2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)提分專題二十-以相似三角形為背景的證明與計(jì)算(解析版)

2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)提分專題二十以相似三角形為背景的證明與計(jì)算（解析版）考點(diǎn)分析【例1】（2019·遼寧中考真題）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，分別以CD和AD為直角邊作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC下方，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD時(shí)，求證：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；（2）如圖2，當(dāng)BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD時(shí)，猜想BD和EF之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【例2】（2019·遼寧中考真題）如圖，中，，DE垂直平分AB，交線段BC于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)（點(diǎn)G與點(diǎn)A不重合），且．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）若，，，請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．考點(diǎn)集訓(xùn)1．（2019·山東中考真題）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明.（3）問題解決當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng).2．（2019·江蘇初三期末）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2=AB?AD；（2）求證：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．3．（2019·四川中考真題）如圖，，DB平分∠ADC，過點(diǎn)B作交AD于M．連接CM交DB于N．（1）求證：；（2）若，求MN的長(zhǎng)．4．（2019·江蘇泰州中學(xué)附屬初中初三月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜），連接MN．（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．5．（2019·湖北中考真題）在中，，，是上一點(diǎn)，連接（1）如圖1，若，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與垂直，求證：（2）過點(diǎn)作，為垂足，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).①如圖2，若，求證：②如圖3，若是的中點(diǎn)，直接寫出的值（用含的式子表示）6．（2019·遼寧初三期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD=∠B,（1）求證：AC?CD=CP?BP；（2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長(zhǎng)．7．（2019·山西初三期末）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．（1）求證：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC=90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)；8．（2019·山東初三）如圖①，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，AB=AC=BD，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，N為線段AM上的點(diǎn)，且MB=MN.（1）求證：BN平分∠ABE；（2）若BD=1，連結(jié)DN，當(dāng)四邊形DNBC為平行四邊形時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)；（3）如圖②，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連結(jié)FN、FM，求證：△MFN∽△BDC．9．（2019·河南中考真題）在，，．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值．10．（2019·山東初三期中）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求證：AD＝BC；（2）求證：△AGD∽△EGF；（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值．11．（2019·溫江中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD．（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H．請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．12．（2019·山東初三期中）（提出問題）（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．（類比探究）（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說明理由．（拓展延伸）（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．（2019·福建省莆田擢英中學(xué)初三月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn)，將線段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí)，點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線上，此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E（1）求證：∠CBP=∠ABP；（2）求證：AE=CP；（3）當(dāng)，BP′=時(shí)，求線段AB的長(zhǎng)．14．（2019·遼寧中考真題）如圖1，在中，，，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，連接MC，點(diǎn)P是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接MP交AC于點(diǎn)H．將射線MP繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交線段CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．（1）找出與相等的角，并說明理由．（2）如圖2，，求的值．（3）在（2）的條件下，若，求線段AB的長(zhǎng)．2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)提分專題二十以相似三角形為背景的證明與計(jì)算（解析版）考點(diǎn)分析【例1】（2019·遼寧中考真題）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，分別以CD和AD為直角邊作Rt△CDE和Rt△ADF，使∠DCE＝∠ADF＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC下方，連接EF．（1）如圖1，當(dāng)BC＝AC，CE＝CD，DF＝AD時(shí)，求證：①∠CAD＝∠CDF，②BD＝EF；（2）如圖2，當(dāng)BC＝2AC，CE＝2CD，DF＝2AD時(shí)，猜想BD和EF之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）BD＝EF，理由見解析.【解析】（1）證明：①∵∠ACB＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝90°，∵∠CDF+∠ADC＝90°，∴∠CAD＝∠CDF；②作FH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，則四邊形FECH為矩形，∴CH＝EF，在△ACD和△DHF中，，，，，，即，；（2），理由如下：作交的延長(zhǎng)線于，則四邊形為矩形，，，，，，即，GF＝2CD，∵BC＝2AC，CE＝2CD，∴BC＝DG，GF＝CE，∴BD＝CG，∵GF∥CE，GF＝CE，∠G＝90°，∴四邊形FECG為矩形，∴CG＝EF，∴BD＝EF．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線和掌握各判定定理.【例2】（2019·遼寧中考真題）如圖，中，，DE垂直平分AB，交線段BC于點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合），點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，點(diǎn)G為AB上一點(diǎn)（點(diǎn)G與點(diǎn)A不重合），且．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想線段AG和CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）若，，，請(qǐng)直接寫出CF的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2），理由見解析；（3）2.5或5【解析】解：（1）相等，理由：如圖1，連接AE，∵DE垂直平分AB，，，，，，，，，，，，，；故答案為：；（2），理由：如圖2，連接AE，，，，∵DE垂直平分AB，，，，，，，，，，，在中，，，，；（3）①當(dāng)G在DA上時(shí)，如圖3，連接AE，∵DE垂直平分AB，，，，，，，，，，，，，，，，過A作于點(diǎn)H，，，，，，，，，；②當(dāng)點(diǎn)G在BD上，如圖4，同（1）可得，，，，，，綜上所述，CF的長(zhǎng)為2.5或5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)集訓(xùn)1．（2019·山東中考真題）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明.（3）問題解決當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng).【答案】（1）①,②.（2）無變化；理由參見解析.（3），.【解析】（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，∵Rt△ABC中，∠B=90°，∴AC=，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴,BD=8÷2=4，∴．②如圖1，，當(dāng)α=180°時(shí)，可得AB∥DE，∵，∴（2）如圖2，，當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)，的大小沒有變化，∵∠ECD=∠ACB，∴∠ECA=∠DCB，又∵，∴△ECA∽△DCB，∴．（3）①如圖3，，∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，∴AD=∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=．②如圖4，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，，∵AC=，CD=4，CD⊥AD，∴AD=，∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，∴DE==2，∴AE=AD-DE=8-2=6，由（2），可得，∴BD=．綜上所述，BD的長(zhǎng)為或．2．（2019·江蘇初三期末）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)，（1）求證：AC2=AB?AD；（2）求證：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）．【解析】解：（1）證明：∵AC平分∠DAB∴∠DAC=∠CAB．∵∠ADC=∠ACB=90°∴△ADC∽△ACB．∴即AC2=AB?AD．（2）證明：∵E為AB的中點(diǎn)∴CE=AB=AE∴∠EAC=∠ECA．∵∠DAC=∠CAB∴∠DAC=∠ECA∴CE∥AD．（3）∵CE∥AD∴△AFD∽△CFE∴．∵CE=AB∴CE=×6=3．∵AD=4∴∴．3．（2019·四川中考真題）如圖，，DB平分∠ADC，過點(diǎn)B作交AD于M．連接CM交DB于N．（1）求證：；（2）若，求MN的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】證明：（1）∵DB平分，，且，（2），且，且，，且【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求MC的長(zhǎng)度是本題的關(guān)鍵．4．（2019·江蘇泰州中學(xué)附屬初中初三月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t＜），連接MN．（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．【答案】（1）△BMN與△ABC相似時(shí)，t的值為或；（2）t=【解析】（1）由題意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），當(dāng)△BMN∽△BAC時(shí)，，∴，解得：t=；當(dāng)△BMN∽△BCA時(shí)，，∴，解得：t=，∴△BMN與△ABC相似時(shí)，t的值為或；（2）過點(diǎn)M作MD⊥CB于點(diǎn)D，由題意得：DM=BMsinB==（cm），BD=BMcosB==（cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵M(jìn)D⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=．考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．解直角三角形；3．動(dòng)點(diǎn)型；4．分類討論；5．綜合題；6．壓軸題．5．（2019·湖北中考真題）在中，，，是上一點(diǎn)，連接（1）如圖1，若，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與垂直，求證：（2）過點(diǎn)作，為垂足，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn).①如圖2，若，求證：②如圖3，若是的中點(diǎn)，直接寫出的值（用含的式子表示）【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②【解析】(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵與垂直，，∴，，∴，∵，，∴，，∴，∴；(2)①過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴與垂直，由(1)，得，∵，∴，即；②過點(diǎn)C作CD//BP交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AM交CD于點(diǎn)H，∴∠PCH=∠BPQ，∵，∴⊥，∴∠BPM=∠CHM=90°，又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM，∴△BPM≌△CHM，∴BP=CH，PM=HM，∴PH=2PM，∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°，∴△ABM∽△BPM，∴，在Rt△PCH中，tan∠PCH=，∴tan∠BPQ=，又∵BC=2BM，，∴tan∠BPQ=.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.6．（2019·遼寧初三期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD=∠B,（1）求證：AC?CD=CP?BP；（2）若AB=10，BC=12，當(dāng)PD∥AB時(shí)，求BP的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C．∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴，∴AB?CD=CP?BP．∵AB=AC，∴AC?CD=CP?BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD=∠BAP．∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C．∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴．∵AB=10，BC=12，∴，∴BP=．“點(diǎn)睛”本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，把證明AC?CD=CP?BP轉(zhuǎn)化為證明AB?CD=CP?BP是解決第（1）小題的關(guān)鍵，證到∠BAP=∠C進(jìn)而得到△BAP∽△BCA是解決第（2）小題的關(guān)鍵．7．（2019·山西初三期末）如圖，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，點(diǎn)P為射線BD，CE的交點(diǎn)．（1）求證：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠EAC=90°時(shí)，求PB的長(zhǎng)；【答案】（1）證明見解析；（2）PB的長(zhǎng)為或．【解析】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE，∴△ADB≌△AEC，∴BD=CE．（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時(shí)，BE=AB﹣AE=1．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可證△ADB≌△AEC，∴∠DBA=∠ECA．∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC，∴，∴，∴PB=．②當(dāng)點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，BE=3．∵∠EAC=90°，∴CE==．同（1）可證△ADB≌△AEC，∴∠DBA=∠ECA．∵∠BEP=∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴，∴，∴PB=．綜上所述，PB的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)和判定，證明得△PEB∽△AEC是解題的關(guān)鍵．8．（2019·山東初三）如圖①，在四邊形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E，AB=AC=BD，點(diǎn)M為BC中點(diǎn)，N為線段AM上的點(diǎn)，且MB=MN.（1）求證：BN平分∠ABE；（2）若BD=1，連結(jié)DN，當(dāng)四邊形DNBC為平行四邊形時(shí)，求線段BC的長(zhǎng)；（3）如圖②，若點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，連結(jié)FN、FM，求證：△MFN∽△BDC．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析.【解析】（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，∴AM⊥BC，在Rt△ABM中，∠MAB+∠ABC=90°，在Rt△CBE中，∠EBC+∠ACB=90°，∴∠MAB=∠EBC，又∵M(jìn)B=MN，∴△MBN為等腰直角三角形，∴∠MNB=∠MBN=45°，∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；（2）設(shè)BM=CM=MN=a，∵四邊形DNBC是平行四邊形，∴DN=BC=2a，在△ABN和△DBN中，∵，∴△ABN≌△DBN（SAS），∴AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由AM2+MB2=AB2可得（2a+a）2+a2=1，解得：a=±（負(fù)值舍去），∴BC=2a=；（3）∵F是AB的中點(diǎn)，∴在Rt△MAB中，MF=AF=BF，∴∠MAB=∠FMN，又∵∠MAB=∠CBD，∴∠FMN=∠CBD，∵，∴，∴△MFN∽△BDC．點(diǎn)睛：本題主要考查相似形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一的性質(zhì)、直角三角形和平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形與相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．9．（2019·河南中考真題）在，，．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)時(shí)，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說明理由．（3）解決問題當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值．【答案】（1）1，（2）45°（3），【解析】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)CP交BD的延長(zhǎng)線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O．，，，，，，，，，，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是，故答案為1，．（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E．，，，，，，，，直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為．（3）如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，A，D，C，B四點(diǎn)共圓，，，，，設(shè)，則，，c．如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，同法可證：，設(shè)，則，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．10．（2019·山東初三期中）如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作AB的垂線，過點(diǎn)F作CD的垂線，兩垂線交于點(diǎn)G，連接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．（1）求證：AD＝BC；（2）求證：△AGD∽△EGF；（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）∵GE是AB的垂直平分線，∴GA=GB．同理GD=GC．在△AGD和△BGC中，∵GA=GB，∠AGD=∠BGC，GD=GC，∴△AGD≌△BGC．∴AD=BC．（2）∵∠AGD=∠BGC，∴∠AGB=∠DGC．在△AGB和△DGC中，，∠AGB=∠DGC，∴△AGB∽△DGC．∴，又∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF．（3）如圖，延長(zhǎng)AD交GB于點(diǎn)M，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則AH⊥BH．由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC，在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB．∴∠AGB=∠AHB=90°，∴∠AGE=∠AGB=45°，∴又△AGD∽△EGF，∴11．（2019·溫江中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初三期中）如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD．（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H．請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由見解析；（2）理由見解析；（3）PM=kPN；理由見解析【解析】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．考點(diǎn)：相似形綜合題．12．（2019·山東初三期中）（提出問題）（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．（類比探究）（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說明理由．（拓展延伸）（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】見解析【解析】解：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．（2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°．∴∠BAM=∠CAN．∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS）．∴∠ABC=∠ACN．（3）∠ABC=∠ACN．理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN．∴△ABC∽△AMN．∴．又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN.∴△BAM∽△CAN．∴∠ABC=∠ACN．13．（2019