2024-2025學年包頭市九中高二數(shù)學上學期期中考試卷附答案解析

-2025學年包頭市九中高二數(shù)學上學期期中考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．如圖，空間四邊形中，，點在上，且滿足，點為的中點，則（）A． B．C． D．3．已知兩條直線，若與平行，則實數(shù)（

）A． B．3 C．或3 D．1或4．如圖，在正方體中，，分別為棱和的中點，則和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．5．與圓關于直線對稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．6．在四棱錐中，底面，底面是正方形，.則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．已知，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．108．已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（

）A． B． C． D．8二、多選題（本大題共3小題）9．已知橢圓的左、右焦點分別是、，點為橢圓上一點且，則下列關于橢圓的結(jié)論正確的有（

）A．離心率為 B．長軸長為8C．的周長為18 D．的面積為910．已知圓，直線，點P在直線l上運動，直線，分別切圓C于點A，B.則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．M為圓C上一動點，則最小值為C．最短時，弦直線方程為D．最短時，弦長為11．已知圓和圓.設為平面上的點，滿足：存在過點的無數(shù)對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，下列所有滿足條件的點的坐標有（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．一動圓與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，則動圓圓心的軌跡方程是．13．在空間直角坐標系中，若一條直線經(jīng)過點，且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來表示，已知直線的方程為，則點到直線的距離為.14．已知橢圓，點，，為其長軸上從左到右的3個四等分點，分別過這三點作斜率為的一組平行線，交橢圓于，，，，，，則6條直線，，，…的斜率乘積為.四、解答題（本大題共5小題）15．的三個頂點是，，，求：(1)邊上的高所在直線的方程；(2)邊的垂直平分線的方程；(3)外接圓的方程.16．已知圓，直線.(1)求證：直線恒過定點；(2)直線被圓截得的弦何時最短？并求截得的弦長最短時的值以及最短弦長；(3)在（2）的條件下，求以短弦長為直徑的圓的方程.17．已知橢圓的上頂點為，兩個焦點為、，半焦距為，原點到經(jīng)過，兩點的直線距離為.(1)求橢圓的離心率；(2)過且垂直于的直線與橢圓交于，兩點，，求的周長.18．如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，D，E分別是線段，的中點，在平面ABC內(nèi)的射影為.(1)求證：平面BDE；(2)若點F為棱的中點，求點到平面BDE的距離；(3)若點F為線段上的動點（不包括端點），求平面FBD與平面BDE夾角的余弦值的取值范圍.19．“曲線”：由半橢圓與半橢圓組成，其中，.如圖，設點是相應橢圓的焦點，和分別是“曲線”與軸的交點，為線段的中點.(1)若等邊三角形的重心坐標為，求“曲線”的方程；(2)設是“曲線”的半橢圓上任意的一點.求證：當取得最小值時，在點或處；(3)作垂直于軸的直線與“曲線”交于兩點，求線段中點的軌跡方程.

參考答案1．【答案】D【詳解】由直線得其斜率為，設直線的傾斜角為（），則，所以，所以直線的傾斜角為，故選：D2．【答案】B【詳解】由題意，又，.故選：B3．【答案】A【詳解】直線平行，則，所以.故選：A4．【答案】B【詳解】分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖，設正方體棱長為2，則，，，，，，所以和所成角的余弦值為，故選：B．

5．【答案】C【詳解】解：設圓心關于直線對稱的點的坐標為，所以，解得，故對稱圓的圓心為，對稱圓的半徑和原來的圓一樣，故對稱圓的方程為；故選：C．6．【答案】A【詳解】在四棱錐中，平面，且四邊形為正方形，以為坐標原點，分別以AB，AD，為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系.

則B1,0,0，D0,1,0，P0,0,1從而，PD=0,1,?1，，設平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，設直線與平面所成的角為，則.故選：A7．【答案】C【詳解】直線過定點，直線，即過定點，又，即直線與直線垂直，因此，則，當且僅當時取等號，所以的最大值為5.故選：C8．【答案】B【詳解】由球的表面積為，得，球半徑，以正四面體的棱為正方體的面對角線，將該正四面體放到正方體中，則正方體的內(nèi)切球即與正四面體的六條棱均相切，正方體的棱長為，所以此四面體的體積為.故選：B9．【答案】ACD【詳解】由橢圓方程可知：，所以，所以：離心率，所以選項A正確；長軸，所以選項B錯誤；由橢圓的定義可知：，所以的周長為，所以選項C正確；設，所以，因為，所以由勾股定理可得：，即：，化簡得：，解之得：或，即：或，所以的面積為：，故選項D正確.故選：ACD.10．【答案】ACD【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用直角三角形、圓的性質(zhì)、直線方程以及點到直線的距離公式、勾股定理計算求解.【詳解】對于A，由切線長定理可得，又因為，所以，所以四邊形的面積，因為，當時，取最小值，且，所以四邊形的面積的最小值為，故A正確；對于B，因為，所以最小值為，故B錯誤；對于C，由題意可知點，，在以為直徑的圓上，設，其圓的方程為：，化簡為，與方程相減可得：，則直線的方程為，當最短時，，則，解得，故直線的方程為，故C正確；對于D，當最短時，圓心C到直線的距離，所以弦長為，故D正確.故選：ACD.

【點睛】難點點睛：解答本題的難點在于C的判斷，解答時要注意結(jié)合圓的公共弦方程的求解，求出直線AB方程，然后利用垂徑定理求出弦長.11．【答案】AB【詳解】設點坐標為，由存在過點P的無數(shù)對互相垂直的直線和，得一定有無數(shù)對直線和的斜率存在，設直線的方程分別為，即：，由直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，又兩圓半徑相等，得圓心到直線與圓心到直線的距離相等，，化簡得，或，關于的方程有無窮多解，則或，解得或，所以點坐標為或.故選：AB12．【答案】【解析】由圓與圓的位置關系可得，再由橢圓的定義即可得解.【詳解】由題意，圓：的圓心為，半徑為，圓：的圓心為，半徑為，設動圓的圓心，半徑為，動圓與圓：內(nèi)切，與圓：外切，所以，，所以，所以的軌跡是以原點為中心，焦點在軸上的橢圓，且，，所以，橢圓的方程為.故答案為：．13．【答案】【分析】由題設直線經(jīng)過點，且為一個方向向量，易得，應用點線距離的向量求法求點到直線的距離.【詳解】由題設，直線為，經(jīng)過點，且為一個方向向量，所以，故到直線的距離為.故答案為：214．【答案】【詳解】不妨設左右頂點的坐標分別為，，，為其長軸上從左到右的3個四等分點，故與原點重合，設橢圓上任意一點坐標為Px0,y0，且P則，所以，則，由對稱性可知，，故，同理可得，所以6條直線，，，…的斜率乘積為.故答案為：.15．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）直線的斜率，所以邊上的高所在直線的方程，即.（2）直線的斜率，線段的中點，所以邊的垂直平分線的方程為，即.（3）線段的中點，則邊的垂直平分線的方程為，即，由，解得，因此外接圓的圓心為，半徑，所以外接圓的方程為.16．【答案】(1)證明見解析；(2)當?shù)姆匠虨闀r最短；，最短弦長為；(3)【詳解】（1）直線的方程可化為，由，解得，所以直線恒過定點.（2）圓的圓心，半徑，令點，當直線時，直線被圓截得的弦長最短，直線的斜率為，由得直線的斜率為，解得此時的方程為，即，圓心到直線的距離為，最短弦長為所以當?shù)姆匠虨闀r最短；，最短弦長為.（3）由（2）知，以短弦長為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以短弦長為直徑的圓的方程.17．【答案】(1)；(2)13.【詳解】（1）依題意，不妨令，，則，又是直角三角形，于是，解得，所以橢圓的離心率.（2）由（1）知，，，橢圓的方程為，如圖所示，，，即為正三角形，又過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，則為線段的垂直平分線，直線的斜率為，直線的方程：，由消去并整理得：，，，解得，得，由垂直平分線段，得，因此的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為.18．【答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【詳解】（1）連接，因為在平面ABC內(nèi)的射影為，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，⊥，因為為邊長為2的等邊三角形，D是線段的中點，所以⊥，因為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，因為，四邊形為平行四邊形，所以平行四邊形為菱形，故⊥，因為D，E分別是線段，的中點，所以，故⊥，因為，平面，所以⊥平面；（2）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為⊥，D是線段的中點，所以由三線合一可得，又，故為等邊三角形，，由（1）知，⊥平面；故平面的一個法向量為，點到平面BDE的距離；（3）點F為線段上的動點（不包括端點），設，，則，故，故，設平面的法向量為，則，解得，令，則，故，又平面的一個法向量為，故，令