專(zhuān)題08利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題

專(zhuān)題08利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)突破一利潤(rùn)問(wèn)題一、單選題1．在“全面脫貧”行動(dòng)中，某銀行向某貧困地區(qū)的貧困戶(hù)提供10萬(wàn)元以?xún)?nèi)的免息貸款，貧困戶(hù)小李準(zhǔn)備向銀行貸款x萬(wàn)元全部用于農(nóng)產(chǎn)品土特產(chǎn)的加工與銷(xiāo)售，據(jù)測(cè)算每年利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）與貸款x滿(mǎn)足關(guān)系式，要使年利潤(rùn)最大，小李應(yīng)向銀行貸款（

）A．3萬(wàn)元 B．4萬(wàn)元 C．5萬(wàn)元 D．6萬(wàn)元【解析】依題意，且，，所以函數(shù)在，函數(shù)遞增；在，函數(shù)遞減.所以當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，函數(shù)取得最大值.故選：B二、多選題2．已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1000件需另投入2.7萬(wàn)元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷(xiāo)售完，每千件的銷(xiāo)售收入為萬(wàn)元，且當(dāng)該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大時(shí)，則有（

）A．年產(chǎn)量為9000件 B．年產(chǎn)量為10000件C．年利潤(rùn)最大值為38萬(wàn)元 D．年利潤(rùn)最大值為38.6萬(wàn)元【解析】設(shè)年利潤(rùn)為W.當(dāng)時(shí)，，.令，得（舍負(fù)），且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)W取得最大值38.6；當(dāng)時(shí)，，.令，得（舍負(fù)），所以當(dāng)時(shí)，年利潤(rùn)W取得最大值38.因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為9000件時(shí)，該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中，所獲得的年利潤(rùn)最大，且年利潤(rùn)最大值為38.6萬(wàn)元.故選：AD.三、填空題3．某一學(xué)習(xí)興趣小組對(duì)學(xué)校超市某種商品的銷(xiāo)售情況進(jìn)行了調(diào)研，通過(guò)大量的數(shù)據(jù)解析，發(fā)現(xiàn)該商品每日的銷(xiāo)售量（百件）與銷(xiāo)售價(jià)格（元/件）滿(mǎn)足，現(xiàn)已知該商品的成本價(jià)為2元/件，則當(dāng)時(shí)，超市每日銷(xiāo)售該商品所獲得的最大利潤(rùn)為_(kāi)_________元.【解析】設(shè)超市每日銷(xiāo)售該商品所獲得的最大利潤(rùn)為.則，故，當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減;故當(dāng)時(shí),取得最大值，故超市每日銷(xiāo)售該商品所獲得的最大利潤(rùn)為500元.四、解答題4．某學(xué)校高二年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某“著名品牌”系列進(jìn)行市場(chǎng)銷(xiāo)售量調(diào)研，通過(guò)對(duì)該品牌的系列一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)系列每日的銷(xiāo)售量（單位：千克）與銷(xiāo)售價(jià)格（元/千克）近似滿(mǎn)足關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷(xiāo)售價(jià)格為6元/千克時(shí)，每日可售出系列15千克.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若系列的成本為4元/千克，試確定銷(xiāo)售價(jià)格的值，使該商場(chǎng)每日銷(xiāo)售系列所獲得的利潤(rùn)最大.【解析】（1）有題意可知，當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以.（2）設(shè)該商場(chǎng)每日銷(xiāo)售系列所獲得的利潤(rùn)為，則，，令，得或（舍去），所以當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，即時(shí)函數(shù)取得最大值.所以當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為5元/千克時(shí)，系列每日所獲得的利潤(rùn)最大.5．為了提高某產(chǎn)品的銷(xiāo)量，公司計(jì)劃對(duì)該產(chǎn)品投入適當(dāng)?shù)男麄髻M(fèi)用．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的銷(xiāo)售量y（單位：萬(wàn)件）與宣傳費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式，已知每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為（單位：元）．(1)求該產(chǎn)品的總利z（單位：萬(wàn)元）關(guān)于x的函數(shù)．(2)求投入宣傳費(fèi)用多少萬(wàn)元時(shí)，該產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【解析】(1)由題可知，．(2)，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞減，故．當(dāng)投入的宣傳費(fèi)用為3萬(wàn)元時(shí)，該產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大，且最大利潤(rùn)為11.5萬(wàn)元．6．某工廠共有10臺(tái)機(jī)器共同生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平等因素的影響，會(huì)產(chǎn)生一定數(shù)量的次品.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的次品數(shù)（萬(wàn)件）與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量（萬(wàn)件）之間滿(mǎn)足關(guān)系：，已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元.(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)（萬(wàn)元）表示為關(guān)于（萬(wàn)件）的函數(shù)（利潤(rùn)盈利虧損）；(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量（萬(wàn)件）為多少時(shí)，獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少?【解析】(1)由題意，所獲得的利潤(rùn)為(2)由（1），所以，令，得到或（舍去）；所以當(dāng)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值，即最大值，所以當(dāng)時(shí)利潤(rùn)最大，為（萬(wàn)元），當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為6（萬(wàn)件）時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元．7．某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬(wàn)元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬(wàn)千克，每種植1萬(wàn)千克蓮藕，成本增加0.5萬(wàn)元.種植萬(wàn)千克蓮藕的銷(xiāo)售額(單位：萬(wàn)元)是(是常數(shù))，若種植2萬(wàn)千克蓮藕，利潤(rùn)是1.5萬(wàn)元，求：(1)種植萬(wàn)千克蓮藕的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為的解析式；(2)要使利潤(rùn)最大，每年需種植多少萬(wàn)千克蓮藕，并求出利潤(rùn)的最大值.【解析】(1)種植萬(wàn)千克蓮藕的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)為：，，即，，當(dāng)時(shí)，，解得，故，；(2)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，利潤(rùn)最大為萬(wàn)元.8．某分公司經(jīng)銷(xiāo)某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每件產(chǎn)品需向總公司繳納5元的管理費(fèi)，根據(jù)多年的管理經(jīng)驗(yàn)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元時(shí)，產(chǎn)品一年的銷(xiāo)售量為（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）萬(wàn)件.已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品的一年銷(xiāo)售量為500萬(wàn)件，經(jīng)物價(jià)部門(mén)核定每件產(chǎn)品的售價(jià)最低不低于35元，最高不超過(guò)41元.(1)求的值；(2)求分公司經(jīng)營(yíng)該產(chǎn)品一年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)（元）的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，并求出的最大值.【解析】(1)由題意可知，已知每件產(chǎn)品的售價(jià)為40元時(shí)，該產(chǎn)品的一年銷(xiāo)售量為500萬(wàn)件即，解得，(2)，(3)令，，令，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，為減函數(shù)即時(shí)，∴當(dāng)每年產(chǎn)品的售價(jià)為36元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值為9．石寶寨位于重慶市忠縣境內(nèi)長(zhǎng)江北岸邊，被稱(chēng)為“江上明珠”，國(guó)家AAAA級(jí)旅游景區(qū)，全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，長(zhǎng)江三峽最佳旅游景觀之一，美國(guó)探索頻道中國(guó)七大奇觀之一，世界八大奇異建筑之一.近期石寶寨景區(qū)為提高經(jīng)濟(jì)效益，擬投入資金對(duì)景區(qū)經(jīng)行改造升級(jí)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查可知，景區(qū)門(mén)票增收y（單位：萬(wàn)元）與投入資金40）（單位：萬(wàn)元）之間的關(guān)系式為：，其中為常數(shù)，當(dāng)投入資金為10萬(wàn)元時(shí)，門(mén)票增收為萬(wàn)元；當(dāng)投入資金為30萬(wàn)元時(shí)，門(mén)票增收為37萬(wàn)元.（參考數(shù)據(jù)，）(1)求的解析式：(2)石寶寨景區(qū)投入資金為多少時(shí)，改造升級(jí)后的旅游利潤(rùn)最大，最大值為多少？【解析】(1)因?yàn)?，且?dāng)投入資金為10萬(wàn)元時(shí)，門(mén)票增收為萬(wàn)元；當(dāng)投入資金為30萬(wàn)元時(shí)，門(mén)票增收為37萬(wàn)元，所以，解得，所以；(2)由（1）知：，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，取得最大值10萬(wàn)元.10．某個(gè)體戶(hù)計(jì)劃經(jīng)銷(xiāo)、兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，當(dāng)投資額為（）萬(wàn)元時(shí)，在經(jīng)銷(xiāo)、商品中所獲得的收益分別為萬(wàn)元與萬(wàn)元、其中（）；，（）已知投資額為零時(shí)，收益為零.（1）試求出，的值；（2）如果該個(gè)體戶(hù)準(zhǔn)備投入5萬(wàn)元經(jīng)營(yíng)這兩種商品，請(qǐng)你幫他制定一個(gè)資金投入方案，使他能獲得最大收益，并求出其收入的最大值.（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）.【解析】(1)根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，可知，即：，(2)由(1)的結(jié)果可得：，依題意，可設(shè)投入商品的資金為萬(wàn)元（），則投入商品的資金為萬(wàn)元，若所獲得的收入為萬(wàn)元，則有（）∴

，令，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴是在區(qū)間上的唯一極大值點(diǎn)，此時(shí)取得最大值：（萬(wàn)元），（萬(wàn)元）答：該個(gè)體戶(hù)可對(duì)商品投入3萬(wàn)元，對(duì)商品投入2萬(wàn)元，這樣可以獲得12.6萬(wàn)元的最大收益.專(zhuān)項(xiàng)突破二面積、體積問(wèn)題一、單選題1．某箱子的體積V與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為，則當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子的底面邊長(zhǎng)為（

）A．30 B．40 C．50 D．55【解析】由題意得：由題意得因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.所以是的最大值，即當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子的底面邊長(zhǎng)為.故選：B二、多選題2．若將一邊長(zhǎng)為a的正方形鐵片的四角截去四個(gè)邊長(zhǎng)均為x的小正方形，然后做成一個(gè)無(wú)蓋的方盒，則下列說(shuō)法正確的是(

)A．當(dāng)時(shí)，方盒的容積最大 B．當(dāng)時(shí)，方盒的容積最小C．方盒容積的最大值為 D．方盒容積的最小值為【解析】方盒的容積為，.令，得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，故AC正確，BD錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題3．圓柱內(nèi)接于半徑為3的球，當(dāng)圓柱體積最大時(shí)其底面半徑為_(kāi)_____．【解析】設(shè)圓柱底面半徑為，圓柱高為，球的半徑為，則，即，，所以圓柱的體積為，∴，由，可得，∴，，所以當(dāng)，即時(shí)，圓柱體積最大.4．已知在正四棱錐中，，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為_(kāi)______．【解析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高h(yuǎn)，其中，所以體積Va2h，設(shè)＝9a4a6，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減，∴當(dāng)a＝時(shí)，該四棱錐的體積最大，此時(shí)h5．已知四面體，點(diǎn)為其內(nèi)部一點(diǎn)，滿(mǎn)足，，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，四面體外接球的表面積為_(kāi)_________．【解析】由得，點(diǎn)位于過(guò)的外心且垂直于面的直線上，若要四面體的體積最大，則在平面的同側(cè)，且點(diǎn)滿(mǎn)足平面，如圖所示，設(shè)外接球的球心，在平面上的射影為，外接球的半徑，設(shè)，因?yàn)闉閳A上的三點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，易得在處取得最大值，所以，又，所以，解得，所以球的表面積.四、解答題6．某市一特色酒店由一些完全相同的帳篷構(gòu)成.每座帳篷的體積為，且分上?下兩層，其中上層是半徑為米的半球體，下層是底面半徑為r米，高為h米的圓柱體（如圖）.經(jīng)測(cè)算，上層半球體部分每平方米的建造費(fèi)用為2千元，下層圓柱體的側(cè)面?隔層和地面三個(gè)部分每平方米的建造費(fèi)用均為3千元，設(shè)每座賬篷的建造費(fèi)用為y千元.(1)求y關(guān)于r的函數(shù)解析式，并指出該函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)半徑r為何值時(shí)，每座帳篷的建造費(fèi)用最小？并求出最小值.【解析】(1)由題意可得，所以，所以，即.因?yàn)椋?，所以，所以，故?(2)（2）設(shè)，，則，令，解得.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值，且.所以當(dāng)時(shí)，.所以當(dāng)半徑r為3米時(shí)，建造費(fèi)用最小，最小為162π千元.7．將一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形鐵皮制作成一個(gè)無(wú)蓋的正四棱錐容器（圖為無(wú)蓋容器倒置圖），要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失，記正四棱錐的無(wú)蓋底面邊長(zhǎng)為x，容器的容積為.（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)該正四棱錐形容器的容積取得最大值時(shí)，求此時(shí)x的值.【解析】（1）設(shè)正四棱錐容器的高為h，則正四棱錐容器的側(cè)棱長(zhǎng)為正四棱錐的側(cè)面積為有，可得，得由，可得則函數(shù)的表達(dá)式為.（2）令，有令，可得，可得函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為故當(dāng)該正四棱錐的容積取得最大值，此時(shí)x的值.8．為優(yōu)先發(fā)展農(nóng)村經(jīng)濟(jì)，豐富村民精神生活，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，某村在年新農(nóng)村建設(shè)規(guī)劃中，計(jì)劃在一半徑為的半圓形區(qū)域(為圓心)上，修建一個(gè)矩形名人文化廣場(chǎng)和一個(gè)矩形停車(chē)場(chǎng)(如圖)，剩余區(qū)域進(jìn)行綠化，現(xiàn)要求，.（1）設(shè)為名人文化廣場(chǎng)和停車(chē)場(chǎng)用地總面積，求的表達(dá)式；（2）當(dāng)取最大值時(shí)，求的值.【解析】（1）依題得，，，取的中點(diǎn)，所以，連接，則，則，由得，，所以，.（2），令，得，解得或(不合題意，舍去)，設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值.專(zhuān)項(xiàng)突破三成本問(wèn)題一、單選題1．進(jìn)入4月份以來(lái)，為了支援上海抗擊疫情，A地組織物流企業(yè)的汽車(chē)運(yùn)輸隊(duì)從高速公路向上海運(yùn)送抗疫物資.已知A地距離上海500，設(shè)車(chē)隊(duì)從A地勻速行駛到上海，高速公路限速為.已知車(chē)隊(duì)每小時(shí)運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度v的立方成正比，比例系數(shù)為b，固定部分為a元.若，，為了使全程運(yùn)輸成本最低，車(chē)隊(duì)速度v應(yīng)為（

）A．80 B．90 C．100 D．110【解析】設(shè)運(yùn)輸成本為元，依題意可得，則所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)取得極小值即最小值，所以時(shí)全程運(yùn)輸成本最低；故選：C2．欲制作一個(gè)容積為的圓柱形蓄水罐（無(wú)蓋），為能使所用的材料最省，它的底面半徑應(yīng)為（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，表面積為，則由題意有，所以.則水罐的表面積.令，得.檢驗(yàn)得，當(dāng)時(shí)表面積取得最小值，即所用的材料最省.故選：C.二、填空題3．一艘船的燃料費(fèi)y（單位：元/時(shí)）與船速x（單位：千米/時(shí)）的關(guān)系是.若該船航行時(shí)其他費(fèi)用為540元/時(shí)，則在100千米的航程中，要使得航行的總費(fèi)用最少，航速應(yīng)為_(kāi)_____千米/時(shí).【解析】依題意，航行的總費(fèi)用，所以.令，得.當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，也是最小值.所以要使得航行的總費(fèi)用最少，航速應(yīng)為30千米/時(shí).4．某企業(yè)擬建造一個(gè)容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，該容器的底部為圓柱形，高為l，底面半徑為r，上部為半徑為r的半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3萬(wàn)元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為4萬(wàn)元，則該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)，半徑r的值為_(kāi)__________.【解析】設(shè)容器的表面積為，所以，又因?yàn)?，所以且，所以且，所以，所以，令，，?dāng)，，當(dāng)，，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，由題設(shè)可知：表面積最小時(shí)，建造費(fèi)用最小，所以三、解答題5．某城鎮(zhèn)在規(guī)劃的一工業(yè)園區(qū)內(nèi)架設(shè)一條16千米的高壓線，已知該段線路兩端的高壓線塔已經(jīng)搭建好，余下的工程只需要在已建好的兩高壓線塔之間等距離的再修建若干座高壓電線塔和架設(shè)電線．已知建造一座高壓線電塔需2萬(wàn)元，搭建距離為x千米的相鄰兩高壓電線塔之間的電線和人工費(fèi)用等為萬(wàn)元，所有高壓電線塔都視為“點(diǎn)”，且不考慮其他因素，記余下的工程費(fèi)用為y萬(wàn)元．(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．(2)問(wèn)：需要建造多少座高壓線塔，才能使工程費(fèi)y有最小值？最小值是多少？（參考數(shù)據(jù)：）【解析】(1)由題意知，需要新建的高壓線塔為座．

所以，

即．(2)由（1），得，

令得或（舍去）．

由，得；由，得，所以函數(shù)y在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)y取得最小值，且，此時(shí)應(yīng)建高壓線塔為（座）．

故需建19座高壓線塔可使得余下的工程費(fèi)用最低，且最小值為44.72萬(wàn)元．6．某輪船航行過(guò)程中每小時(shí)的燃料費(fèi)與其速度的立方成正比.已知當(dāng)速度為10千米/時(shí)時(shí)，燃料費(fèi)為10元/時(shí)，其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用每小時(shí)180元.（1）求輪船的速度為多少時(shí)，每千米航程成本最低？（2）若輪船限速不超過(guò)20千米/時(shí)，求每千米航程的最低成本.【解析】（1）設(shè)燃料費(fèi)為元/時(shí)，速度為千米/時(shí)，則.由，得.每千米航程成本函數(shù)為，則.令，得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以速度為千米/時(shí)時(shí)，每千米航程的成本最低.（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)限速不超過(guò)20千米/時(shí)時(shí)，（元）所以輪船限速不超過(guò)20千米/時(shí)，每千米航程的最底成本為13元.7．已知兩地的距離是，按交通法規(guī)規(guī)定，兩地之間的公路車(chē)速應(yīng)限制在，假設(shè)汽油的價(jià)格是6元/升，以速度行駛時(shí)，汽車(chē)的耗油率為，司機(jī)每小時(shí)的工資是36元，那么最經(jīng)濟(jì)的車(chē)速是多少？如果不考慮其他費(fèi)用，這次行車(chē)的總費(fèi)用是多少？【解析】設(shè)汽車(chē)以行駛時(shí)，行車(chē)的總費(fèi)用，，所以，令，解得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即當(dāng)車(chē)速為時(shí)，行車(chē)總費(fèi)用最少，此時(shí)最少總費(fèi)用（元）.答：最經(jīng)濟(jì)的車(chē)速約為；如果不考慮其他費(fèi)用，這次行車(chē)的總費(fèi)用約為240元.8．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)即將在成都拉開(kāi)帷幕.為了配合大運(yùn)會(huì)的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，組委會(huì)擬在成都東安湖體育公園修建一座具有成都文化特色的橋.兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距160米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為32萬(wàn)元，距離為x米（其中，）的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬(wàn)元.假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，設(shè)需要新建n個(gè)橋墩（顯然），記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元.(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？【解析】(1)由，得，所以.(2)由（1）知，，令，得，所以.當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù).所以在處取得最小值，此時(shí).故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.9．為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用15年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為8萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿(mǎn)足關(guān)系：，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)為隔熱層建造費(fèi)用與15年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小，并求最小值．【解析】(1)隔熱層厚度xcm，依題意，每年能源消耗費(fèi)用為，由，得，因此，而建造費(fèi)用為，則隔熱層建造費(fèi)用與15年的能源消耗費(fèi)用之和為，所以.(2)由（1）知，，令，即，而，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上遞減，在上遞增，則當(dāng)時(shí)，取最小值．所以當(dāng)隔熱層修建cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值為萬(wàn)元．10．如圖，公園內(nèi)直線道路旁有一半徑為10米的半圓形荒地（圓心O在道路上，為直徑），現(xiàn)要在荒地的基礎(chǔ)上改造出一處景觀.在半圓上取一點(diǎn)C，道路上B點(diǎn)的右邊取一點(diǎn)D，使垂直于，且的長(zhǎng)不超過(guò)20米.在扇形區(qū)域內(nèi)種植花卉，三角形區(qū)域內(nèi)鋪設(shè)草皮.已知種植花卉的費(fèi)用每平方米為200元，鋪設(shè)草皮的費(fèi)用每平方米為100元.（1）設(shè)（單位：弧度），將總費(fèi)用y表示為x的函數(shù)式，并指出x的取值范圍；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，總費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用.【解析】（1）因?yàn)樯刃蔚陌霃綖?，，且的長(zhǎng)不超過(guò)20米，當(dāng)時(shí)，，故.所以扇形的面積：，.在中，，，所以的面積，從而，；設(shè)，，則，，令，解得，從而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，所以y的最小值為元.專(zhuān)項(xiàng)突破四用料問(wèn)題一、單選題1．做一個(gè)容積為立方米的圓柱形無(wú)蓋（有底）水箱，為使用材料最省，它的底面半徑r為（

）A．1米 B．米 C．2米 D．米【解析】由題，圓柱的高滿(mǎn)足，則，故所用材料面積有，求導(dǎo)可得，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：C2．一艘船從A地到B地，其燃料費(fèi)w與船速v的關(guān)系為，要使燃料費(fèi)最低，則v=（

）A．18 B．20 C．25 D．30【解析】，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：A.3．現(xiàn)需設(shè)計(jì)肇慶聯(lián)考聯(lián)盟20182019學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷，該試卷含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目（可參考本試卷頁(yè)面排布），假設(shè)這兩欄的面積之和為，四周空白的寬度為，兩欄之間的中縫空白的寬度為，設(shè)試卷的高和寬分別為，.試卷的面積最小時(shí)，該試卷的高為（

）A．8 B．10 C．32 D．40【解析】設(shè)試卷的高和寬分別為，，則每欄的高和寬分別為，，其中，，兩欄面積之和為：，由此得，定義域?yàn)?，設(shè)試卷的面積為，則，∴，令得（負(fù)數(shù)舍去），∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.∴時(shí)取得最小值.∴當(dāng)試卷的高為，寬為時(shí)，可使試卷的面積最小.故選：C.二、填空題4．統(tǒng)計(jì)表明：某種型號(hào)的汽車(chē)在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為，x∈(0，120]，且甲、乙兩地相距100千米，則當(dāng)汽車(chē)以________千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地的耗油量最少．【解析】設(shè)速度為x千米/時(shí)，汽車(chē)從甲地到乙地行駛了小時(shí)，設(shè)耗油量為y升，則x∈(0，120]有．令y′＝0，得x＝80，當(dāng)x∈(0，80)時(shí)，y′<0，該函數(shù)遞減；當(dāng)x∈(80，120]時(shí)，y′>0，該函數(shù)遞增，所以當(dāng)x＝80時(shí)，y取得最小值．5．如圖，用鐵絲圍成一個(gè)上面是半圓，下面是矩形的圖形，其面積為．當(dāng)圓的半徑為_(kāi)______m時(shí)，所用鐵絲最短．【解析】設(shè)矩形的底寬為，則半圓的半徑為，半圓的面積為故矩形的面積為：，故矩形的另一邊長(zhǎng)為：由，可得，因此鐵絲的長(zhǎng)為：，，令（舍負(fù)），當(dāng)；故在單調(diào)遞減；當(dāng)；故在單調(diào)遞增.因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值即當(dāng)圓的半徑為m時(shí)，所用鐵絲最短．三、解答題6．已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元．(1)求比例系數(shù)k(2)當(dāng)時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？(3)當(dāng)（x為大于8的常數(shù)）時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的