(diǎn)是以PN為直徑的圓(部分)，如圖，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到最高點(diǎn)，此時(shí)，所以，從而，所以弧長(zhǎng)，即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選:B【題型四距離、角度有關(guān)的軌跡問題】1.（2022·山東·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知棱長(zhǎng)為2的正方體A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，滿足PM=PD，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為______．【答案】【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量則有，令，則則設(shè)，則∵，則又∵PM=PD，則整理得：聯(lián)立方程，則可得，可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在空間中，滿足PM=PD的P為過MD的中點(diǎn)且與MD垂直的平面兩個(gè)平面的公共部分為直線，即點(diǎn)P的軌跡為平面A′C′D，則故答案為：．2.（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為3，點(diǎn)P在的內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】連接、、，則，，，∴⊥平面，∴，同理，∴平面．設(shè)，連接BE交于O，由△BOD∽△且BD=可知OD=，則，連接OP，則，∴，可得點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部及其邊界上的部分，OB=2OE，E為中點(diǎn)，及△為等邊三角形可知O為△中心，OE=，如圖：，，，則∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，故四邊形是菱形，則∴的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為．故選：A．3.（多選）如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是正方體的側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．沿正方體的表面從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為B．若保持，則點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為C．三棱錐的體積最大值為D．若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為線段【答案】BD【解析】對(duì)于A，將側(cè)面和側(cè)面沿棱展開，可得展開圖如下圖所示，此時(shí)從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為；將底面和側(cè)面沿棱展開，可得展開圖如下圖所示，此時(shí)從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為；，從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路程為，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，又平面，平面，即為在平面內(nèi)的投影；，，，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑是以為圓心，為半徑的圓與側(cè)面的交線，即，如下圖所示，，，的長(zhǎng)度為，即點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為，B正確；對(duì)于C，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即當(dāng)最大時(shí)，最大；當(dāng)與重合時(shí)，取得最大值，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，作，，垂足分別為，平面，平面，，；設(shè)，，，則，，，，又，，整理可得：，即，即，則為滿足的線段上的點(diǎn)，即點(diǎn)的軌跡為線段，D正確.故選：BD.4.在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)M是棱AD的中點(diǎn)，，點(diǎn)P在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，則（

）A．直線MP與直線所成角的最大值為90°B．若，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分C．不存在點(diǎn)P，使得∥平面D．若平面與平面ABCD和平面與平面所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，取中點(diǎn)，易得，則平面，又，平面，則直線MP與直線為異面直線，則直線MP與直線所成角的范圍為，平面，又在上時(shí)，平面，則，此時(shí)直線MP與直線所成角為90°，則直線MP與直線所成角的最大值為90°，A正確；對(duì)于B，滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為軸，半頂角為的圓錐面，又軸∥平面，則圓錐面與平面的交線為雙曲線的一部分，即點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得，設(shè)，其中，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，要使∥平面，則，即，又，顯然無解，即不存在點(diǎn)P，使得∥平面，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)知，平面的法向量，易得平面ABCD的法向量為，平面的法向量為，由銳二面角相等，可得，化簡(jiǎn)得，即（舍去）或；畫出平面的平面圖，易得與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，則，即點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為，D正確.故選：ACD.【題型五翻折中的軌跡問題】1.（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，，，E為BC的中點(diǎn)，將△沿AE向上翻折到的位置，連接PC，PD，在翻折的過程中，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．四棱錐體積的最大值為B．PD的中點(diǎn)F的軌跡長(zhǎng)度為C．EP，CD與平面PAD所成的角相等D．三棱錐外接球的表面積有最小值【答案】B【解析】由已知條件可知，梯形AECD的面積為6，，直角斜邊AE上的高為，當(dāng)平面平面AECD時(shí)，四棱錐的體積取得最大值，即，則正確；取的中點(diǎn)，連接，，，則且，∴四邊形ECFG是平行四邊形，∴點(diǎn)的軌跡與點(diǎn)的軌跡形狀完全相同．過作AE的垂線，垂足為H，G的軌跡是以為圓心，為半徑的半圓弧，從而PD的中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，則錯(cuò)誤；由四邊形ECFG是平行四邊形，知，則平面PAD，則E，C到平面PAD的距離相等，故PE，CD與平面PAD所成角的正弦值之比為，則正確；△外接圓的半徑為，為的中點(diǎn)，直角△外接圓的半徑為，為的中點(diǎn)，是圓與圓