能力拓展02函數(shù)的綜合應(yīng)用（原卷版）

能力拓展02函數(shù)的綜合應(yīng)用【命題方向目錄】命題方向一：函數(shù)與數(shù)列的綜合命題方向二：函數(shù)與不等式的綜合命題方向三：函數(shù)中的創(chuàng)新題命題方向四：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）命題方向五：倍值函數(shù)命題方向六：函數(shù)不動點(diǎn)問題命題方向七：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題命題方向八：函數(shù)的伸縮變換問題命題方向九：V型函數(shù)和平底函數(shù)【典例例題】命題方向一：函數(shù)與數(shù)列的綜合例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，，，是數(shù)列的前100項(xiàng)和，且滿足，則不可能是（

）A． B．C． D．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．例3．（2023·北京·高三?？紡?qiáng)基計劃）已知數(shù)列滿足，其中，記表示數(shù)列的前n項(xiàng)乘積，則（

）A． B．C． D．變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素（也稱互質(zhì)）的正整數(shù)的個數(shù)，例如，，．則（

）A．?dāng)?shù)列單調(diào) B．C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．變式2．（2023·北京·高三強(qiáng)基計劃）已知實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)列滿足對任意的，有現(xiàn)知，則可能的的個數(shù)為（

）A．2021個 B．個 C．個 D．以上答案都不對命題方向二：函數(shù)與不等式的綜合例4．（多選題）（2023·山東濰坊·三模）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足不等式，則的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例5．（多選題）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知，若正數(shù)滿足，則下列不等式可能成立的是（

）A． B．C． D．例6．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知正數(shù)，滿足，則下列不等式正確的是（

）A． B．C． D．變式3．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．變式4．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，實(shí)數(shù)，滿足不等式，則（

）A． B．C． D．變式5．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則下列不等式中成立的是（

）A． B．C． D．命題方向三：函數(shù)中的創(chuàng)新題例7．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）取名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾不動點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點(diǎn)定理.該定理表明：對于滿足一定條件的圖象連續(xù)不間斷的函數(shù)，在其定義域內(nèi)存在一點(diǎn)，使得，則稱為函數(shù)的一個不動點(diǎn)，那么下列函數(shù)具有“不動點(diǎn)”的是（

）A． B．C． D．例8．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）高斯是德國著名數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如，.則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)在區(qū)間（）上單調(diào)遞增B．若函數(shù)，則的值域?yàn)镃．若函數(shù)，則的值域?yàn)镈．，例9．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）意大利畫家列奧納多·達(dá)?芬奇的畫作《抱銀鼠的女子》中，女士脖頸上黑色珍珠項(xiàng)鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”．后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式：，其中為曲線頂點(diǎn)到橫坐標(biāo)軸的距離，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相應(yīng)地，雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為．若直線與雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)的圖象分別相交于點(diǎn)，，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的為（

）A．B．是偶函數(shù)C．D．若是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則實(shí)數(shù)變式6．（多選題）（2023·重慶永川·高三重慶市永川北山中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”，如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美，定義：圓O的圓心在原點(diǎn)，若函數(shù)的圖像將圓O的周長和面積同時等分成兩部分，則這個函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，則（

）A．對于圓O，其“太極函數(shù)”有1個B．函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”C．函數(shù)不是圓O的“太極函數(shù)”D．函數(shù)是圓O的一個“太極函數(shù)”變式7．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)概念最早是在17世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨提出的，后又經(jīng)歷了貝努利?歐拉等人的改譯.1821年法國數(shù)學(xué)家柯西給出了這樣的定義：在某些變數(shù)存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著確定時，則稱最初的變數(shù)叫自變量，其他的變數(shù)叫做函數(shù)．德國數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立的集合論使得函數(shù)的概念更嚴(yán)謹(jǐn)．后人在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了高中教材中的函數(shù)定義：“一般地，設(shè)是兩個非空的數(shù)集，如果按某種對應(yīng)法則，對于集合中的每一個元素，在集合中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)叫做從到的一個函數(shù)”．下列對應(yīng)法則滿足函數(shù)定義的有（

）A． B．C． D．變式8．（多選題）（2023·福建三明·高三三明一中校考階段練習(xí)）若存在直線，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足，則稱此直線為和的“隔離直線”，已知函數(shù)，，，下列命題為真命題的是（）A．在內(nèi)單調(diào)遞增B．和之間存在“隔離直線”，且的最小值為C．和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是D．和之間存在唯一的“隔離直線”變式9．（多選題）（2023·江蘇常州·高三江蘇省前黃高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）意大利著名畫家列奧納多·達(dá)·芬奇（1452.4—1519.5）的畫作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上懸掛的黑色珍珠項(xiàng)鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，有人曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其表達(dá)式為（其中為自然對數(shù)的底數(shù)，下同），相應(yīng)地，雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為．若直線與雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)分別相交于，曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．隨的增大而減小 D．的面積隨的增大而減小命題方向四：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）例10．（2023·浙江·高一期中）已知函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值為，當(dāng)取到最小值時則______.例11．（2023·上海·高一專題練習(xí)）對于實(shí)數(shù)a，，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為，的最小值為______．例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，的最大值為，則的最小值為_________.變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).當(dāng)，的最大值為，則的最小值為______變式11．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)和，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的最大值為__________．變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的最大值是________．變式13．（2023·山東·高三校聯(lián)考競賽）設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ax+b，對于任意的a，b∈R，總存在t∈[0，4]，使得成立，則實(shí)數(shù)m的最大值是______.變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間，上的最大值為，當(dāng)實(shí)數(shù)，變化時，最小值為__，當(dāng)取到最小值時，__.命題方向五：倍值函數(shù)例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)椋瑒t稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有__________．①；

②；③；

④．例14．（2023·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考期中）函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)椋瑒t稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的有_______①

②

③例15．（2023·寧夏·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”，下列函數(shù)中存在“倍值區(qū)間”的函數(shù)有________（填序號）.①；②；③；④變式15．（2023·山東臨沂·高三階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間[a，b]D，使得函數(shù)滿足：(1)在[a，b]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；(2)在[a，b]上的值域?yàn)閇2a，2b]，則稱區(qū)間[a，b]為y=的“和諧區(qū)間”．下列函數(shù)中存在“和諧區(qū)間”的是___________(只需填符合題意的函數(shù)序號).①；②；③；④.變式16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋舸嬖陂]區(qū)間，使得函數(shù)同時滿足：（1）在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；（2）在上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間為的“倍值區(qū)間”.下列函數(shù)：①；②；③；④.其中存在“倍值區(qū)間”的序號為___________.變式17．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；在上的值域?yàn)?，則稱區(qū)間為的“等值區(qū)間”下列函數(shù)中存在“等值區(qū)間”的有______．命題方向六：函數(shù)不動點(diǎn)問題例16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)D是函數(shù)定義域內(nèi)的一個區(qū)間，若存在，使，則稱是的一個“次不動點(diǎn)”，也稱在區(qū)間D上存在“次不動點(diǎn)”，若函數(shù)在區(qū)間[1，4]上存在“次不動點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．[,+∞) B． C．(∞,0) D．(0,)例17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在一個實(shí)數(shù)t，使得成立，則稱t為函數(shù)的一個不動點(diǎn).設(shè)函數(shù)(，e為自然對數(shù)的底數(shù))，定義在R上的連續(xù)函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.若存在，且為函數(shù)的一個不動點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若存在(為自然對數(shù)的底數(shù))，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，定義在上的連續(xù)函數(shù)使得是奇函數(shù)，當(dāng)時，，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．變式19．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？级＃┰O(shè)函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)），定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足：，且當(dāng)時，，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A． B． C． D．命題方向七：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題例19．（2023·上海浦東新·高三上海師大附中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度，若得到的圖象仍是函數(shù)圖象，則可取值的集合為_________.例20．（2023·上海靜安·高三上海市第六十中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度，若仍是函數(shù)圖象，則可取值的集合為________例21．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）將函數(shù)的圖象繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與軸相切，則_______.變式20．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，若將函數(shù)圖像繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)角（）后得到的函數(shù)存在反函數(shù)，則的取值集合是_________變式21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)．（1）該函數(shù)的最小值為______；（2）將該函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)順時針方向旋轉(zhuǎn)角得到曲線．若對于每一個旋轉(zhuǎn)角，曲線都是一個函數(shù)的圖象，則的取值范圍是______．變式22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)D是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，是定義在D上的函數(shù)．若的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則______填是或否可能為1．若的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則可能取值只能是______．

命題方向八：函數(shù)的伸縮變換問題例22．（2023·天津北辰·高一天津市第四十七中學(xué)?？计谥校┒x域?yàn)镽的函數(shù)滿足，當(dāng)時，，若時，恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________.例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于函數(shù)，下列5個結(jié)論正確的是_________.①任取，都有；②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；③對一切恒成立；④函數(shù)有3個零點(diǎn)；⑤若關(guān)于的方程有且只有兩個不同實(shí)根，則.例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于函數(shù)，下列5個結(jié)論正確的是___________.（1）任取，都有；（2）函數(shù)在上嚴(yán)格遞減；（3）（），對一切恒成立；（4）函數(shù)有3個零點(diǎn)；（5）若關(guān)于的方程有且只有兩個不同的實(shí)根，，則.變式23．（2023·北京·高三北京二中校考開學(xué)考試）對于函數(shù)，下列4個結(jié)論正確的是______.①任取，都有；②，對一切恒成立；③若關(guān)于x的方程有且只有兩個不同的實(shí)根，則；④函數(shù)有5個零點(diǎn)變式24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）對于函數(shù)，下列五個結(jié)論中正確的是________.（1）任取，都有；（2），其中；（3）對一切恒成立；（4）函數(shù)有個零點(diǎn)；（5）若關(guān)于的方程（），有且只有兩個不同的實(shí)根、，則.變式25．（2023·北京東城·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．______．若方程有且只有一個實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．變式26．（2023·北京東城·北京市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，滿足f（x+1）＝2f（x），且當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）＝2x2﹣2x.