江蘇省南通市田家炳初級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)10月月考數(shù)學(xué)試卷

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省南通市崇川區(qū)田家炳中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

)A. B. C. D.2.如圖，AB是的直徑，點(diǎn)C，D在上.若，則的度數(shù)為(

)

A.

B.

C.

D.

3.下列語(yǔ)句中正確的說(shuō)法是(

)A.垂直于弦的直徑平分弦

B.圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸

C.長(zhǎng)度相等的弧是等弧

D.圓內(nèi)接矩形是正方形4.若將拋物線向左平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，則所得拋物線的解析式為(

)A. B. C. D.5.已知是關(guān)于x的二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)，則a的值為(

)A. B. C. D.無(wú)法確定6.如圖，已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和，則使不等式成立的x的取值范圍是(

)A.或

B.

C.或

D.

7.如圖，點(diǎn)A、B、C、D在上，，，，則BC的長(zhǎng)為(

)A.

B.4

C.

D.

8.將進(jìn)貨價(jià)格為35元的商品按單價(jià)40元售出時(shí)，能賣出200個(gè)．已知該商品單價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少5個(gè)．設(shè)這種商品的售價(jià)上漲x元時(shí)，獲得的利潤(rùn)為y元，則下列關(guān)系式正確的是(

)A. B.

C. D.9.已知，設(shè)函數(shù)，，直線的圖象與函數(shù)，，的圖象分別交于點(diǎn)，，，下列說(shuō)法正確的是(

)A.若，則 B.若，則

C.若，則 D.若，則10.如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，C在拋物線上，點(diǎn)D在y軸上.若A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，，下列結(jié)論正確的是(

)A.

B.

C.

D.二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。11.拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____.12.點(diǎn)，是拋物線上的兩點(diǎn)，則m______填<，>或13.如圖，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形，，則______

14.拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.15.筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧，如圖1，點(diǎn)P表示筒車的一個(gè)盛水桶.如圖2，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O為圓心，5m為半徑的圓，且圓心在水面上方.若圓被水面截得的弦AB長(zhǎng)為8m，則筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為_(kāi)_________

16.某種型號(hào)的小型無(wú)人機(jī)著陸后滑行的距離米關(guān)于滑行的時(shí)間秒的函數(shù)解析式是，無(wú)人機(jī)著陸后滑行______秒才能停下來(lái).17.當(dāng)時(shí)，直線與拋物線有交點(diǎn)，則a的取值范圍是______.18.已知點(diǎn)，為二次函數(shù)圖象上兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)y隨x增大而減小，若，時(shí)，恒成立，則m的取值范圍是______.三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。19.本小題8分

如圖，在中，，求證：

；

20.本小題8分

根據(jù)下列條件，分別求出二次函數(shù)的解析式．

已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)；

已知圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，且對(duì)稱軸為直線21.本小題8分

如圖，在中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，，

求的大??；

已知圓心O到BD的距離為3，求AD的長(zhǎng)．22.本小題8分

如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，與y軸交于點(diǎn)C，連接

直接寫出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積；

若點(diǎn)P為線段BC上的一點(diǎn)不與B、C重合，軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)線段PM的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo).23.本小題8分

如圖，已知，以AB為直徑的分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，連接DE，且

求證：；

若，，求BC的長(zhǎng).24.本小題8分

在二次函數(shù)中.

若它的圖象過(guò)點(diǎn)，求t的值；

當(dāng)時(shí)，y的最小值為2，求t的值.25.本小題8分

【提出問(wèn)題】

某數(shù)學(xué)小組想在拱橋上懸掛牌匾，如何設(shè)計(jì)拱橋懸掛牌匾的方案？拱橋懸掛牌匾的相關(guān)素材與資料素材1圖1是一座拱橋，圖2是橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬20m，拱頂離水面每年夏季，該河段水位在此基礎(chǔ)上會(huì)再漲達(dá)到最高.素材2國(guó)慶節(jié)，擬在圖1所示的橋拱上懸掛“慶祝國(guó)慶”四個(gè)大字的長(zhǎng)方形牌匾，懸掛點(diǎn)在橋拱上，牌匾長(zhǎng)8m寬，下沿與水面平行，為了安全，牌匾底部距離水面應(yīng)不小于

【解決問(wèn)題】

若橋拱所構(gòu)成的曲線是拋物線，建立如圖3的平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的解析式；

請(qǐng)你設(shè)計(jì)方案：在的基礎(chǔ)上，牌匾懸掛能否成功？請(qǐng)說(shuō)明理由；

若素材1中的橋拱形狀是圓弧，其他條件不變，素材2中的牌匾長(zhǎng)度縮短為7m，寬仍然為，其他懸掛條件不變，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷方案是否可行.26.本小題8分

已知拋物線G：經(jīng)過(guò)點(diǎn)

用含b的代數(shù)式表示c；

若拋物線G與x軸交于兩點(diǎn)B，點(diǎn)B在點(diǎn)C左側(cè)，且，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

當(dāng)時(shí)，自變量x的取值范圍是：或，若點(diǎn)在拋物線G上，求n的取值范圍.

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：，

二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

故選：

根據(jù)題目中函數(shù)的解析式即可直接得出此二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，懂得從二次函數(shù)頂點(diǎn)式中解出頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．2.【答案】B

【解析】【分析】

根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得，求出的度數(shù)，再由同弧所對(duì)的圓周角相等得出，即可得出結(jié)果.本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圓周角定理.

【解答】

解：是的直徑，

，

在中，，

，

，

，

故選：3.【答案】A

【解析】解：A、垂直于弦的直徑平分弦，正確，符合題意；

B、圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，錯(cuò)誤，不符合題意；

C、長(zhǎng)度相等的弧是等弧，錯(cuò)誤，必須添加在同圓或等圓中，故不符合題意；

D、圓內(nèi)接矩形是不一定是正方形，錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：

根據(jù)垂徑定理，等弧的定義，圓的有關(guān)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷，即可解題．

本題考查垂徑定理，等弧的定義，圓的有關(guān)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本知識(shí)．4.【答案】A

【解析】解：原拋物線的頂點(diǎn)為，向左平移4個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，那么新拋物線的頂點(diǎn)為

可設(shè)新拋物線的解析式為：，

代入得：

故選：

按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律解答．

此題主要考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．5.【答案】C

【解析】解：把代入得，

解得或，

，

的值為

故選：

把代入二次函數(shù)解析式得到，求出a，然后根據(jù)二次函數(shù)的定義確定a的值．

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特性：二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．正確理解二次函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6.【答案】B

【解析】解：由函數(shù)圖象可知，

當(dāng)時(shí)，

二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)圖象的下方，即，

所以不等式的解集為：

故選：

利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想即可解決問(wèn)題．

本題考查二次函數(shù)與不等式組，巧用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．7.【答案】D

【解析】解：連接AB，如圖所示，

，

，

在中，

，

，

故選：

連接AB，可得是直角三角形，利用圓周角定理可得，在中，，利用三角函數(shù)可求出BC的長(zhǎng)．

本題考查了圓周角定理，掌握“同弧所對(duì)的圓周角相等”是解題的關(guān)鍵．8.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意可得：，

故選：

根據(jù)售價(jià)減去進(jìn)價(jià)表示出實(shí)際的利潤(rùn)．

此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解“該商品單價(jià)每上漲1元，其銷售量就減少5個(gè)”．9.【答案】D

【解析】解：如圖所示，

A.由圖象可知，若，則，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B.由圖象可知，若，則或，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C.由圖象可知，若，則或，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.由圖象可知，若，則，故選項(xiàng)正確，符合題意；

故選：

按照題意，畫出滿足題意的圖象，根據(jù)直線與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷即可．

此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．10.【答案】D

【解析】解：作軸于M，軸于N，

點(diǎn)A，C在拋物線上，點(diǎn)D在y軸上，A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，，

點(diǎn)A坐標(biāo)為，點(diǎn)C坐標(biāo)為，

，，，

四邊形ABCD是正方形，

，，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

又，

，

即，

，

，

故選：

分別過(guò)A，C兩點(diǎn)作y軸的垂線，進(jìn)而得出全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．

本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11.【答案】

【解析】解：由題意，拋物線為，

令，則

拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，

故答案為：

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為直接求解，即可解題．

本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．12.【答案】<

【解析】【分析】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)拋物線解析式得到開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性即可得到結(jié)論．

【解答】

解：拋物線，

拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線，

當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，

點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為，且，

故答案為13.【答案】130

【解析】解：，

四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

故答案為：

先根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．14.【答案】

【解析】解：拋物線和x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，

其對(duì)稱軸為直，

它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，

故答案為：

根據(jù)拋物線解析式得到其對(duì)稱軸，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，即可得到它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．

本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，以及拋物線的對(duì)稱性，熟悉函數(shù)的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵．15.【答案】2

【解析】解：過(guò)O點(diǎn)作半徑于E，如圖，

，

在中，，

，

答：筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為

故答案為：

過(guò)O點(diǎn)作半徑于E，如圖，由垂徑定理得到，再利用勾股定理計(jì)算出OE，然后即可計(jì)算出DE的長(zhǎng)．

本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，能熟練應(yīng)用垂徑定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16.【答案】40

【解析】解：，

當(dāng)時(shí)，s取到最大值，

即無(wú)人機(jī)著陸后滑行40秒才能停下來(lái)，

故答案為：

將函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)題意可知，當(dāng)s取得最大值時(shí)，無(wú)人機(jī)停止運(yùn)動(dòng)，從而求解即可．

本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．17.【答案】

【解析】解：畫出拋物線，如圖，

當(dāng)時(shí)，，且拋物線的頂點(diǎn)是圖象最低點(diǎn)，拋物線開(kāi)口向上，

直線與拋物線有交點(diǎn)，，

由圖象可知

故答案為：

直線與拋物線有交點(diǎn)，則畫出二次函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象進(jìn)行解答即可．

本題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．18.【答案】

【解析】解：當(dāng)時(shí)，，

拋物線的對(duì)稱軸為直線，

當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)y隨x增大而減小，

，

，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

，，

的最大值為，

恒成立，

，

，

，

故答案為：

利用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)求得m的取值范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，最后利用已知條件求得m的最大值，則結(jié)論可求．

本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19.【答案】證明：，

，

，

；

，

，

，

，，

【解析】由，可得到，可得結(jié)論；

根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系由，得到，然后利用等腰三角形底角相等即可得到結(jié)論．

本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，解答本題用到的知識(shí)點(diǎn)為：同弧所對(duì)的圓心角相等，等腰三角形兩底角相等等．20.【答案】解：圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且過(guò)點(diǎn)，

設(shè)二次函數(shù)的解析式為：，

把代入得：

，

解得：，

故二次函數(shù)的解析式為：；

設(shè)二次函數(shù)的解析式為，把、，對(duì)稱軸為直線代入得：

，

解得：，

故二次函數(shù)解析式為：

【解析】直接利用頂點(diǎn)式代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案；

利用一般式代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案．

此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及頂點(diǎn)式求二次函數(shù)解析式，正確掌握二次函數(shù)解析式求法是解題關(guān)鍵．21.【答案】解：，

，

由圓周角定理得：，

；

過(guò)O作于E，

過(guò)O，

，

圓心O到BD的距離為3，

，

，，

【解析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出，根據(jù)圓周角定理得出，即可求出答案；

過(guò)O作于E，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)三角形中位線求出，代入求出即可．

本題考查了圓周角定理，垂徑定理的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．22.【答案】解：對(duì)于，令，則，

，

令，則，

，

，

或，

解得：，，

，，

，

；

設(shè)BC的表達(dá)式為，

把點(diǎn)B的坐標(biāo)和C的坐標(biāo)代入得：，

解得，

直線BC的表達(dá)式為，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為，

，

時(shí)，PM最大，

此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為

【解析】在拋物線解析式中，令可求得點(diǎn)C坐標(biāo)，令則可求得A、B的坐標(biāo)，再求的面積即可；

由B、C的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為，則可表示出點(diǎn)M坐標(biāo)，則可求得PM的長(zhǎng)，配方后可解答．

此題是二次函數(shù)綜合應(yīng)用題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，三角形的面積，二次函數(shù)的最值等知識(shí)．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，難度適中．23.【答案】證明：，，

，

，

，

，

；

解：連接AE，

為直徑，

，

由知，

，，

，

，，

∽，

，

，

【解析】由等腰三角形的性質(zhì)得到，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，由此推得，由等腰三角形的判定即可證得結(jié)論；

連接AE，由AB為直徑，可證得，由知，證明∽后即可求得BC的長(zhǎng)．

本題考查了圓周角定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：把代入得：，

解得；

拋物線對(duì)稱軸為直線，

由，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，

可得，

解得

，

，

若，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，

，

解得不合題意，舍去，

綜上所述，

【解析】將坐標(biāo)代入解析式，求解待定參數(shù)值；

確定拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)待定參數(shù)分類討論，分，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，以及，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值最小，求得相應(yīng)的t值即可得．

本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，存在待定參數(shù)的情況下，對(duì)可能情況作出分類討論是解題的關(guān)鍵．25.【答案】解：如圖，

水面寬20m，拱頂離水面5m，

頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，且拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，

設(shè)該拋物線的函數(shù)解析式為，

代入，，，

得，

解得，

拋物線的解析式為；

根據(jù)題意得危險(xiǎn)高度為，安全最低高度為，

，

當(dāng)時(shí)，，

解得，；

匾額的最大長(zhǎng)度為，

，

牌匾懸掛能成功掛上；

設(shè)圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)O，水面寬度為，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)C，交圓弧于點(diǎn)N，如圖，

，