新高考數(shù)學一輪復(fù)習考點精講練+易錯題型第32講 復(fù)數(shù)（原卷版）

第32講復(fù)數(shù)【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.虛數(shù)單位SKIPIF1<0:（1）它的平方等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0與－1的關(guān)系:SKIPIF1<0就是－1的一個平方根，即方程SKIPIF1<0的一個根，方程SKIPIF1<0的另一個根是SKIPIF1<0；（3）實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立；（4）SKIPIF1<0的周期性：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.2.概念形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，SKIPIF1<0叫復(fù)數(shù)的實部，SKIPIF1<0叫復(fù)數(shù)的虛部。說明：這里SKIPIF1<0容易忽視但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)。3.復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母SKIPIF1<0表示；復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04.復(fù)數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛、0的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），當且僅當SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0是實數(shù)；當且僅當SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0叫做虛數(shù)；當且僅當SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0叫做純虛數(shù)；當且僅當SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0就是實數(shù)0.所以復(fù)數(shù)的分類如下:SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<05.復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等。即：如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0.特別地:SKIPIF1<0.應(yīng)當理解:（1）一個復(fù)數(shù)一旦實部、虛部確定，那么這個復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.（2）復(fù)數(shù)相等的充要條件是將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實數(shù)解決問題的基礎(chǔ).一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小。如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大??；也只有當兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小。6.共軛復(fù)數(shù)：兩個復(fù)數(shù)的實部相等，而且虛部相反，那么這兩個復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。即：復(fù)數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）互為共軛復(fù)數(shù)。二：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其四則運算1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)通常用字母SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），把復(fù)數(shù)表示成SKIPIF1<0的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。2.四則運算SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)：SKIPIF1<0。三：復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面、實軸、虛軸：點SKIPIF1<0的橫坐標是SKIPIF1<0，縱坐標是SKIPIF1<0，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）可用點SKIPIF1<0表示，這個建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，SKIPIF1<0軸叫做實軸，SKIPIF1<0軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù)。對于虛軸上的點原點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為SKIPIF1<0，它所確定的復(fù)數(shù)是SKIPIF1<0表示是實數(shù)。故除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0復(fù)平面內(nèi)的點SKIPIF1<0這是因為，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義，也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法。2.復(fù)數(shù)的幾何表示（1）坐標表示:在復(fù)平面內(nèi)以點SKIPIF1<0表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；（2）向量表示:以原點SKIPIF1<0為起點，點SKIPIF1<0為終點的向量SKIPIF1<0表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0.向量SKIPIF1<0的長度叫做復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的模，記作SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.【微點撥】（1）向量SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0以及復(fù)數(shù)SKIPIF1<0有一一對應(yīng)；（2）兩個復(fù)數(shù)不全是實數(shù)時不能比較大小，但它們的模可以比較大小。3.復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別對應(yīng)于向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，那么以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為兩邊作平行四邊形SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0表示的向量SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0的和所對應(yīng)的向量。4.復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個復(fù)數(shù)的差SKIPIF1<0與連接這兩個向量終點并指向被減數(shù)的向量對應(yīng)。【微點撥】1.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算一般用代數(shù)形式進行；2.求解計算時，要充分利用i的性質(zhì)計算問題；3.在復(fù)數(shù)的求解過程中，要注意復(fù)數(shù)整體思想的把握和應(yīng)用；4.復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的思想方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件?！究键c研習一點通】考點一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【例1】設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，試求實數(shù)SKIPIF1<0取何值時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0分別滿足：(1)SKIPIF1<0是純虛數(shù)；(2)SKIPIF1<0對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第二象限。【變式1-1】實數(shù)m取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0分別是：實數(shù)？(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)？(4)表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的點在復(fù)平面的第四象限?【變式1-2】求當實數(shù)SKIPIF1<0取何值時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0分別是：（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)?！咀兪?-3】已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（）A.必為純虛數(shù)B.是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)C.必為實數(shù)D.可能是實數(shù)也可能是虛數(shù)考點二：復(fù)數(shù)相等【例2】復(fù)數(shù)z1＝SKIPIF1<0＋(10-a2)i，z2＝SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是實數(shù)，求實數(shù)a的值.【變式2-1】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同時滿足M∩NSKIPIF1<0M，M∩N≠Φ，求整數(shù)a,b【變式2-2】已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實數(shù)，求z2.【變式2-3】實數(shù)m分別取什么數(shù)值時？復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)與復(fù)數(shù)2－12i相等；(2)與復(fù)數(shù)12＋16i互為共軛復(fù)數(shù)；(3)對應(yīng)的點在x軸上方．考點三：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算【例3】計算：SKIPIF1<0【變式3-1】SKIPIF1<0【變式3-2】計算：計算SKIPIF1<0【變式3-3】SKIPIF1<0【變式3-4】已知z1，z2為復(fù)數(shù)，(3＋i)z1為實數(shù)，SKIPIF1<0且|z2|＝SKIPIF1<0求z2.考點四：復(fù)數(shù)的幾何意義【例4】已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，若SKIPIF1<0所對應(yīng)的點在第四象限，求SKIPIF1<0的取值范圍.【變式4-1】已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是純虛數(shù)，求m值；若SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，求m的取值范圍.【變式4-2】已知SKIPIF1<0是復(fù)數(shù)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為實數(shù)，且復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍?？键c五：化復(fù)數(shù)問題為實數(shù)問題【例5】已知SKIPIF1<0互為共軛復(fù)數(shù)，且SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0.【變式5-1】求使關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0至少有一個實根的實數(shù)SKIPIF1<0.【變式5-2】已知SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【易錯易錯】易錯一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）為純虛數(shù)，則z＝（）A．163i B．6i C．202．已知i是虛數(shù)單位，若z（1+3i）＝i，則z的虛部為（）A．110 B．?110 C．i3．已知復(fù)數(shù)z=2i1+i（i虛數(shù)單位），則zA．2 B．2 C．1 D．14．若a?ii=b+2i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a+A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．35．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=i?11+i，則|A．1 B．2 C．3 D．2易錯二.復(fù)數(shù)的幾何意義1．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1?i)2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設(shè)i是虛數(shù)單位，z的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，z＝1+2i，則復(fù)數(shù)z+i?z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．24．已知復(fù)數(shù)z＝3+4i3，則z的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第象限．5．在復(fù)平面內(nèi)，O是坐標原點，向量OA→對應(yīng)的復(fù)數(shù)是﹣2+i，若點A關(guān)于實軸的對稱點為點B，則向量OB→對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模為易錯三.復(fù)數(shù)的指數(shù)冪運算1．若復(fù)數(shù)z=2i1+i7（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知a為實數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則a+iA．1 B．0 C．1+i D．1﹣i3．已知復(fù)數(shù)z=(1+i)3(1?i)A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．已知復(fù)數(shù)z滿足z?i2020＝1+i2019（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i5．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝（1+i1?i）2013A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i易錯四.待定系數(shù)在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用——最值問題1．若復(fù)數(shù)z滿足3z+z=?4+2i，則A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2＝3+4i（i是虛數(shù)單位），則z的模為（）A．25 B．5 C．5 D．2+i3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1+3i，則|z1﹣z2|＝4．已知z∈C，且|z|＝1，則|z﹣2﹣2i|（i為虛數(shù)單位）的最小值是（）A．22?1 B．22+1 C．2 5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，則|z1﹣z2|的最大值為（）A．3+23 B．210 C．3+10 【鞏固提升】1.互為共軛復(fù)數(shù)的兩復(fù)數(shù)之差是()A、實數(shù)B、純虛數(shù)C、0D、零