2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重難點(diǎn)精講練專題15 三角形（教師版）

知識(shí)點(diǎn)01：三角形的角平分線、中線和高【高頻考點(diǎn)精講】1、從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向底邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高。2、三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線。3、三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線。4、三角形有3條中線，3條高線，3條角平分線，它們都是線段。知識(shí)點(diǎn)02：三角形的面積【高頻考點(diǎn)精講】1、三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△＝×底×高。2、三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分。知識(shí)點(diǎn)03：三角形三邊關(guān)系【高頻考點(diǎn)精講】1、三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊。2、只要兩條較短的邊長(zhǎng)之和大于第三邊的長(zhǎng)度就可以判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形。知識(shí)點(diǎn)04：三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】1、三角形的內(nèi)角和等于180°。2、三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角。三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等。3、三角形外角的性質(zhì)（1）三角形的外角和為360°。（2）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（3）三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。知識(shí)點(diǎn)05：全等三角形的判定與性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】1、三角形全等的判定（1）三組對(duì)應(yīng)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)。（2）有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)。（3）有兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(ASA)。（4）有兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)。2、全等三角形的性質(zhì)（1）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。（2）全等三角形的周長(zhǎng)、面積相等。（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高對(duì)應(yīng)相等。（4）全等三角形的對(duì)應(yīng)角的角平分線相等。（5）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等。知識(shí)點(diǎn)06：等腰（等邊）三角形的判定與性質(zhì)【高頻考點(diǎn)精講】1、等腰三角形的概念：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。2、等腰三角形的性質(zhì)：①等腰三角形的兩腰相等；②等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）；③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。（三線合一）3、等邊三角形的概念：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形。4、等邊三角形的性質(zhì)：①等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°；②等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有3條對(duì)稱軸；③等邊三角形的內(nèi)角平分線垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸。知識(shí)點(diǎn)07：三角形中位線定理【高頻考點(diǎn)精講】1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。2、幾何語(yǔ)言：如圖，∵點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)∴DE∥BC，DE＝BC．檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.46一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?綿陽(yáng)）如圖，在等邊△ABC中，BD是AC邊上的中線，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝CD，若DE＝，則AB＝（）A． B．6 C．8 D．解：∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD是AC邊上的中線，∴BD⊥AC，AD＝CD＝AC，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝2AD，∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴60°＝2∠E，∴∠E＝30°，∠CBD＝∠E＝30°，∴BD＝DE＝4，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2，即（2AD）2﹣AD2＝（4）2，解得：AD＝4，∴AB＝2AD＝8．故選：C．2．（2分）（2023秋?梅河口市期末）如圖，△ABC是等邊三角形，D是線段BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接AD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AC的延長(zhǎng)線上，且DE＝DF＝AD，點(diǎn)D從B運(yùn)動(dòng)到C的過程中，△BED周長(zhǎng)的變化規(guī)律是（）A．不變 B．一直變小 C．先變大后變小 D．先變小后變大解：∵AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠DEA+∠DFA＝60°，∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，∴∠EDB＝∠DFA，∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，∴△BDE≌△CFD（ASA），∴BD＝CF，BE＝CD，∴△BED周長(zhǎng)＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，∵點(diǎn)D在BC邊上從B至C的運(yùn)動(dòng)過程中，AD的長(zhǎng)先變小后變大，∴△BED周長(zhǎng)先變小后變大，故選：D．3．（2分）（2023?臺(tái)灣）如圖，△ABC中，D點(diǎn)在BC上，且BD的中垂線與AB相交于E點(diǎn)，CD的中垂線與AC相交于F點(diǎn)，已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角皆不相等，根據(jù)圖中標(biāo)示的角，判斷下列敘述何者正確（）A．∠1＝∠3，∠2＝∠4 B．∠1＝∠3，∠2≠∠4 C．∠1≠∠3，∠2＝∠4 D．∠1≠∠3，∠2≠∠4解：∵BD的中垂線與AB相交于E點(diǎn)，CD的中垂線與AC相交于F點(diǎn)，∴EB＝ED，F(xiàn)D＝FC，∴∠B＝∠EDB，∠FDC＝∠C，∵∠1＝∠B+∠EDB，∠3＝∠FDC+∠C，∠B≠∠C，∴∠1≠∠3，∵∠4＝180°﹣∠B﹣∠C，∠2＝180°﹣∠EDB﹣∠FDC，∴∠2＝∠4，綜上所述：∠1≠∠3，∠2＝∠4，故選：C．4．（2分）（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝3cm，故選：B．5．（2分）（2023?寧夏）將一副直角三角板和一把寬度為2cm的直尺按如圖方式擺放：先把60°和45°角的頂點(diǎn)及它們的直角邊重合，再將此直角邊垂直于直尺的上沿，重合的頂點(diǎn)落在直尺下沿上，這兩個(gè)三角板的斜邊分別交直尺上沿于A，B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)是（）A．2﹣ B．2﹣2 C．2 D．2解：在Rt△ACD中，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°＝∠ACD，∴AD＝CD＝2cm，在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴BC＝2CD＝4cm，∴BD＝＝＝2（cm），∴AB＝BD﹣AD＝（2﹣2）（cm）．故選：B．6．（2分）（2023?浙江）如圖，點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，PE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交EP于點(diǎn)F．若四邊形CDFE的面積為6，則△ABC的面積為（）A．12 B．14 C．18 D．24解：如圖，連接BD．∵點(diǎn)P是△ABC的重心，點(diǎn)D是邊AC的中點(diǎn)，∴P在BD上，S△ABC＝2S△BDC，∴BP：PD＝2：1，∵DF∥BC，∴△DFP∽△BEP，∴＝，∵EF∥AC，∴△BEP∽△BCD，∴＝（）2＝（）2＝，設(shè)△DFP的面積為m，則△BEP的面積為4m，△BCD的面積為9m，∵四邊形CDFE的面積為6，∴m+9m﹣4m＝6，∴m＝1，∴△BCD的面積為9，∴△ABC的面積是18．故選：C．7．（2分）（2023?河北）四邊形ABCD的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線AC的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵△ABC為等腰三角形，∴AB＝AC或AC＝BC，當(dāng)AC＝BC＝4時(shí)，AD+CD＝AC＝4，此時(shí)不滿足三角形三邊關(guān)系定理，當(dāng)AC＝AB＝3時(shí)．滿足三角形三邊關(guān)系定理，∴AC＝3．故選：B．8．（2分）（2023?陜西）如圖，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)F在DB上，DF＝2BF．連接EF并延長(zhǎng)，與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M．若BC＝6，則線段CM的長(zhǎng)為（）A． B．7 C． D．8解：∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，∴△DEF∽△BMF，∴＝＝＝2，∴BM＝，CM＝BC+BM＝．故選：C．9．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線a∥b，直線l與直線a，b分別相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C在直線b上，且CA＝CB．若∠1＝32°，則∠2的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．74° D．75°解：∵CA＝CB，∴△ABC是等腰三角形，∴∠CBA＝∠CAB＝（180°﹣32°）÷2＝74°，∵a∥b，∴∠2＝∠CBA＝74°．故選：C．10．（2分）（2023?菏澤）△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等腰直角三角形解：由題意得，解得，∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC為等腰直角三角形，故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?江西）將含30°角的直角三角板和直尺按如圖所示的方式放置，已知∠α＝60°，點(diǎn)B，C表示的刻度分別為1cm，3cm，則線段AB的長(zhǎng)為2cm．解：∵直尺的兩對(duì)邊相互平行，∴∠ACB＝∠α＝60°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝3﹣1＝2（cm）．故答案為：2．12．（2分）（2023?安徽）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD＝（BC+）．當(dāng)AB＝7，BC＝6，AC＝5時(shí)，CD＝1．解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝（6+）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，故答案為：1．13．（2分）（2023?十堰）一副三角板按如圖所示放置，點(diǎn)A在DE上，點(diǎn)F在BC上，若∠EAB＝35°，則∠DFC＝100°．解：如圖，由題意得：∠BAC＝60°，∠C＝30°，∠D＝45°，∵∠EAB＝35°，∴∠CAD＝180°﹣∠EAB﹣∠BAC＝85°，∴∠AGD＝180°﹣∠D﹣∠CAD＝50°，∴∠CGF＝∠AGD＝50°，∴∠DFC＝180°﹣∠C﹣∠CGF＝100°．故答案為：100°．14．（2分）（2023?重慶）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，連接AD．過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長(zhǎng)度為3．解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案為：3．15．（2分）（2023?臺(tái)州）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上（點(diǎn)C在點(diǎn)A，D之間），分別以AD，BC為邊向同側(cè)作等邊三角形ADE與等邊三角形CBF，邊長(zhǎng)分別為a，b，CF與DE交于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AE，BF交于點(diǎn)G，AG長(zhǎng)為c．（1）若四邊形EHFG的周長(zhǎng)與△CDH的周長(zhǎng)相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為5a+5b＝7c；（2）若四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，則a，b，c之間的等量關(guān)系為a2+b2＝c2．解：（1）∵△ADE和△CBF是等邊三角形，∴∠A＝∠ADE＝∠B＝∠BCF＝60°，∴△CDH和△ABG是等邊三角形，DE∥BG，CF∥AG，∴四邊形EHFG是平行四邊形，AB＝AG＝BG＝c，CH＝DH＝CD＝AD+BC﹣AB＝a+b﹣c，∴EG＝AG﹣AE＝c﹣a，GF＝BG﹣BF＝c﹣b，∵四邊形EHFG的周長(zhǎng)與△CDH的周長(zhǎng)相等，∴2[（c﹣a）+（c﹣b）]＝3（a+b﹣c），整理得：5a+5b＝7c，故答案為：5a+5b＝7c；（2）∵S四邊形EHFG＝S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH，四邊形EHFG的面積與△CDH的面積相等，∴S△ABG﹣S△BCF﹣S△ADE+S△CDH＝S△CDH，∴S△ABG＝S△BCF+S△ADE，∵△ABG，△ADE和△CBF是等邊三角形，∴c2＝a2+b2，∴c2＝a2+b2，故答案為：a2+b2＝c2．16．（2分）（2023?無錫）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬；有竿，不知其長(zhǎng)短，橫放，竿比門寬長(zhǎng)出4尺；豎放，竿比門高長(zhǎng)出2尺；斜放，竿與門對(duì)角線恰好相等．問門高、寬和對(duì)角線的長(zhǎng)各是多少？則該問題中的門高是8尺．解：設(shè)竿長(zhǎng)為x尺，則門寬為（x﹣4）尺，門高（x﹣2）尺，門對(duì)角線是x尺，根據(jù)勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，整理得：x2﹣12x+20＝0，解得x＝2（舍去）或x＝10．則門高：10﹣2＝8．故答案為：8尺．17．（2分）（2023?揚(yáng)州）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，若b﹣a＝4，c＝20，則每個(gè)直角三角形的面積為96．解：由圖可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴每個(gè)直角三角形的面積為ab＝×12×16＝96，故答案為：96．18．（2分）（2023?武漢）如圖，DE平分等邊△ABC的面積，折疊△BDE得到△FDE，AC分別與DF，EF相交于G，H兩點(diǎn)．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的長(zhǎng)是．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵折疊△BDE得到△FDE，∴△BDE≌△FDE，∴S△BDE＝S△FDE，∠F＝∠B＝60°＝∠A＝∠C，∵DE平分等邊△ABC的面積，∴圖形ACED的面積＝S△BDE＝S△FDE，∴S△FHG＝S△ADG+S△CHE，∵∠AGD＝∠FGH，∠CHE＝∠FHG，∴△ADG∽△FHG，△CHE∽△FHG，∴2＝，∴，∴GH2＝m2+n2，解得GH＝或GH＝﹣（不合題意舍去），故答案為：．19．（2分）（2023?通遼）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB，交邊AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作等邊三角形PQD，使點(diǎn)A，D在PQ異側(cè)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)，點(diǎn)P需移動(dòng)1s．解：設(shè)點(diǎn)P需移動(dòng)t秒，點(diǎn)D落在BC邊上，如圖所示．∵三角形PQD是等邊三角形，∴∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝180°﹣∠APQ﹣∠DPQ＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠BDP＝180°﹣∠B﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°．∠AQP＝180°﹣∠APQ﹣∠A＝180°﹣90°﹣60°＝30°．∵∠BDP＝∠APQ＝90°，DP＝PQ，∠BPD＝∠AQP＝30°，∴△BDP≌△APQ（ASA）．∴BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，BD＝AP＝2t，∵∠BPD＝30°，∴BD＝BP，即2t＝（6﹣2t），∴t＝1．故答案為：1．20．（2分）（2023?山西）如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．若AB＝AC＝5，BC＝6，∠ADB＝2∠CBD，則AD的長(zhǎng)為．解：過A作AH⊥BC于H，延長(zhǎng)AD，BC于E，如圖所示：則∠AHC＝∠AHB＝90°，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BH＝HC＝BC＝3，∴AH＝＝4，∵∠ADB＝∠CBD+∠CEH，∠ADB＝2∠CBD，∴∠CBD＝∠CED，∴DB＝DE，∵∠BCD＝90°，∴DC⊥BE，∴CE＝BC＝6，∴EH＝CE+CH＝9，∴＝，∵DC⊥BE，AH⊥BC，∴CD∥AH，∴，∴，解得AD＝．故答案為：．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?大慶）某建筑物的窗戶如圖所示，上半部分△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AF：BF＝3：4，點(diǎn)G、H、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn)；下半部分四邊形BCDE是矩形，BE∥IJ∥MN∥CD，制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米（圖中所有黑線的長(zhǎng)度和），設(shè)BF＝x米，BE＝y(tǒng)米．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)x為多少時(shí)，窗戶透過的光線最多（窗戶的面積最大），并計(jì)算窗戶的最大面積．解：（1）∵△ABC是等腰三角形，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴BF＝CF，AF⊥BC，AB＝AC，∵BF＝x（米），∴CF＝x（米），BC＝2BF＝2x（米），∵AF：BF＝3：4，∴（米），在Rt△AFB中，由勾股定理得（米），∴（米），∵點(diǎn)G、H分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∠AFB＝∠AFC＝90°，∴（米），（米），∵四邊形BCDE是矩形，∴ED＝BC＝2x（米），BE＝CD＝y(tǒng)（米），∵BE∥IJ∥MN∥CD，∴BE＝IJ＝MN＝CD＝y(tǒng)（米），∵制造窗戶框的材料總長(zhǎng)為16米，∴AB+AC+FG+FH+AF+BC+ED+BE+IJ+MN+CD＝16（米），∴，整理得；由題意得，解得；（2）∵，，設(shè)窗戶的面積為W平方米，則W＝S△ABC+S矩形BCDE＝＝＝，∵，∴W有最大值，當(dāng)米時(shí)，W最大，最大值為平方米．22．（6分）（2023?南通）如圖，點(diǎn)D，E分別在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于點(diǎn)O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°．∵∠DOB＝∠EOC，∴∠B＝∠C．……第一步又OA＝OA，OB＝OC，∴△ABO≌△ACO．……第二步∴∠1＝∠2．……第三步（1）小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）請(qǐng)寫出正確的證明過程．（1）解：小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：二；（2）證明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，在△DOB和△EOC中，，∴△DOB≌△EOC（AAS），∴OD＝OE，在Rt△ADO和Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），∴∠1＝∠2，方法二：∵OD＝OE，∠ADC＝∠AEB＝90°，∴∠1＝∠2．23．（8分）（2023?益陽(yáng)）如圖，AB∥CD，直線MN與AB，CD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，CD上有一點(diǎn)G且GE＝GF，∠1＝122°，求∠2的度數(shù)．解：∵AB∥CD，∴∠MFD＝∠1＝122°，∠MFD＝∠AEF，∠2＝∠AEG，∵GE＝GF，∴∠GFE＝∠GEF＝180°﹣∠MFD＝180°﹣122°＝58°，∴∠2＝180°﹣58°﹣58°＝64°．24．（8分）（2023?陜西）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°．過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，延長(zhǎng)EA至點(diǎn)D．使AD＝AC．在邊AC上截取AF＝AB，連接DF．求證：DF＝CB．證明：在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝20°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝110°．∵AE⊥BC．∴∠AEC＝90°．∴∠DAF＝∠AEC+∠C＝110°，∴∠DAF＝∠CAB．在△DAF和△CAB中，，∴△DAF≌△CAB（SAS）．∴DF＝CB．25．（8分）（2023?綿陽(yáng)）如圖，在⊙O中，點(diǎn)A，B，C，D為圓周的四等分點(diǎn)，AE為切線，連接ED．并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接BF交AC于點(diǎn)G．（1）求證：AD平分∠CAE；（2）求證：△ADE≌△ABG；（3）若AE＝3，AG＝3GC，求cos∠CBF的值．（1）證明：∵點(diǎn)A，B，C，D為圓周的四等分點(diǎn)，∴＝，AC為直徑，∴∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝45°，∵AE為切線，∴AC⊥AE，∴∠CAE＝90°，∴∠DAE＝45°，∴AD平分∠CAE；（2）證明：∵∠ABF+∠ADF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，∴∠ADE＝∠ABF，在△ADE和△ABG中，，∴△ADE≌△ABG（SAS）；（3）解：過G點(diǎn)GH⊥BC于H點(diǎn)，如圖，∵△ADE≌△ABG，∴AG＝AE＝3，∴AG＝3CG，∴CG＝1，AC＝4，∵AC為直徑，∴∠ABC＝90°，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AC＝2，在Rt△CGH中，CH＝GH＝CG＝，∴BH＝BC﹣CH＝2﹣＝，在Rt△BGH中，BG＝＝＝，∴cos∠HBG＝＝＝，即cos∠CBF的值為．26．（8分）（2023?臨沂）如圖，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）寫出AB與BD的數(shù)量關(guān)系．（2）延長(zhǎng)BC到E，使CE＝BC，延長(zhǎng)DC到F，使CF＝DC，連接EF．求證：EF⊥AB．（3）在（2）的條件下，作∠ACE的平分線，交AF于點(diǎn)H，求證：AH＝FH．（1）解：結(jié)論：AB＝（+1）BD．理由：在BC上取一點(diǎn)T，使得BT＝BD，連接DT，AT．設(shè)AB＝AC＝a，則BC＝a．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠DBT＝45°，∵BD＝BT，∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，∴CT＝CA＝a，∴BD＝BT＝BC﹣CT＝a﹣a，∴＝＝+1，∴AB＝（+1）BD；（2）證明：如圖2中，在△BCD和△ECF中，，∴△BCD≌△ECF（SAS），∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，∴BD∥EF，∵BD⊥AB，∴EF⊥AB；（3）證明：延長(zhǎng)CH交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J．∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，∵∠ACB＝∠E＝45°，∴AC∥EJ，∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，∴CE＝EJ＝CB，∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，∴FJ＝AB＝AC，∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，∴△ACH≌△FJH（AAS），∴AH＝FH．27．（8分）（2023?宿遷）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖①，即∠CEF＝∠AEF）．小軍測(cè)量某建筑物高度的方法如下：在地面點(diǎn)E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點(diǎn)D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面的距離CD＝1.7m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度；【活動(dòng)探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個(gè)測(cè)量廣告牌高度的做法（如圖②）：他讓小軍站在點(diǎn)D處不動(dòng)，將鏡子移動(dòng)至E1處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測(cè)出DE1＝2m；再將鏡子移動(dòng)至E2處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測(cè)出DE2＝3.4m．經(jīng)測(cè)得，小軍的眼睛離地面距離CD＝1.7m，BD＝10m，求這個(gè)廣告牌AG的高度；【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測(cè)量出斜坡上信號(hào)塔AB的高度．他們給出了如下測(cè)量步驟（如圖③）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動(dòng)（小軍眼睛離地面距離CD＝1.7m），小明通過移動(dòng)鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測(cè)出DE＝2.8m；③測(cè)出坡長(zhǎng)AD＝17m；④測(cè)出坡比為8：15（即）．通過他們給出的方案，請(qǐng)你算出信號(hào)塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．解：【問題背景】由題意得：AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴∠ABE＝∠CDE＝∠FEB＝∠FED＝90°，∵∠CEF＝∠AEF，∴∠FEB﹣∠AEF＝∠FED﹣∠CEF，即∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED，∴＝，∴AB＝＝＝17（m），答：建筑物AB的高度為17m；【活動(dòng)探究】如圖②，過點(diǎn)E1作E1F⊥BD，過點(diǎn)E2作E2H⊥BD，由題意得：GB⊥BD，CD⊥BD，∴∠GBE1＝∠CDE1＝∠ABE2＝∠CDE2＝∠FE1B＝∠FE1D＝∠HE2B＝∠HE2D＝90°，∵∠CE2H＝∠AE2H，∠CE1F＝∠GE1F，∴∠FE1B﹣∠GE1F＝∠FE1D﹣∠CE1F，∠HE2B﹣∠AE2H＝∠HE2D﹣∠CE2H，即∠GE1B＝∠CE1D，∠AE2B＝∠CE2D，∴△GE1B∽△CE1D，△AE2B∽△CE2D，∴＝，＝，∴BE1＝BD﹣DE1＝10﹣2＝8（m），BE2＝BD﹣DE2＝10﹣3.4＝6.6（m），∴GB＝＝＝6.8（m），AB＝＝＝3.3（m），∴AG＝GB﹣AB＝6.8﹣3.3＝3.5（m），答：這個(gè)廣告牌AG的高度為3.5m；【應(yīng)用拓展】如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AD于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N，由題意得：BG⊥DG，CD⊥DG，∴∠AGD＝∠CDG＝∠BMA＝∠CND＝90°，∵∠BAM＝∠GAD，∴90°﹣∠BAM＝90°﹣∠GAD，即∠ABM＝∠ADG，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∠ADG+∠CDN＝90°，∴∠CDN＝∠DAG，∴90°﹣∠CDN＝90°﹣∠DAG，即∠DCN＝∠ADG，∴∠DCN＝∠ADG＝∠ABM，∴△DCN∽△ABM，∴＝，由題意得：AE＝AD﹣DE＝17﹣2.8＝14.2（m），∵tan∠ADG＝，∴tan∠DCN＝＝，tan∠ABM＝＝，設(shè)DN＝am，AM＝bm，則CN＝，BM＝，∵CN2+DN2＝CD2，∴（）2+a2＝1.72，解得：a＝0.8（m）（負(fù)值已舍去），∴EN＝DE﹣DN＝2.8﹣0.8＝2（m），CN＝＝1.5（m），∴＝，∴AB＝，同【問題背景】得：△BME∽△CNE，∴＝，∴＝，解得：b＝（m），∴AB＝×≈20（m），答：信號(hào)塔AB的高度約為20m．28．（8分）（20