深圳市格致中學(xué)附屬學(xué)校2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中測(cè)試數(shù)學(xué)試卷（帶答案）

第1頁(yè)/共1頁(yè)數(shù)學(xué)綜合試卷一、單選題1.如圖所示的幾何體的俯視圖是（）A.B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，根據(jù)俯視圖的概念逐一判斷即可得．【詳解】解：俯視圖是從幾何體的上面向下看得到的平面圖形，該幾何體的俯視圖是正方形中間有一條實(shí)線，B選項(xiàng)符合．故選：B．2.如果，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意設(shè)，，再代入化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：，設(shè)，，，故選：C．3.若點(diǎn)，，在反比例函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知函數(shù)的圖象在二、四象限，由三點(diǎn)的橫坐標(biāo)可知在第二象限，，在第四象限，根據(jù)反比例函數(shù)的增減性及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可解答．【詳解】解：反比例函數(shù)中，此函數(shù)的圖象在二、四象限，，，在第二象限，，在第四象限，，，，，y隨x的增大而增大，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查比較反比例函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，圖象在一、三象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)時(shí)，圖象在二、四象限，在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．4.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的概念和根的判別式，一元二次方程有實(shí)數(shù)根應(yīng)滿足的條件是：二次項(xiàng)系數(shù)不能為0，根的判別式的值應(yīng)大于或等于0，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，且解得且，故選：C5.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=和y=kx﹣3的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的特點(diǎn)，k≠0，所以分k＞0和k＜0兩種情況討論；當(dāng)兩函數(shù)系數(shù)k取相同符號(hào)值，兩函數(shù)圖象共存于同一坐標(biāo)系內(nèi)的即為正確答案．【詳解】解：分兩種情況討論：①當(dāng)k＞0時(shí)，y=kx﹣3與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，過(guò)一、三、四象限，反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限；②當(dāng)k＜0時(shí)，y=kx﹣3與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸，過(guò)二、三、四象限，反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限，觀察只有B選項(xiàng)符合，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，熟練掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．6.如圖，小明周末晚上陪父母在馬路上散步，他由燈下A處前進(jìn)4米到達(dá)B處時(shí)，測(cè)得影子長(zhǎng)為1米，已知小明身高1.6米，他若繼續(xù)往前走4米到達(dá)D處，此時(shí)影子長(zhǎng)為（）A.1米 B.2米 C.3米 D.4米【答案】B【解析】【分析】利用相似三角形的性質(zhì)即可求得DE的長(zhǎng)．【詳解】如圖，∵FB∥PA，GD∥PA，∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA．∴．∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米，∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米，∴．∴AE=5DE，即8+DE=5DE，解得：DE=2．即此時(shí)影長(zhǎng)為2米．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.平地上立有三根等高的木桿，其俯視圖如圖所示，在某一時(shí)刻三根木桿在陽(yáng)光下的影子可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查平行投影，解題的關(guān)鍵是理解平行投影的定義，屬于中考?？碱}型；根據(jù)平行投影的定義判斷即可；【詳解】解：根據(jù)平行投影的定義可知，在某一時(shí)刻三根木桿在陽(yáng)光下的影子可能是：故選：D．8.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，在BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，連接OE交CD于點(diǎn)F．已知，，則CF的長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作OGCD交BC于點(diǎn)G，根據(jù)平行線分線段成比例定理證明BG＝CG，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OB＝OD，則GO是△BCD的中位線，可求出BG、CG和OG的長(zhǎng)，再求出GE的長(zhǎng)，由CFGO可得△ECF∽△EGO，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CF的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作OGCD交BC于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是菱形，且AB＝5，∴BC＝CD＝AB＝5，OB＝OD，∴，∴BG＝CG＝，∴GO是△BCD的中位線∴GO＝CD＝，GOCD∵CE＝1，∴GE＝CG+CE＝+1＝，∵CFGO，∴∠ECF=∠EGO∵∠E=∠E∴△ECF∽△EGO，∴，∴CF＝，∴CF的長(zhǎng)為，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查菱形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、三角形的中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題9.如圖，，直線、與這三條直線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F，若，，，則DE的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)平行線分線段成比例，再求出DE的長(zhǎng)即可．【詳解】，，，，，，，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例得出正確的比例式是解題的關(guān)鍵．10.如圖，小軍、小珠之間的距離為2.7m，他們?cè)谕槐K路燈下的影長(zhǎng)分別為1.8m，1.5m，已知小軍、小珠的身高分別為1.8m，1.5m，則路燈的高為_(kāi)___m．【答案】3【解析】【詳解】解：如圖，∵CD∥AB∥MN，∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，∴，即，解得：AB=3m，故答案為：311.如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=40cm，EF=20cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5m，CD=8m，則樹(shù)高AB=____m．【答案】5.5【解析】【詳解】在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴，40cm=0.4m，20cm=0.2m，即，解得BC=4，∵AC=1.5m，∴AB=AC+BC=15+4=5.5m故答案為：5.5m【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：相似三角形12.五線譜是一種記譜法，通過(guò)在五根等距離的平行橫線上標(biāo)以不同時(shí)值的音符及其他記號(hào)來(lái)記載音樂(lè)．如圖，，，為直線與五線譜的橫線相交的三個(gè)點(diǎn)，則的值是_______．【答案】2【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作于，交于，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，交于，∵，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13.將正方形紙片對(duì)折，使與重合，折痕為，如圖1，展開(kāi)后再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，交于N，如圖2.則_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則由翻折的性質(zhì)得到，設(shè)，則，由勾股定理求出，，則，證明，則，解得，由勾股定理得，即可得到答案．【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則由翻折的性質(zhì)得到，設(shè)，則，在中，，則，解得，即，則，∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，即，解得，在中，由勾股定理得，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)，證明是解題的關(guān)鍵．三、解答題14.用合適的方法解下列方程：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用十字相乘法因式分解法一元二次方程即可；（2）提公因式法分解因式后解一元二次方程即可．【小問(wèn)1詳解】解：∴，∴或，解得；【小問(wèn)2詳解】∴，∴或，解得15.如圖，的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)．（1）以點(diǎn)O為位似中心，把按放大在y軸的左側(cè)，畫(huà)出放大后的；（2）點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)是；（3）．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】本題主要考查位似的知識(shí)，掌握位似的定義，性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．（1）位似中心為點(diǎn)O，根據(jù)位似比，連接并反向延長(zhǎng)一倍，在y軸的左側(cè)，即可求解；（2）根據(jù)題意求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)位似比，即可求解；（3）由題意可知相似比為，可求出，進(jìn)而得出，即可求解．【小問(wèn)1詳解】如圖所示，即為所求；小問(wèn)2詳解】點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：；【小問(wèn)3詳解】由題可得，，又∵位似比為，，，故答案為:．16.今年是中國(guó)共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校組織學(xué)生觀看慶祝大會(huì)實(shí)況并進(jìn)行團(tuán)史學(xué)習(xí)．現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽，并將競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分）進(jìn)行整理（成績(jī)得分用a表示），其中60≤a<70記為“較差”，70≤a<80記為“一般”，80≤a<90記為“良好”，90≤a≤100記為“優(yōu)秀”，繪制了不完整的扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，回答如下問(wèn)題：（1）x=________，y=________，并將直方圖補(bǔ)充完整；（2）已知90≤a≤100這組的具體成績(jī)?yōu)?3，94，99，91，100，94，96，98，則這8個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是________，眾數(shù)是________；（3）若該校共有1200人，估計(jì)該校學(xué)生對(duì)團(tuán)史掌握程度達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)；（4）本次知識(shí)競(jìng)賽超過(guò)95分的學(xué)生中有3名女生，1名男生，現(xiàn)從以上4人中隨機(jī)抽取2人去參加全市的團(tuán)史知識(shí)競(jìng)賽，請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法，求恰好抽中2名女生參加知識(shí)競(jìng)賽的概率．【答案】（1）30%，16%，圖見(jiàn)解析（2）95、94（3）192人（4）【解析】【分析】（1）先求出被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，繼而可求得y、x的值；（2）將數(shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的概念求解即可；（3）用總?cè)藬?shù)乘以樣本中優(yōu)秀人數(shù)所占百分比即可；（4）畫(huà)樹(shù)狀圖得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】解：被調(diào)查的總?cè)藬?shù)為4÷8%=50（人），∴優(yōu)秀對(duì)應(yīng)的百分比，則一般對(duì)應(yīng)的人數(shù)為50-（4+23+8）=15（人），∴其對(duì)應(yīng)百分比，補(bǔ)全圖形如下：故答案為：30%，16%．【小問(wèn)2詳解】解：將這組數(shù)據(jù)重新排列為91，93，94，94，96，98，99，100，所以其中位數(shù)為，出現(xiàn)次數(shù)最多的是94，故眾數(shù)為94，故答案為：95，94；【小問(wèn)3詳解】解：估計(jì)該校學(xué)生對(duì)團(tuán)史掌握程度達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為1200×16%=192（人）；答：估計(jì)該校學(xué)生對(duì)團(tuán)史掌握程度達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)為192人．【小問(wèn)4詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有12種等可能情況，其中被抽取的2人恰好是女生的有6種結(jié)果，所以恰好抽中2名女生參加知識(shí)競(jìng)賽的概率為．【點(diǎn)睛】此題考查了用列表法或樹(shù)狀圖法求概率、頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、眾數(shù)、中位數(shù)、用樣本估計(jì)總體等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合與用列表法或樹(shù)狀圖法求概率是解題的關(guān)鍵．17.如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱．AB＝6m，某一時(shí)刻AB在陽(yáng)光下的投影BC＝4m（1）請(qǐng)你在圖中畫(huà)出此時(shí)DE在陽(yáng)光下的投影．（2）在測(cè)量AB的投影時(shí)，同時(shí)測(cè)量出DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為9m，請(qǐng)你計(jì)算DE的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）13.5m.【解析】【分析】（1）直接利用平行投影的性質(zhì)得出答案；（2）利用同一時(shí)刻實(shí)際物體的影子與物體的高度比值相同進(jìn)而得出答案．【詳解】解：（1）如圖所示：EF即為所求；（2）∵AB＝6m，某一時(shí)刻AB在陽(yáng)光下的投影BC＝4m，DE在陽(yáng)光下的投影長(zhǎng)為9m，∴＝，解得：DE＝13.5m，答：DE的長(zhǎng)為13.5m．【點(diǎn)睛】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題法的關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì).18.如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）3或8【解析】【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩角相等，兩三角形相似的判定定理證明即可．（1）由，得到，根據(jù)，，，證明，即可證得；（2）根據(jù)，得到，由（1）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求解．【小問(wèn)1詳解】證明：∵，∴，∵，，，∴∴；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，由（1）知，∴，即∴或8．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．（1）求對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，求的面積；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫(xiě)出關(guān)于的不等式的解集．【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）由題意先求出，然后得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（2）由（1）可得以PB為底，點(diǎn)A到PB的距離為高，即為點(diǎn)A、B之間的縱坐標(biāo)之差的絕對(duì)值，進(jìn)而問(wèn)題可求解；（3）根據(jù)函數(shù)圖象可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）把點(diǎn)代入反比例函數(shù)解析式得：，∴，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)圖象上，∴，解得：，∴，把點(diǎn)A、B作代入直線解析式得：，解得：，∴；（2）由（1）可得：，，∵軸，∴，∴點(diǎn)A到PB距離為，∴；（3）由（1）及圖象可得：當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，熟練掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20.綜合與實(shí)踐課上，徐老師和同學(xué)們開(kāi)展了一場(chǎng)以“最小值”為主題的探究活動(dòng)．【提出問(wèn)題】徐老師提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在矩形中，，，P為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右作等邊，連接，如何求的最小值？【探究發(fā)現(xiàn)】小亮發(fā)現(xiàn)：如圖4所示，以為邊向下構(gòu)造一個(gè)等邊，便可得到，進(jìn)而將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值的問(wèn)題．（1）按照小明的想法，求證：；并求出的最小值．拓展應(yīng)用】（2）小剛受此啟發(fā)，舉一反三，提出新問(wèn)題：如圖2，若將圖1當(dāng)中構(gòu)造的等邊三角形，改為以為邊向右構(gòu)造正方形，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出的最小值．（3）小紅同學(xué)深入研究了小剛的問(wèn)題，并又提出了新的問(wèn)題：如圖3，若將圖2當(dāng)中構(gòu)造的正方形改為以為邊向右構(gòu)造菱形，使，也可求得的最小值．請(qǐng)你直接寫(xiě)出最小值為_(kāi)_____．【答案】（1）見(jiàn)解析，；（2）；（3）【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作于，交于，可證得，得出，由為定點(diǎn)，可得當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，最小，再利用解直角三角形求得即可；（2）以為邊向下作正方形，連接、交于點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作于，交于，可推出，，證得，得出，即，故當(dāng)取得最小值時(shí)，最小，利用