2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三講一二維形式的柯西不等式學(xué)案含解析新人教A版選修4-5

PAGE一二維形式的柯西不等式考綱定位重難突破1.相識并理解平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等幾種不同形式，理解它們的幾何意義．2.會用柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式以及定理1、定理2.重點：二維形式柯西不等式的幾何意義．難點：會利用二維形式的柯西不等式進行簡潔證明.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第27頁[自主梳理]一、二維形式的柯西不等式1．若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時，等號成立．2．二維形式的柯西不等式的推論(a＋b)(c＋d)≥(eq\r(ac)＋eq\r(bd))2(a，b，c，d為非負實數(shù))；eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；eq\r(a2＋b2)·eq\r(c2＋d2)≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．二、柯西不等式的向量形式設(shè)α，β是兩個向量，則|α·β|≤|α||β|，當(dāng)且僅當(dāng)β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ時，等號成立．三、二維形式的三角不等式1.eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))＋eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))≥eq\r(x1－x22＋y1－y22)(x1，y1，x2，y2∈R)．2．推論：eq\r(x1－x32＋y1－y32)＋eq\r(x2－x32＋y2－y32)≥eq\r(x1－x22＋y1－y22)，(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．[雙基自測]1．函數(shù)y＝eq\r(x－5)＋2eq\r(6－x)的最大值是()A.eq\r(3) B．eq\r(5)C．3 D．5解析：依據(jù)柯西不等式，知y＝1×eq\r(x－5)＋2×eq\r(6－x)≤eq\r(12＋22)×eq\r(\r(x－5)2＋\r(6－x)2)＝eq\r(5)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(6－x)＝2eq\r(x－5)，即x＝eq\f(26,5)時，等號成立．答案：B2．已知a，b>0，且a＋b＝1，則(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2的最大值是()A．2eq\r(6) B．eq\r(6)C．6 D．12解析：(eq\r(4a＋1)＋eq\r(4b＋1))2＝(1×eq\r(4a＋1)＋1×eq\r(4b＋1))2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＝2[4(a＋b)＋2]＝2×(4×1＋2)＝12，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(4b＋1)＝eq\r(4a＋1)，即a＝b＝eq\f(1,2)時等號成立．答案：D3．設(shè)a＝(－2,1,2)，|b|＝6，則a·b的最小值為________，此時b＝________.解析：依據(jù)柯西不等式的向量形式，有|a·b|≤|a|·|b|，∴|a·b|≤eq\r(－22＋12＋22)×6＝18，當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)k，使a＝kb時，等號成立．∴－18≤a·b≤18.∴a·b的最小值為－18，此時b＝－2a＝(4，－2，－4)．答案：－18(4，－2，－4)4．設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實數(shù)，P＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，Q＝eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))，則P與Q的大小關(guān)系是________．解析：∵a，b，c，d，m，n都是正實數(shù)，∴eq\r(ma＋nc)·eq\r(\f(b,m)＋\f(d,n))＝eq\r(ma＋nc\f(b,m)＋\f(d,n))≥eq\r(\r(ma)·\r(\f(b,m))＋\r(nc)·\r(\f(d,n))2)＝eq\r(\r(ab)＋\r(cd)2)＝eq\r(ab)＋eq\r(cd).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(m2a,b)＝eq\f(n2c,d)時，“＝”成立．答案：Q≥P授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第28頁探究一利用柯西不等式證明不等式[例1]設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．[證明]因為a，b，c為正數(shù)，所以由柯西不等式得，eq\r(a2＋b2)·eq\r(12＋12)≥a＋b，即eq\r(2)·eq\r(a2＋b2)≥a＋b， ①同理eq\r(2)·eq\r(b2＋c2)≥b＋c， ②eq\r(2)·eq\r(a2＋c2)≥a＋c， ③將①②③相加得eq\r(2)(eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2))≥2(a＋b＋c)，∴eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(a2＋c2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．利用二維形式柯西不等式的代數(shù)形式證題時，關(guān)鍵在于利用已知條件和所證不等式，構(gòu)造柯西不等式的基本形式：一是和的乘積形式；二是和的完全平方形式，然后再進行整體換元、應(yīng)用．1．設(shè)a，b∈R＋，且a＋b＝2.求證：eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥2.證明：依據(jù)柯西不等式，有：[(2－a)＋(2－b)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2－a)＋\f(b2,2－b)))＝[(eq\r(2－a))2＋(eq\r(2－b))2]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2－a))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(2－b))))2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2－a)·\f(a,\r(2－a))＋\r(2－b)·\f(b,\r(2－b))))2＝(a＋b)2＝4.∴eq\f(a2,2－a)＋eq\f(b2,2－b)≥eq\f(4,2－a＋2－b)＝2.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，等號成立．∴原不等式成立．探究二利用柯西不等式求最值[例2]求函數(shù)y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(10－2x)的最大值．[解析]函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤5}．y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(2)eq\r(5－x)≤eq\r(52＋2)eq\r(x－1＋5－x)＝eq\r(27)×2＝6eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)5eq\r(5－x)＝eq\r(2)eq\r(x－1)，即x＝eq\f(127,27)時取等號，故函數(shù)的最大值為6eq\r(3).利用柯西不等式求最值(1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件；(2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項或和為常數(shù)的各項，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運用柯西不等式解題的技巧；(3)而有些最值問題的解決須要反復(fù)利用柯西不等式才能達到目的，但在運用過程中，每運用一次前后等號成立的條件必需一樣，不能自相沖突，否則就會出現(xiàn)錯誤．多次反復(fù)運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．2．若2x＋3y＝1，求x2＋y2的最小值及最小值點．解析：由柯西不等式得(x2＋y2)(22＋32)≥(2x＋3y)2，即13(x2＋y2)≥1，所以x2＋y2≥eq\f(1,13)，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝2y時，等號成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y＝1，,3x＝2y.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2,13)，,y＝\f(3,13).))所以x2＋y2的最小值為eq\f(1,13)，最小值點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,13)，\f(3,13))).探究三柯西不等式向量形式的應(yīng)用[例3]已知p、q∈R＋，且p3＋q3＝2.求證：p＋q≤2.[證明]p、q∈R＋，且p3＋q3＝2，設(shè)α＝(eq\r(p3)，eq\r(q3))，β＝(eq\r(p)，eq\r(q))，由向量數(shù)量積知|α||β|≥|α·β|，則|α|2·|β|2≥(α·β)2，即(p3＋q3)(p＋q)≥(eq\r(p3)·eq\r(p)＋eq\r(q3)·eq\r(q))2，∴(p3＋q3)(p＋q)≥(p2＋q2)2.又∵(p2＋q2)(12＋12)≥(p＋q)2，∴(p3＋q3)(p＋q)≥eq\f(p＋q4,4)，∴(p＋q)3≤8，即p＋q≤2.應(yīng)用二維形式柯西不等式的代數(shù)形式證題時常須要構(gòu)造兩列數(shù)，同樣，向量形式的柯西不等式須要構(gòu)造兩個向量，通常我們使構(gòu)造的向量滿意待證不等式一側(cè)的形式，再證另一側(cè)．同時要留意向量模的計算公式|a|＝eq\r(x2＋y2)對數(shù)學(xué)式子的影響．3．已知x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求函數(shù)f(x)＝3cosx＋4eq\r(1＋sin2x)的最大值，并說明等號成立的條件．解析：設(shè)m＝(3,4)，n＝(cosx，eq\r(1＋sin2x))，則依據(jù)柯西不等式的向量形式可得：f(x)＝3cosx＋4eq\r(1＋sin2x)≤eq\r(32＋42)·eq\r(cos2x＋1＋sin2x)＝5eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)m∥n時上式取等號，此時，3eq\r(1＋sin2x)－4cosx＝0，而且x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，解得sinx＝eq\f(\r(7),5).所以當(dāng)sinx＝eq\f(\r(7),5)時，f(x)＝3cosx＋4eq\r(1＋sin2x)取最大值為5eq\r(2).二維柯西不等式的綜合應(yīng)用[典例]已知關(guān)于x的不等式|x＋a|<b的解集為{x|2<x<4}．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)求eq\r(at＋12)＋eq\r(bt)的最大值．[解析](1)由|x＋a|<b，得－b－a<x<b－a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b－a＝2，,b－a＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝1.))(2)eq\r(－3t＋12)＋eq\r(t)＝eq\r(3)eq\r(4－t)＋eq\r(t)≤eq\r([\r(3)2＋12][\r(4－t)2＋\r(t)2])＝2eq\r(4－t＋t)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(\r(4－t),\r(3))＝eq\f(\r(t),1)，即t＝1時，等號成立，故(eq\r(－3t＋12)＋eq\r(t))max＝4.[規(guī)律探究](1)本題(1)考查肯定值不等式的解法，用好等價關(guān)系|x＋a|<b?－b<x＋a<b是解答本題的關(guān)鍵．(2)本題(2)考察柯西不等式的應(yīng)用，明顯須要構(gòu)造二維柯西不等式的相關(guān)條件和結(jié)構(gòu)特征，而獲得最值的關(guān)鍵是確保含t的一組數(shù)的平方和必需是定值，最終還要驗證等號成立的條件.[隨堂訓(xùn)練]對應(yīng)學(xué)生用書第29頁1．已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是()A.eq\f(5,6) B．eq\f(6,5)C.eq\f(25,36) D．eq\f(36,25)解析：法一：正用柯西不等式，2x2＋3y2＝eq\f(1,5)[(eq\r(2)x)2＋(eq\r(3)y)2][(eq\r(3))2＋(eq\r(2))2]≥eq\f(1,5)(eq\r(6)x＋eq\r(6)y)2＝eq\f(6,5)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1,2x＝3y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5),y＝\f(2,5)))時，2x2＋3y2有最小值為eq\f(6,5).法二：因為x＋y＝1，所以y＝1－x，所以2x2＋3y2＝5x2－6x＋3＝5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,5)))2＋eq\f(6,5)，所以當(dāng)x＝eq\f(3,5)，y＝eq\f(2,5)時，2x2＋3y2有最小值，最小值為eq\f(6,5).答案：B2．已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x－12＋1)＋eq\r(x＋12＋1)，則f(x)的最小值為________．解析：f(x)＝eq\r(x－12＋1)＋eq\r(x＋12＋1