重難點04 中考幾何五大最值問題

重難點04中考幾何五大最值問題模型解密模型一：將軍飲馬問題1.已知：如圖，定點A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點P，使PA+PB的值最小 解：連接AB交直線l于點P，點P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長度理由：在l上任取異于點P的一點P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點時，PA+PB最小.2.已知：如圖，定點A和定點B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周長最小） 解：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，點P即為所求；理由：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.方法總結(jié)：1.兩點之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；4.垂線段最短.模型二：阿氏圓問題阿氏圓問題問題：求解“”類加權(quán)線段和最小值方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計算定點位置④轉(zhuǎn)：“”轉(zhuǎn)化為“”問題關(guān)鍵：①可解性：半徑長與圓心到加權(quán)線段中定點距離比等于加權(quán)系數(shù)②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型模型三：胡不歸問題識別條件：動點P的運動軌跡是直線（或線段）方法：1、將所求線段和改為的形式（）2、作，使3、過點B作交AC于點P4、的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段的長注意：當k＞1時，模型四：隱圓（一）：定點定長作圓點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓。（二）：點圓最值已知平面內(nèi)一定點D和O，點E是O上一動點，設(shè)點O與點D之間距離為d，O半徑為r.位置關(guān)系點D在圓O內(nèi)點D在圓O上點D在圓O外圖示DE的最大值d＋r

2r

d＋r此時點E的位置連接DO并延長交O于點EDE的最小值r－d0d－r此時點E的位置連接OD并延長交O于點E點E與點D重合連接OD交O于點E（三）定弦定角解決問題的步驟：（1）讓動點動一下，觀察另一個動點的運動軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個動點的運動軌跡為一段弧。（2）找不變的張角（這個時候一般是找出張角的補角），（這個補角一般為、）（3）找張角所對的定弦，根據(jù)三點確定隱形圓，確定圓心位置（4）計算隱形圓的半徑（5）圓心與所求線段上定點的距離可以求出來（6）最小值等于圓心到定點之間的距離減去半徑模型五：費馬點【費馬點問題】問題：如圖1，如何找點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最?。繄D文解析：如圖1，把△APC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′C，連接PP′．則△CPP′為等邊三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵點A′可看成是線段CA繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點，BA′為定長∴當B、P、P′、A′四點在同一直線上時，PA+PB+PC最小．最小值為BA.′【如圖1和圖2，利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，當△ABC的每一個內(nèi)角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°；當有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點．費馬點問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換．【方法總結(jié)】利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段，將三條線段轉(zhuǎn)化成首尾相連的三條線段.【知識應(yīng)用】兩點之間線段最短.典例分析模型一：將軍飲馬問題1．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點E，F(xiàn)，D為BC邊的中點，M為線段EF上一動點，若△CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（）A．78 B．39 C．42 D．302．已知，在內(nèi)有一定點P，點M，N分別是，上的動點，若的周長最小值為3，則的長為（）A． B．3 C． D．3．如圖所示，在中，，平分，為線段上一動點，為

邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°4．如圖，正方形中，點P是上一點，若，，則的最小值是．

5．如圖，正方形的邊長為8，M在上，且，N是上的一動點，則的最小值為．

6．如圖，正方形中，點是邊上一定點，點、、分別是邊、、上的動點，若，則四邊形的周長最小時．

7．如圖，在邊長為8的正方形中，點G是邊的中點，E、F分別是和邊上的點，則四邊形周長的最小值為．8．如圖，菱形草地中，沿對角線修建60米和80米兩條道路，M、N分別是草地邊、的中點，在線段BD上有一個流動飲水點，若要使的距離最短，則最短距離是米．9．如圖，在等邊中，于，．點分別為上的兩個定點且，點為線段上一動點，連接，則的最小值為．10．如圖，在中，，，，垂直平分，點P為直線上任意一點，則的最小值是．模型二：阿氏圓問題11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．12．如圖所示的平面直角坐標系中，，，是第一象限內(nèi)一動點，，連接、，則的最小值是．13．如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．14．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為．15．如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為．16．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．17．如圖，點A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點C是OA的中點，點D在OB上，且OD＝4，動點P在上．求2PC＋PD的最小值．模型三：胡不歸問題18．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，C兩點，與y軸交于點B，對稱軸與x軸交于點D，若P為y軸上的一個動點，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．19．如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．1220．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．21．如圖，在中，，，，若是邊上的動點，則的最小值（

）A． B． C． D．22．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為．23．如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為．24．如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點是線段上任意一點不含端點，則的最小值為．26．如圖，在平面直角坐標系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點，點A、C的坐標分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點P是直線l上一動點，連接AP，則的最小值是．27．已知拋物線過點，兩點，與軸交于點，，

(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；(2)點為拋物線上位于直線下方的一動點，當面積最大時，求點的坐標；(3)若點為線段上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．模型四：隱圓28．如圖，正方形的邊長為4，點E是正方形內(nèi)的動點，點P是邊上的動點，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．29．如圖，四邊形為矩形，，．點P是線段上一動點，點M為線段上一點．，則的最小值為（

）A． B． C． D．30．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個動點，滿足，則線段CP長的最小值為（

）A． B．2 C． D．31．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．32．如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．333．如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE＋CE的最小值為．34．如圖，點A，B的坐標分別為為坐標平面內(nèi)一點，，M為線段的中點，連接，當取最大值時，點M的坐標為．35．如圖，在矩形中，，，點、分別是邊、上的動點，且，點是的中點，、，則四邊形面積的最小值為．36．如圖，長方形ABCD中，，BC=2，點E是DC邊上的動點，現(xiàn)將△BEC沿直線BE折疊，使點C落在點F處，則點D到點F的最短距離為．37．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．38．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB＝2，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是．39．如圖，AB是半圓O的直徑，點D在半圓O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一個動點，連接AC，過D點作DH⊥AC于H．連接BH，在點C移動的過程中，BH的最小值是．40．如圖，的半徑為4，圓心的坐標為，點是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關(guān)于原點對稱，則的最小值為．41．如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個動點，且，則線段的最小值為．模型五：費馬點39．如圖，在中，，P是內(nèi)一點，求的最小值為．43．如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為．44．如圖，四邊形是菱形，B=6，且∠ABC=60°，M是菱形內(nèi)任一點，連接AM，BM，CM，則AM+BM+CM的最小值為．45．【問題背景】17世紀有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費馬點”．如圖，點是內(nèi)的一點，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°到，則可以構(gòu)造出等邊，得，，所以的值轉(zhuǎn)化為的值，當，，，四點共線時，線段的長為所求的最小值，即點為的“費馬點”．(1)【拓展應(yīng)用】如圖1，點是等邊內(nèi)的一點，連接，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到．①若，則點與點之間的距離是______；②當，，時，求的大小；(2)如圖2，點是內(nèi)的一點，且，，，求的最小值．

重難點04中考幾何五大最值問題模型解密模型一：將軍飲馬問題1.已知：如圖，定點A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點P，使PA+PB的值最小 解：連接AB交直線l于點P，點P即為所求,PA+PB的最小值即為線段AB的長度理由：在l上任取異于點P的一點P′，連接AP′、BP′，在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P為直線AB與直線l的交點時，PA+PB最小.2.已知：如圖，定點A和定點B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周長最?。?解：作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，點P即為所求；理由：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知直線l為線段AA′的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA′，要使PA+PB最小，則需PA′+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.方法總結(jié)：1.兩點之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；4.垂線段最短.模型二：阿氏圓問題阿氏圓問題問題：求解“”類加權(quán)線段和最小值方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計算定點位置④轉(zhuǎn)：“”轉(zhuǎn)化為“”問題關(guān)鍵：①可解性：半徑長與圓心到加權(quán)線段中定點距離比等于加權(quán)系數(shù)②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型模型三：胡不歸問題識別條件：動點P的運動軌跡是直線（或線段）方法：1、將所求線段和改為的形式（）2、作，使3、過點B作交AC于點P4、的最小值轉(zhuǎn)化為垂線段的長注意：當k＞1時，模型四：隱圓（一）：定點定長作圓點A為定點，點B為動點，且AB長度固定，則點B的軌跡是以點A為圓心，AB長為半徑的圓。（二）：點圓最值已知平面內(nèi)一定點D和O，點E是O上一動點，設(shè)點O與點D之間距離為d，O半徑為r.位置關(guān)系點D在圓O內(nèi)點D在圓O上點D在圓O外圖示DE的最大值d＋r

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d＋r此時點E的位置連接DO并延長交O于點EDE的最小值r－d0d－r此時點E的位置連接OD并延長交O于點E點E與點D重合連接OD交O于點E（三）定弦定角解決問題的步驟：（1）讓動點動一下，觀察另一個動點的運動軌跡，發(fā)現(xiàn)另一個動點的運動軌跡為一段弧。（2）找不變的張角（這個時候一般是找出張角的補角），（這個補角一般為、）（3）找張角所對的定弦，根據(jù)三點確定隱形圓，確定圓心位置（4）計算隱形圓的半徑（5）圓心與所求線段上定點的距離可以求出來（6）最小值等于圓心到定點之間的距離減去半徑模型五：費馬點【費馬點問題】問題：如圖1，如何找點P使它到△ABC三個頂點的距離之和PA+PB+PC最小？圖文解析：如圖1，把△APC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′P′C，連接PP′．則△CPP′為等邊三角形，CP=PP′，PA=P′A′，∴PA+PB+PC=P′A′+PB+PP′BC′．∵點A′可看成是線段CA繞C點順時針旋轉(zhuǎn)60°而得的定點，BA′為定長∴當B、P、P′、A′四點在同一直線上時，PA+PB+PC最?。钚≈禐锽A.′【如圖1和圖2，利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段.】∴∠APC=∠A′P′C=180°-∠CP′P=180°-60°=120°，∠BPC=180°-∠P′PC=180°-60°=120°，∠APC=360°-∠BPC-∠APC=360°-120°-120°=120°.因此，當△ABC的每一個內(nèi)角都小于120°時，所求的點P對三角形每邊的張角都是120°；當有一內(nèi)角大于或等于120°時，所求的P點就是鈍角的頂點．費馬點問題告訴我們，存在這么一個點到三個定點的距離的和最小，解決問題的方法是運用旋轉(zhuǎn)變換．【方法總結(jié)】利用旋轉(zhuǎn)、等邊等條件轉(zhuǎn)化相等線段，將三條線段轉(zhuǎn)化成首尾相連的三條線段.【知識應(yīng)用】兩點之間線段最短.典例分析模型一：將軍飲馬問題1．如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，腰AC的垂直平分線EF分別交邊AC，AB于點E，F(xiàn)，D為BC邊的中點，M為線段EF上一動點，若△CDM的周長的最小值為13，則等腰三角形ABC的面積為（）A．78 B．39 C．42 D．30【答案】D【詳解】如圖，連接AD，交EF于點M．∵△ABC是等腰三角形，D是BC邊的中點，∴AD⊥BC，CD=BC=3．∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點C關(guān)于直線EF的對稱點為A，AM=CM，∴此時△CDM的周長最小，∴CM+DM+CD=AM+DM+CD=AD+CD=13，∴AD=13－CD=13－3=10，∴S△ABC=BC·AD=×6×10=30．2．已知，在內(nèi)有一定點P，點M，N分別是，上的動點，若的周長最小值為3，則的長為（）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出符合條件的圖形，求出，得出等邊三角形，求出，求出的周長，即可求出答案．【詳解】解：作P關(guān)于的對稱點D，作P關(guān)于的對稱點E，連接交于M，交于N，連接，則此時的周長最小，連接，∵P、D關(guān)于對稱，∴，同理，∴，∵P、D關(guān)于對稱，∴，∵，∴，同理，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵的周長是，∴故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是畫出符合條件的圖形．3．如圖所示，在中，，平分，為線段上一動點，為

邊上一動點，當?shù)闹底钚r，的度數(shù)是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D【分析】先在上截取，連接，證明，得出，說明，找出當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得答案．【詳解】解：在上截取，連接，如圖：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴當A、P、E在同一直線上，且時，最小，即最小，過點A作于點E，交于點P，如圖：∵，，∴．故選：D．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，三角形內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出使最小時點P的位置．4．如圖，正方形中，點P是上一點，若，，則的最小值是．

【答案】【分析】連接，在上取一點，使，連接，，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，可得，可確定的最小值是的長，再求出的長即可．【詳解】解：連接，在上取一點，使，連接，，過點作于點，

∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，

∴，∴的最小值是的長．在中，，，即為等腰直角三角形，∴，∵，∴，在中，由勾股定理，得，∴的最小值是．故答案為：．【點睛】本題考查最短路線問題，解題中涉及正方形的性質(zhì)，全等三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)“將軍飲馬問題”利用軸對稱將問題轉(zhuǎn)化為用一條線段的長表示的最小值是解題的關(guān)鍵．5．如圖，正方形的邊長為8，M在上，且，N是上的一動點，則的最小值為．

【答案】10【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化，的值，確定最小值為的長度，再由勾股定理計算即可．【詳解】解：如圖所示，∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關(guān)于直線為對稱軸的對稱點，∴連接，，則直線即為的垂直平分線，

∴，∴，連接交于點P，∵點N為上的動點，∴由三角形兩邊之和大于第三邊，知當點N運動到點P時，，的最小值為的長度．∵四邊形為正方形，∴，，，，即的最小值為10.故答案為：10【點睛】本考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，解題的難點在于確定滿足條件的點N的位置：利用軸對稱的方法．然后熟練運用勾股定理．6．如圖，正方形中，點是邊上一定點，點、、分別是邊、、上的動點，若，則四邊形的周長最小時．

【答案】【分析】如圖，作點G關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，交于點，連接，交于點，連接、，四邊形的周長最小，求出此時即可．【詳解】解：如圖，作點G關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，作點關(guān)于的對稱點，連接交于點，交于點，連接，交于點，連接、，四邊形的周長最小，

由對稱的性質(zhì)知，，∴，當、、三點共線時值最小；同理可得：，當、、、四點點共線時值最??；∵，正方形是正方形；∴，，由對稱的性質(zhì)知，，，，，，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴．∴故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，正方形性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，利用作軸對稱圖形解決最值問題是解題關(guān)鍵．7．如圖，在邊長為8的正方形中，點G是邊的中點，E、F分別是和邊上的點，則四邊形周長的最小值為．【答案】24【分析】作點G關(guān)于的對稱點，作點B關(guān)于的對稱點，連接、、，根據(jù)對稱的性質(zhì)可得，，再由，，可得當時，四邊形的周長有最小值，最小值為，再利用勾股定理求得，最后利用即可求解．【詳解】解：如圖，作點G關(guān)于的對稱點，作點B關(guān)于的對稱點，連接、、，∵，，∴，∵，

∴當時，四邊形的周長有最小值，最小值為，∵，，∴，，∴，∴，∴四邊形的周長的最小值為24，故答案為：24．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，構(gòu)造三角形是解題的關(guān)鍵．8．如圖，菱形草地中，沿對角線修建60米和80米兩條道路，M、N分別是草地邊、的中點，在線段BD上有一個流動飲水點，若要使的距離最短，則最短距離是米．【答案】50【分析】作關(guān)于的對稱點，連接，交于，連接，當點與重合時，的值最小，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理求出長，即可得出答案．【詳解】解：作關(guān)于的對稱點，連接，交于，連接，當點與重合時，的值最小，四邊形是菱形，，，即在上，，，為中點，為中點，為中點，四邊形是菱形，，，四邊形是平行四邊形，，設(shè)與的交點為點，四邊形是菱形，，米，米，米，的最小值是50米．故答案為：50．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)軸對稱找出的位置．9．如圖，在等邊中，于，．點分別為上的兩個定點且，點為線段上一動點，連接，則的最小值為．【答案】【分析】如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，且點在上，則，當在同一條直線上時，有最小值，證明四邊形是平行四邊形，，由此即可求解．【詳解】解：如圖所示，作點關(guān)于的對稱點，∵是等邊三角形，，∴，∴點在上，∴，則，當在同一條直線上時，有最小值，∵點關(guān)于的對稱點，，∴，，∴，∴是等邊三角形，即，∴，且，∴四邊形是平行四邊形，∴，在中，，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查動點與等邊三角形，對稱—最短路徑，平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合，理解并掌握等邊三角形得性質(zhì)，對稱—最短路徑的計算方法，平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在中，，，，垂直平分，點P為直線上任意一點，則的最小值是．【答案】4【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，可得當點A，P，C在一條直線上時，有最小值，最小值為的長．【詳解】解：連接．∵是的垂直平分線，∴，∴，∴當點A，P，C在一條直線上時，有最小值，最小值為．故答案為：4．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，明確線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．模型二：阿氏圓問題11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領(lǐng)：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．12．如圖所示的平面直角坐標系中，，，是第一象限內(nèi)一動點，，連接、，則的最小值是．【答案】【分析】取點，連接，．根據(jù)，有，即可證明，即有，進而可得，則有，利用勾股定理可得，則有，問題得解．【詳解】解：如圖，取點，連接，．，，，，，，，，，，，，，，，，，（當B、P、T三點共線時取等號）的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．13．如圖，在中，點A、點在上，，，點在上，且，點是的中點，點是劣弧上的動點，則的最小值為．【答案】【分析】延長到，使得，連接，，利用相似三角形的性質(zhì)證明，求的最小值問題轉(zhuǎn)化為求的最小值．求出即可判斷．【詳解】解：延長到，使得，連接，．，，，，，，，，，，又在中，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．14．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構(gòu)造PB即可解答．【詳解】解：設(shè)⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形．15．如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為．【答案】【分析】如圖，連接，在上取一點，使得，進而證明,則在點P運動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，四邊形是正方形在中，故答案為：．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．【答案】．【分析】在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根據(jù)PC+PT≥TC，求出CT即可解決問題．【詳解】解：在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT?AB，∴＝，∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值為．故答案為．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．17．如圖，點A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點C是OA的中點，點D在OB上，且OD＝4，動點P在上．求2PC＋PD的最小值．【答案】【分析】連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．由題意易證，即得出，從而得出，由此可知當P、D、E三點共線時，最小，最小值為DE的長，最后在中利用勾股定理求出DE的長即可．【詳解】如圖，連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．∵C是OA的中點，∴．∴在△OPC和△OEP中，，∴，∴，即，∴，.∴當P、D、E三點共線時，最小，最小值即為DE的長，如圖，在中，，∴的最小值為．【點睛】本題考查同圓半徑相等、三角形相似的判定和性質(zhì)和勾股定理等知識．正確作出輔助線并理解當P、D、E三點共線時，最小，最小值為DE的長是解答本題的關(guān)鍵模型三：胡不歸問題18．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，C兩點，與y軸交于點B，對稱軸與x軸交于點D，若P為y軸上的一個動點，連接，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作射線，作于E，作于F，交y軸于，可求得，從而得出，進而得出，進一步得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，作射線，作于E，作于F，交y軸于，拋物線的對稱軸為直線，∴，當時，，∴，當時，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，當點P在時，最小，最大值等于，在中，，，∴，∴，故選：A．【點睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，解直角三角形等知識，解決問題的關(guān)鍵是用三角函數(shù)構(gòu)造．19．如圖，在中，，若D是邊上的動點，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】過點C作射線，使，再過動點D作，垂足為點F，連接，在中，當A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長．【詳解】解：過點C作射線，使，再過動點D作，垂足為點F，連接，如圖所示：在中，，∴，∵＝，∴當A，D，F(xiàn)在同一直線上，即時，的值最小，最小值等于垂線段的長，此時，，∴是等邊三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為12，故選：D．【點睛】本題考查垂線段最短、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造胡不歸模型，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題．20．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2﹣2x＋c的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B（0，﹣3），若P是x軸上一動點，點D（0，1）在y軸上，連接PD，則PD＋PC的最小值是（

）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．根據(jù)，求出的最小值即可解決問題．【詳解】解：過點P作PJ⊥BC于J，過點D作DH⊥BC于H．∵二次函數(shù)y＝x2﹣2x+c的圖象與y軸交于點B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（0，-3），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，設(shè)，則,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值為，∴的最小值為4．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題．21．如圖，在中，，，，若是邊上的動點，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作點A關(guān)于BC的對稱點A'，連接AA',A'D,過D作DE⊥AC于E，易得2DE=CD，AD=A'D，從而得出AD+DE=A'D+DE，當A'，D,E在同一直線上時，AD+DE的最小值等于A'E的長是3，進而求出2AD十CD的最小值．【詳解】如圖所示，作點A關(guān)于BC的對稱點A',連接AA',A'D,過D作DE⊥AC于E∵∠BAC=90o，∠B=60o，AB=2∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C=30o∴DE=CD,即2DE=CD∵A與A'關(guān)于BC對稱∴AD=A'D∴AD+DE=A'D+DE∴當A'，D,E在同一直線上時AD+DE的最小值等于A'E的長,在Rt△AA'E中：A'E=sin60o×AA'=×2=3∴AD十DE的最小值為3∴2AD十CD的最小值為6故選B【點睛】本題主要考查了三角形的動點最值問題，做完輔助線后先求出AD+DE的最小值是解題關(guān)鍵．22．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，若C為x軸上的一動點，則2BC+AC的最小值為．【答案】6【分析】先求出點A，點B坐標，由勾股定理可求AB的長，作點B關(guān)于OA的對稱點，可證是等邊三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得CH＝AC，則，即當點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵一次函數(shù)分別交x軸、y軸于A、B兩點，∴點A（3，0），點，∴AO＝3，，∴，作點B關(guān)于OA的對稱點，連接，，過點C作CH⊥AB于H，如圖所示：∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∵，∴，∵CH⊥AB，∴，∴，∴當點，點C，點H三點共線時，有最小值，即2BC＋AC有最小值，此時，，是等邊三角形，∴，，∴，∴2BC＋AC的最小值為6．故答案為：6．【點睛】本題是胡不歸問題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，確定點C的位置是解題的關(guān)鍵．23．如圖，?中，，，為邊上一點，則的最小值為．【答案】【分析】作PH丄AD交AD的延長線于H，由直角三角形的性質(zhì)可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，當H、P、B三點共線時HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．【詳解】如圖，過點作，交的延長線于，

四邊形是平行四邊形，，∴∵PH丄AD∴∴，，∴當點，點，點三點共線時，HP+PB有最小值，即有最小值，此時，，，∴，則最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了胡不歸問題，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短等知識．構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在中，，，半徑為的經(jīng)過點，是圓的切線，且圓的直徑在線段上，設(shè)點是線段上任意一點不含端點，則的最小值為．【答案】【分析】過點作關(guān)于的平行線，過點作垂直于該平行線于，可將轉(zhuǎn)化為，此時就等于，當共線時，即為所要求的最小值．【詳解】解：如圖所示，過點作關(guān)于的平行線，過點作垂直于該平行線于，，，，，，，，，當，，三點共線，即在圖中在位置，在位置的時候有最小，當，，三點共線時，有最小值，此時，的最小值為，故答案為．【點睛】本題主要考查了最值問題中的胡不歸問題，解題的關(guān)鍵是在于將進行轉(zhuǎn)換．26．如圖，在平面直角坐標系中，直線l分別交x、y軸于B、C兩點，點A、C的坐標分別為(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，點P是直線l上一動點，連接AP，則的最小值是．【答案】/【分析】作∠OCE=120°，過點P作PG⊥CE于點G，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得PG=PC；當A、P、G在同一直線時，AP+PC=AP+PG=AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可求解．【詳解】解：∵點A、C的坐標分別為(3，0)、(0，﹣3)，∴OA=3，OC=3，作∠OCE=120°，∵∠OCB=60°，則∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，過點P作PG⊥CE于點G，如圖：在Rt△PCG中，∠PCG=60°，則∠CPG=30°，∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，∴AP+PC=AP+PG，當A、P、G在同一直線時，AP+PG=AG的值最小，延長AG交y軸于點F，∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，∴∠CFG=30°，∴CF=2CG，GF=CF，在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，∴AF=2OA=6，OF=，∴CF=OF-OC=，∴GF=()=，∴AG=AF-FG=，即AP+PC的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，作出合適的輔助線，得到當A、P、G在同一直線時，AP+PC=AP+PG=AG的值最小是解題的關(guān)鍵．27．已知拋物線過點，兩點，與軸交于點，，

(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；(2)點為拋物線上位于直線下方的一動點，當面積最大時，求點的坐標；(3)若點為線段上的一動點，問：是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)解析式為，頂點的坐標為(2)點的坐標為(3)存在，最小值為【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的交點式，然后代入點的坐標，求解即可；（2）作軸，交于點，通過設(shè)和的坐標，利用“割補法”表示出，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值即可；（3）將直線繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，并過點作其垂線，垂足為，分別連接，，，構(gòu)造出含角的直角三角形，然后轉(zhuǎn)換為求得最小值，繼而確定當、、三點共線時，滿足取得最小值，此時利用含角的直角三角形的性質(zhì)分段求解再相加即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由題意，設(shè)拋物線解析式為，其中，∵，∴點的坐標為，將代入，解得：，∴，∴拋物線的解析式為，∵對稱軸為直線，∴將代入，得：，∴頂點的坐標為；（2）解：∵，，∴直線的解析式為：，∵點在拋物線上，且位于直線下方，∴設(shè)，其中，，如圖所示，作軸，交于點，∴，∴，∵，，，∴，∴，整理可得：，其中，∵，∴當時，取得最大值，將代入，得：，∴此時點的坐標為；

（3）解：存在最小值，理由如下：如下圖所示，將直線繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，并過點作其垂線，垂足為，分別連接，，，則，，

∴在中，，∴隨著點的運動，總有，∴，要使得取得最小值，即要使得取得最小值，如下圖，當、、三點共線時，滿足取得最小值，

此時，，，∵，∴，，∴，∴，∴，∴存在最小值，最小值為．【點睛】本題考查求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合面積問題，以及利用“胡不歸”模型構(gòu)造三角形求線段和最值問題，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，熟練運用函數(shù)思想解決圖形面積問題是解題關(guān)鍵．模型四：隱圓28．如圖，正方形的邊長為4，點E是正方形內(nèi)的動點，點P是邊上的動點，且．連結(jié)，，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明，即可得點E在以為直徑的半圓上移動，設(shè)的中點為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點D的對應(yīng)點是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對稱性有：，則有：，則線段的長即為的長度最小值，問題隨之得解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴點E在以為直徑的半圓上移動，如圖，設(shè)的中點為O，作正方形關(guān)于直線對稱的正方形，則點D的對應(yīng)點是F，連接交于P，交半圓O于E，根據(jù)對稱性有：，則有：，則線段的長即為的長度最小值，E∵，，∴，，∴，∴，故的長度最小值為，故選：A．【點睛】本題考查了軸對稱﹣最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，得出點E的運動路線是解題的關(guān)鍵．29．如圖，四邊形為矩形，，．點P是線段上一動點，點M為線段上一點．，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】證明，得出點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上，從而計算出答案．【詳解】設(shè)AD的中點為O，以O(shè)點為圓心，AO為半徑畫圓∵四邊形為矩形∴∵∴∴∴點M在O點為圓心，以AO為半徑的圓上連接OB交圓O與點N∵點B為圓O外一點∴當直線BM過圓心O時，BM最短∵，∴∴∵故選：D．【點睛】本題考查直角三角形、圓的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形和圓的相關(guān)知識．30．如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個動點，滿足，則線段CP長的最小值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】結(jié)合題意推導(dǎo)得，取AB的中點O，以點O為圓心，為直徑作圓，連接OP；根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，得；根據(jù)圓的對稱性，得點P在以AB為直徑的上，根據(jù)兩點之間直線段最短的性質(zhì)，得當點O、點P、點C三點共線時，PC最小；根據(jù)勾股定理的性質(zhì)計算得，通過線段和差計算即可得到答案．【詳解】，，，，，取AB的中點O，以點O為圓心，為直徑作圓，連接OP，點P在以AB為直徑的上，連接OC交于點P，當點O、點P、點C三點共線時，PC最小在中，，，，，最小值為故選：D．【點睛】本題考查了兩點之間直線段最短、圓、勾股定理、直角三角形斜邊中線的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性、兩點之間直線段最短、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，從而完成求解．31．如圖，在中，，cm，cm．是邊上的一個動點，連接，過點作于，連接，在點變化的過程中，線段的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由∠AEC＝90°知，點E在以AC為直徑的⊙M的上（不含點C、可含點N），從而得BE最短時，即為連接BM與⊙M的交點（圖中點E′點），BE長度的最小值BE′＝BM?ME′．【詳解】如圖，由題意知，，在以為直徑的的上（不含點、可含點，最短時，即為連接與的交點（圖中點點），在中，，，則．，長度的最小值，故選：．【點睛】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理，三角形的三邊關(guān)系等知識點，難度偏大，解題時，注意輔助線的作法．32．如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（

）A．2 B．+1 C．2﹣2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)題意，在折疊過程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運動，當A′C取最小值時，由兩點之間線段最短知此時M、A′、C三點共線，得出A′的位置，過點M作MH⊥DC于點H，再利用含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出MC的長，進而求出A′C的長即可．【詳解】解：如圖所示，∵MA′是定值，A′C長度取最小值時，即A′在MC上．過點M作MH⊥DC于點H，∵在邊長為4的菱形ABCD中，∠MAN=60°，M為AD的中點，∴2MD=AD=CD=4，∠HDM=∠MAN=60°，∴MD=2，∠HMD=30°，∴HD=MD=1，∴HM==，CH=CD+DH=5，∴，∴A′C=MC-MA′=2-2；故選：C．【點睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，突破點是正確尋找點A′的位置．33．如圖，矩形ABCD中AB＝3，BC，E為線段AB上一動點，連接CE，則AE＋CE的最小值為．【答案】3【詳解】思路引領(lǐng)：在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．易證ETAE，推出AE+EC＝CE+ET≥CH，求出CH即可解決問題．答案詳解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴tan∠CAB，∴∠CAB＝30°，∴AC＝2BC＝2，在射線AB的下方作∠MAB＝30°，過點E作ET⊥AM于T，過點C作CH⊥AM于H．∵ET⊥AM，∠EAT＝30°，∴ETAE，∵∠CAH＝60°，∠CHA＝90°，AC＝2，∴CH＝AC?sin6°＝23，∵AE+EC＝CE+ET≥CH，∴AE+EC≥3，∴AE+EC的最小值為3，故答案為3．34．如圖，點A，B的坐標分別為為坐標平面內(nèi)一點，，M為線段的中點，連接，當取最大值時，點M的坐標為．【答案】【分析】根據(jù)題意可知：點C在半徑為的⊙B上．在x軸上取OD=OA=6，連接CD，易證明OM是△ACD的中位線，即得出OM=CD，即當OM最大時，CD最大，由D，B，C三點共線時，即當C在DB的延長線上時，OM最大，根據(jù)勾股定理求出BD的長，從而可求出CD的長，最后即可求出OM的最大值．【詳解】解：如圖，∵點C為坐標平面內(nèi)一點，，∴C在⊙B上，且半徑為，在x軸上取OD=OA=6，連接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位線，∴OM=CD，∴即當OM最大時，CD最大，而D，B，C三點共線時，即當C在DB的延長線上時，OM最大，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=，∴CD=，且C(2,8),∴OM=CD，即OM的最大值為，∵M是AC的中點，則M（4,4），故答案為：（4,4）．【點睛】本題考查坐標和圖形，三角形的中位線定理，勾股定理等知識．確定OM為最大值時點C的位置是解題關(guān)鍵，也是難點．35．如圖，在矩形中，，，點、分別是邊、上的動點，且，點是的中點，、，則四邊形面積的最小值為．【答案】38【分析】首先連接AC，過B作BH⊥AC于H，當G在BH上時，三角形ACG面積取最小值，此時四邊形AGCD面積取最小值，再連接BG，知BG=2，得到G點軌跡圓，該軌跡與BH交點即為所求最小值時的G點，利用面積法求出BH、GH的長，代入三角形面積公式求解即可．【詳解】解：連接，過作于，當G在BH上時，△ACG面積取最小值，此時四邊形AGCD面積取最小值，四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+三角形ACD面積，即四邊形AGCD面積=三角形ACG面積+24．連接BG，由G是EF中點，EF=4知，BG=2，故G在以為圓心，為半徑的圓弧上，圓弧交于，此時四邊形AGCD面積取最小值，如圖所示，由勾股定理得：AC=10，∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，即四邊形面積的最小值=．故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理及矩形中的與動點相關(guān)的最值問題，解題的關(guān)鍵是利用直角三角形斜邊的直線等于斜邊的一半確定出點的運動軌跡．36．如圖，長方形ABCD中，，BC=2，點E是DC邊上的動點，現(xiàn)將△BEC沿直線BE折疊，使點C落在點F處，則點D到點F的最短距離為．【答案】2【分析】由題意易得點F的運動軌跡是以點B為圓心，BC長為半徑的圓弧，連接BD，然后根據(jù)隱圓問題可進行求解．【詳解】解：由題意得：點F的運動軌跡是以點B為圓心，BC長為半徑的圓弧，連接BD，交圓弧于點H，如圖所示：∴當點F與點H重合時，點D到點F的距離為最短，∵四邊形ABCD是矩形，，BC=2，∴，∴，∴，即點D到點F的最短距離為2；故答案為2．【點睛】本題主要考查隱圓問題，矩形與折疊，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分析得出點F的運動軌跡．37．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E為邊AD上一個動點，點F在邊CD上，且線段EF＝4，點G為線段EF的中點，連接BG、CG，則BG+CG的最小值為．【答案】5【分析】因為DG＝EF＝2，所以G在以D為圓心，2為半徑圓上運動，取DI＝1，可證△GDI∽△CDG，從而得出GI＝CG，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得出BI是其最小值【詳解】解：如圖，在Rt△DEF中，G是EF的中點，∴DG＝，∴點G在以D為圓心，2為半徑的圓上運動，在CD上截取DI＝1，連接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，∴當B、G、I共線時，BG+CG最?。紹I，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，圓的概念，求得點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．38．如圖，⊙O的半徑為2，弦AB＝2，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC⊥AP交直線PB于點C，則△ABC的最大面積是．【答案】【分析】連接OA、OB，如圖1，由OA=OB=AB=2可判斷△OAB為等邊三角形，則∠AOB=60°，根據(jù)圓周角定理得∠APB=∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因為AB=2，則要使△ABC的最大面積，點C到AB的距離要最大；由∠ACB=60°，可根據(jù)圓周角定理判斷點C在⊙D上，且∠ADB=120°，如圖2，于是當點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，從而得到△ABC的最大面積．【詳解】解：連接OA、OB，如圖1，∵OA=OB=2，AB=2，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠APB=∠AOB=30°，∵AC⊥AP，∴∠C=60°，∵AB=2，要使△ABC的最大面積，則點C到AB的距離最大，作△ABC的外接圓D，∵∠ACB=60°，點C在⊙D上，∴∠ADB=120°，如圖2，當點C優(yōu)弧AB的中點時，點C到AB的距離最大，此時△ABC為等邊三角形，且面積為AB2=，∴△ABC的最大面積為．故答案為：．【點睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和等邊三角形的判斷與性質(zhì)；記住等邊三角形的面積公式．39．如圖，AB是半圓O的直徑，點D在半圓O上，AB＝13，AD＝5，C是弧BD上的一個動點，連接AC，過D點作DH⊥AC于H．連接BH，在點C移動的過程中，BH的最小值是．【答案】【分析】連接BD，取AD的中點E，連接BE，由題意先判斷出點H在以點E為圓心，AE為半徑的圓上，當B、H、E三點共線時，BH取得最小值，然后在直角三角形中，利用勾股定理求出BE的長，利用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出EH的長，由即可算出BH的長度．【詳解】解：連接BD，取AD的中點E，連接BE，如下圖：∵DH⊥AC∴點H在以點E為圓心，AE為半徑的圓上，當B、H、E三點共線時，BH取得最小值∵AB是直徑∴在中，AB=13，AD=5由勾股定理得：即：∵∴∵E為AD的中點∴在中，，由勾股定理得：即：∵∴又∵DH⊥AC，且點E為AD的中點∴∴故答案為：【點睛】本題考查勾股定理解三角形，直徑所對的圓周角為直角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，隱圓問題的處理等相關(guān)知識點，能夠判斷出從動點的運動軌跡是解題的關(guān)鍵．40．如圖，的半徑為4，圓心的坐標為，點是上的任意一點，，且、與軸分別交于、兩點，若點、點關(guān)于原點對稱，則的最小值為．【答案】18【分析】由中知要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點，當點位于位置時，取得最小值，據(jù)此求解可得．【詳解】解：連接，，，，，若要使取得最小值，則需取得最小值，連接，交于點，當點位于位置時，取得最小值，過點作軸于點，則，，，又，，，故答案是：18．【點睛】本題主要考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB取得最小值時點P的位置．41．如圖，在矩形中，，，是矩形內(nèi)部的一個動點，且，則線段的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)，可得到點E的運動軌跡是以AB的中點O