專(zhuān)題18任意角與弧度制

輔導(dǎo)專(zhuān)題十八任意角與弧度制A版(基礎(chǔ)版)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)圖二、知識(shí)及例題知識(shí)點(diǎn)1任意角平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。（射線的起始位置稱(chēng)為始邊，終止位置稱(chēng)為終邊。正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。（射線的起始位置稱(chēng)為始邊，終止位置稱(chēng)為終邊。正角：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角負(fù)角：按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角零角：射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)所形成的角例1將射線OM繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)150°所得的角的大小為()A.150°B.－150°C.30°D.210°【解析】逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為正角，所以150°為所求，故選A.【練習(xí)1.1】在直角坐標(biāo)系中，以x軸為始邊，繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)480°所得的角的大小為.【解析】順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)為負(fù)角，故答案為－480°.【練習(xí)2】寫(xiě)出圖(1)、(2)中的角α、β、γ的度數(shù)．【解析】由圖，角的終邊α＝360°－30°＝330°；γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°.【提醒】任意角，旋轉(zhuǎn)方向決定符號(hào)?！局R(shí)點(diǎn)2】象限角象限角：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與象限角：在直角坐標(biāo)系中,使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合,角的終邊在第幾象限,就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限的角。軸上角：如果角的終邊在坐標(biāo)軸上,就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限，稱(chēng)為軸上角.終邊與坐標(biāo)軸重合的角，例如【各象限角的范圍】第一象限角的范圍為，Z第二象限角的范圍為，Z第三象限角的范圍為，Z第四象限角的范圍為，Z【例2】試判斷下列角是哪個(gè)象限角？105?，1110?，－210?【解析】105?第二象限角，變式1.角是哪個(gè)象限角？。【解析】第二象限角變式2.下列命題正確的是()【解析】BA．第一象限角是銳角B．鈍角是第二象限角C．終邊相同的角一定相等D．不相等的角，它們終邊必不相同變式3.若－30°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，現(xiàn)將－30°角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)2周，則所得角是_________．【解析】690°歸結(jié)：歸結(jié)：【知識(shí)點(diǎn)3】終邊相同的角的表示終邊與終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.A組例3.下列與150°角終邊相同的角是()【解析】DA.30° B.150° C.390° D.210°變式1.下列各角中，與－1110°的角終邊相同的角是()【解析】DA．60°B．－60°C．30°D．－30°變式2.與210°角的終邊相同的角（包括210°角）組成的角的集合是.

【解析】{β|β=210°+k·360°,k∈Z}例4.若角α的終邊在函數(shù)y=x的圖象上,試寫(xiě)出角α的集合.【解析】(思路一)函數(shù)y=x的圖象平分第二、四象限,可以先在0°~360°范圍內(nèi)找出滿足條件的角,再寫(xiě)出滿足條件的所有角,并化簡(jiǎn).(思路二)結(jié)合圖形,α與135°相差180°的整數(shù)倍,由此寫(xiě)出集合.解法一：因?yàn)閥=x的圖象平分第二、四象限,所以在0°~360°范圍內(nèi)所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)角分別為135°及315°,從而角α的集合為S={α|α=k·360°+135°或α=k·360°+315°,k∈Z}={α|α=2k·180°+135°或α=(2k+1)·180°+135°,k∈Z},即S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}.解法二:如圖.因?yàn)榻铅恋慕K邊在函數(shù)y=x的圖象上,所以角α的集合為S={α|α=k·180°+135°,k∈Z}.變式1.若角α的終邊在函數(shù)的圖象上,試寫(xiě)出角α的集合.【解析】：即S={α|α=k·360°+60°,k∈Z}.變式2.已知集合A＝{α|α＝k·180°±45°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝k·90°＋45°，k∈Z}，則A與B的關(guān)系是()ABB．BAC．A＝BD．AB且BA【解析】C例5.已知角α＝2016°．(1)把α改寫(xiě)成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且－360°≤θ<720°．【解析】(1)由2016°除以360°，得商為5，余數(shù)為216°．∴取k＝5，β＝216°，α＝5×360°＋216°．又β＝216°是第三象限角，∴α為第三象限角．（2）與2016°終邊相同的角為k·360°＋2016°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2016°<720°(k∈Z)．解得－6eq\f(3,5)≤k<－3eq\f(3,5)(k∈Z)．所以k＝－6，－5，－4．將k的值代入k·360°＋2016°中，得角θ的值為－144°，216°，576°．反思與感悟：求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．變式1.與角的終邊相同，且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是＿＿＿，弧度表示為＿＿【解析】；變式2.已知角β＝k·180°＋45°，k∈Z，則角β屬于第幾象限角？【解析】當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，β為第一象限角，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，β為第三象限角例6.已知α為第二象限角,求【解析】可知k·180°+45°<α所以，為第一或第三象限角，故的終邊所在的象限是第一或第三象限.變式1.若角α是第一象限角，問(wèn)－α、2α、eq\f(α,3)是第幾象限角？【解析】∵α是第一象限角，∴k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)．(1)－k·360°－90°<－α<－k·360°(k∈Z)，∴－α所在區(qū)域與(－90°，0°)范圍相同，故－α是第四象限角(2)2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，∴2α所在區(qū)域與(0°，180°)范圍相同，故2α是第一、二象限角或終邊落在y軸的非負(fù)半軸．(3)k·120°<eq\f(α,3)<k·120°＋30°(k∈Z)方法一：(分類(lèi)討論)當(dāng)k＝3n(n∈Z)時(shí)，n·360°<eq\f(α,3)<n·360°＋30°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第一象限角；當(dāng)k＝3n＋1(n∈Z)時(shí)，n·360°＋120°<eq\f(α,3)<n·360°＋150°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第二象限角；當(dāng)k＝3n＋2(n∈Z)時(shí)，n·360°＋240°<eq\f(α,3)<n·360°＋270°(n∈Z)，∴eq\f(α,3)是第三象限角．綜上可知：eq\f(α,3)是第一、二或第三象限角．方法二：(幾何法)如右圖，先將各象限分成3等份，再?gòu)膞軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上1、2、3、4，則標(biāo)有1的區(qū)域即為eq\f(α,3)終邊所落在的區(qū)域，故eq\f(α,3)為第一、二或第三象限角．技巧與方法：技巧與方法：此時(shí)此地你有什么領(lǐng)悟嗎？若討論所屬象限，你能get到嗎?【知識(shí)點(diǎn)4】角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化弧度制：半徑為r弧度制：半徑為r的圓，其圓弧等于半徑所對(duì)的圓心角即為1弧度，記作：1rad.角度制與弧度制的關(guān)系：常用特殊角的弧度數(shù)0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°0例7.（1）將角度制轉(zhuǎn)換成弧度制：①rad.②rad.③rad【解析】，，（2）將弧度制轉(zhuǎn)換成角度制：①2=②③.【解析】，，變式1.角度制與弧度制間的互化：①,;②rad,rad【解析】①，；②，變式2．α＝－2rad，則α的終邊在 ()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解析】∵1rad≈57.30°，∴－2rad≈－114.60°.故α的終邊在第三象限．【知識(shí)點(diǎn)5】弧長(zhǎng)公式，扇形面積公式：，扇形面積公式：（為弧度制）.例8.已知扇形AOB的周長(zhǎng)是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。【解析】2變式1.已知半徑為10cm的圓上，有一條弧的長(zhǎng)是40cm，則該弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)是_____．【解析】4變式2.已知一扇形的周長(zhǎng)為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？【解析】設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，面積為S，則l＋2r＝40，∴l(xiāng)＝40－2r.(0<r<20)∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100．∴當(dāng)半徑r＝10cm時(shí)，扇形的面積最大，最大值為100cm2，此時(shí)θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(40－2×10,10)＝2(rad)．三、易錯(cuò)點(diǎn)整理易錯(cuò)一區(qū)間角的表示例1.已知，如圖所示．①分別寫(xiě)出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；②寫(xiě)出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．【解析】①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．誤區(qū)警示

正角是按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，區(qū)間角的書(shū)寫(xiě)注意旋轉(zhuǎn)方向，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，角變大，區(qū)間角是大于小角小于大角。易錯(cuò)二扇形的弧長(zhǎng)、面積例2.求半徑為πcm，圓心角為120°的扇形的弧長(zhǎng)及面積．【解析】因?yàn)閞＝π，α＝120×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,3)，所以l＝αr＝eq\f(2π2,3)cm，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(π3,3)cm2.錯(cuò)誤區(qū)警示扇形的弧長(zhǎng)、面積公式中，圓心角的度數(shù)應(yīng)為弧度制。易錯(cuò)三任意角三角函數(shù)的定義運(yùn)用四、課后檢測(cè)一、單選題1．下面與角終邊相同的角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)終邊相同的角的表示方法，即可得到答案．【詳解】解：因?yàn)?所以與的終邊相同.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查終邊相同的角的集合，注意集合的表示方法是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．2．化為弧度是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】3．若，則角的終邊在（）A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第一、四象限 D．第二、四象限【答案】B【解析】【分析】由可得或由三角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)可求角的終邊所在象限.【詳解】由可得或當(dāng)時(shí)，角的終邊位于第一象限，當(dāng)時(shí)，角的終邊位于第三象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查角函數(shù)在各個(gè)象限的符號(hào)，屬基礎(chǔ)題.4．設(shè)終邊在軸的負(fù)半軸上的角的集合為則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角的表示方法及終邊在軸的負(fù)半軸上,即可得解.【詳解】根據(jù)角的表示方法可知,終邊在軸的負(fù)半軸上的角可以表示為,,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了角的表示方法,終邊在軸的負(fù)半軸上角的表示形式,屬于基礎(chǔ)題.二、多選題5．（多選）下列說(shuō)法正確的是（）A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．的角是周角的，的角是周角的C．的角比的角要大D．用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑有關(guān)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)角度制和弧度制的概念，以及角度制和弧度制的互化，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，對(duì)于A中，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位,所以是正確的；對(duì)于B中，周角為，所以的角是周角的，周角為弧度，所以的角是周角的是正確的；對(duì)于C中，根據(jù)弧度制與角度制的互化，可得，所以是正確；對(duì)于D中，用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑無(wú)關(guān)的，所以D項(xiàng)是錯(cuò)誤的.故選ABC.【點(diǎn)睛】本題主要考查了角度制與弧度制的概念，以及角度制與弧度制的互化，其中解中熟記角度制和弧度制的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6．設(shè)是第三象限角，則所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】BD【解析】【分析】用不等式表示第三象限角α，再利用不等式的性質(zhì)求出滿足的不等式，從而確定的終邊所在的象限．【詳解】是第三象限角，，，則，，令，有，；在二象限；，，有，；在四象限；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查象限角的表示方法，不等式性質(zhì)的應(yīng)用，通過(guò)角滿足的不等式，判斷角的終邊所在的象限,屬于容易題.三、填空題7．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=（弦矢+）.弧田（如圖），由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)等于9m的弧田.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田的面積是________.【答案】.【解析】【分析】如下圖所示，在中，求出半徑，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)弧田的圓心為，弦為，為中點(diǎn)，連交弧為，則，所以矢長(zhǎng)為，在中，，，所以，，所以弧田的面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查直角三角形的邊角關(guān)系，認(rèn)真審題是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8．如圖，是直角邊長(zhǎng)為的等腰直角三角形，直角邊是半圓的直徑，半圓過(guò)點(diǎn)且與半圓相切，則圖中陰影部分的面積是_______.【答案】【解析】【分析】利用等弦所對(duì)的弧相等，先把陰影部分變化成一個(gè)直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圓的半徑，從而求出陰影部分的面積?！驹斀狻抗蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用面積的計(jì)算，解答的關(guān)鍵是理解經(jīng)過(guò)一定的平移后，陰影部分的面積為直角梯形的面積，注重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.四、解答題9．已知扇形AOB的圓心角α為，半徑長(zhǎng)R為6，求：（1）弧AB的長(zhǎng)；（2）扇形所含弓形的面積.【答案】（1）4π；（2）12π－9.【解析】【分析】（1）根據(jù)弧長(zhǎng)公式，代值即可求得結(jié)果；（2）利用扇形面積公式，求得扇形面積；再減去三角形面積，則問(wèn)題得解.【詳解】（1）l＝α·R＝π×6＝4π，所以弧AB的長(zhǎng)為4π.（2）S扇形OAB＝lR＝×4π×6＝12π.如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，π＝120°，所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，于是有S△OAB＝×AB×OD＝×2×6cos30°×3＝9.所以弓形的面積為S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.所以弓形的面積是12π－9.【點(diǎn)睛】本題考查弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式，屬基礎(chǔ)題.10．已知α，β都是銳角，且α＋β的終邊與－280°角的終邊相同，α－β的終邊與670°角的終邊相同，求角α，β的大小．【答案】α＝15°，β＝65°.【解析】試題分析：由題意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.結(jié)合題意令k＝1，得α＋β＝80°.α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，令k＝－2，得α－β＝－50°.求解方程組可得α＝15°，β＝65°.試題解析：由題意可知，